L3 Mathématiques Compléments d`Algèbre Linéaire

L3 Mathématiques
Compléments d’Algèbre Linéaire
El Houcein El Abdalaoui et Paul Lescot
Examen du 12 Janvier 2012
Les trois exercices sont indépendants les uns des autres.
Durée de l’épreuve : 3h.
Exercice I
On munit E = R4 du produit scalaire usuel. Soient
v1 = (1, −2, 0, 0) , v2 = (0, 5, 3, 3) , v3 = (3, −1, 4, 2) , et v4 = (15, 5, −1, −3) .
1. Montrer que B = (v1 , v2 , v3 , v4 ) est une base de E.
0
2. Déterminer l’orthonormalisée de Gram–Schmidt B := (w1 , w2 , w3 , w4 ) de B.
Exercice II


7
10 −11i
Soit A =  10 −14 10i  ∈ M3 (C). Déterminer P ∈ M3 (C) et
11i −10i
7
D ∈ M3 (C) diagonale telles que t P P = I3 et P −1 AP = D.
Exercice III
Soit E un espace euclidien, F et G deux sous–espaces de E supplémentaires (c’est–à–dire tels que
F ⊕ G = E), et s la symétrie le long de F par rapport à G, c’est à dire l’application linéaire définie par
∀(x, y) ∈ F × G s(x + y) = x − y .
Etablir l’équivalence entre les propriétés suivantes
1. s est autoadjointe (s = s∗ ).
2. s est orthogonale (ss∗ = IdE ).
3. G = F ⊥ .
1