TD3 Suites de nombres réels. Exercice 1 On définit la suite (un)n≥1

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Facult´e des Sciences
Exactes et Naturelles
2014-2015
L1-MA0201
Analyse
TD3
Suites de nombres r´eels.
Exercice 1
On d´efinit la suite (un)n≥1par un=
n
X
k=1
1
k(k+ 1) pour n≥1.
1. Trouver deux r´eels αet βtels que pour x6= 0 et x6=−1, on a 1
x(x+ 1) =α x+β x+ 1.
2. En d´eduire que pour tout n≥1, on a un= 1 −1
n+ 1.
3. Qu’en d´eduit-on sur la suite (un)n≥1?
4. On pose maintenant pour n≥1 et pour α≥2, vn=
n
X
k=1
1
kα. Montrer
que pour tout n≥2, on a vn≤1 + un−1.
5. En d´eduire que la suite (vn)n≥1est croissante et major´ee. Qu’en d´eduit-
on ?
Exercice 2
Soient aet bdeux r´eels tels que a6= 1. On consid`ere la suite (un)n≥0d´efinie
par la relation de r´ecurrence un+1 =aun+bpour tout n≥0, u0´etant donn´e
dans R.
1. Pour quelle valeur de u0(not´ee u∗) la suite (un)n≥0est-elle stationnaire ?
2. Pour n≥0, on pose vn=un−u∗. Quelle est la relation de r´ecurrence
v´erifi´ee par la suite (vn)n≥0?
3. En d´eduire l’expression de vn, puis celle de unpour tout n≥0.
4. Montrer que si aest tel que |a|<1, alors la suite (un)n≥0converge. Quelle
est la valeur de sa limite ?

Exercice 3
Pour tout n≥1, on pose Hn= 1 + 1
2+. . . +1 n.
1. En utilisant une int´egrale entre net n+ 1, montrer que l’on a pour tout
n≥0 la double in´egalit´e
1
n+ 1 ≤ln(n+ 1) −ln(n)≤1 n.
2. En d´eduire que l’on a ln(n+ 1) ≤Hn≤ln(n) + 1.
3. D´eterminer la limite de la suite (Hn)n≥1.
4. Montrer que la suite (un)n≥1d´efinie par un=Hn−ln(n) est d´ecroissante
et positive. Qu’en d´eduit-on ?
Exercice 4
On consid`ere les deux suites :
un= 1 + 1
1! +··· +1 n!
vn=un+1
n!.
Montrer que unet vnconvergent vers un mˆeme ´el´ement de R\Q.
Exercice 5 M´ethode d’H´eron
Soit a > 0. On d´efinit la suite (un)n≥0par u0un r´e´el strictement positif et
un+1 =1
2un+a un.
On se propose de montrer que (un) tend vers √a.
1. Montrer que
u2
n+1 −a=(u2
n−a)2
4u2
n
.
2. Montrer que si n≥1 alors un≥√apuis que la suite (un)n≥1est
d´ecroissante.
3. En d´eduire que la suite (un) converge vers √a.
4. Donner une majoration de un+1 −√aen fonction de un−√a.
(Indication : penser `a l’identit´e remarquable a2−b2= (a−b)(a+b)).
2

5. Si u1−√a≤k, montrer que pour n≥1 :
un−√a≤2√ak
2√a2n−1
.
6. Application : calculer √10 avec une pr´ecision de 8 chiffres apr`es la virgule,
en prenant u0= 3.
Exercice 6
Soient (un)n∈Net (vn)n∈N, deux suites de nombres r´eels telles que
•limn−→+∞un=l
• ∀n∈N, vn≥0, et lim
n−→+∞
1
v1+v2+··· +vn
= 0.
1. Montrer que lim
n−→+∞Pn
1ukvk
Pn
1vk
=l. Quand (vn)n∈Nest la suite constante
´egale `a 1, on dit que (un)n∈Nconverge au sens de C´esaro.
2. En d´eduire lim
n−→+∞
1 + √2 + 3√3 + ··· +n√n
n.
3. Que pensez-vous de la r´eciproque ? (prendre un= (−1)npar exemple).
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