Dérivée et équation réduite de la tangente à la courbe

Dérivée et équation réduite de la tangente à la courbe
En chaque point d’une fonction dérivable, on peut calculer le nombre dérivé et
déterminer l’équation réduite de la tangente.
Cette équation a TOUJOURS la même forme
y = ax + b
a est le coefficient directeur de la tangente ET le nombre dérivé de la fonction en un
point
b est l’ordonnée à l’origine
Exemple :
Soit f(x) = 3 √𝑥 la fonction définie sur l’intervalle [-2 ; 6]
1- Calculer la dérivée f’ de la fonction f
2- Calculer f’(4)
3- Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe au point d’abscisse
xC = 4
Résolution de l’exercice
1- Si f(x) = 3 √𝑥
alors
f’(x) = 3 × 2
1
√𝑥
Que l’on peut aussi écrire f’(x) = 2
3
√𝑥
2- On pose x = 4 et on remplace dans le calcul de la dérivée
3
3
f’(4) = 2√4
f’(4) = = 2𝑥2
car √4 = 2
3
f’(4) = 4
3- Pour déterminer l’équation de la droite, on a besoin de procéder par étapes :
 Calcul des coordonnées de C, point d’abscisse xC = 4 (voir énoncé)
XC = 4, on connaît déjà l’abscisse, pour déterminer l’ordonnée, on doit remplacer xC
dans l’équation DE LA FONCTION.
f(4) = 3√4
f(4) = 3x2
f(4) = 6
Le point C a donc pour coordonnées C (4 ; 6)
 L’équation de la tangente à la courbe a pour forme y = ax + b
On connaît déjà a, car le coefficient directeur de la droite est aussi le nombre dérivé.
3
Donc on peut déjà écrire
y = 4𝑥 + 𝑏
On trouvera maintenant b grâce aux coordonnées du point C car ce point appartient
à la droite, ces coordonnées vérifient l’équation :
3
3
yC = 4 𝑥𝐶 + 𝑏
6= 4×4+𝑏
6=3+b
b= 3
L’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse xC = 4 est :
y = 0,75x + 3
C PELLERIN