Espaces euclidiens

Espaces euclidiens
1. Généralités
Définition 1.1
Soit E un e.v. sur .
On appelle produit scalaire sur E toute forme bilinéaire sur E symétrique, définie et positive.
On note généralement un produit scalaire ou (x | y) pour x et y ∈E.
…x,y
Remarque 1.2
Les propriétés caractérisant un produit scalaire sur un e.v. réel E sont donc :
• ∀x,x',y∈E, ∀α,β∈
…x+x
∏
,y=…x,y+…x
∏
,y
• ∀x,y∈E
…x,y=…y,x
•…x,x=0ex=0
• ∀x∈E
…x,xm0
Exemples 1.3
•f : 
2
→ 
(x,y)  xy c'est-à-dire f (x,y) = = xy.
…x,y
• ϕ : [X] × [X] → 
(P,Q)  c'est-à-dire ϕ(P,Q) = = .
¶
0
1
P(t)Q(t)dt…P,Q ¶
0
1
P(t)Q(t)dt
Définition 1.4
L'application f définie par f :
n
×
n
→ 
(x,y)  où x = (x
1
,x
2
,x
3
,...,x
n
) x
i
∈ pour tout i = 1,n
i=1
n
x
i
y
i
et y = (y
1
,y
2
,y
3
,...,y
n
) y
i
∈ pour tout i = 1,n
est appelé produit scalaire canonique sur 
n
.
Remarque 1.5
La forme quadratique associée au produit scalaire canonique de 
n
est où x = (x
1
,x
2
,x
3
,...,x
n
).q(x)=
i=1
n
x
i
2
Définition 1.6
On appelle espace préhilbertien réel tout espace vectoriel réel muni d'un produit scalaire.
On appelle espace euclidien tout espace préhilbertien réel de dimension finie.
Francis Wlazinski 1

Remarque 1.7
Hilbertien = evn complet dont la norme est issue d'un produit scalaire.
Préhilbertien de dim finie = Hilbertien.
Exemples 1.8
•Soit E = [X]
< > : [X] × [X] → 
(P,Q)  = (E,< >) est un espace préhilbertien réel.
…P,Q
¶
0
1
P(t)Q(t)dt
•Soit F = 
n
[X]  {P∈[X] / deg P ≤ n} et soit < > le produit scalaire précédent.
(F,< >) est un espace euclidien.
•Soient n*, G = M
n
() et f l'application définie par f : (A,B)  tr (
t
A.B).
(G,< >) = (G,f) est un espace euclidien.
Remarque 1.9
La donnée d'une forme quadratique de signature (n,0) sur un -e.v. de dimension n fournit une structure
d'espace euclidien.
Propriété 1.10 (Inégalité de Cauchy-Schwarz)
Soit (E,< >) un espace préhilbertien réel.
∀x,y∈E, .
…x,y[…x,x
1
2
…y,y
1
2
L'égalité est obtenue si et seulement si x et y sont linéairement dépendants.
Démonstration
Si y = 0, l'égalité de la propriété est vérifiée ∀x∈E. On peut donc supposer y ≠ 0.
Inégalité ∀x,y∈E et ∀λ∈ et on suppose x et y fixés.
car le produit scalaire est positif.
…x+y,x+ym0.
…x,x+…x,y+…y,x+
2
…y,ym0
.
2
…y,y+2…x,y+…x,xm0
Puisque y ≠ 0, est un polynôme de degré 2 en λ.
2
…y,y+2…x,y+…x,x
Ce polynôme est de signe constant donc le discriminant doit être négatif
ou nul, ce qui donne :
4…x,y
2
−4…x,x …y,y[0
g4…x,y
2
[4…x,x …y,y
.g…x,y[…x,x
1
2
…y,y
1
2
Egalité : •Supposons x = λy
…y,y=…y,y
.
…y,y
1
2
…y,y
1
2
=(
2
)
1
2
%…y,y
1
2
%…y,y
1
2
=…y,y
•Si on a l'égalité .
…x,y=…x,x
1
2
…y,y
1
2
On obtient .4…x,y
2
−4…x,x …y,y=0
Le discriminant est nul et l'on a donc une racine double pour le polynôme
.
2
…y,y+2…x,y+…x,x
Or, si celui-ci s'annule pour un λ
0
, on a nécessairement .
…x+
0
y,x+
0
y=0
C'est-à-dire x + λ
0
y = 0 où encore x = −λ
0
y.
Francis Wlazinski 2

Remarques 1.11
•On utilise aussi l'expression (au carré) : .
…x,y
2
[…x,x …y,y
•Si E = 
n
, et si < > est le produit scalaire canonique, on obtient .
i=1
n
x
i
y
i
2
[
i=1
n
x
i
2
i=1
n
y
i
2
•Si E = C ([0,1]) et si on prend comme produit scalaire : < f,g > = , on obtient ¶
0
1
f(t)g(t)dt
. ¶
0
1
f(t)g(t)dt
2
[ ¶
0
1
(f(t))
2
dt ¶
0
1
(g(t))
2
dt
Propriété 1.12
Soit (E,< >) un espace préhilbertien réel.
L'application : E → 
æ.æ
x  < x,x >
1/2
est une norme.
c'est-à-dire (i)æxæ=0ex=0
(ii)∀x∈E, ∀λ∈.
æxæ=æxæ
(iii)∀x,y∈E.
æx+yæ[æxæ+æyæ
De plus, on obtient l'égalité dans (iii) lorsque x et y sont positivement liés.
Démonstration
(i) car le produit scalaire est défini.
æxæ=0e…x,x=0ex=0
(ii)æxæ=…x,x
1
2
=(
2
)
1
2
%…x,x
1
2
=æxæ
(iii) Inégalité triangulaire ou inégalité de Minkowski
æx+yæ
2
=…x+y,x+y=æxæ
2
+…x,y+…y,x+æyæ
2
=æxæ
2
+…x,y+…x,y+æyæ
2
=æxæ
2
+2…x,y+æyæ
2
si y = λx avec λ positif c’est une égalité et non sinon.
[æxæ
2
+2…x,y+æyæ
2
d'après Cauchy-Schwarz.
[æxæ
2
+2æxæ%æyæ+æyæ
2
[(æxæ+æyæ)
2
(iii) Egalité •Supposons y = λx avec λ∈ .
æx+yæ=æx+xæ=æ(1+)xæ=1+æxæ=(1+)æxæ
æxæ+æyæ=æxæ+æxæ=æxæ+æxæ=æxæ+æxæ=(1+)æxæ
•On a l'égalité de Cauchy-Schwarz lorsque x et y linéairement dépendants.
On vérifie aisément que y = λx avec λ∈ ne convient pas.
Remarques 1.13
•La norme associée au produit scalaire canonique de 
n
est si x = (x
1
,x
2
,x
3
,...,x
n
).
æxæ=
i=1
n
x
i
21/2
•Pour retenir l'inégalité de Cauchy-Schwarz , on peut se rappeler de .
u.v=æuæ ævæcos(u,v)
Rappel 1.14 (Inégalité de Minkowski)
•Si E = 
n
, et si < > est le produit scalaire canonique, on a .
i=1
n
(a
i
+b
i
)
21/2
[
i=1
n
a
i
21/2
+
i=1
n
b
i
21/2
•Si E = C ([0,1]) et si on prend comme produit scalaire : < f,g > = , on obtient ¶
0
1
f(t)g(t)dt
.
¶
0
1
[f(t)+g(t)]
2
dt
1/2
[ ¶
0
1
[f(t)]
2
dt
1/2
+ ¶
0
1
[g(t)]
2
dt
1/2
Francis Wlazinski 3

Définition 1.15
Soit (E,< >) un espace préhilbertien réel. Soient x,y deux vecteurs non nuls de E. On appelle mesure de
l'angle non orienté du couple (x,y) le réel  compris entre 0 et  tel que cos θ = .
<x,y>
<x,x>
1/2
<y,y>
1/2
Remarques 1.16
•Toutes les normes ne sont pas forcement issues d'un produit scalaire.
•On obtient un espace métrique en posant d(x,y) = .
æy−xæ
•Interprétation dans le cas euclidien : soit (e) une base d'un espace euclidien (E,< >) = (E,f ).
Si A = M
e
(f) = M
e
(< >) et si x a pour coordonnées X dans (e), alors || x || = (
t
XAX)
1/2
.
Propriété 1.17
Dans un espace euclidien, toute famille de vecteurs non nuls et deux à deux orthogonaux est libre.
Démonstration
Soit (E,< >) un espace euclidien de dimension n  1.
Soit (a
1
, a
2
, a
3
, ... , a
p
) une famille de vecteurs non nuls et deux à deux orthogonaux p∈* (on aura p ≤ n).
⇒
i=1
p
i
a
i
=0≤j=1,p<
i=1
p
i
a
i
,a
j
> = 0
⇒≤j=1,p
j
<a
j
,a
j
> = 0
⇒car < > est défini donc il n'y a pas de vecteurs isotropes.
≤j=1,p
j
=0
Donc c'est bien une famille libre.
Propriété 1.18 (Théorème de Pythagore)
Soit (E,< >) un espace euclidien de dimension n  1.
Soit (v
i
)
i
=1,p
une famille de vecteurs non nuls et deux à deux orthogonaux. Alors .
i=1
p
v
i
2
=
i=1
p
æv
i
æ
2
Démonstration
.
i=1
p
v
i
2
=<
i=1
p
v
i
,
i=1
p
v
i
> = <
i=1
p
v
i
,
j=1
p
v
j
> =
i=1
p
j=1
p
<v
i
,v
j
> =
i=1
p
<v
i
,v
i
> =
i=1
p
æv
i
æ
2
Remarque 1.19
Avec une notation f au lieu de < >, on obtient ou f(x
1
+x
2
+¢+x
n
,x
1
+x
2
+¢+x
n
)=f(x
1
,x
1
)+f(x
2
,x
2
)+£+f(x
n
,x
n
)
.
q
f
(x
1
+x
2
+¢+x
n
)=q
f
(x
1
)+q
f
(x
2
)+£+q
f
(x
n
)
Propriété 1.20 (Identité du parallélogramme)
Soit (E,< >) un espace euclidien. On a : ∀x,y∈E, .
æx+yæ
2
+æx−yæ
2
=2(æxæ
2
+æyæ
2
)
Démonstration
Voir exercice formes quadratiques 011 : q(x + y) + q(x − y) = 2q(x) + 2q(y).
Francis Wlazinski 4

2. Orthogonaux
Corollaire 2.1
Soit (E,< >) un espace euclidien.
∀ϕ∈ L (E,) = E* = dual de E (c'est-à-dire pour toute forme linéaire sur E).
∃!y
0
∈E / ϕ(x) = < x,y
0
> ∀x∈E.
On a E* isomorphe à E.
Corollaire 2.2
Tout espace euclidien (E,< >) admet une base orthonormale et dans cette nouvelle base, le produit
scalaire est le produit scalaire canonique.
Propriété 2.3
Soit (e
1
, e
2
, ..., e
p
) est une base orthogonale d'un espace euclidien (E,< >) de dimension p  1.
Alors, ∀v∈E, v = .
i=1
p
<v,e
i
>
<e
i
,e
i
>e
i
Démonstration
On a v = et, pour tout j = 1,p, < v,e
j
> = .
i=1
p
v
i
e
i
<
i=1
p
v
i
e
i
,e
j
> =
i=1
p
v
i
<e
i
,e
j
> = v
j
<e
j
,e
j
>
D'où .
v
j
=<v,e
j
>
<e
j
,e
j
>
Remarque 2.4
Les coordonnées de v dans (e
1
, e
2
, ..., e
p
) sont donc .
<v,e
1
>
<e
1
,e
1
>,<v,e
2
>
<e
2
,e
2
>,..., <v,e
p
>
<e
p
,e
p
>
Si la base est orthonormale, on a pour tout j =1,p.
…e
j
,e
j
=1
Propriété 2.5
Soit (E,< >) un espace euclidien et soit F un s.e.v. de E.
On a E = F ⊕ F
⊥
et (F
⊥
)
⊥
= F.
F
⊥
est appelé le supplémentaire orthogonal de F.
Démonstration
On a une structure d'espace euclidien en considérant la restriction de < > à F.
Soit (e
i
)
i=1,p
une base orthonormale de F et soit x∈E.
Pour tout i = 1,p on pose λ
i
= < x,e
i
> et .
a=
i=1
p
i
e
i
On a bien a∈F et on pose b = x − a.
On a, ∀i =1,p, < b,e
i
> = < x,e
i
> − < a,e
i
> = λ
i
− λ
i
= 0.
Donc b∈F
⊥
et x = a + b.
De plus, montrons que F∩F
⊥
= {0} : on sait déjà que {0} ⊂ F ∩ F
⊥
.
Soit maintenant x∈F∩F
⊥
, on a et donc x = 0.
æxæ
2
= < x,x> = 0
Puisque E = F ⊕ F
⊥
E = F
⊥
⊕ (F
⊥
)
⊥
, on a dim F  dim (F
⊥
)
⊥
.
Or F  (F
⊥
)
⊥
donc (F
⊥
)
⊥
= F.
Francis Wlazinski 5