Géométrie 1 : Espaces Préhilbertiens MP

G´eom´etrie 1 : Espaces Pr´ehilbertiens ∗
MP
17 mars 2009
Table des mati`eres
1 Espaces pr´ehilbertiens 2
1.1 Espaces pr´ehilbertiens r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Espaces pr´ehilbertiens complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Orthogonalit´e 5
2.1 G´en´eralit´es .................................... 5
2.2 Construction de bases orthogonales : le proc´ed´e de Gram Schmidt . . . . . 7
2.3 Coordonn´ees et changement de base orthonorm´ees, . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Suppl´ementaire orthogonal d’un sev de dimension finie . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Projection orthogonale sur un sev de dimension finie . . . . . . . . . . . . . 10
2.6 Distance `a un sous-espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.7 Sym´etries, r´eflexions et projections orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Topologie des espaces pr´ehilbertiens, espaces de Hilbert 16
4 Formes lin´eaires sur un espace euclidien ou hermitien. 19
5 Annexe : l’espace pr´ehilbertien des fonctions p´eriodiques et continues 20
6 Annexe : programmation en MAPLE du proc´ed´e de Gram Schmidt 22
7 Corrig´es ou d´emonstrations 25
∗Prehilbertiens.teX
1

1 Espaces pr´ehilbertiens
1.1 Espaces pr´ehilbertiens r´eels
D´efinition 1 Un produit scalaire sur un R-ev Eest une application
ϕ(x, y)∈E2→ϕ(x, y) =< x|y >∈R,
telle que
–ϕest sym´etrique,
–ϕest bilin´eaire,
–ϕest positive, en ce sens que, pour tout x∈E, ϕ(x, x)≥0,
–ϕest une forme bilin´eaire ”d´efinie” en ce sens que pour tout x∈E,
ϕ(x, x) = 0 ⇒x= 0.
Un espace muni d’un produit scalaire est un espace pr´ehilbertien r´eel, un espace euclidien
s’il est de dimension finie.
Th´eor`eme 1 in´egalit´es de Cauchy-Schwarz et in´egalit´e de Minkowski (ou triangulaire)
•Soit Eun R-ev muni d’un produit scalaire ϕ, alors
ϕ(x, y)2≤ϕ(x, x)ϕ(y, y),
l’´egalit´e ayant lieu ssi xet ysont li´es.
•En notant ||x|| =ϕ(x, x),on a, Pour tout couple (x, y)∈E2,
||x+y|| ≤ ||x|| +||y||.
•L’application x∈E→ ||x|| =ϕ(x, x) est une norme sur E.
D´emonstration classique, voir le cas complexe pour une d´emonstration g´en´erale.
Exercice/lllustration 1 Quelques exemples
1. Dans Rn, < X|Y >=xiyi;
2. Dans R[X] on aura une mine de produits scalaires, d`es lors que les fonctions ω, ωi
sont continues et strictement positives en tout point :
< P |Q >=1
0
w(t)P(t)Q(t)dt,
< P |Q >=1
0
w1(t)P(t)Q(t)dt +1
0
w2(t)P′(t)Q′(t)dt...
3. Dans C([a, b],R),
< f|g >=1
0
w(t)f(t)g(t)dt
2

4. Dans C1([a, b],R),
< f|g >=1
0
w1(t)f(t)g(t)dt +1
0
w2(t)f′(t)g′(t)dt
5. L’ensemble des suites r´eelles (ui)i∈Ntelles que u2
i<+∞,forme un espace vectoriel
pr´ehilbertien avec le produit scalaire
⟨u|v⟩=
∞
i=0
uivi...
Voir l’exercice ??
6. Dans Mn(R),le produit scalaire
< A|B > =T r(AtB) =
n
i=1
n
j=1
ai,jbi,j .
voir exercice 1
Exercice 1 D’apr`es Centrale 2000, Maths2 ;
1. Montrer que l’application ϕ:Mn(R)× Mn(R)→R,d´efinie par :
ϕ(A, B) = T r(AtB)
est un produit scalaire. On note || || la norme associ´ee. Exprimer ||A||2en fonction
des (ai,j).
2. Soit Ω un ´el´ement de On(R).Montrer que pour toute matrice A,
||ΩA|| =||A||.
Prouver que si Aest une matrice sym´etrique, la matrice B=tΩAΩ est elle-mˆeme
sym´etrique et que l’on a, en notant (bi,j ) les coefficients de B:
n
i=1
n
j=1
b2
i,j =
n
i=1
n
j=1
a2
i,j.
1.2 Espaces pr´ehilbertiens complexes
D´efinition 2 Un produit hermitien (ou produit scalaire complexe) sur un C−ev Eest
une application
ϕ(x, y)∈E2→ϕ(x, y) =< x|y >∈C,
telle que
– pour tout (x, y)∈E2, ϕ(x, y) = ϕ(y, x)
–ϕest lin´eaire `a gauche, 1
–ϕest positive, en ce sens que, pour tout x∈E, ϕ(x, x)≥0,
1. Attention, certains disent `a droite ! ! !
3

–ϕest une forme lin´eaire ”d´efinie” en ce sens que pour tout x∈E,
ϕ(x, x) = 0 ⇒x= 0.
On dit qu’un espace muni d’un produit scalaire complexe est un espace pr´ehilbertien
complexe, un espace hermitien s’il est de dimension finie.
Th´eor`eme 2 in´egalit´es de Cauchy-Schwarz et de Minkowski
•Soit Eun C−ev muni d’un produit scalaire ϕ, alors
|ϕ(x, y)|2≤ϕ(x, x)ϕ(y, y),
l’´egalit´e ayant lieu ssi sont li´es .
•En notant ||x|| =ϕ(x, x),on a, Pour tout couple (x, y)∈E2,
||x+y|| ≤ ||x|| +||y||.
•L’application x∈E→ ||x|| =ϕ(x, x) est une norme sur E.
Exercice 2 d´emonstration de l’in´egalit´e de C-S
1. Etudier le polynˆome de la variable r´eelle, `a coefficients r´eels P(λ) = ||x+λy||... En
d´eduire le cas d’´egalit´e.
2. Consid´erer eiθy...
Exercice 3 Quelques exemples
1. Dans Rn, < X|Y >=xi¯yi;
2. Dans R[X] on aura les produits scalaires :
< P |Q >=1
0
w(t)P(t)¯ Q(t)dt,
< P |Q >=1
0
w1(t)P(t)¯ Q(t)dt +1
0
w2(t)P′(t)¯ Q′(t)dt...
3. Dans C([a, b],R),
< f|g >=1
0
w(t)f(t)¯ g(t)dt
4. Dans C1([a, b],R),
< f|g >=1
0
w1(t)f(t)¯ g(t)dt +1
0
w2(t)f′(t)¯ g′(t)dt
4

5. l’ensemble des suites complexes (ui)i∈Ntelles que |ui|2<+∞,forment un espace
vectoriel pr´ehilbertien avec le produit scalaire
⟨u|⟩ =
∞
i=0
uivi...
Voir l’exercice ??
6. Dans Mn(C),le produit scalaire
< A|B >=T r(At¯ B) =
n
i=1
n
j=1
ai,j ¯ bi,j.
2 Orthogonalit´e
2.1 G´en´eralit´es
D´efinition 3 Soit (E, < |>) un espace pr´ehilbertien r´eel ou complexe de produit sca-
laire not´e < x|y > . On dit que deux ´el´ements xet yde Esont orthogonaux ssi < x|y >= 0.
Th´eor`eme 3
•Soit Aune partie non vide de E. L’ensemble des vecteurs de Eorthogonaux `a tous les
vecteurs de Aest une sev de E. On le note ⊥A(= {x∈E;∀z∈A, < x|z >= 0}).
•⊥Aferm´e.
d´emonstration
•⊥Aest un sev de Ecar :
- 0 ∈A;
- si x∈⊥A, y ∈⊥A, λ ∈K,pout tout a∈A, (x+λy|a) = (x|a) + λ(y|a) = 0...
•⊥Aest ferm´e : en effet, si (xn)nest une suite d’´el´ements de Aqui converge vers ℓ∈E,
pour tout a∈A, on a : lim(xn|a) = (ℓ|a) = 0,ce qui ´etablit que ℓ∈⊥A.
Exercice 4
1. Montrer que pour toute partie non vide, ⊥A=⊥vectA;
2. Montrer que, si A⊂Balors ⊥B⊂⊥A;
3. Soit Aen sev de E. Montrer que A⊂⊥⊥A; pour une r´eciproque voir le cas o`u A
est un sev de dimension finie apr`es le th´eor`eme 10.
4. Montrer que la r´eciproque peut-ˆetre fausse lorsque Aest de dimension infinie.
Indication : toute fonction continue sur [0,1] telle que
1
0
f(t)tndt = 0
est nulle (c’est une cons´equence du th´eor`eme de Weierstrass)...
5