Problèmes de degré 2

Problèmes de degré 2
I Introduction
Beaucoup de problèmes de la vie courante peuvent être traduits et résolus mathématiquement grâce aux
équations ou aux inéquations. (optimisation, architecture, trajectoires, météo, économie...)
On peut chercher les solutions par essais (tableau de valeurs,algorithmes, graphiques).
Cela demande parfois du temps avec deux inconvénients :
•On obtient des valeurs approchées
•on peut oublier des solutions.
Pour certaines équations, il est possible de trouver algébriquement toutes les solutions.
Étapes à respecter pour résoudre algébriquement un problème :
1. Choisir l’inconnue. (Pensez à tester des valeurs si vous êtes bloqués)
2. Traduire le texte du problème en langage mathématique. On obtient une équation.
3. Résoudre l’équation.
4. Conclure, en vérifiant si la (ou les) solution(s) répondent au problème posé.
II Équations et fonctions du second degré
Définitions : Fonction du second degré et parabole
Toute fonction fdéfinie sur Rpar f(x)=ax2+bx +coù a,bet csont des réels avec a6= 0 est appelée
fonction polynôme du second degré ou, simplement, fonction du second degré.
La courbe représentative d’une fonction du second degré est appelée une parabole.
Exemples 1 :
Parmi les fonctions suivantes, définies sur R:
☞f1(x)=2x2−3x+1 est l’expression d’une fonction polynôme du second degré avec a=2, b= −3 et
c=1 ;
☞f2(x)=1
2x−2 n’est pas l’expression d’une fonction du second degré, c’est une fonction affine ;
☞f3(x)=x3−x2+3x−6 n’est pas l’expression d’une fonction du second degré, c’est une fonction de
degré 3.
Exemple 2 : Graphique
Voici ci-contre la représentation graphique de la fonction :
f(x)=2x2−3x−1
☞Quelles valeurs de xannullent cette fonction ?
☞Quel est le minimum atteint par cette fonction ?
−1 1 2
−2
−1
1
2
0
1Problèmes de degré 2

II.1 Recherche de minimum/maximum : La forme canonique
Théorème : Forme canonique
Toute fonction fdu second degré définie sur Rpar f(x)=ax2+bx +cpeut s’écrire de façon unique
sous la forme : f(x)=a(x−α)2+βoù 
α=− b
2a
β=f(α)
. Cette forme est appelée la forme canonique.
La courbe représentative de fest une parabole de sommet S¡α;β¢.
Exemple 3 : Recherche d’un minimum d’une fonction du second degré
On reprend la fonction f(x)=2x2−3x−1.
Pour déterminer de façon exacte son minimum, on utilise la forme
canonique :
On a : •a=2•b=−3•c= −1.
Ainsi, α=− b
2a=3 4et
β=f(α)=fµ3
4¶=2×µ3 4¶2
−3×3
4−1=−17 8.
La forme canonique de cette fonction est : f(x)=2µx−3
4¶2
−17
8
Le sommet de la parabole représentant cette cette fonction est :
Sµ3
4;−17 8¶
−1 1 2
−3
−2
−1
1
2
3
0
3
4
−17
8
S
Exemple 4 : Recherche d’un maximum d’une fonction du second degré
On considère la fonction f(x)=−2x2−4x.
On a : •a=−2•b= −4•c=0.
Ainsi, α=− b
2a=− −4 2×(−2) =−1 et
β=f(α)=f(−1)=−2×(−1)2−4×(−1) =2.
La forme canonique de cette fonction est : f(x)= −2(x+1)2+2
Le sommet de la parabole représentant cette cette fonction est :
S(−1;2)
−2−1 1
−2
−1
1
2
3
0
S
Remarque :
Comme on peut observer dans les deux exemples précédents, le coefficient ade la forme
développée ou canonique détermine un sens de la courbe :
☞Si aest positif, la courbe présente un minimum (y =2x2−3x−1a la tête en bas).
☞Si aest négatif, la courbe présente un maximum (y =−2x2−4x a la tête en haut).
2Problèmes de degré 2

II.2 Résoudre ax2+bx +c=0: La forme factorisée
Définitions : Discriminant et racines
On considère la fonction f(x)=ax2+bx +c.
☞∆=b2−4ac est le discriminant de f.
☞Les solutions de l’équation f(x)=0 sont appelées racines ou zéros de la fonction f.
Théorème : Forme factorisée
Le nombre de solutions de l’équation du second degré ax2+bx +c=0 dépend du signe de ∆:
∆>0∆=0∆<0
L’équation
ax2+bx +c=0
a deux solutions x1
et x2:
x1=−b−p∆
2a
x2=−b+p∆
2a
a une solution
x0=α=− b
2a
n’a pas de solution
réelle
La courbe
représentative Cf
coupe l’axe des
abscisses en deux
points (x1; 0)et
(x2; 0)
coupe l’axe des
ordonnées en son
sommet (x0; 0)
ne coupe pas l’axe
des abscisses
Forme factorisée
de f
a(x−x1)(x−x2)a(x−x0)2pas de factorisation
dans R
Remarque :
Pour résoudre l’équation ax2+bx +c=0 dans R:
1) on lit les coefficients a,bet c;
2) on calcule le discriminant ∆=b2−4ac ;
3) suivant le signe du discriminant, on en déduit les solutions de l’équation si elles existent.
Exemple 5 : Résoudre une équation du type ax2+bx +c=0
On reprend la fonction f(x)=2x2−3x−1.
Déterminer les racines revient à résoudre l’équation : 2x2−3x−1=0.
On a a=2, b=−3 et c=−1. Il faut d’abord calculer le discriminant :
∆=b2−4ac =(−3)2−4×2×(−1) =17.
Le discriminant est strictement positif donc l’équation a deux solutions :
x1=−b−p∆
2a=−(−3)−p17 2×2=3−p17 4
x2=−b+p∆
2a=−(−3)+p17 2×2=3+p17 4.
−1 1 2 3
−2
−1
1
2
3
0
x1x2
La forme factorisée de fest : 2(x−3−p17
4)(x−3+p17 4)
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