Définition 1.15
Soit (E,< >) un espace préhilbertien réel. Soient x,y deux vecteurs non nuls de E. On appelle mesure de
l'angle non orienté du couple (x,y) le réel compris entre 0 et tel que cos
θ = .
<x,y>
<x,x>
1/2
<y,y>
1/2
Remarques 1.16
•Toutes les normes ne sont pas forcement issues d'un produit scalaire.
•On obtient un espace métrique en posant d(x,y) = .
æy−xæ
•Interprétation dans le cas euclidien : soit (e) une base d'un espace euclidien (E,< >) = (E,f ).
Si A =
M
e
(f) =
M
e
(< >) et si x a pour coordonnées X dans (e), alors ||
x
|| = (
t
XAX)
1/2
.
Propriété 1.17
Dans un espace euclidien, toute famille de vecteurs non nuls et deux à deux orthogonaux est libre.
Démonstration
Soit (E,< >) un espace euclidien de dimension n 1.
Soit (a
1
, a
2
, a
3
, ... , a
p
) une famille de vecteurs non nuls et deux à deux orthogonaux p∈* (on aura p
≤
n).
⇒
i=1
p
i
a
i
=0≤j=1,p<
i=1
p
i
a
i
,a
j
> = 0
⇒≤j=1,p
j
<a
j
,a
j
> = 0
⇒car < > est défini donc il n'y a pas de vecteurs isotropes.
≤j=1,p
j
=0
Donc c'est bien une famille libre.
Propriété 1.18
(Théorème de Pythagore)
Soit (E,< >) un espace euclidien de dimension n 1.
Soit (v
i
)
i
=1,p
une famille de vecteurs non nuls et deux à deux orthogonaux. Alors .
i=1
p
v
i
2
=
i=1
p
æv
i
æ
2
Démonstration
.
i=1
p
v
i
2
=<
i=1
p
v
i
,
i=1
p
v
i
> = <
i=1
p
v
i
,
j=1
p
v
j
> =
i=1
p
j=1
p
<v
i
,v
j
> =
i=1
p
<v
i
,v
i
> =
i=1
p
æv
i
æ
2
Remarque 1.19
Avec une notation f au lieu de < >, on obtient ou f(x
1
+x
2
+¢+x
n
,x
1
+x
2
+¢+x
n
)=f(x
1
,x
1
)+f(x
2
,x
2
)+£+f(x
n
,x
n
)
.
q
f
(x
1
+x
2
+¢+x
n
)=q
f
(x
1
)+q
f
(x
2
)+£+q
f
(x
n
)
Propriété 1.20
(Identité du parallélogramme)
Soit (E,< >) un espace euclidien. On a : ∀x,y∈E, .
æx+yæ
2
+æx−yæ
2
=2(æxæ
2
+æyæ
2
)
Démonstration
Voir exercice formes quadratiques 011 : q(x + y) + q(x − y) = 2q(x) + 2q(y).
Francis Wlazinski
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