Fiche de synthèse sur la dérivation 1 Les notions nouvelles 2 Les

Fiche de synthèse sur la dérivation
1 Les notions nouvelles
1.1 La notion centrale : nombre dérivé
Il faut se rappeler comment on a obtenu la tangente TAà la courbe Cfau point A(a;f(a)). On a pris un
point Mmobile sur la courbe avec des coordonnées M(x;f(x)) ou M(a+h;f(a+h)) et on a appelé nombre
dérivé de fen aet noté f0(a)la limite, quand elle existait de la pente de la droite (AM)
f0(a) = lim
x→a
f(x)−f(a)
x−aou encore f0(a) = lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h
1.2 Aspect géométrique : tangente
– Quand il existe, f0(a)est la pente de la tangente au point d’abscisse a.
– La fonction dérivée f0est la fonction qui à xassocie la pente de la tangente au point d’abscisse x
Quand on travaille sur une tangente (non verticale) à Cfau point Ad’abscisse a, il faut se souvenir de deux
choses :
– elle passe par le point A;
– sa pente est f0(a)
2 Les formules à connaître par cœur
– équation de la tangente y=f0(a)(x−a) + f(a)
– formule de l’approximation affine f(a+h)'f(a) + f0(a)×h
– les formules permettant de donner la dérivée d’une fonction polynôme et de la fonction inverse (si iest la
fonction inverse, i0(x) = −1
x2)
3 Les techniques utilisées dans les exercices
– position relative de Cfet de TA: on étudie le signe de la différence entre la fonction fet la fonction
affine associée à la tangente.
– recherche de tangentes à Cfparallèles à D: on cherche la pente mde la droite Det on résout l’équation
f0(x) = m
– variations d’une fonction à partir du signe de la dérivée (il faut donc connaître les techniques liées au
signe d’une fonction (factorisation, signe du second degré, valeurs interdites, tableau de signe )
– recherche de tangentes non verticales à Cfpassant par un point E(xE;yE):
– on écrit l’équation de la tangente à Cfau point d’abscisse a(aest inconnu) ;
– on remplace dans l’équation de la tangente xet ypar xEet yEet on résout l’équation en a;
– les solutions asont les abscisses des points qui admettent des tangentes (non verticales) à Cfet qui
passent par E.
4 Ne pas confondre :
– les solutions de l’équation f0(x)=0(qui donnent les abscisses des points ayant des tangentes horizon-
tales) et les solutions de l’équation f(x) = 0 (qui donnent les abscisses des points d’intersection de la
courbe avec l’axe des abscisses).
– le signe de f(x)qui ne permet pas de donner les variations de fet le signe de f0(x)qui, lui, le permet.

Méthode d’Euler
1 Rappel sur l’approximation affine
On suppose que la fonction fest dérivable sur un intervalle Icontenant aet a+h.
aa+h
Cf
A
TA
B
M
On appelle Ale point de Cfd’abscisse a,Mle point de Cfd’abscisse a+h. On appelle TAla tangente à Cf
en Aet Ble point de TAd’abscisse a+h.
On remarque que lorsque hest petit, les points Met Bsont très proches. Faire une approximation affine de
fau voisinage de a, c’est confondre les points Met Bet dire que l’ordonnée de Mest à peu près égale à celle
de B.
L’ordonnée de Mest tout simplement f(a+h)et celle de Bse calcule facilement : en effet le point Bvérifie
l’équation de la tangente et on a donc yB=f′(a)(XB−a) + f(a)et en remplaçant xBpar a+h, on obtient
YB=f(a) + f′(a)×h
On obtient
f(a+h)≃f(a) + f′(a)×h
2 Méthode d’EULER
On sait que la fonction fest dérivable , que f(0) = 0 et que f′(x) = 3x2. On voudrait avoir une valeur
approchée de f(2).
Pour cela, on va reconstituer la fonction fsur [0; 2] de la façon suivante : on va définir un pas hégal à 0,01.
À partir de la valeur exacte f(0) = 0, on va évaluer f(0,01) en utilisant la formule d’approximation affine :
f(0 + 0,01) ≃f(0) + f′(0) ×0,01
Ici,f(0) est connu et f′(0) est calculable car f′(x) = 3x2Ensuite on continuera de la même façon
f(0,02) ≃f(0,01 + 0,01) ≃f(0,01) + f′(0,01) ×0,01
Ici f(0,01) a été évalué et f′(0,01) = 3 ×0,012
f(0,03) ≃f(0,02 + 0,01) ≃f(0,02) + f′(0,02) ×0,01
3 Utilisation d’un tableur
On donne les valeurs de xde 0à 2 avec un pas
h= 0,01 dans la colonne A. On remplit en-
suite la colonne Cqui correspont aux valeurs
de f′(x) = 3x2On remplit la cellule B2 avec la
valeur 0puis dans B3 la formule =B2+0,01*C2
que l’on recopie vers le bas jusqu’à la ligne
202.