révisions d`alg`ebre

PC* 2013-2014
R´ EVISIONS D’ALG` EBRE
Les chapitres ”nombres complexes”,”polynˆomes” ainsi que tous les chapitres d’alg`ebre lin´eaire
de premi`ere ann´ee sont `a reprendre en insistant particuli`erement sur les points suivants (´enonc´es
et d´emonstrations):
1. Cours
D´efinition d’un (sous-)groupe, d’un (sous-)anneau et exemples classiques (anneau des polynˆomes,
anneau des matrices carr´ees, groupe des matrices inversibles, groupe des matrices orthogonales...)
Formule du binˆome de Newton pour (a+b)navec aet bdeux ´el´ements d’un anneau qui
commutent (ex. typique: aet bsont deux matrices qui commutent).
Formule de Bernouilli dans un anneau Adont on note ele neutre multiplicatif:
∀a∈A, ∀n∈N: (e−a)(e+a+a2+. . . +an) = e−an+1
Par exemple dans l’anneau Mn(K) des matrices carr´ees de taille n, on peut ´ecrire:
(In−N)(I+N+. . . +Nr−1) = In−Nr
Si Nr= 0 (c`ad si Nest nilpotente) on en d´eduit que In−Nest inversible d’inverse: I+N+
. . . +Nr−1.
Lorsque A=Rou Cet a6= 1, la formule de Bernouilli peut s’´ecrire: 1+a+...+an=1−an+1
1−a.
Voir le poly d’analyse pour des applications `a des calculs de sommes trigonom´etrique du type
n
X
k=0
cos(kx)).
Plus g´en´eralement, si n≥p, on a : ap+. . . +an=ap−an+1
1−a.
Racines n-i`emes complexes de l’unit´e.Il faut savoir montrer que leur somme est nulle et calculer
leur produit.
Formules d’Euler et de Moivre. Il faut savoir lin´eariser un polynˆome trigonom´etrique et
´egalement effectuer l’op´eration inverse.
Il faut ´egalement savoir factoriser les expressions 1 + eix,1−e−ix, eix +eiy et eix −eiy .
Nombres complexes et g´eom´etrie: il faut savoir traduire en termes de nombres complexes les
notions de g´eom´etrie du plan (distance, orthogonalit´e, similitudes planes). Il faut en particulier
savoir utiliser la parm´etrisation du cercle unit´e par t7→ eit.
Il faut savoir qu’une matrice de la forme µa−b
b a ¶est une matrice de similitude directe (dont
le rapport r≥0 et l’angle θsont d´efinis par la relation a+ib =reiθ).
Polynˆomes: caract´erisation d’une racine d’ordre r. Relations coefficients-racines.
Il faut ´egalement connaitre le th´eor`eme de factorisation des polynˆomes de R[X] ainsi que la
forme de l’ensemble de leurs racines (paires conjugu´ees).
D´efinition d’un projecteur, d’une sym´etrie.
Un endomorphisme pest un projecteur ssi p2=p. Dans ce cas Kerpet Impsont en somme
directe et pest le projecteur sur Impparall`element `a Kerp.
1

2
R´esultat du mˆeme type pour les sym´etries.
Si E=E1⊕E2et si f1et f2sont des applications lin´eaires respectivement de E1et de E2
dans un mˆeme espace F, alors il existe une application lin´eaire de Edans Fet une seule telle
que f|E1=f1et f|E2=f2. On dit que fprolonge f1et f2.
L’application fn’est autre que f1◦p1+f2◦p2o`u p1et p2d´esignent les deux projecteurs associ´es
`a la d´ecomposition E=E1⊕E2.
La formule de Grassmann (dimension d’une somme de sev).
Soient Eet Fdeux espaces vectoriel de dimension finie, soit u∈ L(E, F ) et F0un suppl´ementaire
de Keru. La restriction u0de u`a E0induit un isomorphisme de E0sur Imu.
La formule du rang s’en d´eduit.
Formule de changement de base sur les matrices.
Op´erations ´el´ementaires sur les rang´ees d’une matrice. Application au calcul du rang.
M´ethode du pivot de Gauss pour r´esoudre un syst`eme lin´eaire puis pour inverser une matrice.
D´efinition du d´eterminant en dimension 2 et 3. Il faut ˆetre capable de calculer un d´eterminant
d’ordre trois.
2. Exercices
Certains des exercices suivants sont des classiques dont les r´esultats et les preuves sont `a con-
naitre (ils sont not´es z). Vous en avez probablement trait´es plusieurs durant la premi`ere ann´ee.
D’autres contiennent des id´ees importantes et des m´ethodes de base qui pourront ˆetre r´einvesties
dans d’autres exercices (ils sont not´es ♦).
2.1. Nombres complexes, polynˆomes.
1 (♦♦) Montrer que x7→ x−i
x+iest une bijection entre Ret le cercle unit´e priv´e de 1.
2 (♦♦) Soit n∈N∗et Un={ω∈C, ωn= 1}.
(a) Calculer, selon les valeurs de p∈Zla somme Sp=X
ω∈Un
ωp.
(b) Soit P=a0+. . . +an−1Xn−1∈Cn−1[X]. Exprimer chaque coefficient aken fonction des
P(ω) et des ω, pour ωd´ecrivant Un(indication : commencer par a0).
(c) En d´eduire que pour tout k∈ {0, . . . , n −1}, la majoration suivante est satisfaite:
|ak| ≤ max{|P(z)|, z ∈C,|z|= 1}
3 (zzz) Pour tout entier naturel n, le n-i`eme polynˆome de Tchebichev, not´e Tn, est caract´eris´e
par la propri´et´e:
∀x∈R,cos nx =Tn(cos x) (¦)
(a) Justifier cette d´efinition, c`ad prouver que l’´equation (¦) admet bien un polynˆome solution
et un seul. Que valent T0, T1et T2?
(b) Montrer que pour tout entier naturel net tout r´eel xon a ´egalement Tn(x) = cos(narccosx).
(c) Prouver que la suite (Tn)n∈Nsatisfait la relation de r´ecurrence:
∀n∈N, Tn+2 = 2XTn+1 −Tn
Calculer `a titre d’exemple les Tnpour n∈ {3,4,5}.

3
(d) Donner l’expression du degr´e et du coefficient de Tn(on d´emontrera soigneusement les
formules ´enonc´ees). Etudier la parit´e de Tn.
Remarque: on peut pr´esenter les choses en sens inverse : on construit une suite de polynˆomes
par la relation de r´ecurrence du (c) et on montre qu’elle v´erifie la propri´et´e (¦).
(e) Montrer que Tnadmet nracines r´eelles distinctes (on d´etaillera bien ce point) que l’on
pr´ecisera. Donner la factorisation de Tnen produit de polynˆomes r´eels irr´eductibles.
2.2. Familles libres, familles li´ees, bases.
4 (z) Soit fun endomorphisme d’un espace vectoriel Etel que, pour tout xdans E, la famille
(x, f(x)) est li´ee. Montrer que fest une homoth´etie (c`ad est de la forme λidE).
5 (♦)(i) Montrer que la famille {x7→ sin x, x 7→ sin 2x, . . . , x 7→ sin nx}est libre dans le
R-espace vectoriel F(R) des fonctions de Rdans lui-mˆeme (on pourra d´eriver une relation de
d´ependance lin´eaire entre ces fonctions).
(ii) Montrer que la famille {x7→ 1, x 7→ exp(ix), x 7→ exp(2ix), . . . , x 7→ exp(inx)}est libre dans
le C-espace vectoriel F(R,C).
6 (a) Donner une base du sous-espace vectoriel de R3d´efini par les ´equations x+y+z= 0 et
2x−y+z= 0.
(b) Donner une base de l’espace des polynˆomes de degr´e inf´erieur `a 4 qui v´erifient P(1) = 0 et
P0(2) = 0.
2.3. Applications lin´eaires, projecteurs, sym´etries.
7 (z) Soient Eun espace vectoriel et f∈ L(E). Montrer que
Kerf2= Kerf⇔Imf∩Kerf={0}
8 (z) Soient Eun espace vectoriel, f∈ L(E), et pun projecteur de E. Montrer que p◦f=f◦p
si et seulement si Impet Kerpsont stables par f.
2.4. Espaces vectoriels de dimension finie ; th´eor`eme du rang.
9 (z) Soit fun endomorphisme d’un espace vectoriel Ede dimension finie npaire. Montrer
l’´equivalence
(f2= 0 et rgf=n
2)⇔(Imf= Kerf)
10 (z) Soit fun endomorphisme d’un espace vectoriel Ede dimension finie. Montrer l’´equivalence
Imf= Imf2⇔Imf⊕Kerf=E⇔Kerf= Kerf2
11 (Polynˆomes de Lagrange) On se donne n+ 1 nombres r´eels deux `a deux distincts a0, . . . , an.
(a) Montrer que l’application P7→ (P(a0), . . . , P (an)) est un isomorphisme d’espaces vectoriels
entre Rn[X] et Rn+1.
(b) En d´eduire que pour tout (n+ 1)-uplet (b0, . . . , bn) il existe un unique polynˆome Pde degr´e
inf´erieur `a ntel que : ∀i∈[|0, n|], P (ai) = bi.
(c) Montrer qu’il existe une unique famille (L0, . . . , Ln) de polynˆomes de degr´e ≤ntels que:
∀(i, j)∈[|0, n|]2, Li(aj) = δi,j
(d) Montrer que (L0, . . . , Ln) est une base de Rn[X]. Pour tout polynˆome Pde Rn[X], calculer
les coordonn´ees de Pdans (L0, . . . , Ln).

4
Si on se donne (b0, . . . , bn)∈Rn+1, exprimer l’unique polynˆome Psolution du probl`eme de la
question (b).
2.5. Matrices.
13 (♦) Soit A∈ M2(K).
(a) On note Tr(A) la somme des ´el´ements diagonaux de A.
V´erifier que A2−Tr(A)A+ det(A)I2= 02(th´eor`eme de Cayley-Hamilton).
(b) En d´eduire une CNS pour que Asoit inversible ; donner alors l’expression de A−1.
(c) Montrer que pour tout entier naturel n,An∈Vect{I2, A}.
14 (♦) (a) On consid`ere la matrice N=
010
001
000
. Calculer les puissances de N.
(b) On pose A=
123
012
001
. Exprimer Aen fonction de Npuis montrer que pour tout entier
naturel n,An∈Vect{I2, N, N 2}.
(c) Calculer Anpour tout n∈N. Est-il possible de g´en´eraliser la formule obtenue `a n∈Z?
15 (♦♦) Si A∈ Mn(K), on rappelle que la trace de Aest la somme des ´el´ements diagonaux
de A.
(a) Montrer que A7→ Tr(A) est une application lin´eaire.
(b) Montrer que pour tout (A, B)∈ Mn(K)2on a Tr(AB) = Tr(BA).
(c) Montrer que si Pest inversible alors Tr(P−1AP ) = Tr(A). En d´eduire que si Eest un
K-espace vectoriel et f∈ L(E), alors Tr(MB(f)) est ind´ependant du choix de la base Bde E.
Ce nombre est par d´efinition la trace de f.
16 (z)(Matrices `a diagonale dominante) Soit A= (ai,j )1≤i≤n,1≤j≤ntelle que
∀i∈ {1, . . . , n},|ai,i|>X
j6=i
|ai,j |
Montrer que Aest inversible (on pourra consid´erer une solution Xdu syst`eme lin´eaire AX = 0
et introduire un entier i0tel que |xi0|= max{|xi|,1≤i≤n}).
2.6. Op´erations ´el´ementaires sur les matrices ; syst`emes lin´eaires.
17 D´eterminer le rang des matrices suivantes (md´esigne un param`etre r´eel):
111m
1 1 m1
1m1 1
m111
1−m m2
m−m2m
m1−m3
1 1 1 −m
1 + m−1 2
2−m3
18 Inverser les matrices suivantes (lorsque c’est possible):

5
λ0 0
0λ1
0−1λ
0......... 0a1
0......... a20
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an......... 0 0
1 0 0 0
−a1 0 0
0−a1 0
0 0 −a1
19 (♦) Soient x0, . . . xn−1des r´eels deux `a deux distincts. Montrer que la matrice de Vander-
monde associ´ee V= (xi−1
j−1)∈ Mn(R) est inversible (on pourra consid´erer le syst`eme V X = 0).
19 Factoriser le d´eterminant V(a, b, c) = ¯
¯
¯
¯
¯
¯
1a a2
1b b2
1c c2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.