Suites

Suites
1D´efinition, vocabulaire
1.1 Une suite r´eelle (un)n∈Nest une liste de nombres r´eels, class´es : u0,u
1,...,u n,u n+1,...
Il y a plusieurs fa¸cons de d´ecrire une suite. Soit on donne l’expression de unen fonction de n, soit on donne
une relation entre unet les termes pr´ec´edents de la suite (un−1,u
n2, ... )
Exemple:
∀n∈Nun=n2
∀n∈N,u
n=2u2
n−1
1.2 Une suite (r´eelle) est croissante si ∀n∈N,u
n+1 ≥un≥0.
Il y a plusieurs fa¸cons de montrer qu’une suite est croissante ou non. Si un=f(n), on peut par exemple
´etudier le sens de variation de f(avec d´eriv´ee, etc...), mais la m´ethode g´en´erale est de calculer le signe de
un+1 −un
1.3 Vocabulaire:
•Une suite constante est dite stationnaire
•Une suite croissante ou d´ecroissante est dite monotone
1.4 Une suite extraite de unest une suite qui s’´ecrit uφ(n),o`uφest sritement croissante.
Exemple:
Les suites u2net u2n+1 sont extraites de la suite un.
1.5 Une suite est major´ee si ∃M∈Rtq ∀n, un≤M.
1.6 Une suite est born´ee si elle est major´ee et minor´ee, ie si ∃M∈Rtq ∀n, |un|≤M.
2 Notion de convergence
2.1 On dit qu’une suite unconverge vers l, si quelque soit la pr´ecision εchoisie, `a partir d’un certain rang
|un−l|≤ε
On ´ecrit math´ematiquement : ∀ε>0,∃N∈Ntq ∀n≥N, |un−l|≤ε
Cela veut dire que unse rapproche de laussi proche que je le veux, et pour ceci je devrais prendre nassez
grand.
2.2 Une suite qui ne converge pas est dite divergente.
2.3 Parmi les suites divergentes, il y en a qui tendent vers +∞. Une telle suite v´erifie ∀A>0,∃N∈Ntq
∀n≥N, un≥A
2.4 Une suite qui converge n’a qu’une seule limite
2.5 Une suite qui converge est forc´ement born´ee, mais la r´eciproque n’est pas vraie.

3Propri´et´es des suites convergentes
3.1 Si unconverge vers l, toute suite extraite de unconverge vers l.
Exemple:
un=(−1)ndiverge, car u2net u2n+1 ne convergent pas vers la mˆeme limite.
3.2 Op´erations sur les limites : on a les tableaux r´ecapitulatifs :
3.3 Passage `a la limite : Si `a partir d’un certain rang, un<a,etsiunconverge vers l,alorsl≤a
3.4 Si unconverge vers l,sil∈]a, b[, alors, `a partir d’un certain rang, on a un∈]a, b[.
4Th´eor`emes sur les suites convergentes
4.1 (TMB) Soit unune suite croissante et major´ee. Alors elle converge. ( mais on ne connait pas sa limite)
4.2 (Th´eor`eme des gendarmes) Soient 3 suites un,v
net wn.Si:
•`a partir d’un certain rang, on a vn≤un≤wn
•si vnet wnconvergent vers la mˆeme limite l
alors un−−−−−→
n→+∞l
4.3 Si un≤vn,siun−−−−−→
n→+∞+∞,alorsvn−−−−−→ n→+∞+∞
2

5 Des suites classiques
5.1 Une suite arithm´etique est une suite telle que ∃a∈Rtq ∀n, un+1 =un+a.aest appel´eraisondelasuite
5.2 Une suite g´eom´etrique est une suite telle que ∃a∈Rtq ∀n, un+1 =aun.aest appel´eraisondelasuite
5.3 Propri´et´es des suites g´eom´etriques :
•Onaun=u0an
•Si |a|<1, alors un−−−−−→
n→+∞0. Sinon, on ne sait rien.
•(Formule `a savoir par coeur) xp+xp+1 +...+xn=xp−xn+1
1−xsi (x=1)
5.4 Une suite arithm´etico-g´eom´etrique est une suite telle que ∃(a, b)∈R2tq ∀n, un+1 =aun+b
5.5 On peut calculer unen fonction de n. Pour cela, on r´esoud l’´equation x=ax +b.Lasolutionest b
1−a,eton
montre que un−b
1−aest une suite g´eom´etrique.
5.6 Les suites r´ecurrentes, lin´eaires, d’ordre 2 : ce sont des suites telles que ∃(a, b)∈R2tq ∀n, un+2 =
aun+1 +bun=0
5.7 Dans ce cas, on peut calculer unen fonction de n. Pour cela, on r´esoud l’´equation x2=ax +b.(´equation
caract´eristique)
•Si ∆ >0, il y a 2 solutions r´eelles x1et x2,ilexisteAet Btq un=Axn
1+Bxn 2( on determine A, B `a
l’aide des premiers termes)
•Si ∆ = 0, il y a 1 solutions r´eelle : x1,ilexisteAet Btq un=(A+nB)xn
1( on determine A, B `a l’aide
des premiers termes)
•Si ∆ <0, il y a 2 solutions complexes conjugu´ees reiθ et re−iθ .ilexisteAet Btq un=Arncos(θ)+
Brnsin(θ)(ondetermineA, B `a l’aide des premiers termes)
3