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Feuille d’exercices n 8 - ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS
NORME EUCLIDIENNE
PRODUITS SCALAIRES
Exercice 252.
Exercice 248.
Parmi les applications ϕ ci-dessous déterminer lesquelles définissent un produit Soient x, y deux vecteurs non nuls d’un espace préhilbertien réel. Établir :
scalaire sur les espaces E considérés.
x
y }x y }
}x}2 }y}2 }x}}y}
1. E R2 et ϕppx, y q, px1 , y 1 qq 2xx1 yy 1 .
R3 et ϕppx, y, zq, px1, y1, z1qq pxx1, yy1, zz1q.
E R3 et ϕppx1 , y1 , z1 q, px2 , y2 , z2 qq 2x1 x2 y1 y2
E RrX s et ϕpP, Qq P p0qQp0q
E Rn rX s, pak q0¤k¤n P Rn 1 distincts et ϕpP, Qq 2. E
3.
4.
5.
Exercice 253.
z1 z 2
ņ
z1 x 2
Démontrer que pour tout px1 , , xn q P Rn ,
x 1 z2 .
P pak qQpak q
k 1
k 0
8.
xk
¤n
ņ
x2k
k 1
avec égalité si et seulement si tous les xi sont égaux.
MnpRq et ϕpA, B q trpAqtrpB q
E Mn pRq et ϕpA, B q trpAB q
»1
1
E tf P C pr0, 1s, Rq | f p0q 0u et ϕpf, g q f 1 ptqg 1 ptq dt.
6. E
7.
2
ņ
Exercice 254.
Soit x1 , , xn
ņ
Montrer que
0
¡ 0 tels que x1 xn 1.
1
¥ n2. Préciser les cas d’égalité.
x
k 1
Exercice 249.
k
Exercice 255.
Soient a un vecteur unitaire d’un espace préhilbertien réel E muni de son pro- Soit A P Mn pRq vérifiant @X P Mn,1 pRq, }AX } ¤ }X } où }.} désigne la norme
duit scalaire x., .y, k un réel et ϕ : E E Ñ R l’application déterminée par :
euclidienne usuelle sur l’espace des matrices colonnes (similaire à celle de Rn ).
Établir @X P Mn,1 pRq, }t AX } ¤ }X }
ϕpx, y q xx, y y k xx, ayxy, ay
Exercice 256.
Donner une condition nécessaire et suffisant pour que ϕ soit un produit scalaire. Soit E un espace préhilbertien réel et f une application définie sur E qui
conserve le produit scalaire :
Exercice 250.
Donner un exemple d’espace préhilbertien réel E et d’endomorphisme u P LpE q
non nul tel que :
@x P E, pupxq|xq 0.
@px, yq P E 2, pf pxq|f pyqq px|yq
1. Prouver la propriété « f conserve le produit scalaire » est équivalente à la
propriété « f conserve la norme ». (i.e. @x P E, }f pxq} }x})
2. Montrer que f est linéaire.
3. On suppose E euclidien, montrer que f est bijective.
Exercice 251.
Soit E un espace préhilbertien réel, f, g : E Ñ E deux applications quelconques.
On suppose que :
Exercice 257.
@px, yq P E 2, pf pxq|yq px|gpyqq.
Soit E R2 . @u px, y q P E, on note N puq maxp|x|, |y |q.
Montrer que f et g sont linéaires.
Montrer que N n’est pas une norme euclidienne.
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1
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Feuille d’exercices n 8 - ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS
Exercice 262.
FAMILLES ORTHONORMÉES
1. (a) Montrer que @n P N, il existe un unique polynôme Tn tel que :
Exercice 258. Soit pe1 , e2 , . . . , en q une famille de vecteurs unitaires d’un es-
@θ P R,
pace préhilbertien réel telle que :
Tn pcos θq cospnθq
ņ
@x P E, }x}2 pei|xq2.
(on pourra établir une relation de récurrence entre Tn
i 1
Orthonormaliser la famille
p
1, X, X 2
ϕpP, Qq 2. Montrer que, pour tout couple pP, Qq P RrX s2 l’application :
» 1 P ptqQptq
?
ϕ : pP, Qq ÞÑ
q pour le produit scalaire :
»1
1
1
1 t2
dt
est un produit scalaire sur RrX s.
P ptqQptq dt
Exercice 260. On muni RrX s du produit scalaire ϕpP, Qq et Tn1 )
(b) Quel est le degré de Tn ?
Montrer que pe1 , e2 , . . . , en q constitue une base orthonormée de E.
Exercice 259 (CCP MP).
1 , Tn
3. Soient m, n P N, calculer ϕpTm , Tn q, que peut-on en déduire ?
»1
P ptqQptq dt. Exercice 263 (Famille obtusangle).
Soit F px1 , . . . , xn q une famille de n ¥ 2 vecteurs d’un espace préhilbertien
1. Établir l’existence et l’unicité d’une suite de polynômes pPn q formée de réel. On suppose :
polynômes deux à deux orthogonaux avec chaque Pn de degré n et de
@1 ¤ i j ¤ n, pxi|xj q 0
coefficient dominant 1.
Montrer que toute sous famille de n 1 vecteurs de F est libre.
2. Étudier la parité des polynômes Pn .
3. Prouver que pour chaque n
l’orthogonal à Rn2 rX s.
1
¥ 1, le polynôme Pn 1 XPn est élément de
P R tel que Pn 1 XPn λnPn1.
Exercice 261. On définit une application ϕ sur RrX s RrX s par :
UN PEU DE RÉDUCTION...
4. En déduire alors qu’il existe λn
ϕpP, Qq 1
2π
»π
π
Exercice 264.
Soit a un vecteur normé d’un espace vectoriel euclidien E.
Pour tout α P R, on considère l’endomorphisme :
P peiθ qQpeiθ q dθ
f : x ÞÑ x
1. Montrer que ϕ est un produit scalaire sur RrX s.
2. Montrer que la famille pX k qkPN est alors une famille orthonormée.
3. Soit Q X n
4. On pose M
an1 X n1
...
1. Préciser la composée fα fβ . Quelles sont les fα bijectives ?
a0 . Calculer }Q}2 .
2. Déterminer les éléments propres de fα .
sup |Qpzq|. Montrer que M ¥ 1 et étudier le cas d’égalité.
|z|1
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αpa|xqa
3. fα est-elle diagonalisable ?
2
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Exercice 265.
Exercice 270. Soit E un espace vectoriel euclidien.
Pour a P E non nul et λ P R, résoudre l’équation pa|xq λ d’inconnue x P E.
Soit a un vecteur non nul d’un espace euclidien orienté de dimension 3.
On considère l’endomorphisme :
f : x ÞÑ x
Exercice 271.
Soit E un espace euclidien et f P LpE q. On suppose que f est un projecteur.
montrer qu’il est orthogonal si et seulement si : @x P E, }f pxq} ¤ }x}.
Indication : On pourra vérifier que ker p € (Im p)K .
a^x
1. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de f .
2. Déterminer un polynôme annulateur de f .
Exercice 272. Soit» E
(On rappelle si nécessaire que u ^ pv ^ wq pu.wqv pu.v qw)
définie par pP |Qq Exercice 266.
"
1
RrX s, on admet que l’application p.|.q : E E Ñ R
P ptqQptq dt est un produit scalaire sur RrX s.
*
»1
|t|P ptq dt 0 et Q P H K.
Établir que pour tout P P RrX s :
Soient a, b deux vecteurs unitaires d’un espace vectoriel euclidien E et f l’application de E vers E donnée par f : x ÞÑ x pa|xqb.
1. Soit H
P
P RrX s |
»1
1. A quelle condition la fonction f est-elle bijective ?
2. Exprimer f 1 pxq lorsque c’est le cas.
1
3. A quelle condition l’endomorphisme f est-il diagonalisable ?
2. Établir H K
ORTHOGONALITÉ
1
P ptqQptq dt » 1
1
» 1
|t|P ptq dt
1
Qptq dt
t0E u et conclure qu’ici l’inclusion H € H KK est stricte.
PROJECTEURS ORTHOGONAUX
Exercice 267.
Soit E un espace euclidien et u P LpE q tel que @x P E, pupxq|xq 0.
Comparer Ker u et Im u.
Exercice 273.
On considère R4 muni de sa structure euclidienne canonique et F le s.e.v. de
R4 défini par F tpx, y, z, tq P R4 | x y z t x y z t 0u.
Soit B la base canonique de R4 .
Exercice 268. Soit E un espace vectoriel préhilbertien.
Montrer qu’une somme de s.e.v. orthogonaux 2 à 2 pFi q1¤i¤n est directe.
1. Déterminer une base orthonormale du supplémentaire orthogonal de F .
C 2pr0, 1s, Rq.
Montrer que l’application définie pour f, g P E 2 par :
Exercice 269 (D’après CCP). On pose E
1.
1
»1
pf |gq pf ptqgptq
0
2. Écrire la matrice dans B de la projection orthogonale sur F .
3. Écrire la matrice dans B de la symétrie orthogonale par rapport à F .
f 1 ptqg 1 ptqq dt
DISTANCE À UN S.E.V.
Exercice 274.
est un produit scalaire.
L’espace R4 est muni de sa structure euclidienne canonique. Soit le sous-espace
F tpx, y, z, tq P R4 , x z 0u et v p1, 1, 1, 1q.
Montrer que V et W sont des s.e.v. supplémentaires et orthogonaux de E. Déterminer le projeté orthogonal de v sur F et la distance de v à F .
2. Soit V tf P E | f p0q f p1q 0u et W tf P E | f 2 f u.
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Exercice 275 (D’après CCP).
On admet que l’application définie pour A, B
est un produit scalaire.
1. On note F
"
a b
b a
Exercice 280 (Mines-Pont).
»
P MnpRq par xA, B y TrptAB q
1
Déterminer
*
inf
pa,bqPR2
0
t2 pln t at bq2 dt pour pa, bq P R2 .
Exercice 281. On définit une application ϕ sur RrX s RrX s par :
, pa, bq P R2 .
(a) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de M2 pRq.
(b) Déterminer une base orthonormée de F K .
(c) Déterminer le projeté orthogonal de J
2. (a)
Exprimer la distance de M 1 2 3
0 1 2
1 2 3
1 1
1 1
ϕpP, Qq » 8
0
P ptqQptqet dt
1. Montrer que ϕ est bien définie sur RrX s RrX s.
sur F K .
2. Montrer que ϕ est un produit scalaire sur RrX s.
à S3 pRq.
3. Pour pp, q q P N2 , calculer ϕpX p , X q q.
4. Orthonormaliser par le procédé de Gram-Schmidt la famille p1, X, X 2 q.
5.
(b) Montrer que l’ensemble H des matrices de trace nulle est un sousespace vectoriel de Mn pRq et donner sa dimension. Déterminer la
distance à H de la matrice J dont tous les coefficients sont égaux à 1.
» 8
Déterminer inf
et pt2 pat
pa,bqPR 0
2
bqq2 dt
Exercice 276.
Déterminer l’orthogonal des matrices diagonales, puis celui des matrices symétriques dans M2 pRq muni du produit scalaire canonique.
Exercice 277.
1. Montrer que pP |Qq P p0qQp0q
scalaire sur R2 rX s.
2. Calculer dpX 2 , F q où F
taX
P p1qQp1q
b
P p2qQp2q définit un produit
| pa, bq P R2u
Exercice 278 (Mines-Ponts).
»
1
Calculer le minimum de
0
pt3 at2 bt cq2dt pour pa, b, cq P R3.
Exercice 279 (Mines-Ponts).
On munit Mn pRq du produit scalaire rendant orthonormée la base canonique,
dont on note } } la norme associée. Soit J la matrice de Mn pRq dont tous les
coefficients sont égaux à 1.
Si M P Mn pRq, calculer inf }M aIn bJ } en fonction de trpM q et pM |J q.
pa,bqPR2
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