Géométrie 1 : Espaces Préhilbertiens MP

∗
Géométrie 1 : Espaces Préhilbertiens
MP
17 mars 2009
Table des matières
1 Espaces préhilbertiens
1.1 Espaces préhilbertiens réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Espaces préhilbertiens complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Orthogonalité
2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Construction de bases orthogonales : le procédé de Gram Schmidt
2.3 Coordonnées et changement de base orthonormées, . . . . . . . . .
2.4 Supplémentaire orthogonal d’un sev de dimension finie . . . . . . .
2.5 Projection orthogonale sur un sev de dimension finie . . . . . . . .
2.6 Distance à un sous-espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Symétries, réflexions et projections orthogonales . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
3
5
. 5
. 7
. 9
. 9
. 10
. 12
. 14
3 Topologie des espaces préhilbertiens, espaces de Hilbert
16
4 Formes linéaires sur un espace euclidien ou hermitien.
19
5 Annexe : l’espace préhilbertien des fonctions périodiques et continues
20
6 Annexe : programmation en MAPLE du procédé de Gram Schmidt
22
7 Corrigés ou démonstrations
25
∗
Prehilbertiens.teX
1
1
Espaces préhilbertiens
1.1
Espaces préhilbertiens réels
Définition
1 Un produit scalaire sur un R-ev E est une application
ϕ(x, y) ∈ E 2 → ϕ(x, y) =< x|y >∈ R,
telle que
– ϕ est symétrique,
– ϕ est bilinéaire,
– ϕ est positive, en ce sens que, pour tout x ∈ E, ϕ(x, x) ≥ 0,
– ϕ est une forme bilinéaire ”définie” en ce sens que pour tout x ∈ E,
ϕ(x, x) = 0 ⇒ x = 0.
Un espace muni d’un produit scalaire est un espace préhilbertien réel, un espace euclidien
s’il est de dimension finie.
Théorème 1 inégalités de Cauchy-Schwarz et inégalité de Minkowski (ou triangulaire)
• Soit E un R-ev muni d’un produit scalaire ϕ, alors
ϕ(x, y)2 ≤ ϕ(x, x)ϕ(y, y),
l’égalité ayant lieu ssi
√ x et y sont liés.
• En notant ||x|| = ϕ(x, x), on a, Pour tout couple (x, y) ∈ E 2 ,
||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.
√
• L’application x ∈ E → ||x|| = ϕ(x, x) est une norme sur E.
Démonstration classique, voir le cas complexe pour une démonstration générale.
Exercice/lllustration
1. Dans
Rn ,
1 Quelques exemples
∑
< X|Y >= xi yi ;
2. Dans R[X] on aura une mine de produits scalaires, dès lors que les fonctions ω, ωi
sont continues et strictement positives en tout point :
∫ 1
< P |Q >=
w(t)P (t)Q(t) dt,
0
∫
< P |Q >=
∫
1
w1 (t)P (t)Q(t) dt +
0
1
w2 (t)P ′ (t)Q′ (t) dt...
0
3. Dans C([a, b], R),
∫
< f |g >=
1
w(t)f (t)g(t) dt
0
2
4. Dans C 1 ([a, b], R),
∫
< f |g >=
∫
1
1
w1 (t)f (t)g(t) dt +
0
w2 (t)f ′ (t)g ′ (t) dt
0
5. L’ensemble des suites réelles (ui )i∈N telles que
préhilbertien avec le produit scalaire
⟨u|v⟩ =
∞
∑
∑
u2i < +∞, forme un espace vectoriel
ui vi ...
i=0
Voir l’exercice ??
6. Dans Mn (R), le produit scalaire
< A|B > = T r(A t B) =
n ∑
n
∑
ai,j bi,j .
i=1 j=1
voir exercice 1
Exercice
1 D’après Centrale 2000, Maths2 ;
1. Montrer que l’application ϕ : Mn (R) × Mn (R) → R, définie par :
ϕ(A, B) = T r(A t B)
est un produit scalaire. On note || || la norme associée. Exprimer ||A||2 en fonction
des (ai,j ).
2. Soit Ω un élément de On (R). Montrer que pour toute matrice A,
||Ω A|| = ||A||.
Prouver que si A est une matrice symétrique, la matrice B =t Ω A Ω est elle-même
symétrique et que l’on a, en notant (bi,j ) les coefficients de B :
n
n ∑
∑
b2i,j =
i=1 j=1
1.2
n ∑
n
∑
a2i,j .
i=1 j=1
Espaces préhilbertiens complexes
Définition 2 Un produit hermitien (ou produit scalaire complexe) sur un C−ev E est
une application
ϕ(x, y) ∈ E 2 → ϕ(x, y) =< x|y >∈ C,
telle que
– pour tout (x, y) ∈ E 2 , ϕ(x, y) = ϕ(y, x)
– ϕ est linéaire à gauche, 1
– ϕ est positive, en ce sens que, pour tout x ∈ E, ϕ(x, x) ≥ 0,
1. Attention, certains disent à droite ! ! !
3
– ϕ est une forme linéaire ”définie” en ce sens que pour tout x ∈ E,
ϕ(x, x) = 0 ⇒ x = 0.
On dit qu’un espace muni d’un produit scalaire complexe est un espace préhilbertien
complexe, un espace hermitien s’il est de dimension finie.
Théorème 2 inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski
• Soit E un C−ev muni d’un produit scalaire ϕ, alors
|ϕ(x, y)|2 ≤ ϕ(x, x)ϕ(y, y),
l’égalité ayant lieu ssi
√ sont liés .
• En notant ||x|| = ϕ(x, x), on a, Pour tout couple (x, y) ∈ E 2 ,
||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.
√
• L’application x ∈ E → ||x|| = ϕ(x, x) est une norme sur E.
Exercice
2 démonstration de l’inégalité de C-S
1. Etudier le polynôme de la variable réelle, à coefficients réels P (λ) = ||x + λy||... En
déduire le cas d’égalité.
2. Considérer eiθ y...
Exercice
3 Quelques exemples
∑
1. Dans Rn , < X|Y >= xi y¯i ;
2. Dans R[X] on aura les produits scalaires :
∫
1
< P |Q >=
¯ dt,
w(t)P (t)Q(t)
0
∫
1
< P |Q >=
¯ dt +
w1 (t)P (t)Q(t)
0
∫
1
w2 (t)P ′ (t)Q′¯(t) dt...
0
3. Dans C([a, b], R),
∫
< f |g >=
1
¯ dt
w(t)f (t)g(t)
0
4. Dans
C 1 ([a,
b], R),
∫
< f |g >=
1
¯ dt +
w1 (t)f (t)g(t)
0
∫
0
4
1
w2 (t)f ′ (t)g ′¯(t) dt
5. l’ensemble des suites complexes (ui )i∈N telles que
vectoriel préhilbertien avec le produit scalaire
⟨u|⟩ =
∞
∑
∑
|ui |2 < +∞, forment un espace
ui vi ...
i=0
Voir l’exercice ??
6. Dans Mn (C), le produit scalaire
t
< A|B >= T r(A B̄) =
n ∑
n
∑
ai,j b¯i,j .
i=1 j=1
2
Orthogonalité
2.1
Généralités
Définition 3 Soit (E, < | >) un espace préhilbertien réel ou complexe de produit scalaire noté < x|y > . On dit que deux éléments x et y de E sont orthogonaux ssi < x|y >= 0.
Théorème 3
• Soit A une partie non vide de E. L’ensemble des vecteurs de E orthogonaux à tous les
vecteurs de A est une sev de E. On le note ⊥ A(= {x ∈ E; ∀z ∈ A, < x|z >= 0}).
• ⊥ A fermé.
démonstration
• ⊥ A est un sev de E car :
- 0 ∈ A;
- si x ∈⊥ A, y ∈⊥ A, λ ∈ K, pout tout a ∈ A, (x + λy|a) = (x|a) + λ(y|a) = 0...
• ⊥ A est fermé : en effet, si (xn )n est une suite d’éléments de A qui converge vers ℓ ∈ E,
pour tout a ∈ A, on a : lim(xn |a) = (ℓ|a) = 0, ce qui établit que ℓ ∈⊥ A.
Exercice
4
1. Montrer que pour toute partie non vide, ⊥ A =⊥ vectA;
2. Montrer que, si A ⊂ B alors ⊥ B ⊂⊥ A;
( )
3. Soit A en sev de E. Montrer que A ⊂⊥ ⊥ A ; pour une réciproque voir le cas où A
est un sev de dimension finie après le théorème 10.
4. Montrer que la réciproque peut-être fausse lorsque A est de dimension infinie.
Indication : toute fonction continue sur [0, 1] telle que
∫
1
f (t)tn dt = 0
0
est nulle (c’est une conséquence du théorème de Weierstrass)...
5
Proposition 4 identités de polarisation
– Soit E préhilbertien, alors pour tous x et y dans E,
||x + y||2 = ||x||2 + ||y||2 + 2Re(< x|y >);
– Soit E préhilbertien réel, alors pour tous x et y dans E,
1
< x|y >= (||x + y||2 − ||x||2 − ||y||2 );
2
– Soit E préhilbertien complexe, alors pour tous x et y dans E,
1
Re(< x|y >) = (||x + y||2 − ||x||2 − ||y||2 );
2
1
Im(< x|y >) = Re(< x|iy >) = (||x + iy||2 − ||x||2 − ||y||2 );
2
1
1+i
< x|y >= (||x + y||2 + i||x + iy||2 ) −
(||x||2 + ||y||2 );
2
2
Théorème 5 Pythagore
Soit E préhilbertien, alors pour tous x et y dans E,
– si x⊥y, alors ||x + y||2 = ||x||2 + ||y||2 (théorème de Pythagore) ;
– si ||x + y||2 = ||x||2 + ||y||2 alors < x|y > est imaginaire pur
– dans le cas des seuls espaces réels, la réciproque du théorème de Pythagore est vraie (ce
qui fait la différence avec les années-collège).
Exercice 5 champs de vitesses des solides rigides, torseurs
Soit E = R3 qui, de son produit scalaire canonique sera muni.
1. Montrer que si x : t ∈ R → x(t) ∈ E et y : t ∈ R → y(t) ∈ E sont de classe C 1 et
vérifient
∀t, s ||x(t) − y(t)|| = ||x(s) − y(s)||,
alors
∀t, ẋ(t) − ẏ(t)⊥x(t) − y(t).
2. Soit U un champ de vecteurs vérifiant
U (x) − U (y)⊥(x − y).
Monter qu’il existe une matrice antisymétrique A et un vecteur b tels que U (x) =
Ax + b.
indication : poser V (x) = U (x) − U (0), calculer (V (x)|x), (V (x) − V (ei )|x − ei )...
6
2.2
Construction de bases orthogonales : le procédé de Gram Schmidt
Rappelons un algorithme classique qui donne la preuve du théorème suivant :
Théorème 6 Soit E un espace préhilbertien de dimension quelconque et B = (bi )1≤i≤n ,
une famille libre de E. Il existe alors une famille orthonormale (ei )1≤i≤n , telle que, pour
tout p
vect(e1 , ..., ep ) = Vp = vect(b1 , ..., bp );
la base orthonormale de Vn est donc adaptée au drapeau (Vp )1≤p≤n .
Démonstration et description de l’algorithme :
On commence par construire par récurrence sur p, une famille orthogonale adaptée au
drapeau (Vp )1≤p≤n .
b1
.
• On pose e′1 := b1 , e1 =
||b1 ||
On a vect(e1 ) = vect(e′1 ) = V1 .
• On suppose construite une famille (e′i )1≤i≤p orthogonale et telle que vect(e′1 , ..., e′i ) = Vi
pour 1 ≤ i ≤ p; On pose alors
e′p+1 = bp+1 +
p
∑
αp+1,i bi .
i=1
Le produit scalaire < e′p+1 |e′j > est nul ssi αp+1, j = −
pour les αp+1,i .
• Bilan :
la famille définie par e′1 = b1 , et e′p = bp −
∑p
i=j
< bp+1 |e′j >
. On choisit ces valeurs
< e′j |e′j >
< bp |e′j >
bj , pour p ≥ 2, est donc
< e′j |e′j >
orthogonale et pour tout p, Vp = vect(e′1 , ..., e′p ).
e′
La famille (ei )i où ei = i′ est orthonormée et pour tout p, Vp = vect(e1 , ..., ep ).
||ei ||
Corollaire 7 Dans espace préhilbertien de dimension finie d non nulle (donc un espace
euclidien ou hermitien), pour toute famille orthonormale (e1 , ..., ek ), il existe une base
orthonormée (e1 , ..., ek , ek+1 , ..., ed ) la complétant.
Démonstration on observe qu’une famille orthonormée est libre, le théorème de la base
incomplète et le procédé de Gram-Schmidt font le reste.
Exercice 6
Soit F l’ensemble des applications de [0, 1] dans R de classe C 1 .
7
1. Montrer que la relation
∫
(f |g) = f (0)g(0) +
1
f ′ (t)g ′ (t) dt
0
définit un produit scalaire sur F.
2. Trouver une BON définissant le même drapeau que (1, x → x, x → x2 , , x → x3 ).
Exercice 7 Polynômes orthogonaux
On considère une fonction w continue et strictement positive sur un intervalle I, telle que
les fonctions |tn |w(t) soient intégrables sur I;
∫
¯
1. Vérifier que (f |g) = I f (t)g(t)w(t)
dt définit un produit scalaire sur C[X];
2. Montrer qu’il existe une seule famille de polynômes (pi )i telle que
p0 = 1, deg(pn ) = n, pn (x) = xn +
n−1
∑
αn,i pi , pn ⊥Cn−1 [X].
i=0
3. Montrer qu’il existe une seule famille de polynômes (pi )i telle que
p0 = 1, deg(pn ) = n, pn (x) = xn +
n−1
∑
αn,i pi , pn ⊥Cn−1 [X].
i=0
En déduire que la matrice de Gram des fonctions (x → x0 , x → x1 , ..., x → xn−1 ) est
inversible (il s’agit de la matrice G telle que gi,j = (xi |xj )).
4. (a) Vérifier que (tpn |pj ) = (pn |tpj );
(b) Montrer que
pn (x) = (x − λn )pn−1 (x) + µn pn−2 (x);
5. Montrer que le polynôme pn a toutes ses racines intérieures à I ;
indication
∏ : montrer que si n ≥ 1, pn admet au moins une racine dans I, et écrire
pn (t) = i (t − ti ) × Q(t)...
Exemples classiques ; voir annexe 6
– polynômes de Tchebychev, associés au produit scalaire :
∫ 1
f (t)g(t)
√
(f |g) =
dt;
1 − t2
−1
– polynômes de Legendre associés au produit scalaire
∫ 1
(f |g) =
f (t)g(t) dt;
−1
– polynômes de Laguerre associés au produit scalaire
∫ ∞
(f |g) =
e−t f (t)g(t) dt;
0
8
2.3
Coordonnées et changement de base orthonormées,
L’observation fondamentale est ici que dans un préhilbertien muni d’une BON, tout vecteur
x vérifie :
∑
x=
(x|ei )ei .
i
Exercice 8
Soit E un espace préhilbertien de dimension finie (donc euclidien ou hermitien), de bases
orthonormeés (ei )i et (e′i )i .
1. Exprimer la matrice de passage de la base (ei )i vers la base (e′i )i à l’aide des produits
scalaires (e′i |ej )...
2. Calculer P t P̄ lorsque P est cette matrice.
Théorème 8
Dans un espace préhilbertien de dimension finie la matrice de passage d’une base orthonormée (ei )i vers une autre BON base (e′i )i
– est orthogonale dans le cas réel : P tP =t P P = In ;
– est unitaire (mot hors programme) dans le cas complexe : P tP̄ =t P̄ P = In .
Démonstration c’est l’exercice qui précède
2.4
Supplémentaire orthogonal d’un sev de dimension finie
Théorème 9 supplémentaire orthogonal
Soit E un espace préhilbertien (de dimension quelconque) et F un sev de dimension finie
de E. On a F ⊕⊥ F = E.
Démonstration :
Il est immédiat que F ∩ ⊥F = ∅. D’autre part, puisque F est de dimension finie, il admet
une base orthonormée (ei )1≤i≤N (obtenue par orthogonalisation de G-S à partir d’une base
quelconque). On vérifiera sans peine qu’un élément x ∈ E est de la forme
(
)
N
N
∑
∑
x=
(x|ei )ei + x −
(x|ei )ei
i=1
i=1
Attention l’orthogonal d’un sev de dimension infinie peut ne pas être supplémentaire.
Un contre exemple classique est donné par l’exercice 18.
9
2.5
Projection orthogonale sur un sev de dimension finie
Théorème 10 Soit (E, < | >) un espace préhilbertien sur K, et F un sous-espace
vectoriel de dimension finie de E.
– si (ei )1≤i≤n est une base orthonormée de F, la projection orthogonale de E sur F a pour
expression :
n
∑
pF : x →
< x|ei > ei .
i=1
– quelque soit la dimension de E, pF est une application continue, sa norme subordonnée
associée à la norme du produit scalaire est :
|||pF ||| = sup
x̸=0
||pF (x)||
=1
||x||
– En particulier, pour tout x ∈ E,
||pF (x)||2 =
n
∑
| < x|ek > |2 ≤ ||x||2 ;
k=1
c’est l’inégalité de Bessel.
Calcul pratique d’un projeté orthogonal
1. Construire une BON de F (par le procédé de Gram-Schmidt par exemple) : il vient
alors
∑
pF (x) =
< x|ei > ei
2. A partir d’un base quelconque de F on écrit :
∑
pF (x) =
αi ei ∈ F
∀k, < pF (x)|ek >=
∑
αi < ei |ek >=< x|ek >
on obtient là un système linéaire dont les αi sont les solutions ; la matrice G qui
détermine le système a pour coefficients les gi,j =< ei |ej > . C’est une matrice
symétrique dans le cas réel, une matrice hermitienne 2 (ie : t G = Ḡ ou t Ḡ = G) dans
le cas complexe. On l’appelle matrice de Gram de la base (ei ).
2. hors programme
10
Exercice 9 sommes de Fourier
On note C2π l’espace vectoriel des fonctions continues et 2π−périodiques à valeurs complexes ; que l’on munit du produit scalaire complexe
∫ 2π
1
¯ dt.
(f |g) =
f (t)g(t)
2π 0
On note PN le sous-espace de C2π formé des polynômes trigonométriques engendré par les
fonctions
(t → eint )−N ≤n≤N
ou par les fonctions
(t → cos(nt))0≤n≤N , (t → sin(nt))1≤n≤N .
1. Vérifier que ces parties génératrices sont respectivement orthonormées et orthogonales ;
2. Exprimer les projection orthogonale de f sur PN dans chacune de ces deux bases.
Exercice
10 produit scalaire sur Mn (R)
1. Cas des matrices réelles
(a) Montrer que l’application ϕ : Mn (R)2 → R, définie par :
ϕ(A, B) = T r(A t B)
est un produit scalaire. On note || || la norme associée.
(b) Exprimer ||A||2 en fonction des (ai,j ).
(c) On considère les sous-espaces Sn et An formés des matrices symétriques et
anti-symétriques définies respectivement par
A = A et tA = −A.
t
Montrer qu’ils sont supplémentaires orthogonaux. Exprimer les projecteurs orthogonaux associés à cette décomposition.
2. Cas des matrices complexes
(a) Produit scalaire
i. Montrer que pour toute matrice A ∈ Mn (C), que T r(Ā) = T r(A);
ii. Montrer que l’application ϕ : Mn (C)2 → C, définie par :
ϕ(A, B) = T r(A t B̄)
est un produit scalaire complexe. On note || || la norme associée.
iii. Exprimer ||A||2 en fonction des (ai,j ).
(b) On considère les sous-espaces S et A formés des matrices symétriques et antisymétriques. Sont ils supplémentaires, orthogonaux ?
t = Ā et telles que
(c) Que dire des sous-ensembles formés des matrices telles que A
tA = −Ā? S’agit-il de C−ev, de R − ev? Sont ils orthogonaux ?
11
2.6
Distance à un sous-espace
Théorème 11 Soit E un espace préhilbertien et F un sous-espace de E admettant un
supplémentaire orthogonal ⊥ F. On note p le projecteur orthogonal de E sur F. Alors :
• pour tout x ∈ E, x − p(x) ∈⊥ F ;
• ||x − p(x)|| = inf y∈F ||x − y||;
• p(x) est l’unique élément de F qui réalise le minimum inf y∈F ||x − y||;
Définition 4 lorsque F admet un supplémentaire orthogonal, on appelle distance de
x ∈ E au sev F la distance ||x − p(x)|| = inf y∈F ||x − y||;
Attention : un sev d’un espace préhilbertien n’admet pas nécessairement un supplémentaire
orthogonal, un contre
∫ 1 exemple classique est fourni dans E = C([0, 1], R) muni du produit
scalaire < P |Q >= 0 P (t)Q(t) dt, par le sous-espace dense R[X] : c’est une conséquence
du théorème d’approximation de Weiertrass.
Exercice 11 distance à un sev de dim finie dans un normé quelconque
On considère un espace normé, montrer que pour tout sev de dimension finie, pour tout
x ∈ E, il existe un élément y0 de F qui réalise le minimum inf y∈F ||x−y||; y a-t-il unicité ?
Exercice
12 distances (au km !)
∫
min{
1. Calculer
+∞
(xk − ax − b)2 e−x dx/(a, b) ∈ R2 };
0
2. Dans R4 muni de sa base canonique, calculer d(X, F ) lorsque X = (1, 1, 2, −1) et F
est défini par les équations :
{
x+y+z+t=0
x + 2y + 3z + 4t = 0.
3. Même question dans E affine euclidien de dimension 4 lorsque F a pour équations :
{
x+y+z+t=1
x + 2y + 3z + 4t = 1.
Exercice 13 On note Sn (R) et An (R) les sev de Mn (R) formés des matrices symétriques
et antisymétriques.
1. Montrer que ce sev

1 ...
2 . . .

2. Soit M =  .
 .. . . .
sont supplémentaires orthogonaux.

1
2

..  , calculer la distance de M à Sn (R).
.
n ... n
12
Exercice 14 mise en œuvre sous MAPLE ou calculette nécessaire !
Soit E = R[X] ; on pose
∫ ∞
(P |Q) =
P (t)Q(t)e−t dt
0
1. Vérifier qu’il s’agit d’un produit scalaire ;
2. Construire une base orthonormée de R5 [X]
3. Pour P = X 6 +X +1 déterminer H, élément de R5 [X] tel que ||H −P || soit minimum.
13
2.7
Symétries, réflexions et projections orthogonales
Observer que si X et Y sont les vecteurs des coordonnées de x et y dans une BON, alors
∑
(x|y) =
xi yi =t X Ȳ ...
(les précisions non fournies sont supposées évidentes).
Exercice 15 changement de BON
Soit B une BON dans E euclidien ou hermitien. Montrer que pour toute autre base B ′ ,
B ′ est aussi une BON ssi la matrice de passage de B à B ′ vérifie
M tM̄ = idE .
Proposition 12 projections orthogonales
Soit E un espace euclidien ou hermitien de base orthogonale B.
• Si f est un endomorphisme de E, f est une projection orthogonale ssi f ◦ f = f et la
matrice de f dans B est une matrice symétrique (A =t A, cas réel) ou hermitienne (A =t A,
cas complexe).
• Soit V un sev de E de base orthonormée V = (vi )1≤i≤d , et p la projection orthogonale
de E sur V. Alors, la matrice de p dans B, une base orthonormée quelconque de E est
M at(p, B) =
d
∑
i=1
1
tV
i
Vi tVi ,
Vi
où les Vi ∈ Rn (ou Cn ) sont les vecteurs coordonnées des (vi ) dans B.
• En particulier si p est la projection sur vect(v),
M at(p, B) =
1
tV
V
V tV .
Proposition 13 symétries orthogonales
Soit E un espace euclidien ou hermitien de base orthogonale B.
• Si f un endomorphisme de E, f est une symétrie orthogonale ssi f ◦f = idE et la matrice
de f dans B est une matrices hermitienne.
• Soit V un sev de E de base orthonormée V = (vi )1≤i≤d , et σ la symétrie orthogonale de
E sur V. Alors, la matrice de σ dans B, une base orthonormée quelconque de E est
M at(σ, B) = In − 2
d
∑
i=1
1
tV
i
Vi
Vi tVi ,
où les Vi ∈ Rn (ou Cn ) sont les vecteurs coordonnées des (vi ) dans B.
• En particulier si σ est la réflexion par rapport à l’hyperplan ⊥ vect(v),
M at(σ, B) = In − 2 t
14
1
V tV .
V V
Exercice
16
1. Donner la matrice de la projection orthogonale de E = R3 sur la droite vect([1, −2, 1]);
2. Donner la matrice de la projection orthogonale de E = R4 sur le plan vect([1, 0, 2, 1], [1, 1, 0, 2]);
ainsi que la symétrie orthogonale par rapport à ce même plan.
15
3
Topologie des espaces préhilbertiens, espaces de Hilbert
Théorème 14
Soit E un espace préhilbertien réel ou complexe muni de la norme ||f ||2 =< f |f >1/2 .
On a les propriétés suivantes :
1. les formes linéaires ϕy : x →< x|y > sont continues et, pour tout y ∈ E,
|||ϕx |||2 = sup
x̸=0
| < x|y > |
= ||y||
||x||2
2. pour toute partie X de E, ⊥ X est un sev fermé de E;
3. si F est un sev de E, ⊥ (⊥ F ) est l’adhérence de F dans E;
4. la projection orthogonale sur un sev de dimension finie est continue, de norme subordonnée égale à 1 ;
Démonstration
Définition 5 espaces de Hilbert
Un espace de Hilbert est un espace préhilbertien complet pour la norme induite par le
produit scalaire.
Exercice
17 exemple
1. On considère l’espace ℓ2 (Z) des suites complexes de carrés sommables (ie :
+∞).
– Montrer que c’est un espace
∑ vectoriel.
– Montrer que < u|v >= i ui v¯i définit un produit scalaire ;
∑
|un |2 <
2. * Qu’est-ce qu’une suite d’éléments de ℓ2 (Z)? Montrer que si une telle suite converge,
ses composantes convergent. On dira que
3. * On se propose de montrer que ℓ2 (Z) est un espace de Hilbert (c’est à dire un
préhilbertien complet) :
(a) On considère (a(p) )p une suite de ℓ2 (Z). Qu’est ce que l’élément a(p) ? Exprimer
que (a( p))p est une suite de Cauchy de ℓ2 (Z).
(b) Montrer que chaque élément a(p) est une suite convergente dans C. On note αp
sa limite.
(c) Montrer que la suite (a(p) )p converge dans ℓ2 (Z).
4. Pré-requis : la formule de Parseval
Soit C2π l’espace vectoriel des fonctions continues et 2π−périodiques à valeurs complexes ; on considère F l’application qui à tout élément de C2π associe la suite
(cn )n∈Z ) de ses coefficients de Fourier. Montrer que F est une isométrie. En déduire
que si deux fonctions continues et 2π-périodiques ont la même série de Fourier, elles
sont égales.
16
voir corrigé 1
Exercice 18 orthogonal d’un sev dense
pré-requis : densité, théorème d’approximation de Weierstrass
1. Montrer que l’orthogonal d’une partie A de E préhilbertien est réduit à {0} ssi
vect(A) est dense dans E;
2. Soit f une fonction continue sur l’intervalle compact [a, b]. On suppose que, pour
tout entier naturel n,
∫ b
f (t)tn dt = 0.
a
Que peut on en déduire ?
Quel est l’orthogonal de R[X] dans C([a, b], R) muni du produit scalaire :
∫
< f |g >=
b
f (t)g(t) dt?
a
Exercice 19 projection sur un convexe fermé
Soit H un espace de Hilbert et K un convexe fermé de H.
1. On se propose de montrer que pour tout x ∈ H, il existe un élément y ∈ K et un
seul qui réalise la distance de x à K.
(a) Soit δ = inf t∈K ||x − t||. Montrer que si δ = 0, x ∈ K;
(b) On suppose que δ > 0.
i. Montrer qu’il existe une suite (yn )n d’éléments de K telle que lim ||x−yn || =
δ;
ii. Montrer que cette suite est une suite de Cauchy (penser à l’identité du
parallélogramme :
||a + b||2 + ||a − b||2 = 2(||a||2 + ||b||2 ));
iii. En déduire l’existence.
(c) Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :


 y∈K
 y∈K
et


||y − x|| = inf z∈K ||z − x||
(x − y|z − y) ≤ 0 ∀z ∈ K
(d) En déduire que si u ∈ K, v ∈ K vérifient ||u − x|| = ||v − x|| = inf t∈K ||x − t||,
alors u = v.
2. Montrer que dans un espace de Hilbert, tout sous-espace fermé admet un supplémentaire
orthogonal.
Exercice 20 (C([0, 1]), < | >) n’est pas complet
Etudier la suite des fonctions définies sur [0, 1] par
fn (t) = inf (t−2/3 , n);
17
Montrer que c’est une suite de Cauchy dans l’espace préhilbertien E = (C([0, 1]), < | >),
où le produit scalaire est
∫ 1
< f |g >=
f (t)g(t) dt.
0
Converge-t-elle dans E? Dans un autre espace préhilbertien ?
18
4
Formes linéaires sur un espace euclidien ou hermitien.
Théorème 15
Soit E un espace préhilbertien de dimension finie sur K = R ou C.
1. Pour toute forme linéaire ϕ : E → K, il existe un vecteur de u ∈ E et un seul tel que
pour tout x ∈ E,
ϕ(x) =< x|u > .
2. L’application ϕ ∈ E ∗ → u ∈ E, où u est le vecteur qui vérifie ∀x ∈ E, ϕ(x) =< x|u >,
est une bijection, c’est un isomorphisme d’espaces vectoriels si K = R, un antiisomorphisme si K = C.
Remarque : une BON étant choisie, les formes linéaires sur E euclidien ou hermitien ont
une représentation de la forme :
X →t XY ou X →t X Ȳ .
Exercice
21 exemples
1. Soit E euclidien orienté, de dimension 3, B une BON de E, et (u, v) ∈ Er.
– L’application x ∈ E → detB (x, u, v) ∈ R est linéaire.
– Calculer le vecteur w tel que detB (x, u, v) =< x|w >, pour tout x ∈ E.
– Propriétés de (u, v) → w := u ∧ v?
2. Soit T r : Mn (C) → C; Déterminer la matrice T telle que pour tout
M ∈ Mn (C), T r(M ) =< M |T > .
3. Soit sur Cn [X], le produit hermitien,
¯ +
< P |Q >= P (0)Q(0)
∫
1
P ′ (t)Q′¯(t)dt;
0
Déterminer le polynôme A ∈ Cn [X], tel que
∫
∀P ∈ Cn [X],
1
P (t) dt =< P |A >;
0
Exercice 22
On a vu dans l’exercice 19, que dans un espace de Hilbert, H, tout sev fermé admet un
supplémentaire orthogonal.
En déduire que pour toute forme linéaire continue ϕ : H → K, il existe un élément x ∈ H
et un seul tel que
∀y ∈ H, ϕ(y) = (y|x).
19
5
Annexe : l’espace préhilbertien des fonctions périodiques
et continues
Pour mémoire, un exemple de préhilbertien rencontré en analyse
Notations :
on notera C2π l’espace vectoriel des fonctions continues et 2π−périodiques à valeurs complexes ;
Théorème 16 l’espace C2π
Sur C2π , la fonction
1
ψ(f, g) =
2π
∫
2π
¯ dt
f (t)g(t)
0
définit un produit scalaire complexe qui fait de C2π un espace préhilbertien et un espace
normé.
Notations :
1. On note || ||2 la norme associée au produit scalaire.
2. On note PN le sous-espace de C2π formé des polynômes trigonométriques engendré
par les fonctions
(t → eint )−N ≤n≤N
ou par les fonctions
(t → cos(nt))0≤n≤N , (t → sin(nt))1≤n≤N .
Théorème
17 familles orthogonales
– la famille des fonctions (t → eint )n∈Z est orthonormale dans (C2π , || ||2 );
– la projection orthogonale sur PN est l’application f ∈ C2π → SN (f ) où SN (f ) est la
nième somme de Fourier de f définie par :
SN (f ) =
N
∑
k=−N
Théorème
int
ck (f )e
1
, avec cn =
2π
∫
2π
f (t)e−int dt.
0
18
– la famille des fonctions (t → cos(nt))n∈N , (t → sin(nt))n∈N∗ , est orthogonale dans
(C2π , || ||2 );
20
– la projection orthogonale sur PN est l’application f ∈ C2π → SN (f ) où SN (f ) est la
nième somme de Fourier de f définie par :
a0 (f ) ∑
+
(ak (f ) cos(kt) + bk (f ) sin(kt))
2
N
SN (f ) =
k=1
1
avec an =
π
∫
0
2π
1
f (t) cos(nt) dt n ≥ 0 et bn =
π
∫
2π
f (t) sin(nt) dt n ≥ 1.
0
Théorème 19 inégalité de Bessel (fondamental)
Soit f ∈ C2π . Pour tout N ∈ N,
N
∑
|ck | ≤
2
||f ||22
k=−N
Théorème
1
=
2π
∫
2π
|f (t)|2 dt.
0
20 Dans l’espace préhilbertien C2π muni du produit scalaire
∫ 2π
1
¯ dt,
f (t)g(t)
ψ(f, g) =
2π 0
– les polynômes trigonométriques forment une partie dense ;
– la série de Fourier d’une fonction f ∈ C2π converge (en moyenne quadratique) vers cette
fonction ;
– en conséquence de quoi on a (Parseval) :
+∞
∑
|ck (f )| =
2
||f ||22
k=−∞
21
1
=
2π
∫
2π
0
|f (t)|2 dt.
6
Annexe : programmation en MAPLE du procédé de Gram
Schmidt
On se propose de programmer l’algorithme de Gram Schmidt en MAPLE. L’idée est de
construire une fonction GramSchmidt(L,ps) qui prend en arguments une liste dont
les élements forment une partie libre d’un ev E muni du produit scalaire ps := (f, g) →
ps(f, g) = (f |g) et qui retourne une liste Orth formée de la partie orthogonale de E
construite à partir de L par le procédé de Gram Schmidt ; on illustre cela avec des fonctions
polynomiales 3 .
1. Construire les séquences formées de fonctions x− > xk ou d’expressions xk . Qu’en
pensez vous ? Que peut on faire avec unapply ?
2. Définir un produit scalaire
∫
ps := (f, g) →
b
w(t)f (t)g(t) dt
a
qui prendra en argument des fonctions Maple définies sur des flottants
f := x− > f (x); g := x− > g(x);
Construire la liste des premières fonctions de la base canonique de R[X].
3. Écrire une fonction Maple etape(L,ps,O,p) qui prend en arguments une famille
libre L (sous forme d’une liste de fonctions), un produit scalaire ps, une liste de p
(p ≤ n − 1) fonctions orthogonales supposée construite à partir de L par le procédé
de Gram Schmidt et qui retourne la p+1 ième fonction obtenue par ce procédé. On
se contentera d’obtenir une fonction orthogonale aux précédentes sans chercher à la
rendre unitaire.
4. Écrire une fonction GramSchmidt(L,ps) qui couvre l’ensemble des étapes du
procédé. On choisira de normer en fin de calcul. Pour cela on écrira une fonction
normer(ps,f ) et on pourra faire usage de map (normer,O)...
rappel : mieux vaut une boucle for que la fonction sum (sauf s’il s’agit de demander
∑
1
une formule toute prête comme par exemple ∞
n=1 2 ...)
n
5. Tester avec différents produits scalaires et afficher les familles orthonormées ainsi
obtenues :
– polynômes de Tchebychev, associés au produit scalaire :
∫ 1
f (t)g(t)
√
(f |g) =
dt;
1 − t2
−1
– polynômes de Legendre associés au produit scalaire
∫ 1
(f |g) =
f (t)g(t) dt;
−1
3. fichier GramSchmidt.mws
22
– polynômes de Laguerre associés au produit scalaire
∫ ∞
(f |g) =
e−t f (t)g(t) dt;
0
programme MAPLE
commentaires
seq(x^k, k=0..3);
seq(x->x^k, k=0..10);
un piège classique (ici
MAPLE 9) : dans la fonction
x− > xk ,
1, x, x2 , x3
x 7→ xk , ..., x 7→ xk
unapply nous sauve.
L:=[seq(unapply(x^k,x), k=0..8)];
L[3](t);
L := [x → 1, x → x, ..., x → x8 ]
programme MAPLE
commentaires
etape:=proc(L, ps, O, p)
local f, s, e, k;
s:=L[p](x):
for k from 1 to p-1 do
s: s-ps(L[p],O[k])/ps(O[k],O[k])*O[k](x) ;
od;
unapply(s,x);
end:
23
par précaution, on travaille
avec des expressions que l’on
transforme ensuite en fonctions et on évite la fonction
sum
programme MAPLE
commentaires
normer:=f->unapply(f(x)/ps(f,f)^(1/2),x);
GramSchmidt:=proc(L,ps)
local n, s, O, p;
n:=nops(L);
O:=[L[1]];
for p
from 2 to n do
O:=[op(O),etape(L,ps,O,p)];
od;
map(normer,O);
end:
Cette fonction exécute l’initialisation et les calculs de
chaque itération sont confiés à
etape.
La normalisation en toute fin
de calcul construit une famille
orthonormée.
Legendre
∫1
−1 f (t)g(t) dt
√
1/2 2
√ √
1/2 x 2 3
(
)√ √
1/8 x2 − 1/3 8 45
(
)√ √
1/8 x3 − 3/5 x 8 175
(
)
√ √
1
3
4
2
x +
− 6/7 x
128 11025
128
35
(
)
5
10 3 √ √
1
5
x +
x−
x
128 43659
128
21
9
(
)
√
1
5
5 2 15 4 √
6
x −
+
x −
x
512 693693
512
231 11
11
(
)
1
35
105 3 21 5 √ √
7
x −
x+
x −
x
512 2760615
512
429
143
13
(
)
√
1
7
28 2 14 4 28 6 √
8
x +
−
x +
x −
x
32768 703956825
32768
1287 143
13
15
24
7
Corrigés ou démonstrations
Corrigé
1 , l’exercice 17
1. Montrons que ℓ2 (Z) est un sev de l’ensemble des suites indexées sur Z...
– il contient la suite nulle ;
– il est stable par multiplication par un scalaire ;
– si (an ) et (bn ) sont de carrés sommables, observons que
1
|an ||bn | ≤ (|an |2 + |bn |2 ),
2
et qu’en conséquence
∑
∑(
∑(
)
)
|an + bn |2 =
|an |2 + 2R(an b¯n ) + |bn |2 ≤ 2
|an |2 + |bn |2
2. Produit scalaire :
∑
1
– < u|v >= (an b¯n ) est absolument convergente car |an ||bn | ≤ (|an |2 + |bn |2 );
2
– (u, v) →< ∑
u|v > est linéaire à gauche et < v|u >= < u|v >;
– < u|u >= |un |2 ≥ 0;
– < u|u >= 0 ⇒ ∀n, |un |2 = 0...
3. Cet espace préhilbertien est complet :
Considérons une suite de Cauchy d’éléments de ℓ2 (Z) : (ap )p où chaque a(p) =
(p)
(an )n∈Z .
Dire que (a(p) )p est une suite de Cauchy, c’est dire que
∑
(q) 2
∀ε > 0, ∃N, p, q ≥ N ⇒
|a(p)
n − an | ≤ ε.
– il apparaı̂t alors, puisque pour n0 fixé,
(q) 2
|a(p)
n0 − an0 | ≤
∑
2
|an(p) − a(q)
n | ,
(p)
que chaque suite numérique (an )p est une suite de Cauchy. Notons alors
xn0 = lim a(p)
n0 .
p→+∞
– Vérifions que (xn )n ∈ ℓ2 (Z) et que c’est la limite de (a(p) )p .
– la suite (a(p) )p est bornée dans ℓ2 (Z) puisque c’est une suite de Cauchy ;
– on sait que, pour N fixé, q quelconque,
(
N
∑
k=−N
)1/2
|xk |2
(
≤
N
∑
k=−N
)1/2
|xk −
(q)
ak |2
+
(N
∑
)1/2
(q)
|ak |2
,
k=0
c’est là l’inégalité triangulaire pour dans ℓ2 (Z) pour des suites nulles pour |k| >
N;
25
– On majore alors par
(
)1/2
N
∑
|xk −
(q)
ak |2
+ M,
k=−N
et par passage à la limite lorsque q tend vers l’infini, nous avons pour tout N,
N
∑
|xk |2 ≤ M 2 .
k=0
On a bien x ∈ ℓ2 (Z).
– Enfin, pour tout ε, il existe un rang N tel que
p, q ≥ N ⇒ ||a(q) − a(p) || ≤ ε,
et comme
||x − a(p) || ≤ ||x − a(q) || + ||a(q) − a(p) ||,
par passage à la limite ||x − a(p) || ≤ ε si p ≥ N...
26
Index
,5
Cauchy-Schwarz, 4
Hilbert
espace, 16
espace, exemples , 16
inégalité
de Bessel, 10
matrice
de Gram, 10
norme subordonnée
projection orthogonale, 10
orthogonal
d’une partie, 5
orthogonal
d’une partie, 27
produit scalaire
matriciel, 3
projection
sur un convexe fermé, 17
projection orthogonale
sur un sev de dim finie, 10
supplémentaire
orthogonal, 9, 10
topologie
dans un préhilbertien, 16
torseurs, 6
27