L3 Mathématiques Compléments d`Algèbre Linéaire

L3 Mathématiques
Compléments d’Algèbre Linéaire
El Houcein El Abdalaoui et Paul Lescot
Examen du 12 Janvier 2012
Les trois exercices sont indépendants les uns des autres.
Durée de l’épreuve : 3h.
Exercice I
On munit E=R4du produit scalaire usuel. Soient
v1= (1,−2,0,0) , v2= (0,5,3,3) , v3= (3,−1,4,2) ,et v4= (15,5,−1,−3) .
1. Montrer que B= (v1, v2, v3, v4)est une base de E.
2. Déterminer l’orthonormalisée de Gram–Schmidt B0:= (w1, w2, w3, w4)de B.
Exercice II
Soit A=
7 10 −11i
10 −14 10i
11i−10i7
∈ M3(C).Déterminer P∈M3(C)et
D∈M3(C)diagonale telles que tP P =I3et P−1AP =D.
Exercice III
Soit Eun espace euclidien, Fet Gdeux sous–espaces de Esupplémentaires (c’est–à–dire tels que
F⊕G=E), et sla symétrie le long de Fpar rapport à G, c’est à dire l’application linéaire définie par
∀(x, y)∈F×G s(x+y) = x−y .
Etablir l’équivalence entre les propriétés suivantes
1. sest autoadjointe (s=s∗).
2. sest orthogonale (ss∗=IdE).
3. G=F⊥.
1