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Calcul II
Définition de la dérivée
f '(x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
Règles de dérivation
d
( cf ) = c f '
dx
d
( f ± g ) = f '± g′
dx
d
( fg ) = f ' g + fg'
dx
d ⎛ f ⎞ f ′g − fg′
=
dx ⎜⎝ g ⎟⎠
( g )2
df df du
=
⋅
dx du dx
dy
1
=
dx dx / dy
Dérivation des fonctions
élémentaires
d
( constante ) = 0
dx
d n
x ) = nx n−1 si n ≠ 0
(
dx
d
(sin(x)) = cos(x)
dx
d
( cos(x)) = − sin(x)
dx
d
( tan(x)) = sec 2 (x)
dx
d x
e ) = ex
(
dx
d
1
( ln(x)) =
dx
x
Définition des fonctions trigonométriques
Opposé
Hypothénuse
Adjacent
cos(x) =
Hypothénuse
Opposé
sin(x)
tan(x) =
=
Adjacent cos(x)
sin(x) =
Hypothénuse
1
=
Opposé
sin(x)
Hypothénuse
1
sec(x) =
=
Adjacent
cos(x)
Adjacent
1
cos(x)
cot(x) =
=
=
Opposé tan(x) sin(x)
csc(x) =
Identités trigonométriques
Sommes importantes
sin (x) + cos (x) = 1
2
2
n
∑1 =n
1+ tan 2 (x) = sec 2 (x)
1+ cot (x) = csc (x)
1− cos(2x)
sin 2 (x) =
2
1+ cos(2x)
cos 2 (x) =
2
1
sin(x)cos(x) = sin(2x)
2
1
sin(x)cos(y) = [ sin(x − y) + sin(x + y)]
2
1
sin(x)sin(y) = [ cos(x − y) − cos(x + y)]
2
1
cos(x)cos(y) = [ cos(x − y) + cos(x + y)]
2
2
i=1
n
2
Définition de l’intégrale définie
n
b
b−a ⎛
(b − a)i ⎞
f
(x)dx
=
lim
f
a
+
∑
⎜
⎟
∫a
n→∞
⎝
n
n ⎠
i=1
∑i =
i=1
n
∑i
i=1
∫
b
a
f ′(x)dx = f (b) − f (a)
d x
f (t)dt = f (x)
dx ∫a
=
n(n + 1)(2n + 1)
6
n(n + 1)
∑ i = ⎡⎢⎣ 2 ⎤⎥⎦
i=1
n
2
3
Propriétés de
l’intégrale définie
∫
a
∫
a
∫
b
∫
b
∫
b
a
b
a
a
a
Théorème fondamental du calcul
2
n(n + 1)
2
f dx = 0
b
f dx = − ∫ f dx
a
c
b
f dx = ∫ f dx + ∫ f dx
a
c
b
b
a
a
( f ± g)dx = ∫ f dx ± ∫ gdx
b
k fdx = k ∫ f dx
a
Formule quadratique
Si ax 2 + bx + c = 0
−b ± b 2 − 4ac
Alors x =
2a
Règle de l’Hospital
f (x)
0
∞
Si lim
est de la forme ou
x→a g(x)
0
∞
f (x)
f ′(x)
alors lim
= lim
x→a g(x)
x→a g′ (x)
Formes indéterminées
Forme
0
∞
ou
0
∞
Utiliser directement la règle de
l’Hospital
0 ⋅(±∞)
Transformer f (x)g(x) sous la
f (x)
forme 1 / g(x) puis règle de
l’Hospital
∞−∞
Factoriser, utiliser des identités
trigonométrique ou des
dénominateurs commun pour
nous permettre d’utiliser la règle
de l’Hospital
Algèbre des limites
Si chacune des limites ci dessous
existe, alors:
lim cf (x) = c lim f (x)
x→a
x→a
lim ( f (x) ± g(x)) = lim f (x) ± lim g(x)
x→a
x→a
x→a
lim ( f (x)g(x)) = lim f (x)lim g(x)
x→a
x→a
lim
f (x)
f (x) lim
= x→a
g(x) lim g(x)
x→a
Quoi faire
0 0 , ∞ 0 ou 1±∞ Utiliser des logarithmes pour
obtenir une des formes ci dessus
x→a
x→a
De plus, si f est une fonction
continue, alors:
(
lim f (g(x)) = f lim g(x)
x→a
x→a
)
Changement de variables
∫ f (g(x))g′(x)dx = ∫ f (x)dx
∫
b
a
f (g(x))g′(x)dx = ∫
g(b)
g(a)
f (x)dx
Formules de base pour l’intégration
x
n+1
∫ x dx = n + 1 + C,
n
si n ≠ −1
1
∫ x dx = ln x + C
∫ cos(x)dx = sin(x) + C
∫ sin(x)dx = − cos(x) + C
∫ tan(x)dx = − ln cos(x) + C
∫ cot(x)dx = ln sin(x) + C
∫ sec(x)dx = ln sec(x) + tan(x) + C
∫ csc(x)dx = − ln csc(x) + cot(x) + C
∫ sec (x)dx = tan(x) + C
∫ csc (x)dx = − cot(x) + C
2
2
si g′(x) ≠ 0 sur (a,b)
Intégration par partie
∫ sec(x)tan(x)dx = sec(x) + C
∫ csc(x)cot(x)dx = − csc(x) + C
∫ e dx = e + C
x
x
ax
∫ a dx = ln(a) + C
1
∫ 1− x 2 dx = arcsin(x) + C
1
∫ 1+ x 2 dx = arctan(x) + C
1
∫ x x 2 − 1dx = arcsec(x) + C
x
∫ udv = uv − ∫ vdu
Différentielles
Δx = b − a
Δy = f (b) − f (a)
dx = Δx
dy = f '(a)dx
Si Δx est petit Δy ≈ dy
Intégration des fonctions trigonométriques
Forme
Méthode
∫ sin (ax)dx
Si n est impair, conserver une copie de sin(ax) et remplacer les autres en
cosinus. Faites ensuite un changement de variable.
n
Si n est pair, utiliser l’identité sin 2 (ax) =
1− cos(2ax)
et calculer le produit.
2
∫ cos (ax)dx
Comme précédemment en inversant sin et cos.
∫ sin
Si m ou n est un entier impair plus grand ou égal à 3, on remplace la
fonction ayant un exposant impair en utilisant
sin 2 (ax) + cos 2 (ax) = 1
n
m
(ax)cos n (ax)dx
Si m et n sont pairs, utiliser les identités suivante:
1− cos(2ax)
1+ cos(2ax)
1
sin 2 (ax) =
, c os 2 (ax) =
et sin(ax)cos(ax) = sin(2ax)
2
2
2
1
n
∫ (sin(ax)cos(bx)) dx Utiliser l’identité sin(ax)cos(by) = 2 [sin(ax − by) + sin(ax + by)]
1
n
Utiliser l’identité sin(ax)sin(by) = [ cos(ax − by) − cos(ax + by)]
sin(ax)sin(bx)
dx
(
)
∫
2
1
n
∫ ( cos(ax)cos(bx)) dx Utiliser l’identité cos(ax)cos(by) = 2 [ cos(ax − by) + cos(ax + by)]
∫ tan (ax)dx
Utiliser l’identité 1+ tan 2 (ax) = sec 2 (ax) pour remplacer un tan 2 (ax)
Ensuite on fait un changement de variable.
n
∫ sec (ax)dx
2
Si n est pair, conserver une copie de sec (ax) et transformer les autre en
utilisant l’identité 1+ tan 2 (ax) = sec 2 (ax)
n
Si n est impair, utiliser l’intégration par partie.
n
m
∫ sec (ax)tan (ax)dx
Si n est pair, isoler un sec 2 (ax) et transformer les reste des sécantes en
tangentes à l’aide de l’identités 1+ tan 2 (ax) = sec 2 (ax)
Si n et m sont impairs, isoler sec(ax)tan(ax) et transformer le reste des
2
2
tangentes en sécantes à l’aide de l’identité 1+ tan (ax) = sec (ax)
Si n est impair et m est pair, utiliser l’identité 1+ tan 2 (ax) = sec 2 (ax) pour
retrouver seulement des sécantes.
Valeurs des fonctions trigonométriques à connaître
Radian
0
π/6
sin(x)
0
1/ 2
cos(x)
1
tan(x)
0 1/ 3
3/2
π/4
π/3
π/2
Radian
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2
2
2/ 3
1
2 /2
3/2
1
csc(x)
∃/
2 /2
1/ 2
0
sec(x)
1
2/ 3
2
2
∃/
3
∃/
cot(x)
∃/
3
1
1/ 3
0
1
Substitutions trigonométrique
Forme
Substitution
2
x = asin(θ )
a2 + x 2
x = a tan(θ )
x 2 − a2
x = asec(θ )
a
x = sin(θ )
b
a
x = tan(θ )
b
a
x = sec(θ )
b
a −x
2
a2 − b2 x 2
a2 + b2 x 2
b2 x 2 − a2
ax 2 + bx + c
Décomposition en fractions partielles
Si le degré du numérateur est supérieur ou égal à celui du
dénominateur, effectuer la division euclidienne.
Chaque facteur de la forme (x + a)n au dénominateur
donnera n fractions de la forme:
A1
A2
A3
An
+
+
+ ...+
2
3
(x + a) (x + a) (x + a)
(x + a)n
2
n
Chaque facteur de la forme (x + bx + c) au
dénominateur donnera n fractions de la forme:
A1 x + B1
A x + B2
A x + Bn
+ 22
+ ...+ 2 n
2
2
(x + bx + c) (x + bx + c)
(x + bx + c)n
Complétez le carré
Volumes de révolution
Longueurs de courbes
Aire des surfaces de révolution
b
Méthode des disques:
b
V = ∫ πr2E
L=∫
b
a
A = ∫ 2π f (x) 1+ ( f ′(x))2 dx
1+ ( f ′(x)) dx
2
a
a
Méthode des tubes
b
V = ∫ 2π rHE
a
Graphique de quelques fonctions usuelles
ln(x)
x
e
sin(x) x
cos(x) tan(x)