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Feuille d’exercices n˚26 - ESPACES VECTORIELS EUCLIDIENS
Sauf mention contraire, E est un R espace vectoriel muni d’un produit scalaire Exercice 292.
noté p.|.q et donc la norme associée est notée }.}.
Soit E un espace euclidien, f, g : E Ñ E deux applications quelconques.
On suppose que :
@px, yq P E 2, pf pxq|yq px|gpyqq.
PRODUITS SCALAIRES
Montrer que f et g sont linéaires.
Exercice 289. Parmi les applications ϕ ci-dessous déterminer lesquelles dé-
Exercice 293. Soit E un espace vectoriel euclidien, a P E non nul et λ P R.
finissent un produit scalaire sur les espaces E considérés.
1. Résoudre pa|xq 0 d’inconnue x P E.
2. En déduire les solutions de pa|xq λ d’inconnue x P E.
R2 et ϕppx, yq, px1, y1qq x x1 y y1.
E R2 et ϕppx, y q, px1 , y 1 qq 2xx1 yy 1 .
E R3 et ϕppx, y, z q, px1 , y 1 , z 1 qq pxx1 , yy 1 , zz 1 q.
E R3 et ϕppx1 , y1 , z1 q, px2 , y2 , z2 qq 2x1 x2 y1 y2 z1 z2 z1 x2 x1 z2 .
E RrX s et ϕpP, Qq P p0qQp0q
E R2 rX s et ϕpP, Qq P p1qQp1q P p0qQp0q P p1qQp1q
E Rn rX s, pak q0¤k¤n une famille de réels distincts et :
ņ
ϕpP, Qq P pak qQpak q
k 0
»1
0
E C pr0, 1s, Rq et ϕpf, g q f ptqg ptqet dt
0
E l’ensemble des fonctions de classe C 1 sur r0, 1s qui s’annule en 0 et
»1
ϕpf, g q f 1 ptqg 1 ptq dt
1. E
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Exercice 294.
Soit E un espace euclidien, existe-t-il des endomorphismes u 0 de E tel que :
@x P E, pupxq|xq 0?
NORME EUCLIDIENNE
Exercice 295.
Soient x, y deux vecteurs non nuls d’un espace euclidien. Établir :
x
}x y}
y
2 2 }x} }y}
}x}}y}
Exercice 296. Démontrer que pour tout px1 , , xn q P Rn :
ņ 2 ņ xk
¤n
x2k
Exercice 290.
Soit u et v deux vecteurs de E. Montrer que }u
si u et v sont colinéaires et de même sens.
v } }u}
k 1
0
k 1
avec égalité si et seulement si tous les xi sont égaux.
}v} si et seulement
Exercice 297.
Soit x1 , , xn
¡ 0 tels que x1 xn
1. Montrer que
ņ
k 1
Exercice 291.
Préciser les cas d’égalité.
1
xk
¥ n2 .
Soient a un vecteur unitaire d’un espace préhilbertien réel E muni de son proExercice 298.
duit scalaire x., .y, k un réel et ϕ : E E Ñ R l’application déterminée par :
E un espace euclidien et f : E Ñ E une application telle que :
ϕpx, y q xx, y y k xx, ayxy, ay
f p0q 0 et @px, y q P E 2 , }f pxq f py q} }x y }
Donner une condition nécessaire et suffisant pour que ϕ soit un produit scalaire. Montrer que f est linéaire.
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2014-2015
Feuille d’exercices n˚26 - ESPACES VECTORIELS EUCLIDIENS
Exercice 302.
FAMILLES ORTHONORMÉES
Exercice 299. Soit pe1 , e2 , . . . , en q
pace préhilbertien réel telle que :
R3 est muni de sa structure euclidienne canonique.
une famille de vecteurs unitaires d’un es- Soit P tpx, y, z q P R3 , x y 2z 0u. Déterminer une base P puis à l’aide
du procédé de Gram-Schmidt déterminer une base orthonormale de P .
ņ
Exercice 303.
R4 est muni de sa structure euclidienne canonique.
Soit E tpx, y, z, tq P R4 , x y z t 0u.
@x P E, }x} pei|xq2.
2
i 1
Montrer que pe1 , e2 , . . . , en q constitue une base orthonormée de E.
1. Soit u p1, 1, 0, 0q, v p1, 0, 1, 0q et w p1, 0, 0, 1q.
Montrer que B1 pu, v, wq est une base de E. Est-elle orthonormée ?
Exercice 300.
1. (a) Montrer que @n P N, il existe un unique polynôme Tn tel que :
@θ P R,
2. Avec le procédé de Gram-Schmidt déterminer une base orthogonale de E.
Exercice 304 (CCP MP).
Tn pcos θq cospnθq
(on pourra établir une relation de récurrence entre Tn
1. Énoncer le procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt.
1 , Tn
2. Orthonormaliser la famille p1, X, X 2 q pour le produit scalaire :
et Tn1 )
(b) Quel est le degré de Tn ?
ϕpP, Qq 2. Montrer que, pour tout couple pP, Qq P RrX s2 l’application :
» 1 P ptqQptq
?
ϕ : pP, Qq ÞÑ
dt
1 1 t 2
est un produit scalaire sur RrX s.
3. Soient m, n P N, calculer ϕpTm , Tn q, que peut-on en déduire ?
Exercice 301. On définit une application ϕ sur RrX s RrX s par :
»
1 π
ϕpP, Qq P peiθ qQpeiθ q dθ
2π
@x P E, pf pxq|xq 0.
Comparer Ker f et Im f .
Exercice 306 (D’après CCP).
On pose E
4. On pose M
»1
pf |gq pf ptqgptq
0
a0 . Calculer }Q}2 .
P E 2 par :
f 1 ptqg 1 ptqq dt
est un produit scalaire.
2. Soit V tf P E | f p0q f p1q 0u et W tf P E | f 2 f u.
Montrer que V et W sont des s.e.v. supplémentaires et orthogonaux de E.
sup |Qpzq|. Montrer que M ¥ 1 et étudier le cas d’égalité.
|z|1
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C 2pr0, 1s, Rq.
1. Montrer que l’application définie pour f, g
2. Montrer que la famille pX k qkPN est une famille orthonormée pour le produit
scalaire précédent.
...
P ptqQptq dt
Exercice 305. Soit E un espace euclidien et u P LpE q tel que :
1. Montrer que ϕ est un produit scalaire sur RrX s.
an1 X n1
1
ORTHOGONALITÉ
π
3. Soit Q X n
»1
2
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Exercice 307.
DES ANGLES PAS TRÈS DROITS DU PLAN
Soit E un espace euclidien et f P LpE q. On suppose que f est un projecteur.
Exercice 313 (Une géométrie un peu différente...).
montrer qu’il est orthogonal si et seulement si : @x P E, }f pxq} ¤ }x}.
K
Soit E R2 et l’application ϕ définie de E E vers R pour tout u px, y q P R2
Indication : On pourra vérifier que ker p € (Im p) .
et v px1 , y 1 q P R2 par : ϕpu, v q xx1 2yy 1 .
Exercice 308. Soit E un espace vectoriel euclidien puis F et G deux s.e.v.
1. Démontrer que ϕ définit un produit scalaire sur E.
1. Montrer que pF GqK F K X GK .
2. Que dire de pF X GqK ?
2. Déterminer et tracer les ensembles suivants :
(a) F K où F est la droite engendrée par le vecteur p1, 1q.
PROJECTEURS ORTHOGONAUX
(b) L’ensemble des vecteurs px, y q P E de norme 1.
Exercice 309. On considère R4 muni de sa structure euclidienne canonique et
3. Notons e1 p1, 0q et e2 p0, 1q les vecteurs de la base canonique de R2 .
La base pe1 , e2 q est-elle orthonormale ? Que donne le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt appliqué à pe1 , e2 q ?
F le s.e.v. de R4 défini par F tpx, y, z, tq P R4 | x y z t x y z t 0u.
Soit B la base canonique de R4 .
1. Déterminer une base orthonormale du supplémentaire orthogonal de F .
4. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de u
droite engendrée par e2 .
2. Écrire la matrice dans B de la projection orthogonale sur F .
3. Écrire la matrice dans B de la symétrie orthogonale par rapport à F .
Exercice 314.
Exercice 310.
C pr0, 1s, Rq euclidien muni de pf |gq #
Pour f P E et tout α Ps0, 1r on pose fα ptq L’espace
est muni de sa structure euclidienne usuelle.
Soit le sous-espace F € R3 défini par l’équation x 2z 0.
p1, 1, 1q sur F .
3. Soit F
R4
L’espace
est muni de sa structure euclidienne canonique.
Soit le sous-espace F tpx, y, z, tq P R4 , x z 0u et v p1, 1, 1, 1q.
Déterminer la distance de v à F .
2. Calculer dpX 2 , F q où F
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taX
P p1qQp1q
b
f ptqg ptq dt.
t
f ptq si t P r0, αr
.
α
f ptq si t Psα, 1s
2. Montrer que si pour tout α Ps0, 1r, pf |fα q 0 alors f est la fonction nulle.
Exercice 311.
1. Montrer que pP |Qq P p0qQp0q
scalaire sur R2 rX s.
0
1. Justifier que fα appartient à E.
3. Quelle est la distance entre v et F ?
Exercice 312.
»1
Soit E
R3
2. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de v
sur la
DANS DU NON-EUCLIDIEN
DISTANCE À UN S.E.V.
1. Déterminer une base orthonormale de F .
px, yq
tf P E , f p0q 0u. Montrer que F K t0E u. Que dire ?
P p2qQp2q définit un produit
| pa, bq P R2u
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