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Feuille d’exercices n˚5 - ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS
PRODUITS SCALAIRES
NORME EUCLIDIENNE
Exercice 177.
Exercice 180.
Parmi les applications ϕ ci-dessous déterminer lesquelles définissent un produit Soient x, y deux vecteurs non nuls d’un espace préhilbertien réel. Établir :
scalaire sur les espaces E considérés.
y }x y }
x
2
1
1
1
1
1. E R et ϕppx, y q, px , y qq 2xx yy .
}x}2 }y}2 }x}}y}
3
1
1
1
1
1
1
2. E R et ϕppx, y, z q, px , y , z qq pxx , yy , zz q.
n
3. E R3 et ϕppx , y , z q, px , y , z qq 2x x
y y
z z
z x
x z . Exercice 181. Démontrer que pour tout px1 , , xn q P R ,
1
1
1
2
2
2
1 2
1 2
RrX s et ϕpP, Qq P p0qQp0q
E Rn rX s, pak q0¤k¤n P Rn 1 distincts et ϕpP, Qq 1 2
1 2
1 2
4. E
5.
ņ
P pak qQpak q
k 1
k 0
MnpRq et ϕpA, B q trpAqtrpB q
E Mn pRq et ϕpA, B q trpAB q
»1
E tf P C 1 pr0, 1s, Rq | f p0q 0u et ϕpf, g q f 1 ptqg 1 ptq dt.
8.
xk
¤n
ņ
x2k
k 1
avec égalité si et seulement si tous les xi sont égaux.
6. E
7.
2
ņ
Exercice 182. Soit x1 , , xn ¡ 0 tels que x1
ņ
Montrer que
k 1
0
Exercice 178.
1
xk
¥ n2. Préciser les cas d’égalité.
xn
1.
Exercice 183.
Soient a un vecteur unitaire d’un espace préhilbertien réel E muni de son pro- Soit E R2 . @u px, y q P E, on note N puq maxp|x|, |y |q.
duit scalaire x., .y, k un réel et ϕ : E E Ñ R l’application déterminée par :
Montrer que N n’est pas une norme euclidienne.
ϕpx, y q xx, y y
k xx, ayxy, ay
Exercice 184. Soit E un espace préhilbertien réel, existe-t-il des endomorphismes u P LpE q non nuls tel que :
Donner une condition nécessaire et suffisant pour que ϕ soit un produit scalaire.
@x P E, pupxq|xq 0.
Exercice 179.
Soit E un espace préhilbertien réel, f, g : E Ñ E deux applications quelconques. Exercice 185.
On suppose que :
E un espace préhilbertien réels et f P LpE q une application telle que :
@px, yq P E 2, pf pxq|yq px|gpyqq.
f p0q 0 et @px, y q P E 2 , }f pxq f py q} }x y }
Montrer que f et g sont linéaires.
Montrer que f est linéaire.
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1
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Feuille d’exercices n˚5 - ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS
Exercice 189. On définit une application ϕ sur RrX s RrX s par :
FAMILLES ORTHONORMÉES
Exercice 186. Soit pe1 , e2 , . . . , en q une famille de vecteurs unitaires d’un es-
ϕpP, Qq pace préhilbertien réel telle que :
3. Pour pp, q q P N2 , calculer ϕpX p , X q q.
Montrer que pe1 , e2 , . . . , en q constitue une base orthonormée de E.
4. Orthonormaliser par le procédé de Gram-Schmidt la famille p1, X, X 2 q.
Exercice 187.
Exercice 190 (CCP MP).
1. (a) Montrer que @n P N, il existe un unique polynôme Tn tel que :
1. Énoncer le procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt.
2. Orthonormaliser la famille p1, X, X 2 q pour le produit scalaire :
Tn pcos θq cospnθq
(on pourra établir une relation de récurrence entre Tn
1 , Tn
ϕpP, Qq et Tn1 )
(b) Quel est le degré de Tn ?
2. Montrer que, pour tout couple pP, Qq P RrX s2 l’application :
1
1 t2
π
f : x ÞÑ x
2. Montrer que la famille p
scalaire précédent.
3. Soit Q X n
4. On pose M
an1 X n1
2. Déterminer un polynôme annulateur de f .
P peiθ qQpeiθ q dθ
(On rappelle si nécessaire que u ^ pv ^ wq pu.wqv pu.v qw)
Exercice 192.
qkPN est une famille orthonormée pour le produit
...
Soient a, b deux vecteurs unitaires d’un espace vectoriel euclidien E et f l’application de E vers E donnée par f : x ÞÑ x pa|xqb.
a0 . Calculer }Q}2 .
1. A quelle condition la fonction f est-elle bijective ?
2. Exprimer f 1 pxq lorsque c’est le cas.
sup |Qpzq|. Montrer que M ¥ 1 et étudier le cas d’égalité.
|z|1
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a^x
1. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de f .
1. Montrer que ϕ est un produit scalaire sur RrX s.
Xk
P ptqQptq dt
Soit a un vecteur non nul d’un espace euclidien orienté de dimension 3.
On considère l’endomorphisme :
Exercice 188. On définit une application ϕ sur RrX s RrX s par :
»π
1
Exercice 191.
dt
3. Soient m, n P N, calculer ϕpTm , Tn q, que peut-on en déduire ?
1
2π
»1
UN PEU DE RÉDUCTION...
est un produit scalaire sur RrX s.
ϕpP, Qq P ptqQptqet dt
2. Montrer que ϕ est un produit scalaire sur RrX s.
i 1
» 1 P ptqQptq
?
ϕ : pP, Qq ÞÑ
0
1. Montrer que ϕ est bien définie sur RrX s RrX s.
ņ
@x P E, }x}2 pei|xq2.
@θ P R,
» 8
3. A quelle condition l’endomorphisme f est-il diagonalisable ?
2
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PROJECTEURS ORTHOGONAUX
ORTHOGONALITÉ
Exercice 193. Soit E un espace euclidien et u P LpE q tel que :
Exercice 198. On considère R4 muni de sa structure euclidienne canonique et
F le s.e.v. de R4 défini par F tpx, y, z, tq P R4 | x y z t x y z t 0u.
Soit B la base canonique de R4 .
@x P E, pf pxq|xq 0.
1. Déterminer une base orthonormale du supplémentaire orthogonal de F .
Comparer ker f et Im f .
2. Écrire la matrice dans B de la projection orthogonale sur F .
Exercice 194 (D’après CCP).
On pose E
C 2pr0, 1s, Rq.
3. Écrire la matrice dans B de la symétrie orthogonale par rapport à F .
P E 2 par :
DISTANCE À UN S.E.V.
f 1 ptqg 1 ptqq dt
Exercice 199. L’espace R4 est muni de sa structure euclidienne canonique.
1. Montrer que l’application définie pour f, g
»1
pf |gq pf ptqgptq
0
Soit le sous-espace F tpx, y, z, tq P R4 , x z 0u et v p1, 1, 1, 1q.
Déterminer le projeté orthogonal de v sur F et la distance de v à F .
est un produit scalaire.
2. Soit V tf P E | f p0q f p1q 0u et W tf P E | f 2 f u.
Exercice 200 (D’après CCP).
Montrer que V et W sont des s.e.v. supplémentaires et orthogonaux de E.
On admet que l’application définie pour A, B
est
un produit scalaire.
Exercice 195.
"
*
Soit E un espace vectoriel euclidien.
a b
2
1. On note F Pour a P E non nul et λ P R, résoudre l’équation pa|xq λ d’inconnue x P E.
b a , pa, bq P R .
(a) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de M2 pRq.
Exercice 196.
Soit E un espace euclidien et f P LpE q. On suppose que f est un projecteur.
montrer qu’il est orthogonal si et seulement si : @x P E, }f pxq} ¤ }x}.
Indication : On pourra vérifier que ker p € (Im p)K .
(b) Déterminer une base orthonormée de F K .
(c) Déterminer le projeté orthogonal de J
RrX s, on admet que l’application p.|.q : E E Ñ R
1
définie par pP |Qq P ptqQptq dt est un produit scalaire sur RrX s.
1 ³
(
1. Soit H P P RrX s | |t|P ptq dt 0 et Q P H K .
Établir que pour tout P P RrX s :
Exercice 197. Soit» E
»1
1
P ptqQptq dt » 1
1
» 1
|t|P ptq dt
1
2. (a)
Exprimer la distance de M 1 2 3
0 1 2
1 2 3
1 1
1 1
sur F K .
à S3 pRq.
(b) Montrer que l’ensemble H des matrices de trace nulle est un sousespace vectoriel de Mn pRq et donner sa dimension. Déterminer la
distance à H de la matrice J dont tous les coefficients sont égaux à 1.
Qptq dt
Exercice 201.
Déterminer l’orthogonal des matrices diagonales, puis celui des matrices symétriques dans M2 pRq muni du produit scalaire canonique.
2. Établir H K t0E u et conclure qu’ici l’inclusion H € H KK est stricte.
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P MnpRq par xA, B y TrptAB q
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Exercice 202.
1. Montrer que pP |Qq P p0qQp0q
scalaire sur R2 rX s.
2. Calculer dpX 2 , P q où P
taX
P p1qQp1q
b
P p2qQp2q définit un produit
| pa, bq P R2u
Exercice 203 (suite de l’exercice n˚189).
5.
» 8
Déterminer inf
et pt2 pat
pa,bqPR 0
2
bqq2 dt
Exercice 204 (Mines-Ponts).
»
1
Calculer le minimum de
0
pt3 at2 bt cq2dt pour pa, b, cq P R3.
Exercice 205 (Mines-Ponts).
On munit Mn pRq du produit scalaire rendant orthonormée la base canonique,
dont on note } } la norme associée. Soit J la matrice de Mn pRq dont tous les
coefficients sont égaux à 1.
Si M P Mn pRq, calculer inf }M aIn bJ } en fonction de trpM q et pM |J q.
pa,bqPR2
Exercice 206 (Mines-Pont).
»
1
Déterminer
inf
pa,bqPR2
0
t2 pln t at bq2 dt pour pa, bq P R2 .
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