Suites

Suites
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1.1
Définition, vocabulaire
Une suite réelle (un )n∈N est une liste de nombres réels, classés : u0 , u1 , . . . , un , un+1 , . . .
Il y a plusieurs façons de décrire une suite. Soit on donne l’expression de un en fonction de n, soit on donne
une relation entre un et les termes précédents de la suite (un−1 , un2 , ... )
Exemple:
∀n ∈ Nun = n2
∀n ∈ N, un = 2u2n−1
1.2
Une suite (réelle) est croissante si ∀n ∈ N, un+1 ≥ un ≥ 0.
Il y a plusieurs façons de montrer qu’une suite est croissante ou non. Si un = f (n), on peut par exemple
étudier le sens de variation de f (avec dérivée, etc...), mais la méthode générale est de calculer le signe de
un+1 − un
1.3
Vocabulaire:
• Une suite constante est dite stationnaire
• Une suite croissante ou décroissante est dite monotone
1.4
Une suite extraite de un est une suite qui s’écrit uφ(n) , où φ est sritement croissante.
Exemple:
Les suites u2n et u2n+1 sont extraites de la suite un .
1.5
Une suite est majorée si ∃M ∈ R tq ∀n, un ≤ M .
1.6
Une suite est bornée si elle est majorée et minorée, ie si ∃M ∈ R tq ∀n, |un | ≤ M .
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2.1
Notion de convergence
On dit qu’une suite un converge vers l, si quelque soit la précision ε choisie, à partir d’un certain rang
|un − l| ≤ ε
On écrit mathématiquement : ∀ε > 0, ∃N ∈ N tq ∀n ≥ N, |un − l| ≤ ε
Cela veut dire que un se rapproche de l aussi proche que je le veux, et pour ceci je devrais prendre n assez
grand.
2.2
Une suite qui ne converge pas est dite divergente.
2.3
Parmi les suites divergentes, il y en a qui tendent vers +∞. Une telle suite vérifie ∀A > 0, ∃N ∈ N tq
∀n ≥ N, un ≥ A
2.4
Une suite qui converge n’a qu’une seule limite
2.5
Une suite qui converge est forcément bornée, mais la réciproque n’est pas vraie.
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3.1
Propriétés des suites convergentes
Si un converge vers l, toute suite extraite de un converge vers l.
Exemple:
un = (−1)n diverge, car u2n et u2n+1 ne convergent pas vers la même limite.
3.2
Opérations sur les limites : on a les tableaux récapitulatifs :
3.3
Passage à la limite : Si à partir d’un certain rang, un < a, et si un converge vers l, alors l ≤ a
3.4
Si un converge vers l, si l ∈]a, b[, alors, à partir d’un certain rang, on a un ∈]a, b[.
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Théorèmes sur les suites convergentes
4.1
(TMB) Soit un une suite croissante et majorée. Alors elle converge. ( mais on ne connait pas sa limite)
4.2
(Théorème des gendarmes) Soient 3 suites un , vn et wn . Si:
• à partir d’un certain rang, on a vn ≤ un ≤ wn
• si vn et wn convergent vers la même limite l
−−−−→ l
alors un −
n→+∞
4.3
→ +∞
Si un ≤ vn , si un −−−−−→ +∞, alors vn −−−−−
n→+∞
n→+∞
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Des suites classiques
5.1
Une suite arithmétique est une suite telle que ∃a ∈ R tq ∀n, un+1 = un + a. a est appelé raison de la suite
5.2
Une suite géométrique est une suite telle que ∃a ∈ R tq ∀n, un+1 = aun . a est appelé raison de la suite
5.3
Propriétés des suites géométriques :
• On a un = u0 an
• Si |a| < 1, alors un −
−−−−
→ 0. Sinon, on ne sait rien.
n→+∞
• (Formule à savoir par coeur) xp + xp+1 + . . . + xn =
xp −xn+1
1−x
si (x = 1)
5.4
Une suite arithmético-géométrique est une suite telle que ∃(a, b) ∈ R2 tq ∀n, un+1 = aun + b
5.5
On peut calculer un en fonction de n. Pour cela, on résoud l’équation x = ax + b. La solution est
b
est une suite géométrique.
montre que un − 1−a
5.6
Les suites récurrentes, linéaires, d’ordre 2 : ce sont des suites telles que ∃(a, b) ∈ R2 tq ∀n, un+2 =
aun+1 + bun = 0
5.7
Dans ce cas, on peut calculer un en fonction de n. Pour cela, on résoud l’équation x2 = ax + b. (équation
caractéristique)
b
1−a ,
et on
• Si ∆ > 0, il y a 2 solutions réelles x1 et x2 , il existe A et B tq un = Axn1 + Bxn2 ( on determine A, B à
l’aide des premiers termes)
• Si ∆ = 0, il y a 1 solutions réelle : x1 , il existe A et B tq un = (A + nB)xn1 ( on determine A, B à l’aide
des premiers termes)
• Si ∆ < 0, il y a 2 solutions complexes conjuguées reiθ et re−iθ . il existe A et B tq un = Ar n cos(θ) +
Br n sin(θ) ( on determine A, B à l’aide des premiers termes)
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