Feuille d`exercices 5 Espaces de Hilbert

Universit´e Paris 13- Sup Galil´ee Ann´ee universitaire 2013-2014
MACS 1
Math´ematiques
Feuille d’exercices 5
Espaces de Hilbert
Exercice 1
Soit E=C([0,1]; R),montrer, pour tout fde E,
l’in´egalit´e
Z1
0
f(t) sin πtdt
≤1
√2Z1
0|f(t)|2dt
1
2.
Exercice 2
Soit Eun espace vectoriel r´eel euclidien, muni d’un pro-
duit scalaire (x, y)7→ hx|yiet de la norme || · || associ´ee.
1) ´ Etant donn´es x, y ∈E, montrer que yet zsont ortho-
gonaux si et seulement si
||y|| ≤ ||y+λz|| pour tout r´eel λ.
2) Soient Fet Gdeux sous-espaces suppl´ementaires de
E, avec F6={0},et Ple projecteur de Esur Fpa-
rall`element `a G. Montrer que Fet Gsont orthogonaux
si et seulement si Pest continu et de norme ´egale `a 1.
Exercice 3
Soient Hun espace pr´ehilbertien, fun ´el´ement de Het
(fn) une suite dans H. Montrer que, lorsque ntend vers
l’infini, (fn) converge vers fpour la norme de Hsi et
seulement si
||fn|| → ||f|| et hfn|fi → ||f||2.
Exercice 4
Soit E=C([−1,1]; R) muni du produit scalaire
hf|gi=Z1
−1
f(x)g(x)dx
et Hle sous espace vectoriel des fonctions impaires.
D´eterminer l’orthogonal H⊥de H.
Exercice 5
Soit El’espace pr´ehilbertien sur Rdes fonctions x7→
f(x) d´efinies et continues pour 0 ≤x≤1,muni du pro-
duit scalaire
hf|gi=Z1
0
f(x)g(x)dx
et de la norme ||f||2=phf|fi.
Soit Fle sous-espace vectoriel des f∈Etelles que, pour
tout xv´erifiant 1
2≤x≤1,on ait f(x) = 0.
1. Montrer que Fest un ferm´e dans E.
2. a) Quel est l’orthogonal (F⊥) de Fdans E?
b) Quel est l’orthogonal de F⊥dans E?
c) Toute f∈Es’´ecrit-elle f=g+h, o`u g∈Fet
h∈F⊥?
3. Soit f∈E. On appelle projection orthogonale de f
sur F, si elle existe, une fonction g∈Ftelle que f−g
appartienne `a F⊥.
a) La fonction x7→ x−1
2a-t-elle une projection or-
thogonale sur F?
b) La fonction x7→ 1 a-t-elle une projection orthogo-
nale sur F?
c) Trouver une condition n´ecessaire et suffisante
simple sur f∈E,
pour que fait une projection orthogonale sur F?
Exercice 6
Soit Eun espace pr´ehilbertien complexe, et A:E→E
une application lin´eaire. Montrer que si pour tout xl’on
a||Ax|| =||x||,alors, pour tout xet tout yl’on a hx|yi=
hAx|Ayi.Montrer que si, de plus, Aest surjective, alors
pour toute partie Ude El’´egalit´e A(U⊥)=(A(U))⊥a
lieu.
Exercice 7
Dans l2on consid`ere l’ensemble : F={x= (xk)k∈N∈
l2;x2k=x2k+1}.
1) V´erifier que Fest un sous espace vectoriel ferm´e de
l2.
2) D´ecrire F⊥.
3) D´ecomposer xsuivant Fet F⊥.
Exercice 8
Soit Hl’espace L2([0, π]),muni du produit scalaire
hf|gi=Zπ
0
f(x)g(x)dx et de la norme associ´ee.
1. On note e1et e2les fonctions de Hd´efinies par
e1(x) = r2
πcos xet e2(x) = r2 πsin x.
1

V´erifier que (e1, e2) est orthonorm´e.
2. Soit, pour toute fonction fde Het pour tout x∈[0, π],
Af(x) = Zπ
0
sin(x+t)f(t)dt.
Dire bri`evement pourquoi on d´efinit ainsi un op´erateur
lin´eaire continu Ade Hdans lui-mˆeme. Exprimer Af en
fonction des produits scalaires hf|e1iet hf|e2i.
3) En d´eduire la valeur de ||A||.
Exercice 9
On consid`ere l’espace L2([−1,1]),muni du produit sca-
laire
hf|gi=Z1
−1
f(x)g(x)dx
et de la norme associ´ee. Pd´esigne l’espace des polynˆomes
de degr´e ≤2,pris comme sous espace de L2([−1,1]).
Soit, pour toute fonction fde L2([−1,1]) et pour tout
x∈[−1,1],
Af(x) = Z1
−1
(x2+xy +y2)f(y)dy.
1. V´erifier qu’on d´efinit ainsi un op´erateur continu Ade
L2([−1,1]) dans lui-mˆeme, que l’image de Aest contenue
dans Pet que Af = 0 pour toute fonction forthogonale
`a P.
2. En d´eduire que, si fest une fonction propre de A
correspondant `a une valeur propre λnon-nulle, fappar-
tient `a P.Trouver toutes les valeurs propres et, pour
chaque valeur propre non nulle, un vecteur propre de
norme 1. V´erifier qu’on obtient ainsi un syst`eme ortho-
norm´e (e1, e2, e3).
3. Pour tout f∈L2([−1,1]),donner l’expression de Af
en fonction des produits scalaires hf|eii.En d´eduire la
norme de A.
Exercice 10
Soit Hun espace de Hilbert et Aun endomorphisme
continu de H.
a) Montrer que la forme lin´eaire φy:x7→ hy|Axiest
continue. En d´eduire qu’il existe un vecteur A∗ytel que
∀x∈H, hy|Axi=hA∗y|xi.
b) Montrer que A∗est continu.
c) V´erifier que (A∗)∗=Aet ||A∗|| =||A||.
d) Si H=Cnavec le produit scalaire hy|xi=
n
X
i=1
xiyi.
Calculer la matrice de A∗dans la base canonique en fonc-
tion de celle de A.
Exercice 11
On note Rn[X] l’espace vectoriel des polynˆomes de degr´e
inf´erieur ou ´egal `a n, `a coefficients r´eels. On se donne
n+ 1 nombres r´eels distincts a0,··· , an,et on pose pour
fet gdans Rn[X] :
hf|gi=
n
X
i=0
f(ai)g(ai).
1) Montrer qu’on d´efinit ainsi un produit scalaire sur
Rn[X].
2)
(a) Soient b0,··· , bn(n+ 1) nombres r´eels ( non
n´ec´essairement distincts), rappeler comment on peut
trouver un polynˆome Lde Rn[X] v´erifiant L(ai) = bi
pour i= 0,··· , n;
( polynˆomes d’interpolation de Lagrange).
(b) Montrer que pour tout k≤n, il existe fk∈Rk[X]
tel que pour tout g∈Rk[X] l’on ait
n
X
i=0
(fk(ai)−bi)2≤
n
X
i=0
(g(ai)−bi)2.
Exercice 12
Soit Eun espace de Hilbert, Bla boule ferm´ee de centre
x0et de rayon R, F le sous espace vectoriel engendr´e par
un syst`eme orthonorm´e (e1,··· , en) de E.
1) D´eterminer la distance d’un point xde E`a B.
2) D´emontrer que :
d(B, F ) = max n||x0||2−
n
X
i=1 |hx0|eii|2
1
2−R, 0o.
2