1S DEVOIR COMMUN (2h) Calculatrice INTERDITE 11/01/2010 Exercice 1 : a) Résoudre l’équation : 2 sin x + 1 = 0 b) [ 0; 2π ] c) [ −π ; π ] Exercice 2 : Sur la figure ci-contre, M et N sont tels que : OM=3 ON=4 (i; OM ) = π (i; ON ) = − . 3 4 π De plus, OA = −i − 2 j et OB = −2i + 2 j . 1. Quelles sont les coordonnées polaires des points M et N ? 2. Calculer les coordonnées polaires du point B. En déduire que O, B et N sont alignés. 3. Utiliser les coordonnées cartésiennes des points A et M pour prouver que O, A et M ne sont pas alignés. Exercice 3: On présente ci-contre la courbe représentative d’une fonction f et quatre de ses tangentes . Compléter le tableau, sans justifier ( c'està-dire uniquement par lecture graphique en utilisant les points indiqués sur la figure ) . x f '( x) Equation de la tangente au point d’abscisse x 0 1 2 1 Exercice 4: f est la fonction définie sur par f ( x) = 3x . x +1 2 1. Démontrer que f est dérivable sur et calculer f '( x) . 2. Déterminer l’équation de la tangente ∆ à C f au point d’abscisse a=1. 3. Etudier la position de C f par rapport à la tangente ∆ . Exercice 5: A l’aide d’une calculatrice, on a obtenu une partie de la courbe représentative de la fonction f définie sur par f ( x) = x4 x2 + x3 + + 8 . 4 2 1. En combien de points la courbe semble-t-elle avoir une tangente parallèle à l’axe des abscisses ? 2. Trouver la valeur exacte des abscisses de ces points par le calcul ( on pourra factoriser par x ). Exercice 6: f est la fonction définie sur + par f ( x) = x . f (1 + h) − f (1) 1 1. Vérifier que, pour h > 0 , = . h 1+ h +1 2. En déduire l’existence et la valeur de f '(1) . Exercice 7: f est la fonction définie sur par f ( x) = x 2 et a est un nombre réel. 1. Donner l’approximation affine locale de f ( a + h) . 2. Déterminer, en fonction de h, l’erreur commise lorsque l’on remplace f ( a + h) par cette approximation affine locale. 3. Comment choisir h pour que la précision de cette approximation soit égale à 10-6 ? 2 3 4 5