Lycée Déodat de Séverac PTSI Nom : Prénom : Test de cours sur les suites de nombres NOTE : 1. Quand dit-on qu’une suite (un ) est croissante ? 2. Quand dit-on qu’une suite (un ) est minorée par m ? 3. Quand dit-on qu’une suite réelle (un ) admet ℓ ∈ R pour limite lorsque n tend vers +∞ ? 4. Quand dit-on que deux suites (un ) et (vn ) sont de même nature ? 5. Complétez les assertions ci-dessous lorsque cela est necessaire. (a) « Toute suite convergente et (b) « Toute suite bornée et est bornée » converge » (c) « Toute suite croissante et (d) « Toute suite minorée et admet une limite l ∈ R » converge » 6. Énoncez et démontrez le premier théorème d’encadrement 7. Les deux suites (un ) et (vn ) définies par un = n−1 n+2 et vn = sont-elles adjacentes ? Justifiez n+1 n+1 8. Étudier la monotonie de la suite définie par Un = n Y k=1 9. Étudier la nature de la suite définie par un = (−1)n + 1 1+ 2 k 1 . Préciser sa limite, en cas d’existence. n+1 10. On considère une suite récurrente de la forme un+1 = f (un ), avec f continue sur un intervalle I. (a) Pourquoi est-on amené à étudier les points fixes de f ? (b) Si ∀x ∈ I, f (x) ∈ I et u0 ∈ I, que peut-on dire de la suite (un ) ? Esquissez-en alors une preuve 11. On considère la suite définie par : u0 = 1 2 et pour tout n ∈ N, un+1 = un (1 − un ). (a) Calculez u1 et u2 (b) Montrez que (un ) est décroissante. (c) Montrez que pour tout n ∈ N, 0 < un < 1 (d) Conclure 2