Epigraphe

[i]
Epigraphe
« Si tu veux construire un bateau, ne rassemble pas tes hommes et femmes pour
leur donner des ordres, pour expliquer chaque détail, pour leur dire où trouver
chaque chose… Si tu veux construire un bateau, fais naître dans le cœur de tes
hommes et femmes le désir de la mer.»
Antoine de Saint-Exupéry
« Nos doutes sont des traîtres, et nous privent de ce que nous pourrions souvent
gagner de bon, parce que nous avons peur d’essayer. »
William Shakespeare
« Certes, je ne suis qu’un. Mais je suis un. Je ne peux pas tout faire. Mais je peux
faire quelque chose. Et le fait de ne pas pouvoir tout faire ne m’autorise pas à
refuser de faire ce que je peux faire. »
Edward Everett
[ii]
DEDICACE
A mon père Stanislas MBIKAYI TSHIKALA pour ses sages conseils et la
ligne de conduite qu’il a pu tracer pour moi, lesquels sont des éléments déterminants
de ma réussite dans les études.
A ma mère Alphonsine MWADI TSHAMALA pour son soutient et son
amour qui sont l’objet de mon progrès dans les études.
A mes frères et sœurs Jonas MUDIAYI, Patrice MUKEBA, Mamie
NYANGA,
Naomi
KABEDI,
Junior
TSHAMALA,
Derick
MUTANDA, Mimi TSHALA, Rosette MBELU, Sarah MWADI,
dorcas KALONJI pour leur amour et sollicitude, ils me sont très chers.
Je dédie ce travail
MBIKAYI TSHIKALA Fabrice
[iii]
AVANT PROPOS
Nous tenons à remercier le Professeur MUBENGA KAMPOTU Pascal qui en dépit
de ses multiples occupations a bien voulu assurer la direction de ce travail, qu’il
trouve ici l’expression de notre profonde gratitude.
Nos remerciements vont également à tous les professeurs du département de
Mathématiques et Informatique qui malgré la précarité de la situation socioéconomique du pays se sont investis à nous donner une formation de haute
facture.
Nos remerciements s’adressent aussi à la famille NKONGOLO, à la famille
YONGA, à la famille MUKENGE et à la famille LUBAN pour leur apport combien
inoubliable.
Ingrat serions nous si nous laissons dans l’ombre nos condisciples et tous ceux que
nous avons connus sur le campus universitaire dont la présence constituait pour
nous une obligation de toujours mieux agir. Qu’ils trouvent à travers ces lignes
l’emprunte de leurs qui nous ont unis et nous uniront toujours : Israël NKOKO,
Frémy MAKANGA, Laurent BATUKU, Déborah EKA, Josiah MBELU, Gloria
KOKO, Tantine SITA, Charady KIESE, Cédric KALAMBAYI, Lionel MESSI, Josep
GUARDIOLA, Arsène BOTANDJO, Jean Christmas MISSIFAKI, Grace DEMBO,
Mariane KABOKO, Patrick MBOMA, Lauretta MBUYI, Patrick BAYO, Grace
KEMBIA, Stella NGALULA, Mérite KAKESA, Hervé DANGA, Fanon BABADI,
Freddy KABUANGA, Malik MASKI, Arnold NSEY, Cédric LUBAN, Guy MANDE,
John OTSHUDI, Gaëtan EKWALANGA, Rolly EMBONGO, Alain MASESA, Bruce
SHOLA, Cédric KIWI, David DVD, Antoine DJOMBO.
Enfin, que tous ceux dont l’amour nous a toujours gardés constant et heureux à
travers les aléas de la vie trouvent ici l’expression de notre profonde reconnaissance
et de la joie qu’ils ne cessaient d’implanter dans notre cœur.
[iv]
INTRODUCTION
On sait bien comment construire une topologie sur un ensemble à partir
d’une pseudo-métrique donnée sur cet ensemble, d’une base donnée ou d’une
sous-base donnée.
Dans ce travail, nous allons examiner la construction des topologies sur
les familles des parties fermées non vides d’un espace topologique. De telles
topologies, pour être plus intéressantes, doivent évidemment avoir un lien de
compatibilité avec la topologie sur l’espace de départ (voir ci-dessous) et dans ce
cas on les appelle hypertopologies.
Beaucoup de travaux relatifs aux hypertopologies ont déjà été réalisés,
notamment par E. Michael [4], G. Beer [1], M. Marjanovic [2], W. Kubis, K.
Sakar et M. Yaguch [8]. Pour le cas de [1], l’hypertopologie est construite sur une
sous-famille propre de la famille de fermés non vides d’un espace de Banach.
Nous allons pour notre part examiner quatre hypertopologies à savoir
l’hypertopologie de Viétoris, l’hypertopologie de Fell, l’hypertopologie de
Wijsman et l’hypertopologie de Hausdorff.
Nous adoptons la notation suivante : (X, τ) étant un espace
topologique, nous désignons par Feτ (X) la famille de parties non vides de X qui
sont fermées par rapport à τ. Une topologie t sur Feτ (X) sera dite une
hypertopologie si et seulement si l’application f qui à x ∈ X associe {x}, est un
homéomorphisme de X sur {{x} : x ∈ X} ≡ E par rapport à τ et t E = trace de t sur
E. Dans ces conditions l’espace (X, τ) ne peut pas être quelconque puisque
clairement les singletons doivent alors être fermés par rapport à τ.
A part la notation Feτ (X) nous avons suivi [1, 2, 4, 5, 8] dans la manière
d’introduire les hypertopologies sur Feτ (X).
Pour alléger la présentation de notre travail nous ne regroupons au
chapitre I que quelques résultats préliminaires sur la topologie générale et l’analyse
[v]
infinitésimale, les autres résultats seront rappelés dans les chapitres suivants au fur
et à mesure qu’on en aura besoin.
Les deux principaux outils que nous utiliserons dans ce travail pour
généraliser l’hypertopologie de Hausdorff à partir d’un ensemble de métriques sont
énoncés sans démonstration dans notre théorème II.4.1 car nous les avions
démontrés en détail dans [3].
Enfin, nous avons supposé connues toutes les manipulations
ensemblistes usuelles, particulièrement celles relatives à la réunion, à l’intersection
d’une famille d’ensembles.
MBIKAYI TSHIKALA Fabrice
[1]
CHAPITRE I : GENERALITES SUR LES HYPERTOPOLOGIES
Nous allons rappeler au cours de ce chapitre ce que l’on peut faire
topologiquement dans un espace topologique.
La matière de ce chapitre se trouve dans la plupart des ouvrages sur la
topologie générale dont nous avons cité quelques-uns dans la bibliographie. Nous
présenterons surtout les propriétés que nous allons utiliser dans la suite du travail.
I.1.
DEFINITION D’UNE (SEMI-) METRIQUE
(1). Si X est un ensemble alors par une semi-métrique [ou semi-distance,
ou pseudo-métrique, ou pseudo-distance] sur X on entend une
fonction réelle
d : 𝑋 2 → ℝ tel que :
a. d(x, y) ≥ O, pour tout x, y ∊ X
b. d(x, x) = 0, pour tout x ∊ X
c. d(x, y) = d(y, x), pour tout x, y ∊ X
d. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), pour tout x, y, z ∊ X.
On appelle (d), l’inégalité triangulaire.
(2). Si X est un ensemble alors par une métrique [ou une distance] sur X.
on entend une semi-métrique d sur X tel que :
Pour tout x, y ∊ X, d(x, y) = 0 ⇒ x = y
(3). Par un espace semi-métrique on entend un couple (X, d) tel que X est
un ensemble et d est une semi-métrique sur X. Par
un espace
métrique, on entend un couple (X, d) tel que X est un ensemble et d est
une métrique sur X.
(4). Si (X, d) est un espace semi-métrique avec w ∊ X et 0 < ε ∊ ℝ, on
définit les ensembles suivants :
[2]
 B(w, ε, d, X) = {x ∊ X : d(x, w) < ε } ; la boule ouverte centrée en
w et de rayon ε.
⃑ (w, ε, d, X) = {x ∊ X : d(x, w) ≤ ε} ; la boule fermée centrée en w
 B
et de rayon ε.
 S(w, ε, d, X) = {x ∊ X : d(x, w) < ε } ; la sphère de centre w et de
rayon ε.
I.2.
LES PROPRIETES DES BOULES DANS UN ESPACE SEMIMETRIQUE
Soit (X, d) un espace semi-métrique, w ∊ X et 0 < ε ∊ ℝ.
 Si v ∊ B(w, ε, d, X) alors le réel r ≡ ε – d(v, w) est > 0, et on a
B(v, r, d, X) ⊂B(w, ε, d, X).
⃑ (w, ε, d, X) alors le réel t ≡ d(v, w) – ε est > 0, et on a
 Si u ∊ X\B
⃑ (w, ε, d, X).
B(u, t, d, X) ⊂B
Preuve : cfr [7]
I.3
DEFINITION : LA NOTION D’UNE BASE OU D’UNE SOUS-BASE
D’UNE TOPOLOGIE [OU D’UN ESPACE TOPOLOGIQUE].
Soit (X, τ) un espace topologique
(1) On dit d’une famille 𝒜 ⊂ 𝒫(X) que c’est une base de τ-ouvert ou de
l’espace topologique (X, τ) si et seulement si :
{
𝒜 ⊂ 𝒫(X)
∀𝑇 ∈ 𝜏 ∃ℳ ⊂ 𝒜 tel que T = ⋃ℳ
(2) On dit d’une famille ℬ ⊂ 𝒫(X) que c’est une sous-base de τ-ouvert de
l’espace topologique (X, τ) si et seulement si {∩ℰ : ℰ = finie ⊂ ℬ} est
une base de τ.
[3]
I.4.
RAPPEL GENERAL
On suppose connu : la notion d’une topologie, d’un espace topologique,
d’une base, d’une sous-base, des voisinages, de l’intérieur, de l’adhérence, des
fermés, d’ouverts, de la continuité, du premier axiome de dénombrabilité [1AD],
du second axiome de dénombrabilité [2AD], d’un système fondamental de
voisinages (SFV), des axiomes de séparation,…
On trouvera les définitions de ces concepts dans [7].
I.5.
THEOREME : UNE METHODE GENERALE DE CONSTRUCTION
D’UNE TOPOLOGIE
Soit X un ensemble non vide et 𝒜 ⊂ 𝒫(X) tel que
(h1 ) X = ⋃𝒜 et
(h2 ) ∀A ∈ 𝒜 ∀x ∈ A∩B ∃D ∈ 𝒜 tel que x ∈ D ⊂ A ∩B.
Dans ces conditions la famille
τ ≡ τ(𝒜) = {⋃ℰ : ℰ ⊂ 𝒜} est une topologie sur X de base 𝒜.
Preuve : cfr [7]
I.6.
THEOREME : UNE CARACTERISATION DES VOISINAGES EN
TERMES D’UNE BASE
Soit (X, τ) un espace topologique, 𝒜 une base de τ.
Etant donné M ⊂ X on aura M est un τ-voisinage de v ∈ X pour τ ssi ∃ H ∈
𝒜 tel que v ∈ H ⊂ M.
Preuve : cfr [7]
[4]
I.7.
TOPOLOGIE ENGENDREE PAR UNE SEMI-METRIQUE
Soit X un ensemble et d une semi-métrique sur X.
Définissons 𝒜 = {B(x,ε,d,X) : x ∈ X et 0 < ε ∈ ℝ} et soit τd = τ(𝒜) = {⋃ℰ :
ℰ⊂ 𝒜}.
(1) τd est une topologie sur X de base 𝒜, on appelle τd
la topologie
engendrée par d, ou la topologie associée à d.
(2) Etant donné T ⊂ X et w ∈ X on a : T est τd –voisinage de w ssi ∃ un
réel ε >0 tel que B(x,ε,d,X)⊂T ssi ∃ un réel r >0 tel que 𝐵(w,r,d,X)⊂T.
(3) Etant donné T⊂X on a : T ∈ τd ssi
∀w (w∈T ⟹ ∃un réel ε>0 tel que B(w,ε,d,X)⊂T).
(4) Si w ∈X, chacune des familles suivantes est un SFV de w par rapport à
τd et chaque membre dans chacune de ces familles est τd -ouvert.
ℬ1 = { B(w,ε,d,X) : 0 < ε∈ℝ} ;
ℬ2 = { B(w,r,d,X) : 0 < r∈ℝ} ;
1
ℬ3 = { B(w, ,d,X) : 0 < n∈ℕ} ;
n
Donc (X, τd ) vérifie le 1AD.
(5) Si de plus d est une métrique alors ∀u, v ∈ X tel que u ≠ v ∃τd -voisinage
G de w ∃τd -voisinage H de v tel que G ∩ H = ∅.
Preuve : cfr [7]
[5]
I.8.
DEFINITION : BORNES ET PRECOMPACTS D’UN ESPACE SEMIMETRIQUE
Soit d une semi-métrique sur un ensemble X, A ⊂ X.
(1) A est dit borné (pour d, ou par rapport à d, ou d-borné) ssi {d(x,y) : x, y
∈A} est majoré dans ℝ.
(2) A est dit précompact (pour d, ou par rapport à d) si et seulement si ou
A = ∅ ou ∀ réel ε > 0 ∃ n ∈ ℕ ∃xk ∈ X pour 1 ≤ k ≤ n tel que A ⊂
⋃nk=1 B(xk , ε, d, X).
Ainsi lorsque ∅ ≠ A ⊂ X on aura : A est précompact pour d si et seulement
si ∀ réel ε > 0 ∃ n ∊ ℕ ∃ partie E finie non vide X tel que ⋃x∊E B(x, ε, d, X).
Au lieu de « précompact pour d » on dit aussi « totalement borné pour d ».
Si f : E → X (E un ensemble quelconque). On dit que f est bornée (pour d)
sur T⊂E si et seulement si f[T] est un bornée de X (pour d).
I.9.
DEFINITIONS
(1) Soit d une semi-métrique sur un ensemble X ≠ ∅.
Si u ∊ X et A ⊂ X on définit la distance de u à A, d(u, A), par les
formules suivantes : d(u, A) = {
1
si A = ∅
inf{d(x, u): x ∊ A} si A ≠ ∅
D’où O ≤ d(u, A) ∊ ℝ.
Si A et E sont des parties non vide de X on définit la distance de A à E,
d(A, E) par la formule : d (A,E) = inf{d(x,y) : x ∊A et y ∊E} d’où
O≤d(A,E)∊ℝ.
[6]
I.10. LA
NOTION
DES
VOISINAGES
D’UN
POINT
OU
D’UN
ENSEMBLE
Soit (X, τ) un espace topologique
(1) Etant donné v ∊ X et M ⊂ X on dit que M est un voisinage de v pour τ
(ou M est un τ-voisinage de v) si et seulement si ∃ H∊ τ tel que v ∊
H⊂M.
(2) Etant donné T⊂X et M⊂X
On dit que M est un voisinage de T pour τ (ou M est un τ-voisinage de
T) si et seulement si ∃H∊ τ tel que T⊂H⊂M.
I.11. PROPRIETES DE L’INTERIEUR
Soit (X, τ) un espace topologique
(1) ∀M⊂X, on a int τ (M)∊ τ et int τ (M)⊂M ;
(2) ∀M⊂X, on a: M ∊ τ ⇔ M = int τ (M) ⇔ M ⊂ int τ (M).
Donc int τ (∅) = ∅, int τ (X)=X et ∀ T ⊂ X, int τ (int τ (T)) = int τ (T)
(3) ∀A⊂X ∀ w ∊ X, on a A est τ-voisinage de w si et seulement si w ∊
int τ (A).
(4) A⊂B⊂X ⇒ int τ (A)⊂ int τ (B)
(5) A⊂B⊂X et A ∊ τ ⇒ A ⊂ int τ (B)
(6) Soit n ∊ ℕ et Ak ⊂X pour k = 1,2, … , n, on a
int τ (⋂nk=1 Ak ) = ⋂nk=1 int τ (Ak ) et ⋃nk=1 int τ (Ak ) = int τ (⋃nk=1 Ak ) et
l’inclusion peut etre stricte.
Preuve : cfr [7]
[7]
I.12. LA NOTION DE LA CONTINUITE
Soit (X, τ1 ) et (Y, τ2 ) des espaces topologiques
(1) Etant donné f : A ⊂ X → Y et w ∊ A, on dit que f est continue en w
pour τ1 et τ2 si et seulement si ∀ τ2 -voisinage H de f(w) dans Y ∃τ1 voisinage M de w dans X tel que f[A∩M] ⊂ H.
(2) Etant donné f : A ⊂ X → Y et B ⊂ A on dit que f est continue sur B
pour τ1 et τ2 si et seulement si ∀w ∊ B f est continue en w pour τ1 et τ2
au sens de (1) c'est-à-dire ∀ w∊B ∀τ2 -voisinage H de f(w) dans Y ∃τ1 voisinage M de w dans X tel que f[A∩M] ⊂ H.
(3) On désigne par C(X, τ1 ; Y, τ2 ) ou de façon abrégé, C(X,Y) on sousentend les topologies τ1 et τ2 , l’ensemble des applications f : X →Y tel
que f est continue sur X pour τ1 et τ2 .
(4) Une application f : X → Y est dite un homéomorphisme de X pour τ1 et
τ2 si et seulement si

f est une bijection de X sur Y

f est continue sur X pour τ1 et τ2

f −1 est continue sur Y pour τ2 et τ1 .
I.13. THEOREME DE L’UNICITE D’UNE BORNE SUPERIEURE
Une partie T de ℝ admet tout au plus un supremum dans ℝ : si T ⊂ ℝ, si
chacun des réels w et v est une borne supérieure de T alors w = v.
Ainsi nous dirons la borne supérieure de T ou le supremum de T, qui sera
noté SupT ou sup(T).
Preuve : cfr [7]
[8]
I.14. LE THEOREME D’EXISTENCE DU SUPREMUM D’UNE PARTIE
DE ℝ.
Si T est une partie de ℝ à la fois majoré et non vide alors T admet un
supremum dans ℝ : ∃w∈ ℝ tel que w = SupT.
Preuve : cfr [7]
I.15. L’UNICITE D’UNE BORNE INFERIEURE D’UNE PARTIE DE ℝ
Soit T ⊂ ℝ. Alors T admet tout au plus une borne inférieure dans ℝ c'est-àdire si chacun des réels c et d est une borne inférieure de T alors c = d.
Preuve : cfr [7]
I.16. THEOREME D’EXISTENCE DE L’INFINIMUM D’UNE PARTIE DE
ℝ
Si S est une partie de ℝ à la foi minorée et non vide alors S admet un
infinimum dans ℝ : ∃v∈ ℝ tel que v ∈ inf S.
Preuve : cfr [7]
I.17. UN CAS D’EXISTENCE DU MAXIMUM ET DE MINIMUM D’UNE
PARTIE DE ℝ
Si B est une partie de ℝ à la fois finie et non vide alors B contient un
maximum et un minimum.
[9]
I.18. THEOREME
Soit X un espace topologique vérifiant le 1AD ; Y un espace topologique
quelconque f : A⊂ X → Y et w ∈ Aalors f sera continu en w si et seulement si
∀suite (xn)n≥1 dans A qui converge vers w, (f(xn)) n≥1 → f(w)
Preuve : cfr[7]
I.19. PROPOSITION
Soit (X, d) un espace semi-métrique, (xn) et (yn) des suites dans X convergeabt
pour d vers x et y respectivement. Alors (d(xn, yn)) → d(x, y) dans ℝ, et si w ∈ X alors
(d(xn,w)) → d(x,w).
Preuve : cfr[7]
I.20. INTRODUCTION AUX PRINCIPAUX AXIOMES DE SEPARATION
Soit (X, τ) un espace topologique
(1) On dit que (X, τ) vérifie l’axiome de Kolmogorov {T0} ou que c’est
espace de Kolmogorov si et seulement si ∀x, y ∊ X tel que x≠y, il existe
un voisinage de l’un de ces points qui ne contient pas l’autre.
(2) On dit que (X, τ) vérifie l’axiome d’accessibilité [T1] ou que (X, τ) est un
espace accessible si et seulement si ∀x, y ∊ X tel que x≠y ∃voisinage G
de x tel que y ∉G.
(3) On dit que (X, τ) vérifie l’axiome de Hausdorff [T2] ou que (X, τ) est un
espace séparé si et seulement si ∀x,y ∊ X tel x≠y ∃voisinage G de x
∃voisinage H de y tel que G ∩ H = ∅.
(4) On dit que (X, τ) vérifie l’axiome de régularité [T3] si et seulement si
pour tout fermé A de X et pour tout x∊ X\A ∃ouverts disjoints G et H
de X tel que x ∊ G et A ⊂ H.
[10]
(5) On dit que (X, τ) est régulier si et seulement si (X, τ) vérifie
simultanément l’axiome d’accessibilité et celui de régularité.
(6) On dit que (X, τ) vérifie l’axiome de complète régularité
ou que
l’axiome de Tychonoff [T31\2] si et seulement si ∀a∊X ∀voisinage M de
0≤f≤1
a ∃f∊(X, ℝ) tel que { f(a) = 0
f[X\M] ⊂ {1}
(7) On dit que (X, τ) est un espace de Tychonoff ou un espace
complètement régulier si et seulement si (X, τ) vérifie simultanément les
axiomes d’accessibilité et de Tychonoff.
(8) On dit que (X, τ) vérifie l’axiome de normalité [T4] si et seulement si
pour tous les fermées disjoints A et B de X ∃ ouverts disjoints G et H de
X tel que A⊂G et B⊂H.
(9) On dit que (X, τ) est normal si et seulement si (X, τ) vérifie
simultanément l’axiome d’accessibilité et celui de normalité.
I.21. FORMULATION EQUIVALENTES DE L’AXIOME DE
REGULARITE
Si X est un espace topologique les énoncées suivantes sont équivalentes
(1) X vérifie l’axiome de régularité
(2) ∀w∈X ∀voisinage H de w ∃voisinage G de w tel que G ⊂ H.
(3) ∀w∈X ∀voisinage H de w ∃voisinage ouvert G de w tel que G ⊂ H.
(4) Tout w ∈ X admet un SFV consistant en des fermés.
Preuve : cfr[7]
[11]
I.22. CARACTERISATION DE L’AXIOME D’ACCESSIBILITE
L’espace topologique (X, τ) est accessible si et seulement si tout singleton de
X est un fermé de X.
Preuve : cfr [7]
I.23. LA NOTION D’UN HYPERESPACE TOPOLOGIQUE
Un hyperespace topologique d’un espace topologique au moins accessible (X, τ)
est un couple (Feτ (X), t) où Feτ (X) est un ensemble non vide et t est une topologie
sur Feτ (X). Une topologie t sur Feτ (X) sera dite une hypertopologie si et seulement
si l’application f qui à x ∈ X associe {x}, est un homéomorphisme de X sur {{x} :
x ∈ X} ≡ E par rapport à τ.
[12]
Chapitre II :
QUELQUES METHODES DE CONSTRUCTION
D’UNE TOPOLOGIE SUR 𝐅𝐞𝛕 (X) LORSQUE X
EST AU MOINS ACCESSIBLE.
Nous allons montrer dans ce chapitre quatre hypertopologies, que nous
allons introduire et développer de manière détaillée.
Nous établirons aussi que la compatibilité de chacune de quatre
hypertopologies n’est garantie que lorsque l’espace topologique est au moins
accessible.
II.1. LA CONSTRUCTION DE L’HYPERTOPOLOGIE DE VIETORIS
Soit (X, 𝜏) un espace topologique accessible, X ≠ ∅.
∀ n ∈ ℕ V1 ,V2 , … , Vn des ouverts de X.
On pose [V1 ,V2 , … , Vn ] ≡ { E∈ Feτ (X) : E ⊂ ⋃nk=1 Vk et ∀k, E∩Vk ≠∅} ⊂Feτ (X)
𝒜 = { [V1 ,V2 , … , Vn ] : n ∈ ℕ ]} ⊂ 𝒫(Feτ (X))
τv ≡ τ(𝒜) = {⋃ℰ : ℰ ⊂𝒜}
Alors τv est une topologie sur Feτ (X) de base 𝒜.
Preuve
1. Montrons que 𝒜 est une base d’une topologie sur Feτ (X).
a) [X] ∈ 𝒜 car X est un ouvert
Or [X] = Feτ (X) :
-
[X] ⊂ Feτ (X) par définition de [X].
-
Ensuite C ∈ Feτ (X) ⟹ ∅ ≠ C ⊂ X et C ∩ X = C ≠ ∅ ⟹ C ∈ [X].
De [X] ∈ 𝒜 on tire [X] ⊂ ⋃𝒜
De [X] = Feτ (X) on conclut que Feτ (X)⊂ ⋃𝒜
[13]
b) Comme 𝒜 ⊂ (Feτ (X)) on a ⋃ 𝒜 ⊂Feτ (X)
Il découle de 1.a) et 1.b) que ⋃𝒜 = Feτ (X).
2. Considérons A, B ∈ 𝒜 et soit F ∈ A ∩ B alors
-
F ∈ A ⟹ ∃m ∈ ℕ ∃τ-ouverts V1 ,V2 , … , Vm tel que F ∈ A = [V1 ,V2 ,
… , Vm ] c'est-à-dire F ⊂ ⋃m
i=1 Vi et ∀i, F ∩ Vi ≠ ∅.
-
F ∈ B ⟹ ∃n ∈ ℕ ∃τ-ouverts
W1 ,W2 , … , Wn tel que F ∈ B =
[W1 ,W2 , … , Wn ] c'est-à-dire F ⊂ ⋃ni=1 Wi et ∀i, F ∩ Wi ≠ ∅.
Définissons
𝑛
𝑛
𝑛
𝑚
𝑚
𝐷 = [𝑉1 ∩ ⋃ 𝑊𝑖 , 𝑉2 ∩ ⋃ 𝑊𝑖 , … , 𝑉𝑚 ∩ ⋃ 𝑊𝑖 , 𝑊1 ∩ ⋃ 𝑉𝑖 , 𝑊2 ∩ ⋃ 𝑉𝑖 , … , 𝑊𝑛
𝑖=1
𝑖=1
𝑚
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
∩ ⋃ 𝑉𝑖 ].
𝑖=1
Pour G ∈ D on a :
𝐺 ∈ 𝐹𝑒𝜏 (𝑋) 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐺
𝑛
𝑛
𝑛
⊂ ((𝑉1 ∩ ⋃ 𝑊𝑖 ) ⋃ (𝑉2 ∩ ⋃ 𝑊𝑖 ) ⋃ … ⋃ (𝑉𝑚 ∩ ⋃ 𝑊𝑖 ) ⋃ (𝑊1
𝑚
𝑖=1
𝑚
𝑖=1
𝑚
𝑖=1
∩ ⋃ 𝑉𝑖 ) ⋃(𝑊2 ∩ ⋃ 𝑉𝑖 ) ⋃ … ⋃ (𝑊𝑛 ∩ ⋃ 𝑉𝑖 )) 𝑒𝑡 ∀𝑘, 𝐺 ∩ (𝑉𝑘
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑚
𝑖=1
∩ ⋃ 𝑊𝑖 ) ≠ ∅ 𝑒𝑡 𝐺 ∩ (𝑊𝑘 ∩ ⋃ 𝑉𝑖 ) ≠ ∅
𝑚
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
⟹ 𝐺 ⊂ ⋃ 𝑉𝑖 ∩ ⋃ 𝑊𝑖 𝑒𝑡 ∀𝑘 ∃𝑗 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐺 ∩ 𝑉𝑘 ∩ 𝑊𝑗
𝑖=1
𝑖=1
≠ ∅ 𝑒𝑡 𝐺 ∩ 𝑊𝑘 ∩ 𝑉𝑗 ≠ ∅
𝑚
𝑛
⟹ 𝐺 ⊂ ⋃ 𝑉𝑖 𝑒𝑡 𝐺 ⊂ ⋃ 𝑊𝑖 , 𝑒𝑡 ∀𝑘, 𝐺 ∩ 𝑉𝑘 ≠ ∅ 𝑒𝑡 𝐺 ∩ 𝑊𝑘 ≠ ∅
𝑖=1
𝑖=1
[14]
𝑚
𝑛
⟹ 𝐺 ⊂ ⋃ 𝑉𝑖 𝑒𝑡 ∀𝑘, 𝐺 ∩ 𝑉𝑘 ≠ ∅, 𝑒𝑡 𝐺 ⊂ ⋃ 𝑊𝑖 𝑒𝑡 ∀𝑘, 𝐺 ∩ 𝑊𝑘 ≠ ∅
𝑖=1
𝑖=1
⟹ 𝐺 ∈ 𝐴 𝑒𝑡 𝐺 ∈ 𝐵
⟹𝐺 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵
⟹𝐺 ⊂ 𝐴 ∩ 𝐵
Montrons que F ∈ D.
𝑚
𝑛
𝐹 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 ⟹ 𝐹 ⊂ ⋃ 𝑉𝑖 , 𝐹 ⊂ ⋃ 𝑊𝑖 , 𝑒𝑡 ∀𝑖, 𝐹 ∩ 𝑉𝑖 ≠ ∅ 𝑒𝑡 𝐹 ∩ 𝑊𝑖 ≠ ∅
𝑖=1
𝑚
𝑛
𝑖=1
⟹ 𝐹 ⊂ ⋃ 𝑉𝑖 ∩ ⋃ 𝑊𝑖
𝑖=1
𝑖=1
et
𝑛
𝑛
∀𝑘, 𝐹 ∩ (𝑉𝑘 ∩ ⋃ 𝑊𝑖 ) = (𝐹 ∩ 𝑉𝑘 ) ∩ (𝐹 ∩ ⋃ 𝑊𝑖 )
𝑖=1
𝑖=1
n
= (𝐹 ∩ 𝑉𝑘 ) ∩ 𝐹, 𝑐𝑎𝑟 𝐹 ⊂ ⋃ Wi = 𝐹 ∩ Vk
i=1
≠∅
D’où
𝑛
∀𝑘, 𝐹 ∩ (𝑉𝑘 ∩ ⋃ 𝑊𝑖 ) ≠ ∅,
𝑖=1
et
𝑚
𝑚
∀𝑘, 𝐹 ∩ (𝑊𝑘 ∩ ⋃ 𝑉𝑖 ) = (𝐹 ∩ 𝑊𝑘 ) ∩ (𝐹 ∩ ⋃ 𝑉𝑖 )
𝑖=1
𝑖=1
𝑚
= (𝐹 ∩ 𝑊𝑘 ) ∩ 𝐹, 𝑐𝑎𝑟 𝐹 ⊂ ⋃ 𝑉𝑖
𝑖=1
= 𝐹 ∩ 𝑊𝑖
≠ ∅.
D’où
𝑚
∀𝑘, 𝐹 ∩ (𝑊𝑘 ∩ ⋃ 𝑉𝑖 ) ≠ ∅.
𝑖=1
D’où ∀𝐴, 𝐵 ∈ 𝒜 ∀𝐹 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 ∃𝐷 ∈ 𝒜 tel que F ∈ D ⊂ A ∩ B.
Par I.5. on conclut que 𝒜 est une base d’une topologie sur Feτ (X).
Donc τv est une topologie sur Feτ (X).
[15]
3. Compatibilité de l’hypertopologie de Viétoris
Soit (X, 𝜏) un espace topologique accessible, X ≠ ∅ alors :
a)
L’application i : X → Feτ (X)
est continue x ↝ i(x) = {x}
Preuve
Soit x ∈ X et H un τV -voisinage de i(x) = {x}, par I.6. ∃G ∈ 𝒜 tel que {x} ∈
G⊂ H.
G ∈ 𝒜, par la définition de 𝒜 ∃ n ∈ ℕ ∃ τ-ouverts V1 ,V2 , … , Vn tel que G =
[V1 ,V2 , … , Vn ], d’où {x} ∈ G = [V1 ,V2 , … , Vn ] ⊂ H.
Comme {x} ∈ G = [V1 ,V2 , … , Vn ], on aura {x} ⊂⋃ni=1 Vi et ∀k, {x} ∩ Vk ≠ ∅.
Dès ∀k, {x} ∩ Vk ≠ ∅ on a x ∈ Vk ⟹ x ∈ ⋂nk=1 Vk ∈ τ
D’où i[⋂nk=1 Vk ] ⊂ [V1 ,V2 , … , Vn ] ⊂ H
Donc ∀τV -voisinage H de i(x), ∃τ-voisinage G ≡ ⋂nk=1 Vk de x tel que i[G] ⊂
H, c'est-à-dire i est continue en x pour τ et τv .
b)
L’application i-1 : i[X] : {{x} : x ∈X} → X
est continue
{x} ↝ i-1({x}) = x
Preuve
Soit {x} ∈ i[X] et A un τ-voisinage de i-1({x}) = x.
En prenant H ≡ [V] avec ∅ ≠ V = intτ(A) ∈ τ.
Comme A est un τ-voisinage de x, par I.11. on a x ∈ intτ(A)= V ∈ τ
D’où par la définition de 𝒜, on a :
[V] = { F ∈ Feτ (X) : F ⊂ V}, alors {x} ∈ Feτ (X) tel que {x} ⊂ V = intτ(A)
Par I.6, H est un τv -voisinage de {x}.
Donc ∀ A τ-voisinage de i-1({x}) = x ∃H τv -voisinage de {x} tel que
i-1 [H∩i[X]] ⊂ A. C'est-à-dire i-1 est continue en {x} pour τv et τ.
La continuité de i et i−1 signifie par définition que τv est une hypertopologie.
[16]
II.2. LA CONSTRUCTION DE L’HYPERTOPOLOGIE DE FELL
Soit (X, 𝜏) un espace topologique accessible, X ≠ ∅.
Si A est un sous-ensemble ouvert de X, définissons
A+ = {E∈ Feτ (X) : E ⊂ A}
A− = {E∈ Feτ (X) : A ∩ E}
ℬ = {A+ : A ∈ τ} ⋃ {A− : A ∈ τ et X\A est un compact} alors ℬ est une
sous-base d’une topologie sur Feτ (X) appelée topologie de Fell et notéeτF .
Preuve
1. Soit A un sous-ensemble ouvert de X alors
{A+ : A ∈ τ} et {A− : A ∈ τ et X\A est un compact} ⊂ (Feτ (X))
⟹ {A+ : A ∈ τ} ⋃ {A− : A ∈ τ et X\A est un compact} ⊂ (Feτ (X))
D’où ℬ ⊂ 𝒫 (Feτ (X)).
2. Montrons que ℬ1 = {∩ℰ : ℰ = finie ⊂ℬ} est une base d’une topologie
sur Feτ (X).
a) X + ∩ X − ∈ ℬ1 car X est un ouvert et X\X est un compact
Or X + ∩ X − = Feτ (X) :
-
X + ∩ X − ⊂ Feτ (X) par définition de X + ∩ X − .
-
Ensuite C ∈ Feτ (X) ⟹ ∅ ≠ C ⊂ X et C ∩ X = C ≠ ∅ ⟹ C ∈
X+ ∩ X−
De X + ∩ X − ∈ ℬ1 on tireX + ∩ X − ⊂ ⋃ℬ1
De X + ∩ X − = Feτ (X) on conclut que Feτ (X)⊂ ⋃ℬ1
b) Comme ℬ1 ⊂ 𝒫 (Feτ (X)) on a ⋃ℬ1 ⊂Feτ (X)
Il découle de 2.a) et 2.b) que ⋃ℬ1 = Feτ (X).
3. Considérons G, H∈ ℬ1 et soit E ∈ G ∩ H alors
E ∈ G ⟹ ∃i, m ∈ ℕ ∃ τ-ouverts G1 , G2 ,… , Gi , Gi+1 , Gi+2 ,… , Gi+m tel
−
−
−
que E ∈ G=G1+ ∩G2+ ∩…∩Gi+ ∩Gi+1
∩Gi+2
∩…∩Gi+m
.
H ∈ G ⟹ ∃j, n ∈ ℕ ∃ τ-ouverts H1 , H2 ,… , Hj , Hj+1 , Hj+2 ,… , Hj+n tel
−
−
−
que E ∈ H=H1+ ∩H2+ ∩…∩Hj+ ∩Hj+1
∩Hj+2
∩…∩Hj+n
.
[17]
Définissons
−
−
−
−
−
D=G1+ ∩G2+ ∩…∩Gi+ ∩H1+ ∩H2+ ∩…∩Hj+ ∩Gi+1
∩Gi+2
∩…∩Gi+m
∩Hj+1
∩Hj+2
−
∩…∩Hj+n
L∈D
−
−
−
−
⟹L∈G1+ ∩G2+ ∩…∩Gi+ ∩H1+ ∩H2+ ∩…∩Hj+ ∩Gi+1
∩Gi+2
∩…∩Gi+m
∩Hj+1
∩
−
−
Hj+2
∩…∩Hj+n
⟹
L
∈
−
−
−
G1+ ∩G2+ ∩…∩Gi+ ∩Gi+1
∩Gi+2
∩…∩Gi+m
et
−
−
−
L∈H1+ ∩H2+ ∩…∩Hj+ ∩Hj+1
∩Hj+2
∩…∩Hj+n
⟹ L ∈ G et L ∈ H ⟹ L ∈ G ∩ H
D’où D ⊂ G ∩ H
−
−
−
Ensuite E ∈ G ∩ H ⟹ E ∈ G1+ ∩G2+ ∩…∩Gi+ ∩Gi+1
∩Gi+2
∩…∩Gi+m
et
−
−
−
E∈H1+ ∩H2+ ∩…∩Hj+ ∩Hj+1
∩Hj+2
∩…∩Hj+n
⟹
−
−
−
−
−
E∈G1+ ∩G2+ ∩…∩Gi+ ∩H1+ ∩H2+ ∩…∩Hj+ ∩Gi+1
∩Gi+2
∩…∩Gi+m
∩Hj+1
∩Hj+2
−
∩…∩Hj+n
⟹E∈D
D’où ∀G, H ∈ℬ1 ∀E ∈ G ∩ H ∃D ∈ ℬ1 tel que E ∈ D ⊂ G ∩ H
Par I.5 on conclut que ℬ1 est une base d’une topologie sur Feτ (X).
4. La compatibilité de l’hypertopologie de Fell
Soit (X, 𝜏) un espace topologique régulier, X ≠ ∅ alors :
a) L’application i : X → Feτ (X)
est continue x ↝ i(x) = {x}
Preuve
Soit x ∈ X et H un τV -voisinage de i(x) = {x}, par I.21. ∃voisinage G= {x} de
x tel que x ∈ {x} ⊂ H.
Donc ∀τV -voisinage H de i(x), ∃τ-voisinage G ≡ {x} de x tel que i[G] ⊂ H,
c'est-à-dire i est continue en x pour τ et τF .
b) L’application i-1 : i[X] : {{x} : x ∈X} → X
est continue
[18]
{x} ↝ i-1({x}) = x
Preuve
Soit {x} ∈ i[X] et A un τ-voisinage de i-1({x}) = x.
En prenant H ≡ [V] avec ∅ ≠ V = intτ(A) ∈ τ.
Comme A est un τ-voisinage de x, par I.11. on a x ∈ intτ(A)= V ∈ τ
D’où par I.21. {x} ⊂ V = intτ(A)
Par I.6, H est un τv -voisinage de {x}.
Donc ∀ A τ-voisinage de i-1({x}) = x ∃H τv -voisinage de {x} tel que
i-1 [H∩i[X]] ⊂ A. C'est-à-dire i-1 est continue en {x} pour τF et τ.
Donc ℬ est une sous-base d’une topologie sur Feτ (X) appelée topologie de
Fell et notéeτF .
La continuité de i et i−1 signifie par définition que τF est une hypertopologie.
II.3. CONSTRUCTION DE L’HYPERTOPOLOGIE DE WIJSMAN
Soit d une semi-métrique bornée sur un ensemble X ≠ ∅.
Si A et B sont des parties fermées non vides de x, définissons
dw (A, B) = sup
min {2−i , |d(xi , A) − d(xi , B)|} avec {xi : i ∈ ℕ} Alors dw est une
i∈ℕ
métrique sur Feτd (X).
Preuve
a)
Montrons que 0 ≤ 𝑑𝑤 (A, B)∈ ℝ, ∀A,B ∈ Feτd (X).
Soient a ∈ A, b ∈ B, xi ∈ X pour i = 1, 2, … , n
Par hypothèse d est une métrique et par I.9, on a :
d(xi , A) ≥ 0 𝑒𝑡 d(xi , B) ≥ 0, pour i = 1, 2, … , n
Ainsi 0 ≤ |d(xi , A) − d(xi , B)| ∈ ℝ et 2−i ≥ 0 ∀i ∈ ℕ
D’où
dw (A, B) = sup
min {2−i , |d(xi , A) − d(xi , B)|} est aussi un réel ≥ 0.
i∈ℕ
C’est-à-dire 0 ≤ dw (A, B) ∈ ℝ, ∀A, B ∈ Feτd (X).
Ce qui montre que dw : Feτd (X) x Feτd (X) → ℝ avec 0 ≤ 𝑑𝑤 (A, B)∈ ℝ, ∀A,B
∈ Feτd (X).
[19]
Prouvons que dw (A, A) = 0 ∀A ∈ Feτd (X).
b)
Soit A ∈ Feτd (X)
Alors |d(xi , A) − d(xi , A)| = |0| = 0,
(i)
D’où dw (A, A) = sup
min {2−i , |d(xi , A) − d(xi , A)|}
i∈ℕ
=
sup
i∈ℕ
min {2−i , 0}, par (i)
= 0, car 2−i > 0 ∀i ∈ ℕ
Donc dw (A, A) = 0 ∀A ∈ Feτd (X).
c)
Prouvons que 𝑑𝑤 (A, B) = 𝑑𝑤 (B, A), ∀A,B ∈ Feτd (X)
Soit A, B ∈ Feτd (X)
dw (A, B) = sup
min {2−i , |d(xi , A) − d(xi , B)|}
i∈ℕ
= sup
min {2−i , |d(xi , B) − d(xi , A)|}
i∈ℕ
= 𝑑𝑤 (B, A), par définition de 𝑑𝑤 .
D’où 𝑑𝑤 (A, B) = 𝑑𝑤 (B, A), ∀A, B ∈ Feτd (X)
Montrons
𝐹𝑒𝜏𝑑 (𝑋)
d)
que
𝑑𝑤 (𝐴, 𝐶) ≤ 𝑑𝑤 (𝐴, 𝐵) + 𝑑𝑤 (𝐵, 𝐶) ∀𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈
Considérons 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ 𝐹𝑒𝜏𝑑 (𝑋)
𝑑𝑤 (𝐴, 𝐶) ≤ sup
𝑚𝑖𝑛 {2−i , |d(xi , A) − d(xi , C)|}
i∈ℕ
𝑠𝑢𝑝
=
𝑚𝑖𝑛 {2−𝑖 , |𝑑(𝑥𝑖 , 𝐴) − 𝑑(𝑥𝑖 , 𝐵) + 𝑑(𝑥𝑖 , 𝐵) − 𝑑(𝑥𝑖 , 𝐶)|}
𝑖∈ℕ
𝑠𝑢𝑝
≤
𝑚𝑖𝑛 {2−𝑖 , |𝑑(𝑥𝑖 , 𝐴) − 𝑑(𝑥𝑖 , 𝐵)| + |𝑑(𝑥𝑖 , 𝐵) − 𝑑(𝑥𝑖 , 𝐶)|}
𝑖∈ℕ
≤ 𝑠𝑢𝑝
𝑚𝑖𝑛 {2−𝑖 , |𝑑(𝑥𝑖 , 𝐴) − 𝑑(𝑥𝑖 , 𝐵)|} + 𝑠𝑢𝑝
𝑚𝑖𝑛 {2−𝑖 , |d(xi , B) − d(xi , C)|}
𝑖∈ℕ
𝑖∈ℕ
= 𝑑𝑤 (𝐴, 𝐵) + 𝑑𝑤 (𝐵, 𝐶), 𝑝𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑤
Donc 𝑑𝑤 (𝐴, 𝐶) ≤ 𝑑𝑤 (𝐴, 𝐵) + 𝑑𝑤 (𝐵, 𝐶) ∀𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ 𝐹𝑒𝜏𝑑 (𝑋).
e) Si 𝑑𝑤 (A, B) = 0 alors montrons que A = B.
Soit A, B ∈ Feτd (X)
Si dw (A, B) = sup
min {2−i , |d(xi , A) − d(xi , B)|} = 0
i∈ℕ
Alors ∀j ∈ ℕ on a |d(xj , A) − d(xj , B)| = 0
[20]
⇒ d(xj , A) = 0 et d(xj , B) = 0, car d est une métrique
⇒ ∀a ∈ A et ∀b ∈ B on a xj = a et xj = b, car d est une métrique
⇒ ∀a ∈ A et ∀b ∈ B on aura a = b, d’où A = B.
Il découle de 1), 2), 3), 4) et 5) que 𝑑𝑤 est une métrique sur Feτd (X).
f)
Compatibilité de l’hypertopologie de Wijsman
Soit d une semi-métrique sur un ensemble X ≠ ∅
L’application i : X → Feτd (X) est continue
x ↝ i(x) = {x}
Preuve
Si (u)n≥1 → u dans l’espace métrique X, alors ∀ x ∈ X nous avons par I.19.
d(xi , (u)n≥1 ) → d(xi , u),
(j)
Soit A = {(v)n≥1 } et B = {(w)n≥1 } des suites tel que (v)n≥1 et (w)n≥1 des
suites dans X convergeant pour d vers v et w respectivement.
Alors
dw (A, B) = sup
min {2−i , |d(xi , A) − d(xi , B)|}
i∈ℕ
= sup
min {2−i , |d(xi , {(v)n≥1 } ) − d(xi , {(w)n≥1 })|}
i∈ℕ
Alors par (j), on a :
dw (A, B) → sup
min {2−i , |d(xi , v) − d(xi , w)|}
i∈ℕ
→
sup
i∈ℕ
min {2−i ,|d(xi , {v}) − d(xi , {w})|}
→ dw ({v}, {w}), par la définition de dw
Donc i est continue et i-1 est aussi continue.
La continuité de i et i−1 signifie par définition que τw est une hypertopologie.
II.4. LA CONSTRUCTION DE L’HYERTOPOLOGIE DE HAUSDORFF
II.4.1. La métrique de Hausdorff venant d’une semi-métrique pas
nécessairement métrique
Soit d une semi-métrique bornée sur un ensemble X≠ ∅. Si A et B sont des
parties fermées non vides de X
Alors
𝐻𝑑 (A, B) ≡ max {𝑠𝑢𝑝
⏟ 𝑑(𝑎, 𝐵), 𝑠𝑢𝑝
⏟ 𝑑(𝑏, 𝐴)} est une métrique sur Feτd (X).
𝑎∈𝐴
𝑏∈𝐵
Alors 𝐻𝑑 est une métrique sur Feτd (X).
[21]
Preuve
1) Montrons que 0 ≤ 𝐻𝑑 (A, B)∈ ℝ, ∀A,B ∈ Feτd (X).
Par hypothèse d est bornée alors ∃réel c > 0 tel que ∀x,y ∈ X ,
0≤d(x,y)≤c , (i)
Soit A, B ∈Feτd (X).
a) B≠ ∅ donc ∃𝑣 ∈ 𝐵
Alors a ∈ A ⇒ 0≤d(a,B)≤d(a,v), car d(a,B) = 𝑖𝑛𝑓
⏟d(a,b)
𝑏∊𝐵
⇒ d(a,B)≤c, par (i)
Donc ø≠ {d(a,B) : a ∊ A} est majoré par c.
Alors par l’unicité d’une borne supérieure, on a :
0 ≤ sup{d(a, B) : a ∊ A} ∊ ℝ
b)
A≠ ∅ donc ∃𝑤 ∈ 𝐴
Ainsi b ∈ B ∈ Feτd (X) ⇒ 0≤d(b,A)≤d(b,w), car d(b,A) = 𝑖𝑛𝑓
⏟d(a,b)
𝑎∊𝐴
⇒ d(a,B)≤c, par (i)
Donc ø≠ {d(b,A) : b ∊ B} est majoré par c.
Alors par l’unicité d’une borne supérieure, on a :
0 ≤ sup{d(b, A) : b ∊ B} ∊ ℝ
Ainsi par a) et b), on a :
0≤ max {𝑠𝑢𝑝
⏟ 𝑑(𝑎, 𝐵), 𝑠𝑢𝑝
⏟ 𝑑(𝑏, 𝐴)} ∊ ℝ
𝑎∈𝐴
𝑏∈𝐵
D’où 𝐻𝑑 : Feτd (X) x Feτd (X) → ℝ avec 0 ≤ 𝐻𝑑 (A, B)∈ ℝ, ∀A,B ∈
Feτd (X).
2) Prouvons que 𝐻𝑑 (A, A) = 0 ∀A ∈ Feτd (X)
Soit a ∊ A ∊ Feτd (X).
Alors a ∈ A ∈ Feτ (X) ⇒ a ∊ 𝐴̅ ⇒ d(a, A) = 0, (i)
d
Ainsi 𝑠𝑢𝑝
⏟ 𝑑(𝑎, 𝐴) = sup {0}, par (i)
𝑎∈𝐴
= 0.
D’où 𝐻𝑑 (A, A) = max {𝑠𝑢𝑝
⏟ 𝑑(𝑎, 𝐴), 𝑠𝑢𝑝
⏟ 𝑑(𝑎, 𝐴)}
𝑎∈𝐴
= max {0,0}
= 0.
Donc 𝐻𝑑 (A, A) = 0 ∀A ∈ Feτd (X)
𝑎∈𝐴
[22]
3) Prouvons que 𝐻𝑑 (A, B) = 𝐻𝑑 (B, A), ∀A,B ∈ Feτd (X).
𝐻𝑑 (A, B) = max {𝑠𝑢𝑝
⏟ 𝑑(𝑎, 𝐵), 𝑠𝑢𝑝
⏟ 𝑑 (𝑏, 𝐴)}, par définition de 𝐻𝑑
𝑎∈𝐴
𝑏∈𝐵
= max {, 𝑠𝑢𝑝
𝑠𝑢𝑝 𝑑(𝑎, 𝐵)}
⏟ 𝑑 (𝑏, 𝐴) ,⏟
𝑏∈𝐵
𝑎∈𝐴
= 𝐻𝑑 (B, A), par définition de 𝐻𝑑
D’où 𝐻𝑑 (A, B) = 𝐻𝑑 (B, A), ∀A,B ∈ Feτd (X)
4) Montrons que 𝐻𝑑 (A, C) ≤ 𝐻𝑑 (A, B) + 𝐻𝑑 (B, C) ∀A,B, C ∈ Feτd (X)
Considérons ∀A,B, C ∈ Feτd (X)
a) Si a ∊ A, b∊B, c ∊ C et d est une semi-métrique sur X donc d(a,c) ≤
d(a,b)+d(b,c)
a ∊ A alors il existe b ∊ B tel que d(a, b)< 𝐻𝑑 (A, B), (i)
b ∊ B alors il existe c ∊ C tel que d(b, c)< 𝐻𝑑 (B, C), (ii)
Par (i) et (ii), on a : d(a,b)+d(b,c) < 𝐻𝑑 (A, B) + 𝐻𝑑 (B, C) et comme d est une
métrique, on a d(a, c) < d(a,b)+d(b,c) < 𝐻𝑑 (A, B) + 𝐻𝑑 (B, C)
alors on aura d(a,c) < 𝐻𝑑 (A, B) + 𝐻𝑑 (B, C). (iii)
Et par le même raisonnement on montre que d(c, a) < 𝐻𝑑 (A, B) + 𝐻𝑑 (B, C),
(iv)
Par (iii) on a inf { 𝐻𝑑 (A, B) + 𝐻𝑑 (B, C) > 0 :∀a ∊ A,
inf 𝑑(𝑎,𝑐)
𝑐∊𝐶
< 𝐻𝑑 (A, B) +
𝐻𝑑 (B,C)}
Alors 𝑠𝑢𝑝
⏟ 𝑑(𝑎, 𝐶) < 𝐻𝑑 (A, B) + 𝐻𝑑 (B, C),
(v)
𝑎∈𝐴
Par (iv), on a inf { 𝐻𝑑 (A, B) + 𝐻𝑑 (B, C) > 0 :∀c ∊ C,
inf 𝑑(𝑐,𝑎)
𝑎∊𝐴
< 𝐻𝑑 (A, B) +
𝐻𝑑 (B,C)}.
Alors 𝑠𝑢𝑝
⏟ 𝑑(𝑐, 𝐴) < 𝐻𝑑 (A, B) + 𝐻𝑑 (B, C),
(vi)
𝑐∈𝐶
Par (v) et (vi) on a : max {𝑠𝑢𝑝
⏟ 𝑑(𝑎, 𝐶), 𝑠𝑢𝑝
⏟ 𝑑(𝑐, 𝐴)} ≤ 𝐻𝑑 (A, B) + 𝐻𝑑 (B, C)
𝑎∈𝐴
𝑐∈𝐶
Alors
𝐻𝑑 (A, C) ≤ 𝐻𝑑 (A, B) + 𝐻𝑑 (B, C)
D’où 𝐻𝑑 (A, C) ≤ 𝐻𝑑 (A, B) + 𝐻𝑑 (B, C) ∀A,B, C ∈ Feτd (X)
5) Si 𝐻𝑑 (A, B) = 0 alors montrons que A = B
Soit A, B ∈ Feτd (X)
i) Nous avons 0≤ 𝑠𝑢𝑝
⏟ 𝑑(𝑎, 𝐵)≤ max {𝑠𝑢𝑝
⏟ 𝑑(𝑎, 𝐶), 𝑠𝑢𝑝
⏟ 𝑑(𝑐, 𝐴)} =
𝑎∈𝐴
𝐻𝑑 (A, B) = 0
⇒ 𝑠𝑢𝑝
⏟ 𝑑(𝑎, 𝐵) = 0
𝑎∈𝐴
𝑎∈𝐴
𝑐∈𝐶
[23]
Alors ∀ x ∊ A, d(x, B) ≤ 𝑠𝑢𝑝
⏟ 𝑑 (𝑎, 𝐵) = 0 ⇒ d(x, B) = 0 ⇒ x ∊ 𝐵̅, car
𝑎∈𝐴
B∊Feτd (X)
⇒ B est un fermé ⇒ 𝐵̅ = B, d’où x ∊ 𝐵̅ ⇒ x ∊ B.
D’où ∀x ∊ A on a x ∊ B c'est-à-dire A ⊂ B
ii) Par le même raisonnement on montre que B ⊂ A
Par i) et ii), on déduit que A = B
Il découle de 1), 2), 3), 4) et 5) que 𝐻𝑑 est une métrique sur Feτd (X).
II.4.2. La métrique de Hausdorff venant d’une semi-métrique pas
nécessairement bornée
Soit d une semi-métrique sur un ensemble X ≠ ∅. Nous ne supposons pas que
d est bornée. Par [ ] on sait que la fonction ρ(x, y) =
d(x,y)
1+d(x,y)
est aussi une semi-
métrique sur X qui engendre la même topologie que d, τρ = τd .
Clairement ρ est bornée : ∀ x, y ∊ X, 0≤ ρ(x, y) =
d(x,y)
1+d(x,y)
≤ 1.
Donc selon I) nous pouvons construire la métrique de Hausdorff sur Feτd (X).
Puisque τρ = τd nous avons Feτρ (X) = Feτd (X) donc 𝐻𝜌 est une métrique sur
Feτd (X).
II.4.3. Compatibilité de l’hypertopologie de Hausdorff : cas d’une métrique
non bornée
Soit d une métrique sur un ensemble X ≠ ∅ avec d non nécessairement
bornée alors ρ =
d
1+d
= est une métrique bornée qui engendre la même topologie
que d, τρ = τd .
Alors 𝐻𝜌 est une métrique sur Feτd (X) = Feτρ (X), ici ∀x∊X, {x} ∊ Feτd (X).
Donc on peut examiner la compatibilité de l’hypertopologie.
Alors
𝐻𝑑 (i(x), i(y)) = 𝐻𝑑 ({x}, {y}}
= max {𝑠𝑢𝑝
⏟ 𝑑(𝑎, {𝑦}), 𝑠𝑢𝑝
⏟ 𝑑(𝑏, {x})}
𝑎∈{x}
𝑏∈{𝑦}
= max { ρ(x, y), ρ(y, x)}
= max { ρ(x, y), ρ(x, y)}
= ρ(x, y)
[24]
D’où 𝐻𝑑 (i(x), i(y)) = ρ(x, y)
⇒ i est isométrique pour ρ et 𝐻ρ
⇒ i est continue pour τd et τHd
Ainsi i−1 : i[X] ⊂ Feτd (X) → X est isométrique pour 𝐻𝑑 et d
⇒i−1 est continue pour τHd et τd .
La continuité de i et i−1 signifie par définition que τH est une hypertopologie.
[25]
Chapitre III : TENTATIVE DE GENERALISATION DE
L’HYPERTOPOLOGE DE HAUSDORFF
Dans ce chapitre nous allons tenter de généraliser l’hypertopologie de
Hausdorff en partant non pas d’une topologie engendrée par une métrique mais
d’une topologie engendrée par un ensemble de métriques. Cette dernière nous
l’avions construite et étudiée dans [3].
Dans tout ce qui va suivre nous nous fixons un ensemble non vide X ainsi
qu’un ensemble non vide ℰ de métriques sur X.
III.1. Théorème : Topologie engendrée par un ensemble de métriques
Soit
𝑛
𝒜 = {⋂ 𝐵 (𝑤, 𝜀𝑘 , 𝑑𝑘 , 𝑋) : 𝑤 ∈ 𝑋, 𝑛 ∈ ℕ 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑑𝑘 ∈ ℰ 𝑒𝑡 0 < 𝜀𝑘 ∈ ℝ 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑘 = 1, … , 𝑛}.
𝑘=1
et la topologie τ = τℰ = τ(ℰ) engendrée par ℰ.
Nous avons :
(1). La famille τ ≡ τ(ℰ ) = {∪ℳ : ℳ ⊂ 𝒜} est une topologie séparée sur X de
base 𝒜.
(2). ∀d ∈ ℰ, τd est plus faible que τ(ℰ) donc tout τd - fermé est aussi τ(ℰ)-fermé.
Preuve
Nous avons démontré (1) dans [3].
Vérifions (2) :
Soit d ∈ ℰ. On sait [7] que la famille 𝒜d = {B(w, ε, d, X) : 0< ε ∈ ℝ, w ∈ X} est une
base de τd , et clairement 𝒜d ⊂ 𝒜.
2.1) Si G ∈ 𝒜d alors il existe ℳ ⊂ 𝒜d avec G = ∪ℳ, et comme 𝒜d ⊂ 𝒜 on a ℳ⊂ 𝒜
d’où ∪ℳ ∈ τ(ℰ) c'est-à-dire G ∈ τ(ℰ). Par suite τd ⊂ τ(ℰ).
2.2) Nous avons :
S ∈ Feτd (X) ⇒ S est un fermé de X pour τd
[26]
⇒ X\S ∈ τd
⇒ X\S ∈ τ(ℰ), selon (2.1)
⇒ S est un fermé de X pour τ(ℰ)
⇒ S ∈ ∈ Feτ (X).
Ce qui prouve bien que Feτd (X) ⊂ Feτ(ℰ) (X).
La famille ℱ de τ - fermés non vides de X sur laquelle nous allons construire
l’hypertopologie généralisée de Hausdorff ne coïncide pas nécessairement
avec Feτ (X). Nous aurons besoin de savoir toutefois que ℱ ⊂Feτ (X). Pour cela
nous démontrons le résultat suivant
III.2. Corollaire
Pour tout d ∈ ℰ nous avons ℱ ≡ ⋂d ∈ℰ Feτd (X) ⊂ Feτ (X)
Preuve
On sait par III.2 que Feτd (X) ⊂ Feτ(ℰ) (X) alors ℱ ≡ ⋂d ∈ℰ Feτd (X) ⊂ Feτ (X).
Pour deux métriques non équivalents d1 ∈ ℰ et d2 ∈ ℰ, les métriques de
Hausdorff associées Hd1 et Hd2 (cfr II.4) n’ont pas même domaine de définition car
on aura en général dom (Hd1 )= Feτd1 (X)≠ Feτd2 (X) = dom(Hd2 ). Nous pouvons
néanmoins restreindre toutes ces métriques de Hausdorff à ℱxℱ et obtenir la
famille ℰ’ = {Hd /ℱ x ℱ : d ∈ ℰ } qui est un ensemble de métriques sur ℱ. Par III.1,
on sait que τ(ℰ′) est une topologie sur ℱ.
Deux problèmes se posent pour que la topologie τℰ’ puisse être considérée
comme une hypertopologie au sens de notre définition. Pour cela nous
démontrons le résultat suivant
III.3. Lemme
∀ x ∈ X on a {x} ∈ ℱ.
Preuve
[27]
Soit x ∈ X. Si d ∈ ℰ alors d est une métrique sur X donc on sait [7] que {x} est
τd − 𝑓𝑒𝑟𝑚é c'est-à-dire {x} ∈ Feτd (X).
Par conséquent {x} ∈ ⋂d ∈ℰ Feτd (X) = ℱ.
III.4. Théorème
L’application i(x) = {x} est tel que i : X → ℱ et de plus i et i−1 sont continues pour
τℰ et τℰ′ .
Preuve
Par III.3 on voit que i : X → ℱ.
De plus si d ∈ ℰ, alors pour tout x ∈ X et y ∈ X on sait par II.4 que Hd (i(x), i(y)) =
d(x, y), ce qui signifie que i est isométrique pour Hd et d et donc i est continue
pour τHd et τd et i−1 est continue pour τd et τHd .
a) On doit démontrer que i est continue pour τℰ et τℰ′ .
Considérons un filet (xt , t∈D, ≤) tel que xt → w pour τℰ ..
Il faut montrer que (i(xt ), t∈D, ≤) → i(w). Soit M un τℰ′ -voisinage de {w}.
On sait que τℰ′ est généré par {H′d : d ∈ ℰ} donc ∃n ∈ ℕ, ∃dk ∈ ℰ, ∃ εk >0 pour
1≤k≤n tel que ⋂nk=1 B({w}, εk , H′dk , ℱ) ⊂ M. Alors ⋂nk=1 B(w, εk , dk , X) est τℰ -
voisinage de w et comme xt → w, donc ∃t 0 ∈D tel que t ≥ t 0 ⇒ xt ∈⋂nk=1 B(w, εk , dk ,X)
⇒{xt }⊂⋂nk=1 B(w, εk , dk ,X)
⇒{xt } ⊂ B(w, εk , dk ,X) ∀ k = 1, 2, … , n
⇒ dk (xt ,w)<εk
En vertu de II.4 H′dk ({xt }, {w}) = dk (xt ,w)<ε.
⇒ {xt } ∈ B({w}, εk , H′dk , ℱ) ∀ k = 1, 2, … , n
⇒ {xt } ∈⋂nk=1 B({w}, εk , H′dk ,ℱ) ⊂ M
⇒ 𝑖(xt )∈⋂nk=1 B(w, εk , H′dk ,ℱ)
⇒ 𝑖(xt ) ∈ M.
[28]
D’où ∀M τℰ′ -voisinage de i(w), ∃t 0 ∈D tel que ∀ t ≥ t 0 , 𝑖(xt ) ∈ M c'est-à-dire (i(xt ),
t∈D, ≤) → i(w).
Donc i est continue pour τℰ et τℰ′ .
b) Il nous reste à démontrer que i−1 est continue pour τℰ′ et τℰ .
On pose j = i−1 . Soit ℱ’ = dom(j), d’où ℱ’ = {{x} : x ∈ X} et ℱ’⊂ℱ.
Soit un filet S=({xt },t∈D, ≤) dans ℱ′ tel que (xt ,t∈D, ≤) → {w}∈ℱ’ pour τℰ′ . Donc
w∈X et ∀t∈D, xt ∈X.
Montrons que (𝑗({xt }),t∈D,≤)
converge vers j({w}) pour τ(ℰ), c'est-à-dire
(xt ,t∈D,≤) converge vers w pour τ(ℰ).
Considérons N un τℰ -voisinage de w. On sait par III.1 qu’il existe n∈ ℕ , il existe
des réels εk >0, 1≤k≤n, il existe dk ∈ℰ, 1≤k≤n tel que ⋂nk=1 B(w, εk , dk , X) ⊂ N.
En vertu de l’engendrement de τℰ′ , ⋂nk=1 B({w}, εk , H′dk , ℱ’) est τℰ′ -voisinage de
{w}. Comme le filet ({xt }, t∈D, ≤) converge vers {w} par rapport à τ(ℰ’), alors il
existe 𝑡0 ∈D tel que ∀ t ≥ t 0 , {xt }∈ ⋂nk=1 B({w}, εk , H′dk , ℱ’).
D’autre part, ∀k=1,…,n
H′dk ({xt }, {w}) = dk (xt ,w), en vertu de II.4,
Ainsi ∀k=1,…,n, dk (w, xt ) < εk , t ≥ t 0
⇒ ∀ t ≥ t 0 , 𝑥𝑡 ∈⋂nk=1 B(w, εk , dk , X) ⊂ N.
Ou encore j({xt }) ∈ ℕ, ∀ t ≥ t 0 .
En résumé : Si ({xt }, t∈D, ≤) converge vers {w} pour τ(ℰ’), alors (j({xt }),t∈D, ≤)
converge vers j({w}) pour τ(ℰ).
Ainsi j ≡ i−1 est continue pour τ(ℰ’) et τ(ℰ), en vertu de [7}.
La continuité de i et i−1 signifie par définition que τ(ℰ’) est une hypertopologie.
[29]
CONCLUSION
Dans ce travail nous avons examiné des hypertopologies, dont
celle de Hausdorff, et nous avons réussi partiellement à généraliser cette
dernière. Notre généralisation est partielle dans ce sens que contrairement à
l’hypertopologie de Hausdorff, celle que nous avons construite est sur une
partie ℱ de Feτ (X), et nous n’avons pas pu établir l’égalité ℱ = Feτ (X).
[30]
BIBLIOGRAPHIE
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[6]. Pascal D. MUBENGA KAMPOTU : Notes de cours d’Analyse infinitésimale I, 1er
Graduat en Sciences Mathématiques 2004 – 2005, Université de KINSHASA, inédit.
[7]. Pascal D. MUBENGA KAMPOTU : Notes de cours de topologie générale, 3ème
Graduat en Sciences Mathématiques 2006 – 2007, Université de KINSHASA, inédit.
[8]. WIESLAW KUBIS, KATSURO SAKAR ET MASATO YAGUCH: Hyperspaces of
separable Banach spaces with the Wijsman topology, Topology Appl., 148 (2005), 7–
32.
[31]
TABLE DES MATIERES
Epigraphe.................................................................................................................................................. i
DEDICACE .................................................................................................................................................ii
AVANT PROPOS .......................................................................................................................................iii
INTRODUCTION ....................................................................................................................................... iv
CHAPITRE I :
GENERALITES SUR LES HYPERTOPOLOGIES ................................................................. 1
I.1.
DEFINITION D’UNE (SEMI-) METRIQUE ................................................................................... 1
I.2.
LES PROPRIETES DES BOULES DANS UN ESPACE SEMI-METRIQUE ......................................... 2
I.3
DEFINITION : LA NOTION D’UNE BASE OU D’UNE SOUS-BASE D’UNE TOPOLOGIE [OU D’UN
ESPACE TOPOLOGIQUE]. ..................................................................................................................... 2
I.4.
RAPPEL GENERAL ..................................................................................................................... 3
I.5.
THEOREME : UNE METHODE GENERALE DE CONSTRUCTION D’UNE TOPOLOGIE ................. 3
I.6.
THEOREME : UNE CARACTERISATION DES VOISINAGES EN TERMES D’UNE BASE ................. 3
I.7.
TOPOLOGIE ENGENDREE PAR UNE SEMI-METRIQUE.............................................................. 4
I.8.
DEFINITION : BORNES ET PRECOMPACTS D’UN ESPACE SEMI-METRIQUE ............................. 5
I.9.
DEFINITIONS ............................................................................................................................ 5
I.10.
LA NOTION DES VOISINAGES D’UN POINT OU D’UN ENSEMBLE ............................................ 6
I.11.
PROPRIETES DE L’INTERIEUR ................................................................................................... 6
I.12.
LA NOTION DE LA CONTINUITE ............................................................................................... 7
I.13.
THEOREME DE L’UNICITE D’UNE BORNE SUPERIEURE............................................................ 7
I.14.
LE THEOREME D’EXISTENCE DU SUPREMUM D’UNE PARTIE DE ℝ......................................... 8
I.15.
L’UNICITE D’UNE BORNE INFERIEURE D’UNE PARTIE DE ℝ .................................................... 8
I.16.
THEOREME D’EXISTENCE DE L’INFINIMUM D’UNE PARTIE DE ℝ............................................ 8
I.17.
UN CAS D’EXISTENCE DU MAXIMUM ET DE MINIMUM D’UNE PARTIE DE ℝ ......................... 8
I.18. THEOREME ............................................................................................................................ 9
I.19. PROPOSITION ........................................................................................................................ 9
I.20.
INTRODUCTION AUX PRINCIPAUX AXIOMES DE SEPARATION ................................................ 9
I.21. FORMULATION EQUIVALENTES DE L’AXIOME DE REGULARITE ................. 10
I.22.
CARACTERISATION DE L’AXIOME D’ACCESSIBILITE ............................................................... 11
I.23.
LA NOTION D’UN HYPERESPACE TOPOLOGIQUE .................................................................. 11
Chapitre II : QUELQUES METHODES DE CONSTRUCTION D’UNE TOPOLOGIE SUR Feτ(X) LORSQUE X
EST AU MOINS ACCESSIBLE. .................................................................................................................. 12
II.1.
LA CONSTRUCTION DE L’HYPERTOPOLOGIE DE VIETORIS .................................................... 12
II.2.
LA CONSTRUCTION DE L’HYPERTOPOLOGIE DE FELL ............................................................ 15
[32]
II.3.
CONSTRUCTION DE L’HYPERTOPOLOGIE DE WIJSMAN ........................................................ 18
II.4.
LA CONSTRUCTION DE L’HYERTOPOLOGIE DE HAUSDORFF ................................................. 20
II.4.1. La métrique de Hausdorff venant d’une semi-métrique pas nécessairement métrique .... 20
II.4.2. La métrique de Hausdorff venant d’une semi-métrique pas nécessairement bornée ....... 23
II.4.3. Compatibilité de l’hypertopologie de Hausdorff : cas d’une métrique non bornée ........... 23
Chapitre III :
TENTATIVE DE GENERALISATION DE L’HYPERTOPOLOGE DE HAUSDORFF ................... 25
III.1. Théorème : Topologie engendrée par un ensemble de métriques ...................................... 25
III.2. Corollaire ................................................................................................................................ 26
III.3. Lemme .................................................................................................................................... 26
III.4. Théorème ................................................................................................................................. 27
CONCLUSION ......................................................................................................................................... 29
BIBLIOGRAPHIE ...................................................................................................................................... 30
TABLE DES MATIERES ............................................................................................................................ 31