révisions d`alg`ebre

PC* 2013-2014
RÉVISIONS D’ALGÈBRE
Les chapitres ”nombres complexes”,”polynômes” ainsi que tous les chapitres d’algèbre linéaire
de première année sont à reprendre en insistant particulièrement sur les points suivants (énoncés
et démonstrations):
1. Cours
. Définition d’un (sous-)groupe, d’un (sous-)anneau et exemples classiques (anneau des polynômes,
anneau des matrices carrées, groupe des matrices inversibles, groupe des matrices orthogonales...)
. Formule du binôme de Newton pour (a + b)n avec a et b deux éléments d’un anneau qui
commutent (ex. typique: a et b sont deux matrices qui commutent).
. Formule de Bernouilli dans un anneau A dont on note e le neutre multiplicatif:
∀a ∈ A, ∀n ∈ N : (e − a)(e + a + a2 + . . . + an ) = e − an+1
Par exemple dans l’anneau Mn (K) des matrices carrées de taille n, on peut écrire:
(In − N )(I + N + . . . + N r−1 ) = In − N r
Si N r = 0 (càd si N est nilpotente) on en déduit que In − N est inversible d’inverse: I + N +
. . . + N r−1 .
1 − an+1
.
1−a
Voir le poly d’analyse pour des applications à des calculs de sommes trigonométrique du type
n
X
cos(kx)).
Lorsque A = R ou C et a 6= 1, la formule de Bernouilli peut s’écrire: 1 + a + . . . + an =
k=0
ap − an+1
.
1−a
. Racines n-ièmes complexes de l’unité.Il faut savoir montrer que leur somme est nulle et calculer
leur produit.
Plus généralement, si n ≥ p, on a : ap + . . . + an =
. Formules d’Euler et de Moivre. Il faut savoir linéariser un polynôme trigonométrique et
également effectuer l’opération inverse.
Il faut également savoir factoriser les expressions 1 + eix , 1 − e−ix , eix + eiy et eix − eiy .
. Nombres complexes et géométrie: il faut savoir traduire en termes de nombres complexes les
notions de géométrie du plan (distance, orthogonalité, similitudes planes). Il faut en particulier
savoir utiliser la parmétrisation du cercle unité par t 7→ eit .
µ
¶
a −b
Il faut savoir qu’une matrice de la forme
est une matrice de similitude directe (dont
b a
le rapport r ≥ 0 et l’angle θ sont définis par la relation a + ib = reiθ ).
. Polynômes: caractérisation d’une racine d’ordre r. Relations coefficients-racines.
Il faut également connaitre le théorème de factorisation des polynômes de R[X] ainsi que la
forme de l’ensemble de leurs racines (paires conjuguées).
. Définition d’un projecteur, d’une symétrie.
. Un endomorphisme p est un projecteur ssi p2 = p. Dans ce cas Kerp et Imp sont en somme
directe et p est le projecteur sur Imp parallèlement à Kerp.
1
2
. Résultat du même type pour les symétries.
. Si E = E1 ⊕ E2 et si f1 et f2 sont des applications linéaires respectivement de E1 et de E2
dans un même espace F , alors il existe une application linéaire de E dans F et une seule telle
que f|E1 = f1 et f|E2 = f2 . On dit que f prolonge f1 et f2 .
L’application f n’est autre que f1 ◦ p1 + f2 ◦ p2 où p1 et p2 désignent les deux projecteurs associés
à la décomposition E = E1 ⊕ E2 .
. La formule de Grassmann (dimension d’une somme de sev).
. Soient E et F deux espaces vectoriel de dimension finie, soit u ∈ L(E, F ) et F0 un supplémentaire
de Keru. La restriction u0 de u à E0 induit un isomorphisme de E0 sur Imu.
La formule du rang s’en déduit.
. Formule de changement de base sur les matrices.
. Opérations élémentaires sur les rangées d’une matrice. Application au calcul du rang.
. Méthode du pivot de Gauss pour résoudre un système linéaire puis pour inverser une matrice.
. Définition du déterminant en dimension 2 et 3. Il faut être capable de calculer un déterminant
d’ordre trois.
2. Exercices
Certains des exercices suivants sont des classiques dont les résultats et les preuves sont à connaitre (ils sont notés z). Vous en avez probablement traités plusieurs durant la première année.
D’autres contiennent des idées importantes et des méthodes de base qui pourront être réinvesties
dans d’autres exercices (ils sont notés ♦).
2.1. Nombres complexes, polynômes.
1 (♦♦) Montrer que x 7→
x−i
x+i
est une bijection entre R et le cercle unité privé de 1.
2 (♦♦) Soit n ∈ N∗ et Un = {ω ∈ C , ω n = 1}.
(a) Calculer, selon les valeurs de p ∈ Z la somme Sp =
X
ωp.
ω∈Un
(b) Soit P = a0 + . . . + an−1 X n−1 ∈ Cn−1 [X]. Exprimer chaque coefficient ak en fonction des
P (ω) et des ω, pour ω décrivant Un (indication : commencer par a0 ).
(c) En déduire que pour tout k ∈ {0, . . . , n − 1}, la majoration suivante est satisfaite:
|ak | ≤ max{|P (z)| , z ∈ C , |z| = 1}
3 (zzz) Pour tout entier naturel n, le n-ième polynôme de Tchebichev, noté Tn , est caractérisé
par la propriété:
∀x ∈ R , cos nx = Tn (cos x) (¦)
(a) Justifier cette définition, càd prouver que l’équation (¦) admet bien un polynôme solution
et un seul. Que valent T0 , T1 et T2 ?
(b) Montrer que pour tout entier naturel n et tout réel x on a également Tn (x) = cos(narccosx).
(c) Prouver que la suite (Tn )n∈N satisfait la relation de récurrence:
∀n ∈ N , Tn+2 = 2XTn+1 − Tn
Calculer à titre d’exemple les Tn pour n ∈ {3, 4, 5}.
3
(d) Donner l’expression du degré et du coefficient de Tn (on démontrera soigneusement les
formules énoncées). Etudier la parité de Tn .
Remarque: on peut présenter les choses en sens inverse : on construit une suite de polynômes
par la relation de récurrence du (c) et on montre qu’elle vérifie la propriété (¦).
(e) Montrer que Tn admet n racines réelles distinctes (on détaillera bien ce point) que l’on
précisera. Donner la factorisation de Tn en produit de polynômes réels irréductibles.
2.2. Familles libres, familles liées, bases.
4 (z) Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E tel que, pour tout x dans E, la famille
(x, f (x)) est liée. Montrer que f est une homothétie (càd est de la forme λidE ).
5 (♦)(i) Montrer que la famille {x 7→ sin x, x →
7
sin 2x, . . . , x 7→ sin nx} est libre dans le
R-espace vectoriel F(R) des fonctions de R dans lui-même (on pourra dériver une relation de
dépendance linéaire entre ces fonctions).
(ii) Montrer que la famille {x 7→ 1, x 7→ exp(ix), x 7→ exp(2ix), . . . , x 7→ exp(inx)} est libre dans
le C-espace vectoriel F(R, C).
6 (a) Donner une base du sous-espace vectoriel de R3 défini par les équations x + y + z = 0 et
2x − y + z = 0.
(b) Donner une base de l’espace des polynômes de degré inférieur à 4 qui vérifient P (1) = 0 et
P 0 (2) = 0.
2.3. Applications linéaires, projecteurs, symétries.
7 (z) Soient E un espace vectoriel et f ∈ L(E). Montrer que
Kerf 2 = Kerf ⇔ Imf ∩ Kerf = {0}
8 (z) Soient E un espace vectoriel, f ∈ L(E), et p un projecteur de E. Montrer que p◦f = f ◦p
si et seulement si Imp et Kerp sont stables par f .
2.4. Espaces vectoriels de dimension finie ; théorème du rang.
9 (z) Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie n paire. Montrer
l’équivalence
n
(f 2 = 0 et rgf = ) ⇔ (Imf = Kerf )
2
10 (z) Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie. Montrer l’équivalence
Imf = Imf 2 ⇔ Imf ⊕ Kerf = E ⇔ Kerf = Kerf 2
11 (Polynômes de Lagrange) On se donne n + 1 nombres réels deux à deux distincts a0 , . . . , an .
(a) Montrer que l’application P 7→ (P (a0 ), . . . , P (an )) est un isomorphisme d’espaces vectoriels
entre Rn [X] et Rn+1 .
(b) En déduire que pour tout (n + 1)-uplet (b0 , . . . , bn ) il existe un unique polynôme P de degré
inférieur à n tel que : ∀i ∈ [|0, n|] , P (ai ) = bi .
(c) Montrer qu’il existe une unique famille (L0 , . . . , Ln ) de polynômes de degré ≤ n tels que:
∀(i, j) ∈ [|0, n|]2 , Li (aj ) = δi,j
(d) Montrer que (L0 , . . . , Ln ) est une base de Rn [X]. Pour tout polynôme P de Rn [X], calculer
les coordonnées de P dans (L0 , . . . , Ln ).
4
Si on se donne (b0 , . . . , bn ) ∈ Rn+1 , exprimer l’unique polynôme P solution du problème de la
question (b).
2.5. Matrices.
13 (♦) Soit A ∈ M2 (K).
(a) On note Tr(A) la somme des éléments diagonaux de A.
Vérifier que A2 − Tr(A)A + det(A)I2 = 02 (théorème de Cayley-Hamilton).
(b) En déduire une CNS pour que A soit inversible ; donner alors l’expression de A−1 .
(c) Montrer que pour tout entier naturel n, An ∈ Vect{I2 , A}.

0 1 0
14 (♦) (a) On considère la matrice N =  0 0 1 . Calculer les puissances de N .
0 0 0


1 2 3

0 1 2 . Exprimer A en fonction de N puis montrer que pour tout entier
(b) On pose A =
0 0 1
naturel n, An ∈ Vect{I2 , N, N 2 }.

(c) Calculer An pour tout n ∈ N. Est-il possible de généraliser la formule obtenue à n ∈ Z?
15 (♦♦) Si A ∈ Mn (K), on rappelle que la trace de A est la somme des éléments diagonaux
de A.
(a) Montrer que A 7→ Tr(A) est une application linéaire.
(b) Montrer que pour tout (A, B) ∈ Mn (K)2 on a Tr(AB) = Tr(BA).
(c) Montrer que si P est inversible alors Tr(P −1 AP ) = Tr(A). En déduire que si E est un
K-espace vectoriel et f ∈ L(E), alors Tr(MB (f )) est indépendant du choix de la base B de E.
Ce nombre est par définition la trace de f .
16 (z)(Matrices à diagonale dominante) Soit A = (ai,j )1≤i≤n,1≤j≤n telle que
X
∀i ∈ {1, . . . , n}, |ai,i | >
|ai,j |
j6=i
Montrer que A est inversible (on pourra considérer une solution X du système linéaire AX = 0
et introduire un entier i0 tel que |xi0 | = max{|xi | , 1 ≤ i ≤ n}).
2.6. Opérations élémentaires sur les matrices ; systèmes linéaires.
17 Déterminer le rang des matrices suivantes (m désigne un paramètre réel):


1 1 1 m
 1 1 m 1 


 1 m 1 1 
m 1 1 1

1 −m
m2
 m −m2
m 
m
1
−m3

18 Inverser les matrices suivantes (lorsque c’est possible):


1
1 1−m
 1 + m −1

2
2
−m
3
5



λ 0 0
 0 λ 1 
0 −1 λ







0
0
.
.
.
an
.........
.........
.........
0
a2
.
.
.
0
a1
0
.
.
.
0









1
0
0
 −a 1
0

 0 −a 1
0
0 −a

0
0 

0 
1
19 (♦) Soient x0 , . . . xn−1 des réels deux à deux distincts. Montrer que la matrice de Vandermonde associée V = (xi−1
j−1 ) ∈ Mn (R) est inversible (on pourra considérer le système V X = 0).
¯
¯
¯ 1 a a2 ¯
¯
¯
19 Factoriser le déterminant V (a, b, c) = ¯¯ 1 b b2 ¯¯.
¯ 1 c c2 ¯