Suites - Alexis Bonnecaze

Suites
L’ensemble Ndes entiers naturels, {0,1,2, ..., n, ...}, est la suite mo-
dèle. Soit Eun ensemble infini muni d’une addition associative (x,yet
zdans E) :
(x+y) + z=x+ (y+z) = x+y+z
ayant un élément neutre (x+0 = 0+x=x) et pour laquelle tout élément
x∈Eadmet dans Eun opposé noté −x(x+ (−x) = 0), faisant de E
un groupe additif. C’est souvent un ensemble de nombres, N,Rou C.
Une suite dans Eest définie par une application :
f:N→E
n7→ un,
unétant le terme général de la suite, notée (un)n∈N, ou simplement
(un)n, et Nétant l’ensemble des indices (ainsi 3est l’indice du terme
u3). Notons bien que la suite n’est pas en général un groupe.
Donnons des exemples de suites réelles.
Une suite peut être définie directement, comme un= 1/(n+ 1).
Elle peut être arithmétique :un+1 =un+b,b∈Eet on en connaît
alors tous les termes à partir de u0et de b:un=u0+nb.
Elle peut être géométrique, de raison ret de premier terme u0:
un+1 =run, d’où un=rnu0.
Elle peut être arithmético-géométrique :un+1 =run+b, d’où :
un=rnu0+ (rn−1+rn−2+··· +r+ 1)b.
Elle peut être définie par une somme : un=a0un−1+a1un−1+
···akun−k, comme la suite de Fibonacci : u0=u1= 1,un=un−1+un−2.
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La suite réelle (un)nest croissante si, pour tout n∈N,un≥un−1,
strictement croissante si un> un−1. Elle est décroissante si un≤n−1,
strictement décroissante si un< un−1. Dans ces différents cas, elle est
monotone.
La suite réelle (un)nest bornée s’il existe des réels m, son mino-
rant, et M, son majorant, tels que pour tout n m ≤un≤M. Si elle
est complexe, elle est majorée par M, réel positif, si |un| ≤ M.
La suite (un)nconverge, et sa limite est l∈E, ce qui se note
lim(un) = lou un→0, si, quel que soit  > 0(aussi petit qu’on veut) il
existe un entier Ntel que n>N (ou n≥N) implique |un−l|<  (ou
|un−l| ≤ ). Si elle n’a pas de limite, elle diverge. Ainsi, les suites de
terme général (−1)net √ndivergent ; la première est bornée, la seconde
tend vers l’infini.
La suite (un)nest une suite de Cauchy si elle vérifie le critère de
Cauchy : quel que soit  > 0(aussi petit qu’on veut) il existe un entier
Ntel que, quel que soient les entiers pet qsupérieurs à N,|up−uq|< .
La relation :
(un)nest de Cauchy ⇐⇒ (un)nconverge
permet de savoir que (un)nconverge sans connaître sa limite. Considé-
rons la suite de terme général un= 1/(n+ 1)2. Elle est strictement
décroissante.On a, si q=p+m,m > 0:
up−up+m≤Zp+m+2
p+1
dx
x2=1 p+ 1 −1 p+m+ 2 <1 p+ 1,
et si p > 1/, alors up−up+m≤, quel que soit m. La suite (strictement
décroissante) est donc de Cauchy, et converge.
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Si p:N→Nest une application strictement croissante, la suite
de terme général vn=up(n)est une suite extraite, ou sous-suite, de
(un)n. Ainsi, la suite de terme général √2nest extraite de la suite de
terme général (−1)n√n, la fonction d’extraction étant p(n) = 2n.
La suite (un)nadmet une valeur d’adhérence asi on peut en ex-
traire une sous-suite de limite a. Toute suite bornée admet (au moins)
une valeur d’adhérence. La suite de terme général (−1)n+ 1/(n+ 1)
admet deux valeurs d’adhérence, 1et −1. La limite d’une suite conver-
gente est son unique valeur d’adhérence. Tout intervalle ouvert contenant
la limite ou une valeur d’adhérence d’une suite contient une infinité de
termes de cette suite.
Voyons les principaux critères de convergence.
Le critère de Cauchy ci-dessus.
Une suite monotone bornée converge.
Une suite bornée ayant une seule valeur d’adhérence converge.
Le critère des gendarmes : si (un)net (vn)n,un≤vn, convergent
en encadrant (wn)(un≤wn≤vn) et si vn−un→0, alors les trois
suites convergent vers une même limite.
Le critère des suites adjacentes :(un)net (vn)nsont adjacentes
si les quatre conditions sont remplies (1) un< vn, (2) (un)nest crois-
sante, (3) (vn)nest décroissante et (4) vn−un→0. Les deux suites sont
alors convergentes et ont même limite.
Une suite complexe (zn)nse décompose en deux suites réelles, (xn)n
et (yn)nsi zn=xn+iyn. Elle converge si la suite des modules, (|zn|)n
converge, c’est-à-dire si (xn)net (yn)nconvergent.
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