Considérons 2 réels u et v de l'intervalle ]-∞ ; ] tels que u < v.
On a alors u - < v - , ajouter - ne change pas l'ordre des nombres.
Comme u et v sont dans l'intervalle ]-∞ ; ] , u - et v - sont négatifs, or la fonction carré est
décroissante dans ℝ-, on a donc (u - )² > (v - )².
Multiplier par a > 0 et ajouter ne change pas l'ordre des nombres, donc
a(u - )² + > a(v - )² + et f (u) > f (v). f a changé l'ordre de u et v, donc f est décroissante
sur ]-∞ ; ].
On démontre de même que f est croissante sur [ ; +∞[.
Remarques
1) Dans tous les cas on a un extremum égal à pour x = .
Si a > 0, il s'agit d'un minimum et si a < 0, il s'agit d'un maximum.
2) La courbe représentative d'une fonction trinôme est toujours une parabole.
Si a > 0 elle est tournée vers le haut et si a < 0, elle est tournée vers le bas.
3. Forme factorisée
Un trinôme du second degré ax2 + bx + c, est factorisé lorsqu'on l'écrit sous la forme
a(x – x1)(x – x2).
Si un trinôme ax2 + bx + c peut être factorisé, alors l'équation ax2 + bx + c = 0 a au moins une
solution car on a a(x – x1)(x – x2) = 0 pour x = x1 ou x = x2. (x1 et x2 sont alors appelées les racines du
trinôme)
Cela signifie que si l'équation ax2 + bx + c = 0 n'a pas de solutions, alors le trinôme ax2 + bx + c ne
peut pas être factorisé.
B. Équations du second degré
On considère l'équation ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0.
La forme canonique du trinôme ax² + bx + c est a(x - )² + .
L'équation proposée est donc équivalente à a(x - )² + = 0, soit a(x - )² = - et finalement
. Le nombre est appelé discriminant du trinôme. On peut
alors distinguer plusieurs cas :
–si < 0, alors l'équation n'a pas de solution car un carré est toujours positif.
–si = 0, alors l'équation devient