F.d`E 2

MATH 452
ÉNONCÉS DES EXERCICES 2
A. ZEYT˙ IN
(1) Supposons que τ1et τ2sont topologies sur un ensemble non-vide X. Décider si
Iτ1∪τ2
Iτ1∩τ2
est un topologie sur X.
(2) Soient f:X−→Yune fonction et Xi⊂X,Yi⊂Yoù i=1, 2. Montrer que
Isi Y1⊂Y2alors f−1(Y1)⊂f−1(Y2)
If−1(Y1∪Y2) = f−1(Y1)∪f−1(Y2)
If−1(Y1∩Y2) = f−1(Y1)∩f−1(Y2)
If−1(Y1\Y2) = f−1(Y1)\f−1(Y2)
Isi X1⊂X2alors f(X1)⊂f(X2)
If(X1∪X2) = f(X1)∪f(X2)
(3) Soit Xun ensemble non-vide. On pose τcomme l’ensemble de tout les parties, Ude X, tel que soit |X\U|<∞
soit X\U=∅. Montrer que τest une topologie sur X.
(4) Soit Xun ensemble non-vide. On pose τcomme l’ensemble de tout les parties, Ude X, tel que soit |X\U|est
dénombrable1soit X\U=∅. Montrer que τest une topologie sur X.
(5) Soit Xun ensemble non-vide. Un ensemble, B ⊂ P(X), de parties de Xest dit une base si:
•pour tout x∈Xil existe un U∈ B contenant x, i.e. x∈U.
•si pour B1, B2∈τavec B1∩B26=∅alors, il existe B3∈ B tel que B3⊂B1∩B2.
Si Best une base alors
τ(B) := {U⊂X:pour tout x∈Uil existe B∈ B avec x∈B⊂U}.
Étant donne une base Bde Xmontrer que τ(B)est une topologie sur X. Cette topologie est dit la topologie
engendré par B.
(6) (Droite de Sorgenfrey) On considère la droite réelle Rmuni de la topologie engendré par B:= {[a, b): a, b ∈
Ra< b}. On la note par S. Montrer que
Icette topologie sur Rest strictement plus fine (c’est-à-dire qu’elle a strictement plus d’ouverts) que la
topologie usuelle (ou standarde)
Ichaque intervalle semi-ouvert [a, )best ouvert dans S, mais aussi fermé.
Iune suite (xn)dans Sconverge vers Lsi et seulement si elle approche Lpar la droite, c’est-à-dire si pour
tout >0, il existe un indice N∈Ntel que pour tout n>N,L≤xn< L +.
Donner un exemple d’une suite convergente et un exemple d’une suite divergente dans S.
(7) Déterminer la frontière, la clôture et l’intérieur des ensembles suivantes:
I[0, 1)×[0, 1]⊂R2
I{a+b√−1∈C:a, b ∈Z}
I{a+b√−1∈C:a, b ∈Q}
I{(x, y)∈R2:x2+y2=1}
I{(x, y, z)∈R3:x2+y2=1}
(8) Soit (X, τ)une espace topologique.
IMontrer que si Xest Hausdorff alors la limite d’une suite convergente (xn)dans Xest unique.
IMontrer par un exemple que si Xn’est pas Hausdorff la limite d’une suite n’est pas nécessairement
unique.
1Rappeler qu’un ensemble Aest dit dénombrable s’il existe un injection de Avers N.

(9) On considère B=B((a, b),R) = {f: (a, b)−→R|fest bornée}muni de l’application d:B×B−→R+définie
par d(f, g) = supt∈(a,b)|f(t) − g(t)|. Montrer que (B, d)est un espace métrique.
(10) Pour x1,...,xn∈R(ou C), montrer que (|x1|+|x2|+. . . +|xn|)2≤n(|x1|2+. . . +|xn|2).
(11) Soit (X, τ)un espace topologique. On dit que Xest separable si Xpossede une partie Uqui est dense et dénom-
brable.
IMontrer que Rest separable.
IMontrer que Cest separable.
(12) Soit (X, d)un espace métrique et soit (xn)une suite convergente dans X. Montrer que (xn)est
Ibornée, et
Ide Cauchy.
(13) On fixe un nombre réel 1≤p < ∞. Montrer que l’espace
`p:= 
(xn): xn∈Rpour tout n∈N, ∞
X
n=1
|xn|p!1/p <∞
est un espace complet sous la métrique
dp(xn, yn) = ∞
X
i=1
|xi−yi|p!1/p
(14) Décider si Zmuni de la métrique d(n, m) = |n−m|est une espace métrique complet.
(15) Soit c := {(xn): xn∈R(ou C)et (xn)−→xo∈R(ou C)}.
IMontrer que c⊂`∞.
IMontrer que cest complet. Indication: Il est suffisante de montrer que cest fermé dans `∞.