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Première S – Devoir en temps libre n° 4 à rendre le mercredi 30 janvier
Travail par groupes de 2 ou 3.
n° 1.
Soit f la fonction définie par f ( x)  x3 et C sa représentation graphique dans un repère.
Soit (T) la tangente à C au point d’abscisse 1.
1) a) Déterminer une équation de (T)
b) A l’aide d’un logiciel ou d’un traceur de courbes, construire C et (T) (On rendra la figure
imprimée)
c) Par lecture graphique, conjecturer la position relative de C et (T).
2) Le but de cette question est de démontrer la conjecture faite au 1)c. Pour cela, on définit sur  la
fonction g par g ( x)  x3  3x  2
a) Calculer g (– 2).
b) Etudier les variations de la fonction g sur 
c) En déduire le signe de g(x) selon les valeurs du réel x.
d) Conclure, pour la position relative de C et (T).
n° 2.
Soit f la fonction définie sur \{1} par f ( x) 
x ²  7 x  10
et soit (C) sa représentation graphique
2x  2
dans un repère.
1)
Sur un logiciel de géométrie ou un traceur de courbes, faire une figure, que l’on complétera à
chaque question, et qui servira à vérifier les réponses obtenues par calcul.
2) La courbe (C) coupe l’axe des ordonnées en A et celui des abscisses en E et F. Calculer les
coordonnées de A, E et F. (On appellera E celui qui a l’abscisse la plus petite)
3) a) Vérifier que, pour tout x différent de 1, on a : f ( x) 
1
2
x 3
2
x 1
b) Etudier la position relative de (C) et de la droite (D) d’équation y 
4) a) Montrer que, pour tout x différent de 1, f ( x) 
1
x 3.
2
x²  2 x  3
2( x  1)2
b) Etudier les variations de f.
c) Justifier que (C) admet deux tangentes horizontales et préciser leurs équations.
d) Déterminer une équation des tangentes à (C) en A, E et F
5) Soit K le point de coordonnées (1 ; – 2.5) et M un point variable sur (C). On note t l’abscisse du
point M et on désigne par N le symétrique de M par rapport à K.
a) Exprimer, en fonction de t, l’abscisse du point N.
b) Montrer que, pour toutes les valeurs de t autres que 1, les tangentes à (C) en M et N sont
parallèles.
On rendra la figure imprimée avec la copie
n° 3. f est la fonction définie sur
par f ( x)  4 x²  6 x  2
1) Soit a un réel quelconque. Montrer que l’équation de la tangente à Cf au point d’abscisse a est :
y  (8a  6) x  4a ²  2
2) Démontrer que la courbe représentative de f est au-dessus de n’importe laquelle de ses tangentes.
n° 1.
1°) a) f(x) = x3 donc f  (x) = 3x². On a donc f(1) = 1 et f  (1) = 3.
La tangente (T) à (C)au point d’abscisse 1 a pour équation y  f (1)( x  1)  f (1)  y  3( x  1)  1  y  3x  2
y
12
10
8
(C)
6
4
(T)
2
-2
-1
0
1
2
x
-2
-4
-6
-8
-10
-12
c) Par lecture graphique : (C) est au-dessus de (T) sur ]-2 ; 1[ et ]1 ;+[ ; (C) est au-dessous de (T) sur ]- ;-2[ ;
(C) et (T) ont deux points communs d’abscisses – 2 et 1.
d)
2°) a) g(– 2) = (- 2)3 -3 × (– 2) + 2 = – 8 + 6 + 2 = 0
b) Pour étudier les variations de g, on calcule sa dérivée g’(x) : g '( x)  3x²  3  3( x² 1)  3( x 1)( x 1) .
On étudie on signe : g’(x) est un polynôme du second degré de racines – 1 et 1.
On en déduit :
x
–2
-1
1
-
+
signe de g’(x)
+
0
–
0
+
variations
4
de
0
g
0
c) On en déduit :
x
-
signe de g(x)
–
-2
0
+
1
0
+
+
d) On peut conclure : (C) est au-dessus de (T) sur ]-2 ; 1[ et ]1 ;+[ ; (C) est au-dessous de (T) sur ]- ;-2[ ; (C)
et (T) ont deux points communs d’abscisses – 2 et 1.
n° 2.
2°) A est sur l’axe des ordonnées donc son abscisse est 0 et comme il est aussi sur (C), on calcule f(0) = – 5 d’où le point
A a pour coordonnées (0 ;– 5)
Les points E et F sont sur l’axe des abscisses donc leur ordonnée est 0. On résout f(x) = 0.
Sur Df, f ( x)  0  x²  7 x  10  0 .  = 9. Deux racines : x1 = 5 et x2 = 2.
On a donc E(2 ;0) et F(5 ;0).
1
2
x( x  1) 3  2( x  1)
2 2
x²  7 x  10
x 3




 f ( x) : on a bien, pour tout x de Df donc pour
2
x  1 2( x  1)
2( x  1)
2( x  1)
2x  2
1
2
tout x différent de 1, f ( x)  x  3 
.
2
x 1
3°) a)
1

x  3 .
2


b) Pour étudier la position relative de (C) et (D), on étudie le signe de la différence f ( x)  
2
1

.
x  3 
2
 x 1
En utilisant le résultat obtenu au 3°a. on a : f ( x)  
Comme 2 est positif, cette expression a le même signe que x – 1 :
 elle est positive sur ]1 ;+[ et donc (C) y est au-dessus de (D) ;
 elle est négative sur ]– ; 1[ et donc (C) y est au-dessous de (D)
 (C) et (D) n’ont aucun point commun.
u
avec u  x²  7 x  10 ; u '  2 x  7 ; v  2 x  2 ; v '  2
v
(2 x  7)(2 x  2)  2( x²  7 x  10) 2 x²  4 x  6 2( x²  2 x  3) x²  2 x  3
f ( x) 



2
(2 x  2)²
4( x  1) 2
2( x  1)²
 2  x  1 
4°) f est de la forme
b) Comme le dénominateur est strictement positif, f  (x) a le même signe que x²  2 x  3 , polynôme du second degré.
 = 16 ; x1 = 3 et x2 = – 1. L’expression est du signe de « a » donc positive à l’extérieur des racines.
D’où le tableau de variations :
x
–1
1
3
–
+
+
0
–
–
0
+
signe de f  (x)
variations
-4.5
de
f
-0.5
c) D’après ce tableau (C) admet deux tangentes horizontales d’équations : y = – 4.5 et y = – 0.5 car la dérivée s’annule
deux fois au point de coordonnées (– 1 ; -4.5) et (3 ;-0.5)
d)
Tangente en A :
y  f '(0)( x  0)  f (0)
3
y   x 5
2
Tangente en E :
Tangente en F :
3
y   ( x  2)  0
2
3
y   x3
2
3
y  ( x  5)  0
8
3
15
y  x
8
8
y  f '(2)( x  2)  f (2)
y  f '(5)( x  5)  f (5)
5°) M et N sont symétriques par rapport à K donc K est le milieu de [MN] d’où xK 
xN  2 xK  xM  2  t
La tangente à (C) en M a pour coefficient directeur f (t ) 
xM  xN
donc
2
t ²  2t  3
pour t ≠ 1
2(t  1)²
La tangente à (C) en N a pour coefficient directeur :
f '(2  t ) 
(2  t )²  2(2  t)  3 4  4t  t ²  4  2t  3 t²  2t  3
.


2(2  t  1)²
2(1  t)²
2(1  t)²
Comme t – 1 et 1 – t sont des nombres opposés, ils ont le même carré, on a donc f (t )  f (2  t ) : les deux tangentes
ont le même coefficient directeur, elles sont donc parallèles.
Prolongement : on peut démontrer que K est centre de symétrie de la courbe (C). Comme M et N sont symétriques par
rapport à (C), on a alors leurs tangentes à (C) qui sont aussi symétriques par rapport à K. Et deux droites symétriques par
rapport à un point sont parallèles.
y
6
5
(C)
4
3
2
1
E
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
F
3
4
5
6
7
8
x
-1
-2
K
-3
-4
-5 A
(D)
-6
n° 3.
1°) f ( x)  8x  6 . L’équation réduite de la tangente à (C f) au point d’abscisse a est :
y  f (a)( x  a )  f (a )
y  (8a  6)( x  a )  4a ²  6a  2
y  (8a  6) x  a (8a  6)  4a ²  6a  2
y  (8a  6) x  4a ²  2
2°) Soit (T) une tangente à la courbe représentative de f. Alors (T) a une équation de la forme y  (8a  6) x  4a²  2 où
a est un réel quelconque.
On étudie la position relative de (Cf) et (T) :
f ( x)   8a  6 x  4a²  2   4 x²  6 x  2  8ax  6 x  4a²  2  4 x²  8ax  4a²  (2 x  2a)²
Pour toutes les valeurs de x, cette expression est positive, donc (Cf) est au-dessus de n’importe laquelle de ses tangentes.