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Soient a un réel de ] 1 ; + ∞ [, et la surface triangulaire S délimitée par : les
tangentes à la courbe de la fonction inverse aux points d’abscisse a et 1/a, et
l’axe des abscisses. Pour quelle valeur de a la surface S a-t-elle une aire de
1,92 dans un repère orthonormé ?
Indications : déterminez les coordonnées des sommets du triangle.
Réponse :
Soit M( x ; y ) un point quelconque de la tangente à la courbe de f au point A d’abscisse a, donc
représentatif de tous les points de la tangente.
yM – yA
y – f(a)
coefficient directeur de la tangente =
f ‘(a) =
qui devient
xM – xA
puis
f ‘(a) ( x – a ) = y – f(a)
1
f(x) =
x–a
y = f ‘(a) ( x – a ) + f(a)
puis
ou
y = f ‘(a) x + f(a) – a f ‘(a)
-1
donc
f ‘(x) =
x
x²
-1
Tangente en A d’abscisse a : y =
1
-1
(x–a)+
=
a²
x+
a
-1
Tangente en B d’abscisse 1/a : y =
1
(x–
1 ²
a
a²
+
a
A
1/a
1
a
-1
=
a
2
x+
a²
= – a² x + a + a = – a² x + 2a
1
a
Exemple de tracé pour a ≈ 2
B
1
1
)+
a
1
a
Intersections des tangentes avec l’axe des abscisses :
2
2
y = - a² x + 2a donne 0 = - a² x + 2a puis a² x = 2a puis x =
donc le point (
a
-1
y=
2
-1
x+
a²
donne 0 =
a
2
x+
a²
1
puis
a
; 0 ).
a
2
x=
a²
puis x = 2a donc le point ( 2a ; 0 ).
a
Intersections des tangentes entre elles :
2
2a² - 2
a
a
2a -1
y=
2
x+
a²
-1
= - a² x + 2a donne
a
2
+ a² x = 2a -
a²
puis x =
a
=
- 1 + a4
-1
+ a²
a²
2a² - 2
donc x =
a²
a
×
=
( a² - 1 ) ( a² + 1 )
- 2a3 + 2a ( a² + 1 )
2a
et y = - a²
2a
= 2 ( a² - 1 )
a4 - 1
a
+ 2a =
a² + 1
a²
a² + 1
- 2a3 + 2a3 + 2a
=
2a
=
a² + 1
a² + 1
a² + 1
que l’on aurait aussi pu obtenir avec l’autre équation ( et qui peut servir de vérification facultative ).
2a
Donc le point (
a² + 1
Aire de la surface S : c’est un triangle donc ½ base × hauteur
Le seul couplet ( base ; hauteur ) déjà étudié est celui-ci :
2a/(a²+1)
e
2a/(a²+1) 2/a
2a
2a
;
).
a² + 1
2a
2
et base = 2a –
donc hauteur =
a²+1
1
Aire =
2
a
2a
2a² - 2
2a 2
a
2a² - 2
=
a
=
a² + 1
a
a² + 1
a² + 1
2a² - 2
Aire = 1,92
= 1,92
2a² - 2 = 1,92 ( a² + 1 )
2a² - 2 = 1,92 a² + 1,92
a² + 1
2a² - 1,92 a² = 1,92 + 2
3,92
a² =
392
=
0,08
Réponse : une unique solution a =
0,08 a² = 3,92
49 × 8
=
8
= 49
a = 7 ou a = - 7
8
mais pas de solution a négative dans ] 1 ; + ∞ [.
7 pour obtenir une aire de 1,92.