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Feuille d’exercices n˚9 - ´ EQUATIONS DIFF´ ERENTIELLES LIN´ EAIRES
EQDF LIN´ EAIRES DU PREMIER ORDRE
Exercice 274.
1. R´esoudre l’´equation diff´erentielle x1y xy 0.
2. Discuter l’existence d’une solution sur R.
3. R´esoudre l’´equation diff´erentielle x1y xy x21.
Exercice 275.
R´esoudre y y cos xsin xen cherchant une solution ´evidente.
Exercice 276.
D´eterminer les solutions maximales sur Rde x2y y x21ex.
Exercice 277. Soit El’´equation diff´erentielle x1y xy x2x1.
1. Trouver une solution polynomiale.
2. En d´eduire l’ensemble des solutions sur ,1 , 1,, puis sur R.
3. D´eterminer la solution v´erifiant la condition initiale y1 1.
Exercice 278. R´esoudre sur Rl’´equation diff´erentielle y2y x2.
Exercice 279. R´esoudre sur Rl’´equation diff´erentielle y y 2 sin x.
Exercice 280. R´esoudre sur Rl’´equation diff´erentielle y y x 1ex.
Exercice 281. R´esoudre sur R: 1 exy exy1ex.
Exercice 282. R´esoudre sur Rl’´equation diff´erentielle x21y2xy 1.
Exercice 283. R´esoudre sur Ret R:ex1y exy1.
Exercice 284. R´esoudre l’´equation diff´erentielle ysin x y cos xsin3x.
Existe-t-il une solution maximale d´efinie sur R?
Exercice 285.
Former une ´equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre 1 dont f x C x
1x2seraient
les solutions. ( CR)
Exercice 286.
D´eterminer une ´equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre 1 v´erifi´ee sur Rpar
toutes les fonctions de la forme f x c ln x x2.
EQDF LIN´ EAIRES DU 2ND ORDRE A COEFFICIENTS
CONSTANTS
Exercice 287. R´esoudre y y xex.
Exercice 288. R´esoudre y y cos x.
Exercice 289. R´esoudre y2y y e x.
Exercice 290. R´esoudre l’´equation diff´erentielle y2y2y2x.
Exercice 291. R´esoudre l’´equation diff´erentielle y3y2y2x2.
Exercice 292. R´esoudre l’´equation diff´erentielle y y 2y xex.
Exercice 293. R´esoudre l’´equation diff´erentielle x24y xy 2.
Pr´eciser les solutions maximales.
EQDF LIN´ EAIRES AVEC CONDITIONS INITIALES
Exercice 294.
R´esoudre l’´equation diff´erentielle suivante avec les conditions initiales donn´ees :
y9y x21y0 0 y0 0
Exercice 295. R´esoudre y3y2y xexavec y1 0 et y1 0.
Exercice 296.
R´esoudre l’´equation diff´erentielle suivante avec les conditions initiales donn´ees :
4y4y y e x2y0 1 y0 0
Exercice 297.
R´esoudre l’´equation diff´erentielle suivante avec les conditions initiales donn´ees :
y2y2y exsin x y π
20yπ 20
Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis 1 PSI - 2015-2016

Feuille d’exercices n˚9 - ´ EQUATIONS DIFF´ ERENTIELLES LIN´ EAIRES
EQDF DU 2ND ORDRE A COEFFICIENTS NON CONSTANTS
Exercice 298. Soit El’´equation diff´erentielle xy 1x y y 1.
1. Soit yune solution de E. On pose z y y .
Montrer que zest solution d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre 1.
2. R´esoudre cette nouvelle ´equation diff´erentielle puis r´esoudre E.
Exercice 299. Soit El’´equation diff´erentielle 1 exy y exy0.
1. Soit yune solution de E. On pose z y y .
Montrer que zest solution d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre 1.
2. R´esoudre cette nouvelle ´equation diff´erentielle puis r´esoudre E.
Exercice 300.
R´esoudre t1x x xt 0 sachant que t etest solution.
Exercice 301. R´esoudre dans Rl’´equation :
1t2 2y2t1t2y2t21y1t2
On commencera par chercher une solution polynomiale de l’´equation homog`ene.
Exercice 302. On note El’´equation diff´erentielle x2y4xy 2x2y1.
1. V´erifier que x1
x2est solution de E.
2. Chercher les solutions de l’´equation homog`ene sous la forme y x λ x
x2.
3. R´esoudre E.
´
EQUATIONS FONCTIONNELLES
Exercice 303. D´eterminer les fonctions f: 0,1Rd´erivables telles que
x0,1f x f x f 0f1.
Exercice 304. D´eterminer les fonctions f: 0,1Rd´erivables telles que
x0,1f x f x
1
0
f t dt 0.
Exercice 305. Trouver les fonctions fv´erifiant la relation :
xR, f x xf 1
x.
´
ETUDE QUALITATIVE DES SOLUTIONS D’UNE EQDF
Exercice 306.
Soient a, b :ICcontinues et t0Iet E:y a t y t b t y 0.
1. Soit yune solution de Ev´erifiant y t0y t00.
Montrer que yest la solution nulle.
2. Soit xn n une suite de points de Iconvergente dans Itelle que :
xN, f xn0.
Montrer que fest la fonction nulle.
Exercice 307. Soit a:R R continue et int´egrable. ´ Etablir que les solu-
tions de l’´equation diff´erentielle y a t y 0 sont born´ees sur R.
Exercice 308.
1. Soit h:R C continue. ´ Ecrire la forme g´en´eral des solutions de l’´equation
diff´erentielle y y h.
2. On suppose de plus que hest de limite nulle en . Montrer que les
solutions de l’´equation diff´erentielle y y h convergent vers 0 en .
3. Soit f:R C de classe C1. On suppose que f f `.
Montrer que f `.
Exercice 309 (Centrale - PC).
Soit fC1R,Ret gune solution sur Rde l’´equation xy y f x
1. D´emontrer que gse prolonge par continuit´e en 0. D´eterminer une condition
n´ecessaire sur f0 pour que la fonction ainsi prolong´ee soit d´erivable en
0. D´emontrer que cette condition n’est pas suffisante.
2. fest suppos´ee de classe C2et la condition pr´ec´edente est v´erifi´ee. D´emon-
trer que gest de classe C2.
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Feuille d’exercices n˚9 - ´ EQUATIONS DIFF´ ERENTIELLES LIN´ EAIRES
Exercice 310.
Soient a, b :ICcontinues et f1, f2une base de solutions de l’´equation
E:y a t y t b t y 0.
Former une ´equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre 1 v´erifi´ee par ce que l’on
appelle le wronskien de f1, f2d´efini sur Ipar :
w:tf1t f2t
f1t f2t
SYST` EMES D’´ EQUATIONS DIFF´ ERENTIELS LIN´ EAIRES
Exercice 311 (Mines-Ponts).R´esoudre le syst`eme
x y z
y x
z x y z
.
Exercice 312. R´esoudre
x2y2z
y2x z
z2x y
dans Cpuis dans R.
Exercice 313. R´esoudre le syst`eme
x x y z
y y z
z z
.
Exercice 314. R´esoudre le syst`eme x y t
y x t2.
Exercice 315.
En la transformant en un syst`eme diff´erentiel, r´esoudre l’´equation diff´erentielle
x10x25x t.
Exercice 316. R´esoudre le syst`eme
x4x y z
y x y 2z
z2x y z
.
Exercice 317. En posant z x iy, r´esoudre le syst`eme tx x ty
ty tx y .
Exercice 318. En posant u x y et v x y, r´esoudre le syst`eme :
x x y y
y x y x .
Exercice 319. R´esoudre le syst`eme x12t x1t1x2
x22 1 t x12t1x2
.
Exercice 320.
Soient Eun espace vectoriel euclidien orient´e de dimension 3 et uun vecteur
unitaire de E. R´esoudre l’´equation x u x.
Exercice 321. R´esoudre le syst`eme diff´erentiel x4x2y
y x y .
Exercice 322 (Mines 2010).
R´esoudre dans C, puis dans R:
x t x t y t
y t x t 2y t z t
z t x t z t
.
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