Corrigé decembre 2007

C30MAT4 L2 Alg`ebre Lin´eaire 1
Responsable Patrick Delorme, D´ecembre 2007
Dur´ee 3 h, Documents et calculettes non autoris´es
Sujet de 2 pages
NB: Dans chaque exercice on pourra admettre les r´esultats de questions pour con-
tinuer, en signalant les r´esultats admis.
I Soit fl’applicaton de R4dans R4d´efinie par (x1, ..., x4)7→ (x1,−x2, x1+x3,2x4).
Montrer que c’est un isomorphisme d’espaces vectoriels. Citer le th´eor`eme utilis´e.
II Soit Ple sous espace vectoriel de R3d’´equation x+ 2y−z= 0 et Dle sous-espace
vectoriel de R3d’´equations:
x+y= 0 et y +z= 0
a) Donner une base de Pet une base de D.
b) Montrer que ces sous-espaces vectoriels sont suppl´ementaires.
III Soit
A=
1a−b
−a1c
b−c1
Calculer son d´eterminant. Les vecteurs colonnes sont ils toujours lin´eairement
ind´ependants a) si le corps de base est R, b) si le corps de base est C?
IV a) Soit Aune matrice carr´ee r´eelle (n, n) et Ila matrice identit´e (n, n). Calculer
(I−A)(I+A+A2)
b) Dans la suite n= 3 et
A=
0a0
0 0 a
0 0 0
Calculer A2,A3
c) D´eduire des questions pr´ec´edentes que I−Aest inversible.
V Soit Eun espace vectoriel de dimension 3 et (e1, e2, e3) une base de E. Soit f:E→E
l’application lin´eaire dont la matrice dans cette base est
A=
1 1 −1
4 1 −2
6 3 −4
a) Trouver une base de Kerf et de Imf.
1

b) Soit v1=e1+ 2e2+ 3e3, v2=e2+e3, v3=e1+ 2e3. Montrer que (v1, v2, v3) est une
base de E.
c) Calculer la matrice de fdans cette nouvelle base
d) En d´eduire que f◦f=−f.
VI Soit Eun espace vectoriel de dimension n. On suppose qu’il existe une application
lin´eaire f:E→Etelle que Imf =Kerf.
a) On notera pla dimension de Kerf. Montrer que n= 2p: on citera le th´eor`eme
utilis´e.
b) Soit Fun sous-espace vectoriel de Esuppl´ementaire de Kerf. Montrer qu ’il est
de dimension p. Montrer que f(F) = f(E).
En d´eduire si (u1, u2, . . . , up) est une base de F, (v1=f(u1), v2=f(u2), . . . , vp=f(up))
est une base de Kerf. Citer le th´eor`eme utilis´e.
c) Montrer que (v1, . . . , vp, u1,...up) est une base de E: citer le th´eor`eme utilis´e.
d) Ecrire la matrice de fdans cette base.
Corrig´e
I l’application est injective car son noyau est r´eduit `a z´ero ( r´esoudre le syst`eme
f(0) = 0. Donc bijective ( th´eor`eme du rang par exemple).
II Passage ´equations `a base (x, y, z)∈PSSI (x, yz) = (−2y+z, y, z) c’est a dire SSI
(x, y, z) = y(−2,1,0) + z(1,0,1)
Base de P: (−2,1,0),(1,0,1) ( famille g´en´eratrice et libre).
Pour D, en r´esolvant en z, (x, y, z)∈DSSI (x, y, z)=(z, −z, z) = z(1,−1,1). Base
(1,−1,1) .
Ces deux espaces sont de dimension 1 et 2 ( de somme 3). Donc ( cours ) il suffit
de voir que leur intersection est r´eduite `a 0 ce qui se fait en r´esolvant le syst`eme de 3
´equations `a 3 inconnues.
III Le d´eterminant est ´egal `a 1+a2+b2+c2. Il n’est jamais nul sur Rdonc les colonnes
sont lin´eairement ind´ependants. C’est faux sur C: par exemple si a=i, b =c= 0, le
d´eterminant est nul.
IV a) r´esultat apr`es d´eveloppement et simplifications: I−A3
b) A2a une seule entr´ee non nulle (ligne 1, colonne 3: a2) , A3est nulle
c) d’apr`es a) et b) , I−Aa pour inverse I+A+A2.
V Voir Liret Martinais p. 143, Exercice 2
VI a) Le th´eor`eme du rang donne n=dimImf +dimKerf i.e. n= 2p
b) Soit x∈E. Alors x=y+zavec x∈Kerf et y∈F. Donc f(x) = f(y). D’o`u
f(E) est contenu dans f(F), donc ´egal `a f(F) ( double inclusion) .
Par cons´equent f(v1), . . . , f(vp) engendre f(E), et comme pest la dimension de f(E),
c’est une base (cours).
c) Comme Kerf et Fsont supl´ementaires la r´eunion d’une base de l’un et d’une base
de l’autre est une base de E( cours) . La matrice de fcomporte quatre blocs (p, p),
tous sont nuls sauf le bloc en haut `a droite qui est l’identit´e.
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