Second degré€: Aide mémoire - Univ

CUEEP Département Mathématiques E912 : Second degré : Aide mémoire p1/8
Second degré : Aide mémoire
L’équation générale d’une parabole s’écrit y = ax² + bx +c
Influence des coefficients
Influence de a
2345-1-2
2
-1
-2
-3
-4
-5
01
1
x
y
a est positif, la parabole est ouverte vers le
haut
2-1-2-3-4-5
2
3
4
-1
-2
01
1
x
y
a est négatif, la parabole est ouverte vers le
bas

CUEEP Département Mathématiques E912 : Second degré : Aide mémoire p2/8
Influence de c
La valeur de c est la valeur de y correspondant à x = 0, c’est l’ordonnée à l’origine
Si la parabole coupe l’axe des y en positif, la valeur de c est positive.
Si la parabole coupe l’axe des y en négatif la valeur de c est négative.
Influence de b
Le signe de b ne peut pas se lire directement sur le graphique : il dépend de l’abscisse du sommet de la parabole et du signe de a.
Pour déterminer le signe de b il faut pouvoir déterminer la position de l’axe de symétrie de la parabole.
2345-1-2
2
3
4
-1
-2
-3
01
1
x
y
x = 0 y = c

CUEEP Département Mathématiques E912 : Second degré : Aide mémoire p3/8
Axe de symétrie et sommet de la parabole
L’axe de symétrie est obtenu pour la valeur de a
b
x2 −= ,
L’abscisse du sommet est a
b
2
−
En remplaçant cette valeur dans la formule y = ax² + bx + c on obtient l’ordonnée du sommet :
aacb
y44² +−
=
234-1
2
3
4
-1
01
1
x
y
a
b
x2 −=
aacb
y44² +− =
signe de b en fonction du signe de a et du signe de
a
b
2
−
Signe de
a Signe de
a
b
2
−
Signe de
b
+ + -
+ - +
- + +
- - -

CUEEP Département Mathématiques E912 : Second degré : Aide mémoire p4/8
Signe de y en fonction de x
1er cas
y = ax² + bx + c n’admet pas de
solutions. ∆ est négatif. Alors quelque
soit x, y est du même signe que a
23-1-2-3-4
2
3
4
5
6
-1
01
1
x
y
a > 0 y est toujours positif
23-1-2-3-4
2
-1
-2
-3
-4
-5
01
1
x
y
a < 0 y est toujours négatif
2ème cas
y = ax² + bx + c admet 1 racine double
x1 . ∆ est nul, alors y est nul pour x1 ;
pour toute autre valeur de x , y est du
même signe que a
23-1-2-3-4
2
3
4
5
6
-1
01
1
x
y
a > 0 y est toujours positif ou nul
pour x1
23-1-2-3-4 -1
-2
-3
-4
-5
-6
01
1
x
y
a < 0 y est toujours négatif ou nul
pour x1
3ème cas
y = ax² + bx + c admet 2 racines x1 et
x2. ∆ est positif, alors y est du même
signe que a pour les valeurs extérieurs
aux racines. y est du signe opposé à
celui de a entre les racines x1 et x2.
23-1-2-3-4 -1
-2
-3
-4
-5
-6
01
1
x
y
a > 0 y est négatif entre x1 et x2,
positif ailleurs.
2345-1-2
2
3
4
-1
-2
-3
01
1
x
y
a < 0 y est positif entre x1 et x2,
négatif ailleurs

CUEEP Département Mathématiques E912 : Second degré : Aide mémoire p5/8
Représentation graphique
Soit la fonction f(x) = 2x² + 6x –8
a est positif la courbe sera tournée vers le haut
Axe de symétrie 2
3
4
6
2−=−=− a
b
Ordonnée du sommet : 2
25
8)
2
3
(6)²
2
3
(2 −=−−×+−×
Ordonnée à l’origine c = -8
Solutions de f(x )= 0 : x1 = -3 x2 = 1
Tableau de signe
y est du signe de a à l’extérieur des racines
x -∞ -4 -3/2 1 + ∞
Signe de y +∞ + 0 - 0 + + ∞
Variation
de y
-25/2
x y
-3/2 -25/2 Sommet parabole
-4 0 1ère racine
1 0 2ème racine
0 -8 Ordonnée à l’origine
-3 -8 Symétrique du point précédent
2345-1-2-3-4-5
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
-13
01
1
x
y