Télécharger

Feuille d’exercices n 8 - ESPACES PR´ EHILBERTIENS R ´ EELS
PRODUITS SCALAIRES
Exercice 248.
Parmi les applications ϕci-dessous d´eterminer lesquelles d´efinissent un produit
scalaire sur les espaces Econsid´er´es.
1. ER2et ϕ x, y , x , y 2xx yy .
2. ER3et ϕ x, y, z , x , y , z xx , yy , zz .
3. ER3et ϕ x1, y1, z1, x2, y2, z22x1x2y1y2z1z2z1x2x1z2.
4. ERXet ϕ P, Q P 0Q0
5. ERnX,ak0k n Rn1distincts et ϕ P, Q
n
k0
P akQ ak
6. EMnRet ϕ A, B tr Atr B
7. EMnRet ϕ A, B tr AB
8. E f C10,1,Rf0 0 et ϕ f, g
1
0
f t g t dt.
Exercice 249.
Soient aun vecteur unitaire d’un espace pr´ehilbertien r´eel Emuni de son pro-
duit scalaire ., . ,kun r´eel et ϕ:E E Rl’application d´etermin´ee par :
ϕ x, y x, y k x, a y, a
Donner une condition n´ecessaire et suffisant pour que ϕsoit un produit scalaire.
Exercice 250.
Donner un exemple d’espace pr´ehilbertien r´eel Eet d’endomorphisme uLE
non nul tel que :
x E, u x x 0.
Exercice 251.
Soit Eun espace pr´ehilbertien r´eel, f, g :E E deux applications quelconques.
On suppose que :
x, y E2, f x y x g y .
Montrer que fet gsont lin´eaires.
NORME EUCLIDIENNE
Exercice 252.
Soient x, y deux vecteurs non nuls d’un espace pr´ehilbertien r´eel. ´ Etablir :
x
x2
y
y2
x y
x y
Exercice 253.
D´emontrer que pour tout x1, , xnRn,
n
k1
xk
2
n
n
k1
x2
k
avec ´egalit´e si et seulement si tous les xisont ´egaux.
Exercice 254.
Soit x1, , xn0 tels que x1xn1.
Montrer que
n
k1
1
xk
n2. Pr´eciser les cas d’´egalit´e.
Exercice 255.
Soit AMnRv´erifiant XMn,1R,AX X o`u .d´esigne la norme
euclidienne usuelle sur l’espace des matrices colonnes (similaire `a celle de Rn).
´
Etablir XMn,1R,tAX X
Exercice 256.
Soit Eun espace pr´ehilbertien r´eel et fune application d´efinie sur Equi
conserve le produit scalaire :
x, y E2, f x f y x y
1. Prouver la propri´et´e «fconserve le produit scalaire »est ´equivalente `a la
propri´et´e «fconserve la norme ». (i.e. x E, f x x )
2. Montrer que fest lin´eaire.
3. On suppose Eeuclidien, montrer que fest bijective.
Exercice 257.
Soit ER2.u x, y E, on note N u max x , y .
Montrer que Nn’est pas une norme euclidienne.
Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis 1 PSI - 2016-2017

Feuille d’exercices n 8 - ESPACES PR´ EHILBERTIENS R ´ EELS
FAMILLES ORTHONORM´ EES
Exercice 258. Soit e1, e2, . . . , enune famille de vecteurs unitaires d’un es-
pace pr´ehilbertien r´eel telle que :
x E, x 2
n
i1
eix2.
Montrer que e1, e2, . . . , enconstitue une base orthonorm´ee de E.
Exercice 259 (CCP MP).
Orthonormaliser la famille 1, X, X2pour le produit scalaire :
ϕ P, Q
1
1
P t Q t dt
Exercice 260. On muni RXdu produit scalaire ϕ P, Q
1
1
P t Q t dt.
1. ´ Etablir l’existence et l’unicit´e d’une suite de polynˆomes Pnform´ee de
polynˆomes deux `a deux orthogonaux avec chaque Pnde degr´e net de
coefficient dominant 1.
2. ´ Etudier la parit´e des polynˆomes Pn.
3. Prouver que pour chaque n1, le polynˆome Pn1XPnest ´el´ement de
l’orthogonal `a Rn2X.
4. En d´eduire alors qu’il existe λnRtel que Pn1XPnλnPn1.
Exercice 261. On d´efinit une application ϕsur RXRXpar :
ϕ P, Q 1
2π
π
π
P eiθ Q eiθ dθ
1. Montrer que ϕest un produit scalaire sur RX.
2. Montrer que la famille XkkNest alors une famille orthonorm´ee.
3. Soit Q Xnan1Xn1. . . a0. Calculer Q2.
4. On pose Msup
z1
Q z . Montrer que M1 et ´etudier le cas d’´egalit´e.
Exercice 262.
1. (a) Montrer que nN, il existe un unique polynˆome Tntel que :
θR, Tncos θcos nθ
(on pourra ´etablir une relation de r´ecurrence entre Tn1, Tnet Tn1)
(b) Quel est le degr´e de Tn?
2. Montrer que, pour tout couple P, Q RX2l’application :
ϕ:P, Q
1
1
P t Q t
1t2dt
est un produit scalaire sur RX.
3. Soient m, n N, calculer ϕ Tm, Tn, que peut-on en d´eduire ?
Exercice 263 (Famille obtusangle).
Soit Fx1, . . . , xnune famille de n2 vecteurs d’un espace pr´ehilbertien
r´eel. On suppose :
1i j n, xixj0
Montrer que toute sous famille de n1 vecteurs de Fest libre.
UN PEU DE R´ EDUCTION...
Exercice 264.
Soit aun vecteur norm´e d’un espace vectoriel euclidien E.
Pour tout αR, on consid`ere l’endomorphisme :
f:x x α a x a
1. Pr´eciser la compos´ee fαfβ. Quelles sont les fαbijectives ?
2. D´eterminer les ´el´ements propres de fα.
3. fαest-elle diagonalisable ?
Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis 2 PSI - 2016-2017

Feuille d’exercices n 8 - ESPACES PR´ EHILBERTIENS R ´ EELS
Exercice 265.
Soit aun vecteur non nul d’un espace euclidien orient´e de dimension 3.
On consid`ere l’endomorphisme :
f:x x a x
1. D´eterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de f.
2. D´eterminer un polynˆome annulateur de f.
(On rappelle si n´ecessaire que u v w u.w v u.v w)
Exercice 266.
Soient a,bdeux vecteurs unitaires d’un espace vectoriel euclidien Eet fl’ap-
plication de Evers Edonn´ee par f:x x a x b.
1. A quelle condition la fonction fest-elle bijective ?
2. Exprimer f1xlorsque c’est le cas.
3. A quelle condition l’endomorphisme fest-il diagonalisable ?
ORTHOGONALIT´ E
Exercice 267.
Soit Eun espace euclidien et uLEtel que x E, u x x 0.
Comparer Ker uet Im u.
Exercice 268. Soit Eun espace vectoriel pr´ehilbertien.
Montrer qu’une somme de s.e.v. orthogonaux 2 `a 2 Fi1i n est directe.
Exercice 269 (D’apr`es CCP).On pose EC20,1,R.
1. Montrer que l’application d´efinie pour f, g E2par :
f g
1
0
f t g t f t g t dt
est un produit scalaire.
2. Soit V f E f 0f1 0 et W f E f f .
Montrer que Vet Wsont des s.e.v. suppl´ementaires et orthogonaux de E.
Exercice 270. Soit Eun espace vectoriel euclidien.
Pour a E non nul et λR, r´esoudre l’´equation a x λ d’inconnue x E.
Exercice 271.
Soit Eun espace euclidien et fLE. On suppose que fest un projecteur.
montrer qu’il est orthogonal si et seulement si : x E, f x x .
Indication : On pourra v´erifier que ker p(Im p) .
Exercice 272. Soit ERX, on admet que l’application . . :E E R
d´efinie par P Q
1
1
P t Q t dtest un produit scalaire sur RX.
1. Soit H P RX
1
1
t P t dt0 et Q H .
´
Etablir que pour tout PRX:
1
1
P t Q t dt
1
1
t P t dt
1
1
Q t dt
2. ´ Etablir H0Eet conclure qu’ici l’inclusion H H est stricte.
PROJECTEURS ORTHOGONAUX
Exercice 273.
On consid`ere R4muni de sa structure euclidienne canonique et Fle s.e.v. de
R4d´efini par F x, y, z, t R4x y z t x y z t 0 .
Soit Bla base canonique de R4.
1. D´eterminer une base orthonormale du suppl´ementaire orthogonal de F.
2. ´ Ecrire la matrice dans Bde la projection orthogonale sur F.
3. ´ Ecrire la matrice dans Bde la sym´etrie orthogonale par rapport `a F.
DISTANCE ` A UN S.E.V.
Exercice 274.
L’espace R4est muni de sa structure euclidienne canonique. Soit le sous-espace
F x, y, z, t R4, x z 0 et v1,1,1,1 .
D´eterminer le projet´e orthogonal de vsur Fet la distance de v`a F.
Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis 3 PSI - 2016-2017

Feuille d’exercices n 8 - ESPACES PR´ EHILBERTIENS R ´ EELS
Exercice 275 (D’apr`es CCP).
On admet que l’application d´efinie pour A, B MnRpar A, B Tr tAB
est un produit scalaire.
1. On note Fa b
b a , a, b R2.
(a) Montrer que Fest un sous-espace vectoriel de M2R.
(b) D´eterminer une base orthonorm´ee de F.
(c) D´eterminer le projet´e orthogonal de J1 1
1 1 sur F.
2. (a) Exprimer la distance de M
123
012
123
`a S3R.
(b) Montrer que l’ensemble Hdes matrices de trace nulle est un sous-
espace vectoriel de MnRet donner sa dimension. D´eterminer la
distance `a Hde la matrice Jdont tous les coefficients sont ´egaux `a 1.
Exercice 276.
D´eterminer l’orthogonal des matrices diagonales, puis celui des matrices sym´e-
triques dans M2Rmuni du produit scalaire canonique.
Exercice 277.
1. Montrer que P Q P 0Q0P1Q1P2Q2 d´efinit un produit
scalaire sur R2X.
2. Calculer d X2, F o`u F aX b a, b R2
Exercice 278 (Mines-Ponts).
Calculer le minimum de
1
0
t3at2bt c 2dtpour a, b, c R3.
Exercice 279 (Mines-Ponts).
On munit MnRdu produit scalaire rendant orthonorm´ee la base canonique,
dont on note la norme associ´ee. Soit Jla matrice de MnRdont tous les
coefficients sont ´egaux `a 1.
Si MMnR, calculer inf
a,b R2M aIn bJ en fonction de tr Met M J .
Exercice 280 (Mines-Pont).
D´eterminer inf
a,b R2
1
0
t2ln t at b 2dtpour a, b R2.
Exercice 281. On d´efinit une application ϕsur RXRXpar :
ϕ P, Q
0
P t Q t e tdt
1. Montrer que ϕest bien d´efinie sur RXRX.
2. Montrer que ϕest un produit scalaire sur RX.
3. Pour p, q N2, calculer ϕ Xp, Xq.
4. Orthonormaliser par le proc´ed´e de Gram-Schmidt la famille 1, X, X2.
5. D´eterminer inf
a,b R20
ett2at b 2dt
Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis 4 PSI - 2016-2017