Fiche de synthèse sur la dérivation 1 Les notions nouvelles 2 Les

Fiche de synthèse sur la dérivation
1
Les notions nouvelles
1.1
La notion centrale : nombre dérivé
Il faut se rappeler comment on a obtenu la tangente TA à la courbe Cf au point A(a; f (a)). On a pris un
point M mobile sur la courbe avec des coordonnées M (x; f (x)) ou M (a + h; f (a + h)) et on a appelé nombre
dérivé de f en a et noté f 0 (a) la limite, quand elle existait de la pente de la droite (AM )
f 0 (a) = lim
x→a
1.2
f (x) − f (a)
x−a
ou encore
f 0 (a) = lim
h→0
f (a + h) − f (a)
h
Aspect géométrique : tangente
– Quand il existe, f 0 (a) est la pente de la tangente au point d’abscisse a.
– La fonction dérivée f 0 est la fonction qui à x associe la pente de la tangente au point d’abscisse x
Quand on travaille sur une tangente (non verticale) à Cf au point A d’abscisse a, il faut se souvenir de deux
choses :
– elle passe par le point A ;
– sa pente est f 0 (a)
2
Les formules à connaître par cœur
– équation de la tangente y = f 0 (a)(x − a) + f (a)
– formule de l’approximation affine f (a + h) ' f (a) + f 0 (a) × h
– les formules permettant de donner la dérivée d’une fonction polynôme et de la fonction inverse (si i est la
fonction inverse, i0 (x) = −1
x2 )
3
Les techniques utilisées dans les exercices
– position relative de Cf et de TA : on étudie le signe de la différence entre la fonction f et la fonction
affine associée à la tangente.
– recherche de tangentes à Cf parallèles à D : on cherche la pente m de la droite D et on résout l’équation
f 0 (x) = m
– variations d’une fonction à partir du signe de la dérivée (il faut donc connaître les techniques liées au
signe d’une fonction (factorisation, signe du second degré, valeurs interdites, tableau de signe )
– recherche de tangentes non verticales à Cf passant par un point E(xE ; yE ) :
– on écrit l’équation de la tangente à Cf au point d’abscisse a (a est inconnu) ;
– on remplace dans l’équation de la tangente x et y par xE et yE et on résout l’équation en a ;
– les solutions a sont les abscisses des points qui admettent des tangentes (non verticales) à Cf et qui
passent par E.
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Ne pas confondre :
– les solutions de l’équation f 0 (x) = 0 (qui donnent les abscisses des points ayant des tangentes horizontales) et les solutions de l’équation f (x) = 0 (qui donnent les abscisses des points d’intersection de la
courbe avec l’axe des abscisses).
– le signe de f (x) qui ne permet pas de donner les variations de f et le signe de f 0 (x) qui, lui, le permet.
Méthode d’Euler
1 Rappel sur l’approximation affine
On suppose que la fonction f est dérivable sur un intervalle I contenant a et a + h.
TA
b
B
b
b
M
A
a
Cf
a+h
On appelle A le point de Cf d’abscisse a, M le point de Cf d’abscisse a + h. On appelle TA la tangente à Cf
en A et B le point de TA d’abscisse a + h.
On remarque que lorsque h est petit, les points M et B sont très proches. Faire une approximation affine de
f au voisinage de a, c’est confondre les points M et B et dire que l’ordonnée de M est à peu près égale à celle
de B.
L’ordonnée de M est tout simplement f (a + h) et celle de B se calcule facilement : en effet le point B vérifie
l’équation de la tangente et on a donc yB = f ′ (a)(XB − a) + f (a) et en remplaçant xB par a + h, on obtient
YB = f (a) + f ′ (a) × h
On obtient
f (a + h) ≃ f (a) + f ′ (a) × h
2 Méthode d’E ULER
On sait que la fonction f est dérivable , que f (0) = 0 et que f ′ (x) = 3x2 . On voudrait avoir une valeur
approchée de f (2).
Pour cela, on va reconstituer la fonction f sur [0; 2] de la façon suivante : on va définir un pas h égal à 0, 01.
À partir de la valeur exacte f (0) = 0, on va évaluer f (0, 01) en utilisant la formule d’approximation affine :
f (0 + 0, 01) ≃ f (0) + f ′ (0) × 0, 01
Ici,f (0) est connu et f ′ (0) est calculable car f ′ (x) = 3x2 Ensuite on continuera de la même façon
f (0, 02) ≃ f (0, 01 + 0, 01) ≃ f (0, 01) + f ′ (0, 01) × 0, 01
Ici f (0, 01) a été évalué et f ′ (0, 01) = 3 × 0, 012
f (0, 03) ≃ f (0, 02 + 0, 01) ≃ f (0, 02) + f ′ (0, 02) × 0, 01
3 Utilisation d’un tableur
On donne les valeurs de x de 0 à 2 avec un pas
h = 0, 01 dans la colonne A. On remplit ensuite la colonne C qui correspont aux valeurs
de f ′ (x) = 3x2 On remplit la cellule B2 avec la
valeur 0 puis dans B3 la formule =B2+0,01*C2
que l’on recopie vers le bas jusqu’à la ligne
202.