Suites numériques.

Universit´e Toulouse 2 le Mirail Ann´ee universitaire 2006/2007
L2 MASS. Rattrapage analyse S3
Suites num´eriques.
Exercice 1 1. Montrer que toute suite convergeante est born´ee.
2. Montrer que toute suite croissante non major´ee tend vers +∞
3. Montrer que si une suite converge, alors sa limite est unique.
4. (a) Soit (un) une suite num´erique telle que (u2n) et (u2n+1) convergent et ont mˆeme
limite `. Montrer qu’alors (un) converge ´egalement vers `.
(b) En d´eduire que la suite ((−1)n)n∈Nn’a pas de limite.
5. Montrer que si (un) est une suite positive qui ne tend pas vers +∞, alors (un) admet une
sous suite convergente.
********************
Exercice 2 Soit (un) une suite num´erique. on suppose que les suites extraites (u2n), (u2n+1)
et (u3n) convergent. Montrer qu la suite (un) converge ´egalement et que toutes ces suite ont
mˆeme limite.
********************
Exercice 3 1. Soit (rn)n∈Nune suite d’entiers relatifs qui converge et soit rsa limite.
(a) Montrer que (rn) est stationnaire `a partir d’un certain rang. (Rappel : la plus petite
distance entre deux entier distincts est 1...)
(b) En d´eduire que rest un entier relatif.
2. Soit x∈R\Qet soit (un) une suite de nombres rationnels qui converge vers x. Pour tout
n∈N, on note
un=pn
qn
,(pn, qn)∈Z×N∗.
Montrer que (qn) et (|pn|) tendent vers +∞.
********************
Exercice 4 Soit f:N→Nune application injective. Montrer que la suite (f(n))n∈Ntend
vers l’infini.
********************
Exercice 5 Calculer les limites des suites (un)n∈Ndans les cas suivantes :
a)un=3n−2n
3n+ 2n, b)un=n
√n2, c)un=√n+ 1 −√n
1

********************
Exercice 6 Soient (un)n>2et (vn)n>2d´efinies par
un=
n
Y
k=2
cos π
2k, vn=unsin π 2n.
1. Montrer que (un) est monotone.
2. Montrer que (vn) est une suite g´eom´etrique.
3. En d´eduire vnpuis unen fonctions de n.
4. En d´eduire la limite de la suite (un).
********************
Exercice 7 Soit (un)n∈N∗d´efinie par
un=√n
4n2n n.
1. Montrer que (un) est monotone.
2. Soit (vn) d´efinie par vn= ln un+1 −ln un.
(a) Montrer que pour tout x∈R+, on ln(x+ 1) 6x.
(b) En d´eduire que
n
X
k=1
vk61
8.
3. En d´eduire que (un) converge.
2