Feuille d`exercices 5 Espaces de Hilbert

Université Paris 13- Sup Galilée
MACS 1
Mathématiques
Année universitaire 2013-2014
Feuille d’exercices 5
Espaces de Hilbert
p
et de la norme ||f ||2 = hf |f i.
Soit F le sous-espace vectoriel des f ∈ E telles que, pour
tout x vérifiant 12 ≤ x ≤ 1, on ait f (x) = 0.
1. Montrer que F est un fermé dans E.
2. a) Quel est l’orthogonal (F ⊥ ) de F dans E ?
b) Quel est l’orthogonal de F ⊥ dans E ?
c) Toute f ∈ E s’écrit-elle f = g + h, où g ∈ F et
h ∈ F⊥ ?
3. Soit f ∈ E. On appelle projection orthogonale de f
sur F, si elle existe, une fonction g ∈ F telle que f − g
appartienne à F ⊥ .
a) La fonction x 7→ x − 21 a-t-elle une projection orthogonale sur F ?
b) La fonction x 7→ 1 a-t-elle une projection orthogonale sur F ?
c) Trouver une condition nécessaire et suffisante
simple sur f ∈ E,
pour que f ait une projection orthogonale sur F ?
Exercice 1
Soit E = C([0, 1]; R), montrer, pour tout f de E,
l’inégalité
Z 1
Z
1
1
1
√
|f (t)|2 dt 2 .
f (t) sin πtdt ≤
2 0
0
Exercice 2
Soit E un espace vectoriel réel euclidien, muni d’un produit scalaire (x, y) 7→ hx|yi et de la norme || · || associée.
1) Étant donnés x, y ∈ E, montrer que y et z sont orthogonaux si et seulement si
||y|| ≤ ||y + λz||
pour tout réel λ.
2) Soient F et G deux sous-espaces supplémentaires de
E, avec F 6= {0}, et P le projecteur de E sur F parallèlement à G. Montrer que F et G sont orthogonaux
si et seulement si P est continu et de norme égale à 1.
Exercice 6
Soit E un espace préhilbertien complexe, et A : E → E
une application linéaire. Montrer que si pour tout x l’on
a ||Ax|| = ||x||, alors, pour tout x et tout y l’on a hx|yi =
hAx|Ayi. Montrer que si, de plus, A est surjective, alors
pour toute partie U de E l’égalité A(U ⊥ ) = (A(U ))⊥ a
lieu.
Exercice 3
Soient H un espace préhilbertien, f un élément de H et
(fn ) une suite dans H. Montrer que, lorsque n tend vers
l’infini, (fn ) converge vers f pour la norme de H si et
seulement si
||fn || → ||f ||
et
hfn |f i → ||f ||2 .
Exercice 7
Dans l2 on considère l’ensemble : F = {x = (xk )k∈N ∈
l2 ; x2k = x2k+1 }.
1) Vérifier que F est un sous espace vectoriel fermé de
l2 .
2) Décrire F ⊥ .
3) Décomposer x suivant F et F ⊥ .
Exercice 4
Soit E = C([−1, 1]; R) muni du produit scalaire
Z 1
hf |gi =
f (x)g(x)dx
−1
et H le sous espace vectoriel des fonctions impaires.
Déterminer l’orthogonal H ⊥ de H.
Exercice 8
Soit H Zl’espace L2 ([0, π]), muni du produit scalaire
Exercice 5
Soit E l’espace préhilbertien sur R des fonctions x 7→
f (x) définies et continues pour 0 ≤ x ≤ 1, muni du produit scalaire
Z 1
hf |gi =
f (x)g(x)dx
π
hf |gi =
f (x)g(x)dx et de la norme associée.
0
1. On note e1 et e2 les fonctions de H définies par
r
r
2
2
e1 (x) =
cos x et e2 (x) =
sin x.
π
π
0
1
b) Montrer que A∗ est continu.
Vérifier que (e1 , e2 ) est orthonormé.
2. Soit, pour toute fonction f de H et pour tout x ∈ [0, π],
Z π
Af (x) =
sin(x + t)f (t)dt.
c) Vérifier que (A∗ )∗ = A et ||A∗ || = ||A||.
d) Si H = Cn avec le produit scalaire hy|xi =
0
n
X
xi yi .
i=1
Calculer la matrice de A∗ dans la base canonique en fonction de celle de A.
Dire brièvement pourquoi on définit ainsi un opérateur
linéaire continu A de H dans lui-même. Exprimer Af en
fonction des produits scalaires hf |e1 i et hf |e2 i.
3) En déduire la valeur de ||A||.
Exercice 11
On note Rn [X] l’espace vectoriel des polynômes de degré
inférieur ou égal à n, à coefficients réels. On se donne
n + 1 nombres réels distincts a0 , · · · , an , et on pose pour
f et g dans Rn [X] :
Exercice 9
On considère l’espace L2 ([−1, 1]), muni du produit scalaire
Z 1
f (x)g(x)dx
hf |gi =
−1
hf |gi =
et de la norme associée. P désigne l’espace des polynômes
de degré ≤ 2, pris comme sous espace de L2 ([−1, 1]).
Soit, pour toute fonction f de L2 ([−1, 1]) et pour tout
x ∈ [−1, 1],
Z 1
Af (x) =
(x2 + xy + y 2 )f (y)dy.
n
X
f (ai )g(ai ).
i=0
1) Montrer qu’on définit ainsi un produit scalaire sur
Rn [X].
2)
(a) Soient b0 , · · · , bn (n + 1) nombres réels ( non
nécéssairement distincts), rappeler comment on peut
trouver un polynôme L de Rn [X] vérifiant L(ai ) = bi
pour i = 0, · · · , n;
( polynômes d’interpolation de Lagrange).
(b) Montrer que pour tout k ≤ n, il existe fk ∈ Rk [X]
tel que pour tout g ∈ Rk [X] l’on ait
−1
1. Vérifier qu’on définit ainsi un opérateur continu A de
L2 ([−1, 1]) dans lui-même, que l’image de A est contenue
dans P et que Af = 0 pour toute fonction f orthogonale
à P.
2. En déduire que, si f est une fonction propre de A
correspondant à une valeur propre λ non-nulle, f appartient à P. Trouver toutes les valeurs propres et, pour
chaque valeur propre non nulle, un vecteur propre de
norme 1. Vérifier qu’on obtient ainsi un système orthonormé (e1 , e2 , e3 ).
3. Pour tout f ∈ L2 ([−1, 1]), donner l’expression de Af
en fonction des produits scalaires hf |ei i. En déduire la
norme de A.
n
n
X
X
(fk (ai ) − bi )2 ≤
(g(ai ) − bi )2 .
i=0
i=0
Exercice 12
Soit E un espace de Hilbert, B la boule fermée de centre
x0 et de rayon R, F le sous espace vectoriel engendré par
un système orthonormé (e1 , · · · , en ) de E.
1) Déterminer la distance d’un point x de E à B.
Exercice 10
Soit H un espace de Hilbert et A un endomorphisme
continu de H.
a) Montrer que la forme linéaire φy : x 7→ hy|Axi est
continue. En déduire qu’il existe un vecteur A∗ y tel que
∀x ∈ H, hy|Axi = hA∗ y|xi.
2) Démontrer que :
d(B, F ) = max
n
||x0 ||2 −
n
X
i=1
2
|hx0 |ei i|2
21
o
− R, 0 .