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Feuille d’exercices n˚9 - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES
EQDF LINÉAIRES DU PREMIER ORDRE
Exercice 274.
1. Résoudre l’équation différentielle px 1qy 1
xy
0.
xy
1.
2. Discuter l’existence d’une solution sur R.
3. Résoudre l’équation différentielle px 1qy 1
Exercice 275.
Résoudre y 1
y
cos x
EQDF LINÉAIRES DU 2ND ORDRE A COEFFICIENTS
CONSTANTS
Exercice 287. Résoudre y 2
Exercice 288. Résoudre y 2
x2
Exercice 289. Résoudre y 2
xex.
y cos x.
2y 1 y ex .
y
Exercice 290. Résoudre l’équation différentielle y 2
Exercice 276.
Déterminer les solutions maximales sur R de x2 y 1 y
px2 1qex.
Exercice 277. Soit pE q l’équation différentielle px 1qy 1 xy x2 x
2y 1
2x.
Exercice 291. Résoudre l’équation différentielle y 2 3y 1 2y 2x2 .
Exercice 292. Résoudre l’équation différentielle y 2 y 1 2y xex .
Exercice 293. Résoudre l’équation différentielle px2 4qy 1 xy 2.
sin x en cherchant une solution évidente.
1.
1. Trouver une solution polynomiale.
2y
Préciser les solutions maximales.
s 8, 1r, s 1, 8r, puis sur R.
3. Déterminer la solution vérifiant la condition initiale y p1q 1.
Exercice 278. Résoudre sur R l’équation différentielle y 1 2y x2 .
Exercice 279. Résoudre sur R l’équation différentielle y 1 y 2 sin x.
Exercice 280. Résoudre sur R l’équation différentielle y 1 y px 1qex .
Exercice 281. Résoudre sur R : p1 ex qy 1 ex y p1 ex q.
Exercice 282. Résoudre sur R l’équation différentielle px2 1qy 1 2xy 1.
Exercice 283. Résoudre sur R et R : pex 1qy 1 ex y 1.
Exercice 284. Résoudre l’équation différentielle y 1 sin x y cos x sin3 x.
2. En déduire l’ensemble des solutions sur
EQDF LINÉAIRES AVEC CONDITIONS INITIALES
Exercice 294.
Résoudre l’équation différentielle suivante avec les conditions initiales données :
y2
x2 1 yp0q 0 y1p0q 0
Exercice 295. Résoudre y 2 3y 1 2y xex avec y p1q 0 et y 1 p1q 0.
Exercice 296.
Résoudre l’équation différentielle suivante avec les conditions initiales données :
4y 2
Existe-t-il une solution maximale définie sur R ?
C x
1 x2
y
ex{2
y p0q 1 y 1 p0q 0
Résoudre l’équation différentielle suivante avec les conditions initiales données :
seraient
Exercice 286.
Déterminer une équation différentielle linéaire d’ordre 1 vérifiée sur R
toutes les fonctions de la forme f pxq c ln x x2 .
Lycée de l’Essouriau - Les Ulis
4y
Exercice 297.
Exercice 285.
Former une équation différentielle linéaire d’ordre 1 dont f pxq les solutions. (@C P R)
9y
y 2 2y 1
2y
ex sin x
y
π 2
0
y1
π 2
0
par
1
PSI - 2015-2016
Feuille d’exercices n˚9 - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES
Exercice 305. Trouver les fonctions f vérifiant la relation :
EQDF DU 2ND ORDRE A COEFFICIENTS NON CONSTANTS
Exercice 298. Soit pE q l’équation différentielle xy 2 p1
x qy 1
y
1
@x P R , f pxq xf 1 .
1.
1. Soit y une solution de pE q. On pose z y y 1 .
Montrer que z est solution d’une équation différentielle linéaire d’ordre 1.
x
ÉTUDE QUALITATIVE DES SOLUTIONS D’UNE EQDF
2. Résoudre cette nouvelle équation différentielle puis résoudre pE q.
Exercice 299. Soit pE q l’équation différentielle p1
y1.
ex qy 2
y 1 ex y
Exercice 306.
0.
Soient a, b : I
1. Soit y une solution de pE q. On pose z y
Montrer que z est solution d’une équation différentielle linéaire d’ordre 1.
1qx2 x1 xt 0 sachant que t ÞÑ et est solution.
t2 qy 1
Montrer que f est la fonction nulle.
2 pt 2 1 qy
p1
Ñ R continue et intégrable. Établir que les solutions de l’équation différentielle y 1 aptqy 0 sont bornées sur R .
t2 q
Exercice 307. Soit a : R
On commencera par chercher une solution polynomiale de l’équation homogène.
Exercice 302. On note pE q l’équation différentielle x2 y 2 4xy 1
1. Vérifier que x ÞÑ
1
x2
est solution de pE q.
3. Résoudre pE q.
Exercice 308.
p2x2qy 1.
2. Chercher les solutions de l’équation homogène sous la forme y pxq 1. Soit h : R Ñ C continue. Écrire la forme général des solutions de l’équation
différentielle y 1 y h.
2. On suppose de plus que h est de limite nulle en 8. Montrer que les
solutions de l’équation différentielle y 1 y h convergent vers 0 en 8.
p q.
λ x
x2
3. Soit f : R Ñ C de classe C 1 . On suppose que f
ÉQUATIONS FONCTIONNELLES
Montrer que f
Exercice 303. Déterminer les fonctions f : r0, 1s Ñ R dérivables telles que
f 1 px q
@x P r0, 1s
f px q f p0 q
f 1 px q
Lycée de l’Essouriau - Les Ulis
f px q
»1
0
Ñ8 `.
Exercice 309 (Centrale - PC).
f p1q.
Soit f
P C 1 pR
, Rq et g une solution sur R
f1
Ñ8 `.
de l’équation xy1 y f pxq
1. Démontrer que g se prolonge par continuité en 0. Déterminer une condition
nécessaire sur f 1 p0q pour que la fonction ainsi prolongée soit dérivable en
0. Démontrer que cette condition n’est pas suffisante.
Exercice 304. Déterminer les fonctions f : r0, 1s Ñ R dérivables telles que
@x P r0, 1s
0.
@x P N, f pxnq 0.
Exercice 301. Résoudre dans R l’équation :
t2 q2 y 2 2tp1
bptqy
2. Soit pxn qn une suite de points de I convergente dans I telle que :
Exercice 300.
p1
aptqy 1 ptq
1. Soit y une solution de pE q vérifiant y pt0 q y 1 pt0 q 0.
Montrer que y est la solution nulle.
2. Résoudre cette nouvelle équation différentielle puis résoudre pE q.
Résoudre pt
Ñ C continues et t0 P I et pE q : y2
f ptq dt 0.
2. f est supposée de classe C 2 et la condition précédente est vérifiée. Démontrer que g est de classe C 2 .
2
PSI - 2015-2016
Feuille d’exercices n˚9 - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES
" 1
x1
Exercice 319. Résoudre le système
x12
une base de solutions de l’équation
p2 tqx1 pt 1qx2 .
2p1 tqx1 p2t 1qx2
Soient a, b : I Ñ C continues et pf1 , f2 q
2
1
pE q : y aptqy ptq bptqy 0.
Exercice 320.
Former une équation différentielle linéaire d’ordre 1 vérifiée par ce que l’on
Soient E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 et u un vecteur
appelle le wronskien de pf1 , f2 q défini sur I par :
unitaire de E. Résoudre l’équation x1 u ^ x.
f ptq f2 ptq " 1
w : t ÞÑ 11
x 4x 2y
f1 ptq f21 ptq Exercice 321. Résoudre le système différentiel
.
y1 x y
SYSTÈMES D’ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELS LINÉAIRES
Exercice 310.
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
$ 1
&x y z
y1 x
311 (Mines-Ponts). Résoudre le système
% z1 x y
$ 1
& x 2y 2z
y 1 2x z dans C puis dans R.
312. Résoudre
% z 1 2x y
$ 1
&x x y z
y1 y z
.
313. Résoudre le système
% z1 z
" 1
x y t
314. Résoudre le système
.
y 1 x t2
Exercice 322 (Mines 2010). $
& x1 ptq xptq
y ptq
y 1 ptq xptq 2y ptq
Résoudre dans C, puis dans R :
% z 1 ptq xptq z ptq
.
z
z pt q .
Exercice 315.
En la transformant en un système différentiel, résoudre l’équation différentielle
x2 10x1 25x t.
$ 1
&x
y1
Exercice 316. Résoudre le système
% z1
4x y z
x y 2z
2x y z
Exercice 317. En posant z x iy, résoudre le système
Exercice 318. En posant u x
" 2
x
y2
Lycée de l’Essouriau - Les Ulis
y et v
x1
x1
"
.
tx1
ty 1
x ty
.
tx y
x y, résoudre le système :
y1 y
.
y1 x
3
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