+ ² 2 3

Première S – Devoir en temps libre n° 4 à rendre le mercredi 30 janvier
Travail par groupes de 2 ou 3.
n° 1.
Soit f la fonction définie par
3
()f x x
et C sa représentation graphique dans un repère.
Soit (T) la tangente à C au point d’abscisse 1.
1) a) Déterminer une équation de (T)
b) A l’aide d’un logiciel ou d’un traceur de courbes, construire C et (T) (On rendra la figure
imprimée)
c) Par lecture graphique, conjecturer la position relative de C et (T).
2) Le but de cette question est de démontrer la conjecture faite au 1)c. Pour cela, on définit sur  la
fonction g par
3
( ) 3 2g x x x  
a) Calculer g (– 2).
b) Etudier les variations de la fonction g sur 
c) En déduire le signe de g ( x ) selon les valeurs du réel x .
d) Conclure, pour la position relative de C et (T).
n° 2.
Soit f la fonction définie sur \{1} par
² 7 10
() 22
xx
fx x
et soit ( C ) sa représentation graphique
dans un repère.
1) Sur un logiciel de géométrie ou un traceur de courbes, faire une figure, que l’on complétera à
chaque question, et qui servira à vérifier les réponses obtenues par calcul.
2) La courbe (C) coupe l’axe des ordonnées en A et celui des abscisses en E et F. Calculer les
coordonnées de A, E et F. ( On appellera E celui qui a l’abscisse la plus petite)
3) a) Vérifier que, pour tout x différent de 1, on a :
12
( ) 3
21
f x x x
b) Etudier la position relative de ( C ) et de la droite (D) d’équation
13
2
yx
.
4) a) Montrer que, pour tout x différent de 1,
2
² 2 3
() 2( 1)
xx
fx x
b) Etudier les variations de f .
c) Justifier que ( C ) admet deux tangentes horizontales et préciser leurs équations.
d) Déterminer une équation des tangentes à (C) en A, E et F
5) Soit K le point de coordonnées (1 ; – 2.5) et M un point variable sur ( C) . On note t l’abscisse du
point M et on désigne par N le symétrique de M par rapport à K.
a) Exprimer, en fonction de t , l’abscisse du point N.
b) Montrer que, pour toutes les valeurs de t autres que 1, les tangentes à (C) en M et N sont
parallèles.
On rendra la figure imprimée avec la copie
n° 3. f est la fonction définie sur par
4 6 2f x x x  ( ) ²
1) Soit a un réel quelconque. Montrer que l’équation de la tangente à C f au point d’abscisse a est :
(8 6) 4 ² 2y a x a   
2) Démontrer que la courbe représentative de f est au-dessus de n’importe laquelle de ses tangentes.

n° 1.
1°) a) f(x) = x3 donc
f
(x) = 3x². On a donc f(1) = 1 et
f
(1) = 3.
La tangente (T) à (C)au point d’abscisse 1 a pour équation
(1)( 1) (1)y f x f
3( 1) 1 3 2y x y x     
c) Par lecture graphique : (C) est au-dessus de (T) sur ]-2 ; 1[ et ]1 ;+[ ; (C) est au-dessous de (T) sur ]- ;-2[ ;
(C) et (T) ont deux points communs d’abscisses – 2 et 1.
d)
2°) a) g(– 2) = (- 2)3 -3 × (– 2) + 2 = – 8 + 6 + 2 = 0
b) Pour étudier les variations de g, on calcule sa dérivée g’(x) :
'( ) 3 ² 3 3( ² 1) 3( 1)( 1)g x x x x x      
.
On étudie on signe : g’(x) est un polynôme du second degré de racines – 1 et 1.
On en déduit :
x
-
– 2
-1
1
+
signe de g’(x)
+
0
–
0
+
variations
de
g
0
4
0
c) On en déduit :
x
-
-2
1
+
signe de g(x)
–
0
+
0
+
d) On peut conclure : (C) est au-dessus de (T) sur ]-2 ; 1[ et ]1 ;+[ ; (C) est au-dessous de (T) sur ]- ;-2[ ; (C)
et (T) ont deux points communs d’abscisses – 2 et 1.
(C)
(T)
2-1-2
4
6
8
10
12
-2
-4
-6
-8
-10
-12
0 1
2
x
y

n° 2.
2°) A est sur l’axe des ordonnées donc son abscisse est 0 et comme il est aussi sur (C), on calcule f(0) = – 5 d’où le point
A a pour coordonnées (0 ;– 5)
Les points E et F sont sur l’axe des abscisses donc leur ordonnée est 0. On résout f(x) = 0.
Sur Df,
( ) 0 ² 7 10 0f x x x    
.  = 9. Deux racines : x1 = 5 et x2 = 2.
On a donc E(2 ;0) et F(5 ;0).
3°) a)
1 2 ( 1) 3 2( 1) 2 2 ² 7 10
3 ( )
2 1 2( 1) 2( 1) 2( 1) 2 2
x x x x x
x f x
x x x x x
: on a bien, pour tout x de Df donc pour
tout x différent de 1,
12
( ) 3
21
f x x x
.
b) Pour étudier la position relative de (C) et (D), on étudie le signe de la différence
1
( ) 3
2
f x x
.
En utilisant le résultat obtenu au 3°a. on a :
12
( ) 3
21
f x x x
.
Comme 2 est positif, cette expression a le même signe que x – 1 :
 elle est positive sur ]1 ;+[ et donc (C) y est au-dessus de (D) ;
 elle est négative sur ]– ; 1[ et donc (C) y est au-dessous de (D)
 (C) et (D) n’ont aucun point commun.
4°) f est de la forme
u
v
avec
² 7 10; ' 2 7; 2 2; ' 2u x x u x v x v       
22
(2 7)(2 2) 2( ² 7 10) 2 ² 4 6 2( ² 2 3) ² 2 3
() (2 2)² 4( 1) 2( 1)²
21
x x x x x x x x x x
fx x x x
x
b) Comme le dénominateur est strictement positif,
f
(x) a le même signe que
² 2 3xx
, polynôme du second degré.
 = 16 ; x1 = 3 et x2 = – 1. L’expression est du signe de « a » donc positive à l’extérieur des racines.
D’où le tableau de variations :
x
–
–1
1
3
+
signe de
f
(x)
+
0
–
–
0
+
variations
de
f
-4.5
-0.5
c) D’après ce tableau (C) admet deux tangentes horizontales d’équations : y = – 4.5 et y = – 0.5 car la dérivée s’annule
deux fois au point de coordonnées (– 1 ; -4.5) et (3 ;-0.5)
d)
Tangente en A :
'(0)( 0) (0)
35
2
y f x f
yx
Tangente en E :
'(2)( 2) (2)
3( 2) 0
2
33
2
y f x f
yx
yx
Tangente en F :
'(5)( 5) (5)
3( 5) 0
8
3 15
88
y f x f
yx
yx

5°) M et N sont symétriques par rapport à K donc K est le milieu de [MN] d’où
2
MN
Kxx
x
donc
22
N K M
x x x t   
La tangente à (C) en M a pour coefficient directeur
² 2 3
() 2( 1)²
tt
ft t
pour t ≠ 1
La tangente à (C) en N a pour coefficient directeur :
(2 )² 2(2 ) 3 4 4 ² 4 2 3 ² 2 3
'(2 ) 2(2 1)² 2(1 )² 2(1 )²
t t t t t t t
ft t t t
.
Comme t – 1 et 1 – t sont des nombres opposés, ils ont le même carré, on a donc
( ) (2 )f t f t
: les deux tangentes
ont le même coefficient directeur, elles sont donc parallèles.
Prolongement : on peut démontrer que K est centre de symétrie de la courbe (C). Comme M et N sont symétriques par
rapport à (C), on a alors leurs tangentes à (C) qui sont aussi symétriques par rapport à K. Et deux droites symétriques par
rapport à un point sont parallèles.
n° 3.
1°)
( ) 8 6f x x
. L’équation réduite de la tangente à (Cf) au point d’abscisse a est :
( )( ) ( )
(8 6)( ) 4 ² 6 2
(8 6) (8 6) 4 ² 6 2
(8 6) 4 ² 2
y f a x a f a
y a x a a a
y a x a a a a
y a x a
2°) Soit (T) une tangente à la courbe représentative de f. Alors (T) a une équation de la forme
(8 6) 4 ² 2y a x a   
où
a est un réel quelconque.
On étudie la position relative de (Cf) et (T) :
( ) 8 6 4 ² 2 4 ² 6 2 8 6 4 ² 2 4 ² 8 4 ² (2 2 )²f x a x a x x ax x a x ax a x a               
Pour toutes les valeurs de x, cette expression est positive, donc (Cf) est au-dessus de n’importe laquelle de ses tangentes.
(C)
(D)
2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0 1
1
x
y
A
E F
K