Université de Picardie Jules Verne 2009-2010 UFR des

Université de Picardie Jules Verne
UFR des Sciences
2009-2010
L3S6 Topologie
Devoir 2
Exercice 1. Soit (X, T ) un espace topologique. On dit qu’une fonction f : X → R ∪ {−∞} est semi-continue
supérieurement (scs) si :
∀x tel que f (x) 6= −∞, ∀ε > 0, ∃Ux voisinage de x, ∀y ∈ Ux , f (y) ≤ f (x) + ε,
∀x tel que f (x) = −∞, ∀M < 0, ∃Ux voisinage de x, ∀y ∈ Ux , f (y) ≤ M.
On considère la topologie S sur R ∪ {−∞} dont une base est constituée par les [−∞, c[, c ∈ R. Montrer que f est scs
si et seulement si f continue pour la topologie S sur R ∪ {−∞}.
Exercice 2.
1. Soit X un espace topologique, et D un sous-ensemble (partout) dense dans X. Montrer qu’il est
aussi équivalent de dire
(i) Le complémentaire de D est d’intérieur vide.
(ii) Si F est un fermé contenant D, alors F = X.
(iii) D rencontre tout ouvert non vide de X.
Montrer qu’un ensemble A ⊂ X rencontre toute partie dense dans X si et seulement si il est d’intérieur non vide.
2. Soit E et G deux ouverts denses dans X ; montrer que E ∩ G est encore dense dans X. En déduire que toute
intersection dénombrable d’ouverts denses est une intersection décroissante d’ouverts denses.
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