Télécharger

Feuille d’exercices n 3 - RÉDUCTION D’ENDOMORPHISMES
VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES
DIAGONALISATION DE MATRICES
Exercice 98. ()
Déterminer les éléments propres des endomorphismes suivants.
1. E KrX s et ψ P LpE q définie par ψ pP q XP .
2. E C 8 pR, Cq et D : f ÞÑ f 1 .
3. E RN et T : pun qnPN ÞÑ pun 1 qnPN .
Exercice 99. ()
"
Déterminer les éléments propres de f :
Exercice 100. ()
Soient E CN et f : E
en v pvn q définie par :
Rr X s Ñ Rr X s
P ÞÑ pX 2 1qP 1 p2X
Exercice 105. ()
1
La matrice A 1
3. En déduire tous les s.e.v. de R3 stables par l’endomorphisme u canoniquement associé à A.
1 qP
Exercice 106. ()
Donner tous les s.e.v. de R3 stables
f dont la matrice
par l’endomorphisme
2
3
1
dans la base canonique est B 1 2 1.
1
3
2
Ñ E l’application qui transforme une suite u punq
un1
.
2
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de f .
v0
1 1
1 1 est-elle diagonalisable ?
1.
1 1 1
2. Préciser ses valeurs propres et vecteurs propres.
u0 et @n P N, vn un
Exercice 107.
Exercice 101. ()
2
() Soit M 2
21 1
2a 1 2
a
2
1
0
0
1. Discuter suivant la valeur de a la diagonalisabilité de M .
Soit f P LpE q où E est un K-e.v. de dimension n.
On suppose que 0 P Sp(f n ). Montrer que 0 P Sp(f ).
2. Pour a 1,
Exercice 102. ()
(a) calculer le polynôme minimal. (l’unicité a été montrée dans le Chap. 1)
(polynôme annulateur de M , unitaire et de degré minimal ),
Soit f P LpE q où E est un K-e.v. de dimension n.
Montrer que 0 R Sp(f ) ô f surjectif.
(b) calculer M n
Établir Sp(u1 ) = tλ1 , λ P Sppuqu.
(c) déterminer une base dans laquelle M
Exercice 103. () Soit u un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E.
a0
Lycée de l’Essouriau - Les Ulis
..
.
... 0
1
a1 . . . an1
1 0
est semblable à 0 1.
1 ... ... ... 1
.
0 . . . 0 .. ..
.. .. .
.
. .
.. . 0 . . . 0 .
..
.
Diagonaliser A ...
..
Calculer le polynôme caractéristique de la matrice compagnon :
p0q
I3qn habilement,
Exercice 108 (Mines-Ponts).
()
Exercice 104. () Soient pa0 , a1 , ..., an1 q P Cn fixés.
1
..
.
M
0 0
POLYNÔME CARACTÉRISTIQUE
0
..
C.
0
pI3
.
1 ... ... ... 1
1
PSI - 2016-2017
Feuille d’exercices n 3 - RÉDUCTION D’ENDOMORPHISMES
Exercice 109 (Mines-Ponts).
()
1
1
Valeurs propres de B .
..
1
Exercice 110. ()
1
1
p0q
...
..
Exercice 117. () Soit A P Mn pKq une matrice de rang 1.
1. Montrer qu’il existe un réel λ tel que A2 λA.
2. Montrer que A est diagonalisable si et seulement si tr A 0.
1
p0q
.
.
PUISSANCES DE MATRICES
1
0
..
Éléments propres et diagonaliser si possible C .
0
Exercice 111. ()
.
Exercice 118.
... 0 1
.. .. . .
.
. . . 0 1
1 ... 1 1
0
Éléments propres et diagonaliser si possible D p1 q
..
p1 q
.
4 1 2
1
() Calculer lim An avec A 2 1 2.
nÑ 8
3
1
Exercice 119.
2
() Calculer An puis eA pour A 1
eA est, lorsqu’elle existe, la matrice définie par eA
1
1
1
1.
1
2
1 1 2
nÑlim8 ° k!1 Ak .
n
k 0
DIAGONALISATION D’ENDOMORPHISMES
Exercice 120. ()
0
Soit u défini sur Rn rX s par u : P ÞÑ pX 2 1qP 1 nXP .
1. Vérifier que u est un endomorphisme de Rn rX s.
Soient A et B deux matrices de Mn pRq semblables dans C.
2. Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de u.
1. En séparant la relation liant A et B suivant les parties réelle et imaginaire,
3. u est-elle diagonalisable ? Préciser χu et det u.
construire une matrice Q inversible réelle telle que QA BQ.
Exercice
121. ()
2. En déduire que A et B sont semblables dans R.
"
Mn p R q Ñ
Mn p R q
φ:
Exercice
(
)
M
ÞÑ M trpM q.In est-il diagonalisable ?
113 (Mines-ponts).
1 2 3
1 3 2
Exercice 122.
A 3 1 2 et B 2 1 3 sont-elles semblables dans C ? dans R ?
(
)
1 0
a b
2 3 1
3 2 1
Soient A et M deux matrices réelles.
0 2
c d
Exercice 114. ()
1. Calculer AM M A.
Montrer que si A est diagonalisable alors t A l’est aussi.
2. Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme f : M
3. f est-il diagonalisable ?
Exercice 115. ()
Soient A P GLn pKq et B P Mn pKq.
Exercice 123. ()
On suppose la matrice AB diagonalisable. Montrer que BA est diagonalisable.
1
n
Soit u : Rn rX s Ñ Rn rX s défini par : upP q X P
.
X
Exercice 116. ()
u est-elle diagonalisable ? Déterminer ses éléments propres.
Quelles sont les matrices nilpotentes diagonalisables sur K ?
Exercice 112. ( )
Lycée de l’Essouriau - Les Ulis
2
Ñ AM M A.
PSI - 2016-2017
Feuille d’exercices n 3 - RÉDUCTION D’ENDOMORPHISMES
Exercice 131 (Mines 2010). ()
Soit la matrice M P Mn pCq définie par : @i P t1, ..., nu, mi,i a et
t1, ..., nu2 avec i j, mi,j b où pa, bq sont deux complexes donnés.
POLYNÔMES ANNULATEURS
Exercice 124. ( )
Soit A P Mn pRq telle que A3
Exercice 125. ()
Soit A P Mn pRq telle que A3
A
In . Montrer que detpAq ¡ 0.
1. Trouver deux complexes α et β tels que M 2
Soit n P N , A P Mn pRq telle que A4 7A3 12A2 .
Montrer que trpAq P N et trpAq ¤ 4n.
Exercice 128. ()
Déterminer toutes les matrices A
A3 5A2 6A 0.
P
A2
Trouver les matrices X
P M2pRq telles que
Exercice 130. ()
1. Soit A P Mn pRq telle que A2
MATRICES DÉFINIES PAR BLOC
X
In
0.
0
1
1
0
A2
In
A A
0 A
où A P Mn pRq.
1
TRIGONALISATION
.
0 1 0
Si n 3, montrer que A 0 ou A est semblable à A1 1 0 0.
0
0
P pAq AP 1 pAq
.
0
P pAq
3. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que B soit diagonalisable.
0
P RrX s, P pB q 2. Montrer que si B est diagonalisable, A l’est aussi et A 0.
0.
1
0
(a) n 2, montrer que A 0 ou A est semblable à A1 Lycée de l’Essouriau - Les Ulis
1. Montrer que @P
.
(c) n est maintenant quelconque. Calculer detpAq et trpAq.
A 0.
0A
Exercice134. ( )
1 1
.
1 1
(b) Si n 3, montrer qu’il n’existe pas de solutions à
(b)
2A
où A P Mn pCq.
3A
Est-il vrai que A est diagonalisable si et seulement si B l’est ?
Soit B
Soit B
(a) Si n 2, montrer que A est semblable à A1
2. Soit A P Mn pRq telle que A2
Exercice133. (
)
GL3 pRq, de trace égale à 7 et vérifiant
X2
1 1
Exercice 132. () Soit A .
0 1
Déterminer le polynôme minimal de A et calculer An pour n P N.
A 0.
Exercice 129. ( )
0.
3. M est-elle inversible ? Si oui, donner son inverse.
Exercice 126. ()
Soit n P N , A P Mn pRq telle que A3
Montrer que rgpAq est pair.
βIn
2. M est-elle diagonalisable ? Si oui, donner ses éléments propres.
A2 et trpAq n. Montrer que A In.
Exercice 127. ()
αM
@pi, j q P
Exercice 135. ()
Soit u P LpRn q tel que u2 k 2 IdRn avec k P R.
Montrer que u n’est pas trigonalisable sur R. Qu’en est-il sur C ?
0
3
PSI - 2016-2017
Feuille d’exercices n 3 - RÉDUCTION D’ENDOMORPHISMES
Exercice 136.
2 1 1
() Soit A 2 1 2.
3 1 2
Calculer le polynôme caractéristique de A et trigonaliser la matrice
A. 0 0
(déterminer une base dans laquelle la matrice est semblable à 0 1.)
0 0 0
() Soit B 1
1
1
1 2.
Exercice 137.
3 1 2
Calculer le polynôme caractéristique de B et trigonaliser la matrice
B. 0 0
(déterminer une base dans laquelle la matrice est semblable à 0 1.)
0 0 Exercice 138.
1 1 1
4
2 .
() Soit C 2
1 1 1
Calculer le polynôme caractéristique de C et trigonaliser la matrice
C. 1 0
(déterminer une base dans laquelle la matrice est semblable à 0 1.)
0 0 DIVERS
Exercice 139. ()
Soit E Rn et f P LpE q. On suppose que f est diagonalisable.
Montrer que Ker f = Ker f 2 et Im f = Im f 2 .
Lycée de l’Essouriau - Les Ulis
4
PSI - 2016-2017