Licence 3 — Mathématiques 2012–2013 Topologie Générale Contrôle du lundi 01/10/2012 (durée : 30 minutes) Les documents et téléphones portables ne sont pas autorisés. Exercice 1 Question de cours Soit (𝑋, 𝑑) un espace métrique. On rappelle qu’une partie de 𝑋 est ouverte si et seulement si elle est un voisinage de chacun de ses points . En s’appuyant sur cette propriété, redémontrer le résultat suivant vu en cours : la boule fermée B(𝑥, 𝑟] de centre 𝑥 ∈ 𝑋 et de rayon 𝑟 > 0 est une partie fermée pour la topologie définie par 𝑑. Exercice 2 QCM Répondre aux affirmations suivantes en barrant les réponses erronées (il ne vous est pas demandé de justifier votre réponse). Dans un espace topologique (𝑋, T ), il existe toujours une partie de 𝑋 qui est ouverte et fermée. Réponses possibles: a b oui non Dans un espace topologique (𝑋, T ), une intersection quelconque de parties ouvertes est toujours une partie ouverte. Réponses possibles: a b oui non Soient 𝑎, 𝑏 ∈ R des réels tels que 𝑎 < 𝑏. Dans R muni de la distance définie par la valeur absolue, un intervalle de la forme ]𝑎, 𝑏] est une partie fermée. Réponses possibles: a b c oui non c’est une partie ouverte non c’est une partie qui n’est ni ouverte ni fermée Soit 𝑋 un ensemble fini non vide muni d’une topologie T . On note O l’ensemble des parties ouvertes de 𝑋 et F l’ensemble des parties fermées de 𝑋. Alors #O = #F où #𝐴 désigne le cardinal d’un ensemble fini 𝐴. Réponses possibles: a b oui non Soient (𝑋, 𝑑) un espace métrique, 𝐴 une partie de 𝑋, 𝑥 ∈ 𝐴 et 𝑟 > 0 tels que la boule fermée ˚ B(𝑥, 𝑟] soit contenue dans 𝐴. On a alors B(𝑥, 𝑟] ⊂ 𝐴. Réponses possibles: a b c oui ˚ non mais la boule ouverte B(𝑥, 𝑟[ est contenue dans 𝐴 ˚ non car la boule ouverte B(𝑥, 𝑟[ n’est pas contenue dans 𝐴 Soient (𝑋, 𝑑) un espace métrique et 𝐴 une partie non vide de 𝑋. Si 𝑑(𝑥, 𝐴) = 0, alors 𝑥 appartient à 𝐴. Réponses possibles: a b oui non On munit Q de la topologie induite par la valeur absolue. L’ensemble [𝜋, +∞[ est Réponses possibles: a b c un ouvert un fermé ni ouvert ni fermé Soit (𝑋, 𝑑) un espace métrique et 𝐴 une partie de 𝑋. Si 𝐴 est ouvert dans 𝑋, alors 𝑋 ∖ Fr(𝐴) est dense dans 𝑋. Réponses possibles: a b oui non