Controle

Licence 3 — Mathématiques 2012–2013
Topologie Générale
Contrôle du lundi 22/10/2012 (durée : 1 heure)
Les documents et téléphones portables ne sont pas autorisés.
Exercice 1 Question de cours
1Donner une définition d’un espace topologique connexe.
2 Soit ( 𝑋, T )un espace topologique. On munit { 0 , 1 } de la topologie discrète. Montrer que 𝑋
est connexe si et seulement si toute application continue de 𝑋dans {0,1}est constante.
Exercice 2
Soit ( 𝑋, T )un espace topologique et 𝐴, 𝐵 deux parties de 𝑋 telles que 𝐴∩𝐵 = 𝐴∩𝐵 = ∅ .
Montrer que si 𝐴∪𝐵est fermé, alors 𝐴et 𝐵sont fermés.
1T.S.V.P.

Exercice 3
Le but de cet exercice est de donner un exemple de topologie sur Rqui n’est pas métrisable.
1Soit (𝑋, 𝑑)un espace métrique. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
a. il existe une partie dénombrable 𝐴de 𝑋qui est dense dans 𝑋;
b. il existe une base d’ouverts Bde la topologie de 𝑋qui est dénombrable.
Indication : pour l’implication a⇒b : on pourra considérer les boules ouvertes B( 𝑎, 1 /𝑘 )où 𝑎∈𝐴
et 𝑘est un entier strictement positif.
Dans la suite de l’exercice, on considère l’ensemble R des nombres réels et l’ensemble T de
parties de R défini de la manière suivante : ∅ ∈ T et une partie 𝑈 non vide de R appartient à T
si et seulement si pour tout 𝑥∈𝑈, il existe des réels 𝑎<𝑏tels que 𝑥∈[𝑎, 𝑏[⊆𝑈.
2Montrer que Test une topologie sur R.
3Justifier que Qest dense dans Rpour la topologie T.
4 Soit B = ( 𝐵𝑛 )
𝑛∈N
une base d’ouverts dénombrable de la topologie T . Justifier que, pour
tout 𝑥de R, il existe un entier 𝑛>0tel que
𝑥∈𝐵𝑛⊆[𝑥, 𝑥 + 1[.
Soit 𝑛𝑥le plus petit de ces entiers 𝑛. Prouver que l’application
R→N
𝑥↦→ 𝑛𝑥
est injective.
5En déduire que la topologie Tsur Rn’est pas métrisable.
2T.S.V.P.

3T.S.V.P.

Exercice 4
Soient ( 𝑋, 𝑑 )un espace métrique et 𝐴 une partie de 𝑋 . Soient 𝜀 > 0un réel et 𝑥, 𝑦 deux
points de 𝐴 . Une 𝜀 -chaîne de 𝐴 reliant 𝑥 à 𝑦 est la donnée d’une suite de points 𝑥0, . . . , 𝑥𝑛 de 𝐴
telle que 𝑥0 = 𝑥 , 𝑥𝑛 = 𝑦 et 𝑑 ( 𝑥𝑖, 𝑥𝑖+1 ) < 𝜀 pour tout 𝑖∈ { 0 , . . . , 𝑛 − 1 } . Une partie 𝐴 de 𝑋 est
dite bien enchaînée si pour tout 𝜀 > 0, deux points quelconques de 𝐴 peuvent être reliés par une
𝜀-chaîne de 𝐴.
1 Soient 𝑥∈𝐴 et 𝜀 > 0un réel. On note 𝐶𝜀
𝑥
l’ensemble des points 𝑦 de 𝐴 pouvant être reliés à
𝑥par une 𝜀-chaîne de 𝐴. Montrer que 𝐶𝜀
𝑥est une partie ouverte et fermée de 𝐴.
2Montrer que si 𝐴est connexe, alors 𝐴est bien enchaînée.
3Donner un exemple de partie bien enchaînée dans R2mais non connexe.
4