MATH 452 ÉNONCÉS DES EXERCICES 2 A. ZEYTİN (1) Supposons que τ1 et τ2 sont topologies sur un ensemble non-vide X. Décider si I τ1 ∪ τ2 I τ1 ∩ τ2 est un topologie sur X. (2) Soient f : X −→ Y une fonction et Xi ⊂ X, Yi ⊂ Y où i = 1, 2. Montrer que I si Y1 ⊂ Y2 alors f−1 (Y1 ) ⊂ f−1 (Y2 ) I f−1 (Y1 ∪ Y2 ) = f−1 (Y1 ) ∪ f−1 (Y2 ) I f−1 (Y1 ∩ Y2 ) = f−1 (Y1 ) ∩ f−1 (Y2 ) I f−1 (Y1 \ Y2 ) = f−1 (Y1 ) \ f−1 (Y2 ) I si X1 ⊂ X2 alors f(X1 ) ⊂ f(X2 ) I f(X1 ∪ X2 ) = f(X1 ) ∪ f(X2 ) (3) Soit X un ensemble non-vide. On pose τ comme l’ensemble de tout les parties, U de X, tel que soit |X \ U| < ∞ soit X \ U = ∅. Montrer que τ est une topologie sur X. (4) Soit X un ensemble non-vide. On pose τ comme l’ensemble de tout les parties, U de X, tel que soit |X \ U| est dénombrable1 soit X \ U = ∅. Montrer que τ est une topologie sur X. (5) Soit X un ensemble non-vide. Un ensemble, B ⊂ P(X), de parties de X est dit une base si: • pour tout x ∈ X il existe un U ∈ B contenant x, i.e. x ∈ U. • si pour B1 , B2 ∈ τ avec B1 ∩ B2 6= ∅ alors, il existe B3 ∈ B tel que B3 ⊂ B1 ∩ B2 . Si B est une base alors τ(B) := {U ⊂ X : pour tout x ∈ U il existe B ∈ B avec x ∈ B ⊂ U}. Étant donne une base B de X montrer que τ(B) est une topologie sur X. Cette topologie est dit la topologie engendré par B. (6) (Droite de Sorgenfrey) On considère la droite réelle R muni de la topologie engendré par B := {[a, b) : a, b ∈ Ra < b}. On la note par S. Montrer que I cette topologie sur R est strictement plus fine (c’est-à-dire qu’elle a strictement plus d’ouverts) que la topologie usuelle (ou standarde) I chaque intervalle semi-ouvert [a, )b est ouvert dans S, mais aussi fermé. I une suite (xn ) dans S converge vers L si et seulement si elle approche L par la droite, c’est-à-dire si pour tout > 0, il existe un indice N ∈ N tel que pour tout n > N, L ≤ xn < L + . Donner un exemple d’une suite convergente et un exemple d’une suite divergente dans S. (7) Déterminer la frontière, la clôture et l’intérieur des ensembles suivantes: I [0, 1) ×√[0, 1] ⊂ R2 I {a + b√−1 ∈ C : a, b ∈ Z} I {a + b −1 ∈ C : a, b ∈ Q} I {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1} I {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1} (8) Soit (X, τ) une espace topologique. I Montrer que si X est Hausdorff alors la limite d’une suite convergente (xn ) dans X est unique. I Montrer par un exemple que si X n’est pas Hausdorff la limite d’une suite n’est pas nécessairement unique. 1 Rappeler qu’un ensemble A est dit dénombrable s’il existe un injection de A vers N. (9) On considère B = B((a, b), R) = {f : (a, b) −→ R|f est bornée} muni de l’application d : B × B −→ R+ définie par d(f, g) = supt∈(a,b) |f(t) − g(t)|. Montrer que (B, d) est un espace métrique. (10) Pour x1 , . . . , xn ∈ R (ou C), montrer que (|x1 | + |x2 | + . . . + |xn |)2 ≤ n(|x1 |2 + . . . + |xn |2 ). (11) Soit (X, τ) un espace topologique. On dit que X est separable si X possede une partie U qui est dense et dénombrable. I Montrer que R est separable. I Montrer que C est separable. (12) Soit (X, d) un espace métrique et soit (xn ) une suite convergente dans X. Montrer que (xn ) est I bornée, et I de Cauchy. (13) On fixe un nombre réel 1 ≤ p < ∞. Montrer que l’espace `p := (xn ) : xn ∈ R pour tout n ∈ N, ∞ X !1/p |xn |p n=1 <∞ est un espace complet sous la métrique dp (xn , yn ) = ∞ X !1/p |xi − yi | p i=1 (14) Décider si Z muni de la métrique d(n, m) = |n − m| est une espace métrique complet. (15) Soit c := {(xn ) : xn ∈ R( ou C) et (xn ) −→ xo ∈ R( ou C)}. I Montrer que c ⊂ `∞ . I Montrer que c est complet. Indication: Il est suffisante de montrer que c est fermé dans `∞ .