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Feuille d’exercices n˚26 - ESPACES VECTORIELS EUCLIDIENS
Sauf mention contraire, Eest un Respace vectoriel muni d’un produit scalaire
not´e . . et donc la norme associ´ee est not´ee ..
PRODUITS SCALAIRES
Exercice 289. Parmi les applications ϕci-dessous d´eterminer lesquelles d´e-
finissent un produit scalaire sur les espaces Econsid´er´es.
1. ER2et ϕ x, y , x , y x x y y .
2. ER2et ϕ x, y , x , y 2xx yy .
3. ER3et ϕ x, y, z , x , y , z xx , yy , zz .
4. ER3et ϕ x1, y1, z1, x2, y2, z22x1x2y1y2z1z2z1x2x1z2.
5. ERXet ϕ P, Q P 0Q0
6. ER2Xet ϕ P, Q P 1Q1P0Q0P1Q1
7. ERnX,ak0k n une famille de r´eels distincts et :
ϕ P, Q
n
k0
P akQ ak
8. EC00,1,Ret ϕ f, g
1
0
f t g t e tdt
9. El’ensemble des fonctions de classe C1sur 0,1 qui s’annule en 0 et
ϕ f, g
1
0
f t g t dt
Exercice 290.
Soit uet vdeux vecteurs de E. Montrer que u v u v si et seulement
si uet vsont colin´eaires et de mˆeme sens.
Exercice 291.
Soient aun vecteur unitaire d’un espace pr´ehilbertien r´eel Emuni de son pro-
duit scalaire ., . ,kun r´eel et ϕ:E E Rl’application d´etermin´ee par :
ϕ x, y x, y k x, a y, a
Donner une condition n´ecessaire et suffisant pour que ϕsoit un produit scalaire.
Exercice 292.
Soit Eun espace euclidien, f, g :E E deux applications quelconques.
On suppose que :
x, y E2, f x y x g y .
Montrer que fet gsont lin´eaires.
Exercice 293. Soit Eun espace vectoriel euclidien, a E non nul et λR.
1. R´esoudre a x 0 d’inconnue x E.
2. En d´eduire les solutions de a x λ d’inconnue x E.
Exercice 294.
Soit Eun espace euclidien, existe-t-il des endomorphismes u0 de Etel que :
x E, u x x 0?
NORME EUCLIDIENNE
Exercice 295.
Soient x, y deux vecteurs non nuls d’un espace euclidien. ´ Etablir :
x
x2
y
y2
x y
x y
Exercice 296. D´emontrer que pour tout x1, , xnRn:
n
k1
xk
2
n
n
k1
x2
k
avec ´egalit´e si et seulement si tous les xisont ´egaux.
Exercice 297.
Soit x1, , xn0 tels que x1xn1. Montrer que
n
k1
1
xk
n2.
Pr´eciser les cas d’´egalit´e.
Exercice 298.
Eun espace euclidien et f:E E une application telle que :
f0 0 et x, y E2, f x f y x y
Montrer que fest lin´eaire.
PCSI - Lyc´ee de l’Essouriau 1 2014-2015

Feuille d’exercices n˚26 - ESPACES VECTORIELS EUCLIDIENS
FAMILLES ORTHONORM´ EES
Exercice 299. Soit e1, e2, . . . , enune famille de vecteurs unitaires d’un es-
pace pr´ehilbertien r´eel telle que :
x E, x 2
n
i1
eix2.
Montrer que e1, e2, . . . , enconstitue une base orthonorm´ee de E.
Exercice 300.
1. (a) Montrer que nN, il existe un unique polynˆome Tntel que :
θR, Tncos θcos nθ
(on pourra ´etablir une relation de r´ecurrence entre Tn1, Tnet Tn1)
(b) Quel est le degr´e de Tn?
2. Montrer que, pour tout couple P, Q RX2l’application :
ϕ:P, Q
1
1
P t Q t
1t2dt
est un produit scalaire sur RX.
3. Soient m, n N, calculer ϕ Tm, Tn, que peut-on en d´eduire ?
Exercice 301. On d´efinit une application ϕsur RXRXpar :
ϕ P, Q 1
2π
π
π
P eiθ Q eiθ dθ
1. Montrer que ϕest un produit scalaire sur RX.
2. Montrer que la famille Xk
kNest une famille orthonorm´ee pour le produit
scalaire pr´ec´edent.
3. Soit Q Xnan1Xn1. . . a0. Calculer Q2.
4. On pose Msup
z1
Q z . Montrer que M1 et ´etudier le cas d’´egalit´e.
Exercice 302.
R3est muni de sa structure euclidienne canonique.
Soit P x, y, z R3, x y 2z0 . D´eterminer une base Ppuis `a l’aide
du proc´ed´e de Gram-Schmidt d´eterminer une base orthonormale de P.
Exercice 303.
R4est muni de sa structure euclidienne canonique.
Soit E x, y, z, t R4, x y z t 0 .
1. Soit u1,1,0,0, v 1,0,1,0 et w1,0,0,1 .
Montrer que B1u, v, w est une base de E. Est-elle orthonorm´ee ?
2. Avec le proc´ed´e de Gram-Schmidt d´eterminer une base orthogonale de E.
Exercice 304 (CCP MP).
1. ´ Enoncer le proc´ed´e d’orthogonalisation de Gram-Schmidt.
2. Orthonormaliser la famille 1, X, X2pour le produit scalaire :
ϕ P, Q
1
1
P t Q t dt
ORTHOGONALIT´ E
Exercice 305. Soit Eun espace euclidien et uLEtel que :
x E, f x x 0.
Comparer Ker fet Im f.
Exercice 306 (D’apr`es CCP).
On pose EC20,1,R.
1. Montrer que l’application d´efinie pour f, g E2par :
f g
1
0
f t g t f t g t dt
est un produit scalaire.
2. Soit V f E f 0f1 0 et W f E f f .
Montrer que Vet Wsont des s.e.v. suppl´ementaires et orthogonaux de E.
PCSI - Lyc´ee de l’Essouriau 2 2014-2015

Feuille d’exercices n˚26 - ESPACES VECTORIELS EUCLIDIENS
Exercice 307.
Soit Eun espace euclidien et fLE. On suppose que fest un projecteur.
montrer qu’il est orthogonal si et seulement si : x E, f x x .
Indication : On pourra v´erifier que ker p(Im p) .
Exercice 308. Soit Eun espace vectoriel euclidien puis Fet Gdeux s.e.v.
1. Montrer que F G F G .2. Que dire de F G ?
PROJECTEURS ORTHOGONAUX
Exercice 309. On consid`ere R4muni de sa structure euclidienne canonique et
Fle s.e.v. de R4d´efini par F x, y, z, t R4x y z t x y z t 0 .
Soit Bla base canonique de R4.
1. D´eterminer une base orthonormale du suppl´ementaire orthogonal de F.
2. ´ Ecrire la matrice dans Bde la projection orthogonale sur F.
3. ´ Ecrire la matrice dans Bde la sym´etrie orthogonale par rapport `a F.
DISTANCE ` A UN S.E.V.
Exercice 310.
L’espace R3est muni de sa structure euclidienne usuelle.
Soit le sous-espace FR3d´efini par l’´equation x2z0.
1. D´eterminer une base orthonormale de F.
2. D´eterminer les coordonn´ees du projet´e orthogonal de v1,1,1 sur F.
3. Quelle est la distance entre vet F?
Exercice 311.
L’espace R4est muni de sa structure euclidienne canonique.
Soit le sous-espace F x, y, z, t R4, x z 0 et v1,1,1,1 .
D´eterminer la distance de v`a F.
Exercice 312.
1. Montrer que P Q P 0Q0P1Q1P2Q2 d´efinit un produit
scalaire sur R2X.
2. Calculer d X2, F o`u F aX b a, b R2
DES ANGLES PAS TR` ES DROITS DU PLAN
Exercice 313 (Une g´eom´etrie un peu diff´erente...).
Soit ER2et l’application ϕd´efinie de E E vers Rpour tout u x, y R2
et v x , y R2par : ϕ u, v xx 2yy .
1. D´emontrer que ϕd´efinit un produit scalaire sur E.
2. D´eterminer et tracer les ensembles suivants :
(a) Fo`u Fest la droite engendr´ee par le vecteur 1,1 .
(b) L’ensemble des vecteurs x, y E de norme 1.
3. Notons e11,0 et e20,1 les vecteurs de la base canonique de R2.
La base e1, e2est-elle orthonormale ? Que donne le proc´ed´e d’orthonor-
malisation de Gram-Schmidt appliqu´e `a e1, e2?
4. D´eterminer les coordonn´ees du projet´e orthogonal de u x, y sur la
droite engendr´ee par e2.
DANS DU NON-EUCLIDIEN
Exercice 314.
Soit EC0,1,Reuclidien muni de f g
1
0
f t g t dt.
Pour f E et tout α0,1 on pose fαt
t
αf t si t0, α
f t si t α, 1.
1. Justifier que fαappartient `a E.
2. Montrer que si pour tout α0,1 , f fα0 alors fest la fonction nulle.
3. Soit F f E , f 0 0 . Montrer que F0E. Que dire ?
PCSI - Lyc´ee de l’Essouriau 3 2014-2015