Trinômes du second degré

Trinômes du second degré
A. Fonctions trinômes du second degré
On appelle fonction trinôme une fonction qui à tout réel x associe ax2 + bx + c, avec a, b et c réels et
a non nul.
ax2 + bx + c est la forme développée du trinôme.
1. Forme canonique
Tout trinôme du second degré ax2 + bx + c peut s'écrire sous la forme a(x - )² + 
avec α=
2
−b
b
et β=c−
.
2a
4a
Démonstration
Vérifions :
a ( x −α)2 +β=a ( x+
b 2
b2
b
b2
b2
b2
b2
) +c− =a( x 2+ x+ 2 )+c− =a x 2 +b x + +c−
2a
4a
a
4a
4a
4a
4a
= ax 2+bc+c
2. Variations
Le tableau de variations d'une fonction trinôme dépend du signe de a.
Si a > 0
x
Si a < 0
-∞

+∞
x
-∞


a(x - )² + 
a(x - )² + 

Démonstration
Soit f la fonction trinôme dont la forme canonique est f (x) = a(x - )² + .
On se place dans le cas a > 0.
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+∞
Considérons 2 réels u et v de l'intervalle ]-∞ ; ] tels que u < v.
On a alors u -  < v - , ajouter - ne change pas l'ordre des nombres.
Comme u et v sont dans l'intervalle ]-∞ ; ] , u -  et v -  sont négatifs, or la fonction carré est
décroissante dans ℝ-, on a donc (u - )² > (v - )².
Multiplier par a > 0 et ajouter  ne change pas l'ordre des nombres, donc
a(u - )² +  > a(v - )² +  et f (u) > f (v). f a changé l'ordre de u et v, donc f est décroissante
sur ]-∞ ; ].
On démontre de même que f est croissante sur [ ; +∞[.
Remarques
1) Dans tous les cas on a un extremum égal à  pour x = .
Si a > 0, il s'agit d'un minimum et si a < 0, il s'agit d'un maximum.
2) La courbe représentative d'une fonction trinôme est toujours une parabole.
Si a > 0 elle est tournée vers le haut et si a < 0, elle est tournée vers le bas.
3. Forme factorisée
Un trinôme du second degré ax2 + bx + c, est factorisé lorsqu'on l'écrit sous la forme
a(x – x1)(x – x2).
Si un trinôme ax2 + bx + c peut être factorisé, alors l'équation ax2 + bx + c = 0 a au moins une
solution car on a a(x – x1)(x – x2) = 0 pour x = x1 ou x = x2. (x1 et x2 sont alors appelées les racines du
trinôme)
Cela signifie que si l'équation ax2 + bx + c = 0 n'a pas de solutions, alors le trinôme ax2 + bx + c ne
peut pas être factorisé.
B. Équations du second degré
On considère l'équation ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0.
La forme canonique du trinôme ax² + bx + c est a(x - )² + .
L'équation proposée est donc équivalente à a(x - )² +  = 0, soit a(x - )² = - et finalement
−β
(x −α)2 =
.
a
2
2
−β −c b
b −4 ac
−b
b2
= + 2=
On sait que α=
et β=c−
, donc
. En posant  = b² – 4ac, on
2
2a
a
a 4a
4a
4a
2
b
Δ
) = 2 . Le nombre  est appelé discriminant du trinôme. On peut
obtient l'équation : (x+
2a
4a
alors distinguer plusieurs cas :
–
si  < 0, alors l'équation n'a pas de solution car un carré est toujours positif.
−b
b 2
–
si  = 0, alors l'équation devient (x+
.
) =0 et elle a une solution unique x=
2a
2a
–
si  > 0, on a 2 possibilités :
b
Δ √Δ
−b+ √ Δ
soit x+ =
donc x=
=
2
2a
2a
2a
4a
√
soit x+
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√
b
Δ −√ Δ
−b− √ Δ
donc x=
=−
=
2
2a
2a
2a
4a
Théorème 1
On considère l'équation ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0.
On appelle discriminant de cette équation le réel  = b² – 4ac.
−b+√ Δ
−b− √ Δ
• Si  > 0, l'équation a deux solutions distinctes, x 1=
et x 2 =
.
2a
2a
−b
• Si  = 0, l'équation a une seule solution x 0 =
.
2a
• Si  < 0, l'équation n'a pas de solution réelle.
Les solutions de l'équation ax² + bx + c = 0 sont appelées racines du trinôme.
Théorème 2 (factorisation)
On considère le trinôme ax² + bx + c (avec a ≠ 0) et son discriminant  = b² – 4ac.
• Si  > 0, le trinôme a deux racines distinctes x1 et x2 et admet la factorisation
ax² + bx + c = a(x – x1)(x - x2).
• Si  = 0, le trinôme a une seule racine x0 et admet la factorisation ax² + bx + c = a(x – x0)².
On dit alors que x0 est une racine double.
• Si  < 0, le trinôme n'a pas de racine et ne peut pas être factorisé.
Exemples
1) Résoudre x² – 5x + 6 = 0.
On a  = (–5)² – 4 × 1 × 6 = 25 – 24 = 1. Il ya donc deux solutions qui sont :
5 − 1 4
5  1 6
x1 =
= =2 et x 2 =
= =3 .
2
2
2
2
On a la factorisation x² – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3).
2) Résoudre 4x² – 4x + 1= 0.
4 1
On a  = (– 4)² – 4 × 4 × 1 = 16 – 16 = 0. Il a donc une seule solution x1 = = .
8 2
 
1
On a la factorisation 4x² – 4x + 1= 4 x−
2
2
.
3) Résoudre x² + x + 1 = 0.
On a  = 1² – 4 × 1 × 1 = 1 – 4 = – 3. Il n'y a donc pas de solution réelle. Le trinôme x² + x + 1
ne peut pas être factorisé.
C. Signe du trinôme
On considère la fonction trinôme définie par f (x) = ax² + bx + c et son discriminant .
Le signe du trinôme va dépendre de l'existence d'éventuelles racines.
•
Si  > 0, l'équation f (x) = 0 a deux solutions x1 et x2 et f (x) = a(x – x1)(x – x2).
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On a alors le tableau de signe suivant :
x1
x
x - x1
-
x - x2
-
0
x2
+
-
+
0
+
a(x-x1)(x-x2) signe de a 0 signe de -a 0 signe de a
ax² + bx + c est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de – a entre les racines.
•
Si  = 0, l'équation f (x) = 0 a une seule solution x1. On a alors la factorisation
f (x) = a(x – x1)².
ax² + bx + c est du signe de a.
•
Si  < 0, l'équation f (x) = 0 n'a pas de solutions, le trinôme ne peut pas être factorisé en un
produit de facteurs du premier degré.
ax² + bx + c est du signe de a.
En résumé :
ax² + bx + c est toujours du signe de a sauf entre les racines lorsqu'elles existent.
Exemples
1) Étudier le signe de x² – 5x + 6.
L'équation x² – 5x + 6 = 0 a deux solutions x1 = 2 et x2 = 3. On en déduit le tableau de signes
suivant :
2
3
x
x²-5x+6
+
0
-
0
+
x² – 5x + 6 est positif sauf si x est entre 2 et 3.
2) Étudier le signe de 4x² – 4x + 1.
L'équation 4x² – 4x + 1 = 0 a une solution unique x1 =
1
. On en déduit que 4x² – 4x + 1 est
2
toujours positif.
3) Étudier le signe de x² + x + 1
L'équation x² + x + 1 = 0 n'a pas de solutions, x² + x + 1 est donc toujours positif.
Représentation graphique
La représentation graphique d'une fonction trinôme est une parabole.
Le signe de a indique le sens de la parabole.
Le signe de  indique le nombre de racines, donc le nombre de points d'intersection avec l'axe
des abscisses.
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a>0
>0
=0
<0
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a<0