POLYNÔME DU SECOND DEGRÉ

POLYNÔME DU SECOND DEGRÉ
I. Résolution de l’équation du second degré ax2+ bx + c = 0 :
1°) Équation du second degré où le trinôme est incomplet :
Définition :
On appelle trinôme incomplet un trinôme dans lequel b = 0 ou c = 0.
Exemples :
2x2 – 5, (a = 2, b = 0 et c = –5) et x2 + 3x (a = 1, b = 3 et c = 0) sont des trinômes incomplets.
Méthode :
Dans ces cas-là, on sait déjà résoudre :
Cas 1 : b = 0
On se ramène à une équation de la forme x2 = d, où d est un nombre réel.
On se souvient que
si d > 0, il y a 2 solutions :
√ d et – √ d .
si d = 0, il y a une seule solution : 0
et si d < 0, il n’y a pas de solution dans ℝ.
Cas 2 : c = 0
On factorise par x et on résout l’équation produit nul ainsi obtenue.
Exemples :
Cas 1 :
5
. L’équation a donc 2 solutions :
2
● 2x2 – 5 = 0 revient à 2x2 = 5 revient à x2 =
On écrit S =
√
√
5
5
et –
.
2
2
{√ √ }
5
5
.
;−
2
2
● 2x2 + 5 = 0 revient à 2x2 = –5 revient à x2 = –
5
. L’équation n’a donc pas de solution.
2
On écrit S = ∅.
Cas 2 :
● 2x2 – 5x = 0 revient à x(2x – 5) = 0. Or un produit est nul si l’un au moins de ses facteurs est nul, donc
x = 0 ou 2x – 5 = 0 soit x = 2,5.L’équation a donc 2 solutions : 0 et 2,5.
On écrit S = {0 ; 2,5}.
2°) Cas général :
Théorème :
Lorsqu’on est en présence d’une équation du second degré ax2+ bx + c = 0, on commence par identifier a,
b et c.
On calcule ensuite le discriminant  = b2 – 4ac.
Si  < 0 : l’équation n’a pas de solution réelle.
Si  = 0 : l’équation a une seule solution x0 =
−b
. On dit que cette solution est double.
2a
Si  > 0 : l’équation possède alors 2 solutions réelles : x1 =
−b + √ Δ
−b−√ Δ
et x2 =
.
2a
2a
Remarque :
Les formules obtenues pour  > 0 s’étendent à  = 0.
Exemples 1 : x2 – 4x + 4 = 0.
Ici a = 1, b = –4 et c = 4.
Commençons donc par calculer le discriminant :  = b2 – 4ac = (–4)2 – 4×1×4 = 0.
 = 0, donc cette équation a une solution qui est x0 =
4
−b
=
= 2.
2
2a
Vérification :
On remplace x par 2 dans x2 – 4x + 4 pour voir si on trouve bien 0 : 22 – 4×2 + 4 = 4 – 8 + 4 = 0.
Exemples 2 : 3x2 – x – 4 = 0
Ici a = 3, b = –1 et c = –4.
Commençons donc par calculer le discriminant :  = b2 – 4ac = (–1)2 – 4×3×(–4) = 1 + 48 = 49.
 > 0, donc cette équation a deux solutions qui sont x 1 =
−b−√ Δ 1−7
−b+√ Δ 1+7 4
=
=−1 et x 2 =
=
= .
2a
6
2a
6
3
Vérification :
On remplace x par –1 et
4
dans 3x2 – x – 4 pour voir si on trouve bien 0 :
3
3×(–1)2 – (–1) – 4 = 3 + 1 – 4 = 0 et 3×
4
3
2
()
–
4
16
4
12
–4=
–
–
= 0.
3
3
3
3
Exemples 3 : 5x2 + 6x + 2 0
Ici a = 5, b = 6 et c = 2.
Commençons donc par calculer le discriminant :  = b2 – 4ac = 62 – 4×5×2 = 36 – 40 = –4.
 < 0, donc cette équation n’a pas de solution réelle.
II. Signe du trinôme f (x) = ax2 + bx + c avec a ≠ 0 :
1°) Forme de la courbe représentative de f (x) :
Si  < 0
Si a > 0
Si  = 0
Si  > 0
Si a > 0
Si a > 0

O

O


O
 = x0


Si a < 0
Si a < 0

x1

x2

O
O
O
x1
Si a < 0
x2
Remarque :
Ces représentations graphique permettent d’établir le tableau de signes de f en fonction du signe de a et
des éventuelles solutions de f (x) = 0.
Méthode :
On commence par calculer le discriminant  et les éventuelles solutions de f (x) = 0.
Si  < 0, P(x) est toujours du signe de a
Si  = 0, alors P(x) est
{
du signe de a si x ≠x0
= 0 si x=x 0
Si  > 0, alors le signe de P(x) est défini par le tableau de signes suivant (où l’on suppose que x1 < x2) :
x
x1
–∞
x2
+∞
x – x1
–
+
+
x – x2
–
–
+
(x – x1)(x – x2)
+
–
+
f(x)
Signe de –a
Signe de a
Autrement dit, un polynôme est :
Signe de a
- du signe de (–a) entre ses deux racines
- du signe de (a) ailleurs
Exemple :
Soit le polynôme P(x) = 2x² – 3x – 9.
On commence par calculer  = 9 + 4×2×9 = 81.  > 0, la courbe représentative de f coupe donc l’axe
des abscisses deux fois : en x 1 =
−b− √ Δ 3−9
2
−b+ √ Δ 3+9
=
=− et en x2 =
=
=3 .
2a
4
3
2a
4
Donc, puisque a > 0, on obtient le tableau de signes suivant :
x
f (x)
−
–∞
+
2
3
0
3
– 0 +
+∞