Epigraphe

[i]
Epigraphe
« Si tu veux construire un bateau, ne rassemble pas tes hommes et femmes pour
leur donner des ordres, pour expliquer chaque détail, pour leur dire où trouver
chaque chose… Si tu veux construire un bateau, fais naître dans le cœur de tes
hommes et femmes le désir de la mer.»
Antoine de Saint-Exupéry
« Nos doutes sont des traîtres, et nous privent de ce que nous pourrions souvent
gagner de bon, parce que nous avons peur d’essayer. »
William Shakespeare
« Certes, je ne suis qu’un. Mais je suis un. Je ne peux pas tout faire. Mais je peux
faire quelque chose. Et le fait de ne pas pouvoir tout faire ne m’autorise pas à
refuser de faire ce que je peux faire. »
Edward Everett

[ii]
DEDICACE
A mon père Stanislas MBIKAYI TSHIKALA pour ses sages conseils et la
ligne de conduite qu’il a pu tracer pour moi, lesquels sont des éléments déterminants
de ma réussite dans les études.
A ma mère Alphonsine MWADI TSHAMALA pour son soutient et son
amour qui sont l’objet de mon progrès dans les études.
A mes frères et sœurs Jonas MUDIAYI, Patrice MUKEBA, Mamie
NYANGA, Naomi KABEDI, Junior TSHAMALA, Derick
MUTANDA, Mimi TSHALA, Rosette MBELU, Sarah MWADI,
dorcas KALONJI pour leur amour et sollicitude, ils me sont très chers.
Je dédie ce travail
MBIKAYI TSHIKALA Fabrice

[iii]
AVANT PROPOS
Nous tenons à remercier le Professeur MUBENGA KAMPOTU Pascal qui en dépit
de ses multiples occupations a bien voulu assurer la direction de ce travail, qu’il
trouve ici l’expression de notre profonde gratitude.
Nos remerciements vont également à tous les professeurs du département de
Mathématiques et Informatique qui malgré la précarité de la situation socio-
économique du pays se sont investis à nous donner une formation de haute
facture.
Nos remerciements s’adressent aussi à la famille NKONGOLO, à la famille
YONGA, à la famille MUKENGE et à la famille LUBAN pour leur apport combien
inoubliable.
Ingrat serions nous si nous laissons dans l’ombre nos condisciples et tous ceux que
nous avons connus sur le campus universitaire dont la présence constituait pour
nous une obligation de toujours mieux agir. Qu’ils trouvent à travers ces lignes
l’emprunte de leurs qui nous ont unis et nous uniront toujours : Israël NKOKO,
Frémy MAKANGA, Laurent BATUKU, Déborah EKA, Josiah MBELU, Gloria
KOKO, Tantine SITA, Charady KIESE, Cédric KALAMBAYI, Lionel MESSI, Josep
GUARDIOLA, Arsène BOTANDJO, Jean Christmas MISSIFAKI, Grace DEMBO,
Mariane KABOKO, Patrick MBOMA, Lauretta MBUYI, Patrick BAYO, Grace
KEMBIA, Stella NGALULA, Mérite KAKESA, Hervé DANGA, Fanon BABADI,
Freddy KABUANGA, Malik MASKI, Arnold NSEY, Cédric LUBAN, Guy MANDE,
John OTSHUDI, Gaëtan EKWALANGA, Rolly EMBONGO, Alain MASESA, Bruce
SHOLA, Cédric KIWI, David DVD, Antoine DJOMBO.
Enfin, que tous ceux dont l’amour nous a toujours gardés constant et heureux à
travers les aléas de la vie trouvent ici l’expression de notre profonde reconnaissance
et de la joie qu’ils ne cessaient d’implanter dans notre cœur.

[iv]
INTRODUCTION
On sait bien comment construire une topologie sur un ensemble à partir
d’une pseudo-métrique donnée sur cet ensemble, d’une base donnée ou d’une
sous-base donnée.
Dans ce travail, nous allons examiner la construction des topologies sur
les familles des parties fermées non vides d’un espace topologique. De telles
topologies, pour être plus intéressantes, doivent évidemment avoir un lien de
compatibilité avec la topologie sur l’espace de départ (voir ci-dessous) et dans ce
cas on les appelle hypertopologies.
Beaucoup de travaux relatifs aux hypertopologies ont déjà été réalisés,
notamment par E. Michael [4], G. Beer [1], M. Marjanovic [2], W. Kubis, K.
Sakar et M. Yaguch [8]. Pour le cas de [1], l’hypertopologie est construite sur une
sous-famille propre de la famille de fermés non vides d’un espace de Banach.
Nous allons pour notre part examiner quatre hypertopologies à savoir
l’hypertopologie de Viétoris, l’hypertopologie de Fell, l’hypertopologie de
Wijsman et l’hypertopologie de Hausdorff.
Nous adoptons la notation suivante : (X, ) étant un espace
topologique, nous désignons par (X) la famille de parties non vides de X qui
sont fermées par rapport à . Une topologie t sur (X) sera dite une
hypertopologie si et seulement si l’application f qui à x  X associe {x}, est un
homéomorphisme de X sur {{x} : x  X}  E par rapport à  et  = trace de t sur
E. Dans ces conditions l’espace (X, ) ne peut pas être quelconque puisque
clairement les singletons doivent alors être fermés par rapport à .
A part la notation (X) nous avons suivi [1, 2, 4, 5, 8] dans la manière
d’introduire les hypertopologies sur (X).
Pour alléger la présentation de notre travail nous ne regroupons au
chapitre I que quelques résultats préliminaires sur la topologie générale et l’analyse

[v]
infinitésimale, les autres résultats seront rappelés dans les chapitres suivants au fur
et à mesure qu’on en aura besoin.
Les deux principaux outils que nous utiliserons dans ce travail pour
généraliser l’hypertopologie de Hausdorff à partir d’un ensemble de métriques sont
énoncés sans démonstration dans notre théorème II.4.1 car nous les avions
démontrés en détail dans [3].
Enfin, nous avons supposé connues toutes les manipulations
ensemblistes usuelles, particulièrement celles relatives à la réunion, à l’intersection
d’une famille d’ensembles.
MBIKAYI TSHIKALA Fabrice