Résolution d’équations du second degré 1) Equations du second degré Définition a, b, et c désignent des nombres réels donnés avec a ≠ 0. Une équation du second degré, d’inconnue x, est une équation qui peut s’écrire sous la forme ax 2 + bx + c = 0 . Exemples Après avoir factorisé, résoudre dans r, les équations suivantes : a) x 2 − 2 x = 0 ; b) x 2 + 2 x + 1 = 0 ; c) x 2 − 4 x + 4 = 0 ; d) x 2 − 9 = 0 . Solutions a) x 2 − 2 x = 0 ⇔ x ( x − 2 ) = 0 ⇔ x = 0 ou x − 2 = 0 ⇔ x = 0 ou x = 2 . D’où S = {0 ; 2} : ensemble des solutions. 2 b) x 2 + 2 x + 1 = 0 ⇔ ( x + 1) = 0 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = −1 . D’où S = {1} : ensemble des solutions. 2 c) x 2 − 4 x + 4 = 0 ⇔ ( x − 2 ) = 0 ⇔ x − 2 = 0 ⇔ x = 2 . D’où S = {2} : ensemble des solutions. d) x 2 − 9 = 0 ⇔ ( x + 3)( x − 3) = 0 ⇔ x + 3 = 0 ou x − 3 = 0 ⇔ x = −3ou x = 3 . D’où S = {– 3 ; 3} : ensemble des solutions. 2) Fonction trinôme a) Définition Toute fonction polynôme du second degré est appelée fonction trinôme ; c’est-à-dire : toute fonction définie sur r du type : f ( x ) = ax 2 + bx + c avec a ≠ 0. Exemples 1) f ( x ) = x 2 ; ici a = 1, b = 0 et c = 0. 1 1 2) f ( x ) = − x 2 + x + 4 ; ici a = − , b = 1 et c = 4. 2 2 b) Représentation graphique La représentation graphique d’une fonction trinôme, dans un repère orthogonal, est une parabole. Exemple. Voir activité et chapitre 5 3) Racines du trinôme a) Définition On appelle racine du trinôme f ( x ) = ax 2 + bx + c (avec a ≠ 0) toute solution , quand elle existe, de l’équation : ax 2 + bx + c = 0 . Exemple. f ( x ) = x 2 + 4 x x2 + 4 x = x ( x + 4) x 2 + 4 x = 0 ⇔ x ( x + 4 ) = 0 ⇔ x = 0 ou x + 4 = 0 ⇔ x = 0 ou x = −4 On dit que –4 et 0 sont les racines de f. b) Forme canonique - Discriminant Exemple f ( x ) = 2 x2 + 7 x + 6 On met 2 en facteur 7 6 f ( x ) = 2 x2 + x + 2 2 2 7 7 7 2 x + = x + 2× x + 4 4 4 f ( x ) = ax 2 + bx + c (avec a ≠ 0) On met a en facteur b c f ( x ) = a x2 + x + a a 2 2 b b b 2 x+ x+ = x + 2× 2a 2a 2a 2 7 7 49 2 x+ = x + x+ 4 2 16 d’où 2 b b b2 2 x x x + = + + 2a a 4a 2 d’où 2 7 7 49 x + x =x+ − 2 4 16 2 2 x2 + 2 7 49 6 f ( x ) = 2 x + − + 4 16 2 b b b2 x =x+ − a 2 a 4a 2 2 b b2 c f ( x ) = a x + − 2 + 2a 4 a a 2 b b 2 4a × c = a x + − 2 + 2a 4a 4a × a 2 7 49 8 × 6 = 2 x + − + 4 16 8 × 2 2 7 49 48 = 2 x + − − 4 16 16 2 7 1 f ( x ) = 2 x + − 4 16 2 b b 2 4ac = a x + − 2 − 2 2a 4a 4a 2 b b 2 − 4ac f ( x ) = a x + − 2a 4a 2 forme canonique forme canonique 2 2 2 On a bien b − 4ac = 7 − 4 × 2 × 6 = 1et 4a = 16 c) Définition On appelle discriminant du trinôme ax 2 + bx + c (avec a ≠ 0) le réel b 2 − 4ac , noté ∆. Soit ∆ = b 2 − 4ac . ∆ est appelé discriminant car il sert à discriminer (à distinguer) le nombre de solutions (selon son signe). La forme canonique du trinôme ax 2 + bx + c (avec a ≠ 0) s’écrit alors : 2 b ∆ f ( x ) = a x + − 2 ; avec a ≠ 0. 2a 4a Comme avec a ≠ 0, alors : 2 b ∆ f ( x ) = 0 équivaut à x + − 2 =0. 2 a 4a 2 4) Factorisation du trinôme f ( x ) = ax 2 + bx + c (avec a ≠ 0) Résolution de l’équation du second degré ax 2 + bx + c = 0 (avec a ≠ 0). Théorème Soit une fonction trinôme f définie sur r par : f ( x ) = ax 2 + bx + c ; avec a ≠ 0 et ∆ = b 2 − 4ac , son discriminant. a) Si ∆ > 0, alors l’équation ax 2 + bx + c = 0 admet deux solutions distinctes : −b + ∆ −b − ∆ et x2 = 2a 2a et f ( x ) = a ( x − x1 )( x − x2 ) , factorisation de f(x). x1 = Démonstration. 2 b ∆ D’après c) : f ( x ) = a x + − 2 ; avec a ≠ 0. 2a 4a ( ) 2 2 ∆ ∆ ∆ 2 = = et f ( x ) = ax + bx + c . 2 2 4a ( 2a ) 2 a Donc 2 2 b ∆ b ∆ b ∆ 2 − − ax + bx + c = a x + = a x + x + + = 2a 2a 2 a 2 a 2 a 2 a −b ∆ −b ∆ −b + ∆ −b − ∆ = a x − + − x − = a x − x − 2 a 2a 2a 2a 2a 2a x1 x2 −b + ∆ −b − ∆ Posons x1 = et x2 = . Ainsi ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) : factorisation 2a 2a 2 et ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) équivaut à a ( x − x1 )( x − x2 ) = 0 ⇔ x − x1 = 0 ou x − x2 = 0 ⇔ x = x1 ou x = x2 . Donc l’équation ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) admet deux solutions distinctes : x1 = −b + ∆ −b − ∆ et x2 = . 2a 2a Exemple f ( x ) = x 2 + 2 x − 3 . Ici a = 1, b = 2 et c = –3. b 2 − 4ac = 22 − 4 ×1× ( −3) = 4 + 12 = 16 . ∆ > 0. L’équation x 2 + 2 x − 3 = 0 admet deux solutions distinctes : −b + ∆ −2 + 16 −2 + 4 2 x1 = = = = =1 2a 2 ×1 2 2 −b − ∆ −2 − 16 −2 − 4 −6 x2 = = = = = −3 . 2a 2 ×1 2 2 – 3 et 1 sont les racines du trinôme f ( x ) = x 2 + 2 x − 3 . On peut factoriser : f ( x ) = a ( x − x1 )( x − x2 ) , soit x 2 + 2 x − 3 = 1. ( x − 1) ( x − ( −3) ) = ( x − 1)( x + 3) . Donc x 2 + 2 x − 3 = ( x − 1)( x + 3) . Interprétation graphique 2 f ( x ) = x 2 + 2 x − 3 = x 2 + 2 x + 1 − 1 − 3 = ( x + 1) − 4 . 2 f ( x ) = ( x + 1) − 4 . La parabole d’équation y = x 2 + 2 x − 3 coupe l’axe des abscisses en deux points d’abscisses respectives x1 = 1 et x2 = – 3. b) Si ∆ = 0, alors l’équation ax 2 + bx + c = 0 admet une solution double : x0 = − b 2a 2 et f ( x ) = a ( x − x0 ) , factorisation de f(x). Démonstration. 2 b b 2 Pour (a ≠ 0): ax + bx + c = a x + = a x − − 2a 2a x0 b 2 Posons x0 = − ; donc ax 2 + bx + c = a ( x − x0 ) . 2a 2 2 2 ax + bx + c = 0 ⇔ a ( x − x0 ) = 0 ⇔ ( x − x0 ) = 0 ⇔ x − x0 = 0 ⇔ x = x0 . 2 Donc l’équation ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) a une seule solution x0 = − b . 2a Remarque : 2 ( x − x0 ) = ( x − x0 )( x − x0 ) ( x − x0 ) 2 = 0 ⇔ ( x − x0 )( x − x0 ) = 0 C’est pour cela que l’on dit que l’équation admet une solution double x0. Exemple 2 f ( x ) = a ( x − x0 ) . Ici a = –1, b = 4 et c = –4. b 2 − 4ac = 4 2 − 4 × ( −1) × ( −4 ) = 16 − 16 = 0 . L’équation − x 2 + 4 x − 4 = 0 admet une solution double : x0 = − 2 2 b 4 4 =− = =2 2a 2 × ( −1) 2 et f ( x ) = a ( x − x0 ) , soit alors − x 2 + 4 x − 4 = −1. ( x − 2 ) . Donc f ( x ) = − ( x − 2 ) Remarque : 2 − x2 + 4 x − 4 = − ( x2 − 4 x + 4) = − ( x − 2) . 2 Interprétation graphique La parabole d’équation y = − x 2 + 4 x − 4 a un seul point commun avec des abscisses ; le point d’abscisse x0 = 2 . c) Si ∆ < 0, alors l’équation ax 2 + bx + c = 0 n’admet pas de solution dans r , on ne peut donc pas factoriser f. Démonstration. 2 ∆ b f ( x ) = a x + − 2 ; avec a ≠ 0. 2a 4a 2 ∆ b ∆ − 2 > 0, et par suite x + +− > 0. 4a 2 a 4a 2 2 b ∆ 2 L’équation ax + bx + c = 0 qui peut s’écrire a x + + − 2 = 0 n’a pas de solution car a ≠ 0. 2a 4a Exemple 2 f ( x ) = x 2 − 2 x + 2 . Ici a = 1, b = –2 et c = 2. b 2 − 4ac = ( −2 ) − 4 ×1× 2 = 4 − 8 < 0 . L’équation ax 2 + bx + c = 0 n’admet pas de solution réelle. f ( x ) = x 2 − 2 x + 2 n’est donc pas factorisable dans r. Interprétation graphique La parabole d’équation y = x 2 − 2 x + 2 ne coupe pas l’axe des abscisses. 2 f ( x ) = x 2 − 2 x + 2 = x 2 − 2 x + 1 − 1 + 2 = ( x − 1) + 1