Problèmes de degré 2

Problèmes de degré 2
I Introduction
Beaucoup de problèmes de la vie courante peuvent être traduits et résolus mathématiquement grâce aux
équations ou aux inéquations. (optimisation, architecture, trajectoires, météo, économie...)
On peut chercher les solutions par essais (tableau de valeurs,algorithmes, graphiques).
Cela demande parfois du temps avec deux inconvénients :
• On obtient des valeurs approchées
• on peut oublier des solutions.
Pour certaines équations, il est possible de trouver algébriquement toutes les solutions.
Étapes à respecter pour résoudre algébriquement un problème :
1. Choisir l’inconnue. (Pensez à tester des valeurs si vous êtes bloqués)
2. Traduire le texte du problème en langage mathématique. On obtient une équation.
3. Résoudre l’équation.
4. Conclure, en vérifiant si la (ou les) solution(s) répondent au problème posé.
II Équations et fonctions du second degré
Définitions :
Fonction du second degré et parabole
Toute fonction f définie sur R par f (x) = ax 2 + bx + c où a, b et c sont des réels avec a 6= 0 est appelée
fonction polynôme du second degré ou, simplement, fonction du second degré.
La courbe représentative d’une fonction du second degré est appelée une parabole.
Exemples 1 :
Parmi les fonctions suivantes, définies sur R :
☞ f 1 (x) = 2x 2 − 3x + 1 est l’expression d’une fonction polynôme du second degré avec a = 2, b = −3 et
c =1;
1
2
☞ f 3 (x) = x 3 − x 2 + 3x − 6 n’est pas l’expression d’une fonction du second degré, c’est une fonction de
☞ f 2 (x) = x − 2 n’est pas l’expression d’une fonction du second degré, c’est une fonction affine ;
degré 3.
Exemple 2 :
Graphique
2
Voici ci-contre la représentation graphique de la fonction :
1
f (x) = 2x 2 − 3x − 1
☞ Quelles valeurs de x annullent cette fonction ?
☞ Quel est le minimum atteint par cette fonction ?
−1
0
1
2
−1
−2
1
Problèmes de degré 2
II.1 Recherche de minimum/maximum : La forme canonique
Forme canonique
Théorème :
2
Toute fonction f du second degré définie
 sur R par f (x) = ax + bx + c peut s’écrire de façon unique

α = − b
2
2a . Cette forme est appelée la forme canonique.
sous la forme : f (x) = a(x − α) + β où

β = f (α)
¡
¢
La courbe représentative de f est une parabole de sommet S α; β .
Recherche d’un minimum d’une fonction du second degré
Exemple 3 :
On reprend la fonction f (x) = 2x 2 − 3x − 1.
Pour déterminer de façon exacte son minimum, on utilise la forme
3
canonique :
2
On a : • a = 2 • b = −3 • c = −1.
b
3
Ainsi, α = −
= et
2a 4
µ ¶2
µ ¶
3
17
3
3
= 2×
−3× −1 = − .
β = f (α) = f
4
4
4
8
µ
¶2
3
17
−
4
8
Le sommet de la parabole représentant
cette
cette
fonction
est
:
µ
¶
3 17
S ;−
4
8
La forme canonique de cette fonction est : f (x) = 2 x −
Exemple 4 :
3
4
1
−1
1
0
2
−1
−2
17
−
8
S
−3
Recherche d’un maximum d’une fonction du second degré
On considère la fonction f (x) = −2x 2 − 4x.
3
On a : • a = −2
Ainsi, α = −
• b = −4
• c = 0.
S
2
b
−4
=−
= −1 et
2a
2 × (−2)
1
β = f (α) = f (−1) = −2 × (−1)2 − 4 × (−1) = 2.
La forme canonique de cette fonction est : f (x) = −2 (x + 1)2 + 2
Le sommet de la parabole représentant cette cette fonction est :
−2
−1
0
1
−1
S (−1; 2)
−2
Remarque :
Comme on peut observer dans les deux exemples précédents, le coefficient a de la forme
développée ou canonique détermine un sens de la courbe :
☞ Si a est positif, la courbe présente un minimum (y = 2x 2 − 3x − 1 a la tête en bas).
☞ Si a est négatif, la courbe présente un maximum (y = −2x 2 − 4x a la tête en haut).
2
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II.2 Résoudre ax 2 + bx + c = 0 : La forme factorisée
Définitions :
Discriminant et racines
On considère la fonction f (x) = ax 2 + bx + c.
☞ ∆ = b 2 − 4ac est le discriminant de f .
☞ Les solutions de l’équation f (x) = 0 sont appelées racines ou zéros de la fonction f .
Forme factorisée
Théorème :
Le nombre de solutions de l’équation du second degré ax 2 + bx + c = 0 dépend du signe de ∆ :
∆>0
∆=0
a deux solutions x1
L’équation
ax 2 + bx + c = 0
La courbe
représentative C f
∆<0
a une solution
b
x0 = α = −
2a
n’a pas de solution
coupe l’axe des
coupe l’axe des
ne coupe pas l’axe
abscisses en deux
ordonnées en son
points (x1 ; 0) et
sommet (x0 ; 0)
et x2 :
p
−b − ∆
x1 =
2ap
−b + ∆
x2 =
2a
réelle
des abscisses
(x2 ; 0)
Forme factorisée
de f
a(x − x0 )2
a (x − x1 )(x − x2 )
pas de factorisation
dans R
Remarque :
Pour résoudre l’équation ax 2 + bx + c = 0 dans R :
1) on lit les coefficients a, b et c ;
2) on calcule le discriminant ∆ = b 2 − 4ac ;
3) suivant le signe du discriminant, on en déduit les solutions de l’équation si elles existent.
Exemple 5 :
Résoudre une équation du type ax 2 + bx + c = 0
On reprend la fonction f (x) = 2x 2 − 3x − 1.
Déterminer les racines revient à résoudre l’équation : 2x 2 − 3x − 1 = 0.
3
On a a = 2, b = −3 et c = −1. Il faut d’abord calculer le discriminant :
2
∆ = b 2 − 4ac = (−3)2 − 4 × 2 × (−1) = 17.
1
Le discriminant est strictement positif donc l’équation a deux solutions :
p
p
p
−b − ∆ − (−3) − 17 3 − 17
=
=
x1 =
2a
2×2
4
p
p
p
−b + ∆ − (−3) + 17 3 + 17
x2 =
=
=
.
2a
2×2
4
p
p
3 − 17
3 + 17
La forme factorisée de f est : 2(x −
)(x −
)
4
4
3
−1
x1
0
−1
1
2
3
x2
−2
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