QCM1

Licence 3 — Mathématiques 2012–2013
Topologie Générale
Contrôle du lundi 01/10/2012 (durée : 30 minutes)
Les documents et téléphones portables ne sont pas autorisés.
Exercice 1 Question de cours
Soit ( 𝑋, 𝑑 )un espace métrique. On rappelle qu’une partie de 𝑋 est ouverte si et seulement si
elle est un voisinage de chacun de ses points . En s’appuyant sur cette propriété, redémontrer
le résultat suivant vu en cours : la boule fermée B( 𝑥, 𝑟 ]de centre 𝑥∈𝑋 et de rayon 𝑟 > 0est une
partie fermée pour la topologie définie par 𝑑.
Exercice 2 QCM
Répondre aux affirmations suivantes en barrant les réponses erronées (il ne vous est pas
demandé de justifier votre réponse).
Dans un espace topologique ( 𝑋, T ), il existe toujours une partie de 𝑋 qui est ouverte et fermée.
Réponses possibles:
aoui
bnon
Dans un espace topologique ( 𝑋, T ), une intersection quelconque de parties ouvertes est toujours
une partie ouverte.
Réponses possibles:
aoui
bnon

Soient 𝑎, 𝑏 ∈R des réels tels que 𝑎 < 𝑏 . Dans R muni de la distance définie par la valeur absolue,
un intervalle de la forme ]𝑎, 𝑏]est une partie fermée.
Réponses possibles:
aoui
bnon c’est une partie ouverte
cnon c’est une partie qui n’est ni ouverte ni fermée
Soit 𝑋 un ensemble fini non vide muni d’une topologie T . On note O l’ensemble des parties
ouvertes de 𝑋 et F l’ensemble des parties fermées de 𝑋 . Alors # O = # F où # 𝐴 désigne le
cardinal d’un ensemble fini 𝐴.
Réponses possibles:
aoui
bnon
Soient ( 𝑋, 𝑑 )un espace métrique, 𝐴 une partie de 𝑋 , 𝑥∈𝐴 et 𝑟 > 0tels que la boule fermée
B(𝑥, 𝑟]soit contenue dans 𝐴. On a alors B(𝑥, 𝑟]⊂˚ 𝐴.
Réponses possibles:
aoui
bnon mais la boule ouverte B(𝑥, 𝑟[est contenue dans ˚ 𝐴
cnon car la boule ouverte B(𝑥, 𝑟[n’est pas contenue dans ˚ 𝐴
Soient ( 𝑋, 𝑑 )un espace métrique et 𝐴 une partie non vide de 𝑋 . Si 𝑑 ( 𝑥, 𝐴 ) = 0, alors 𝑥 appartient
à𝐴.
Réponses possibles:
aoui
bnon
On munit Qde la topologie induite par la valeur absolue. L’ensemble [𝜋, +∞[est
Réponses possibles:
aun ouvert
bun fermé
cni ouvert ni fermé
Soit ( 𝑋, 𝑑 )un espace métrique et 𝐴 une partie de 𝑋 . Si 𝐴 est ouvert dans 𝑋 , alors 𝑋∖Fr ( 𝐴 )est
dense dans 𝑋.
Réponses possibles:
aoui
bnon