Université de Picardie Jules Verne 2009-2010 UFR des

Université de Picardie Jules Verne 2009-2010
UFR des Sciences L3S6 Topologie
Devoir 2
Exercice 1. Soit (X, T)un espace topologique. On dit qu’une fonction f:X→R∪ {−∞} est semi-continue
supérieurement (scs) si :
∀xtel que f(x)6=−∞,∀ε > 0,∃Uxvoisinage de x, ∀y∈Ux, f(y)≤f(x) + ε,
∀xtel que f(x) = −∞,∀M < 0,∃Uxvoisinage de x, ∀y∈Ux, f(y)≤M.
On considère la topologie Ssur R∪ {−∞} dont une base est constituée par les [−∞, c[,c∈R. Montrer que fest scs
si et seulement si fcontinue pour la topologie Ssur R∪ {−∞}.
Exercice 2. 1. Soit Xun espace topologique, et Dun sous-ensemble (partout) dense dans X. Montrer qu’il est
aussi équivalent de dire
(i) Le complémentaire de Dest d’intérieur vide.
(ii) Si Fest un fermé contenant D, alors F=X.
(iii) Drencontre tout ouvert non vide de X.
Montrer qu’un ensemble A⊂Xrencontre toute partie dense dans Xsi et seulement si il est d’intérieur non vide.
2. Soit Eet Gdeux ouverts denses dans X; montrer que E∩Gest encore dense dans X. En déduire que toute
intersection dénombrable d’ouverts denses est une intersection décroissante d’ouverts denses.
1