POLYNÔME DU SECOND DEGRÉ

POLYNÔME DU SECOND DEGRÉ
I. Résolution de l’équation du second degré ax 2 + bx + c = 0 :
1°) Équation du second degré où le trinôme est incomplet :
Définition :
On appelle trinôme incomplet un trinôme dans lequel b = 0 ou c = 0.
Exemples :
2x2 – 5, (a = 2, b = 0 et c = –5) et x2 + 3x (a = 1, b = 3 et c = 0) sont des trinômes incomplets.
Méthode :
Dans ces cas-là, on sait déjà résoudre :
Cas 1 : b = 0
On se ramène à une équation de la forme x2 = d, où d est un nombre réel.
On se souvient que si d > 0, il y a 2 solutions :
√
d
et –
√
d
.
si d = 0, il y a une seule solution : 0
et si d < 0, il n’y a pas de solution dans ℝ.
Cas 2 : c = 0
On factorise par x et on résout l’équation produit nul ainsi obtenue.
Exemples :
Cas 1 :
● 2x2 – 5 = 0 revient à 2x2 = 5 revient à x2 =
5
2
. L’équation a donc 2 solutions :
√
5
2
et –
√
5
2
.
On écrit S =
{
√
5
2;−
√
5
2
}
.
● 2x2 + 5 = 0 revient à 2x2 = –5 revient à x2 = –
5
2
. L’équation n’a donc pas de solution.
On écrit S = ∅.
Cas 2 :
● 2x2 – 5x = 0 revient à x(2x – 5) = 0. Or un produit est nul si l’un au moins de ses facteurs est nul, donc
x = 0 ou 2x – 5 = 0 soit x = 2,5.L’équation a donc 2 solutions : 0 et 2,5.
On écrit S = {0 ; 2,5}.
2°) Cas général :
Théorème :
Lorsqu’on est en présence d’une équation du second degré ax2+ bx + c = 0, on commence par identifier a,
b et c.
On calcule ensuite le discriminant  = b2 – 4ac.
Si  < 0 : l’équation n’a pas de solution réelle.
Si  = 0 : l’équation a une seule solution x0 =
−b
2a
. On dit que cette solution est double.
Si  > 0 : l’équation possède alors 2 solutions réelles : x1 =
−b+ √ Δ
2a
et x2 =
−b− √ Δ
2a
.

Si a < 0 Si a < 0 Si a < 0
O
O
= x0
O
Si a > 0
Ox1x2
O
Si a > 0
O
x1x2
Si a > 0
Remarque :
Les formules obtenues pour  > 0 s’étendent à  = 0.
Exemples 1 : x2 – 4x + 4 = 0.
Ici a = 1, b = –4 et c = 4.
Commençons donc par calculer le discriminant :  = b2 – 4ac = (–4)2 – 4×1×4 = 0.
 = 0, donc cette équation a une solution qui est x0 =
−b
2a
=
4
2
= 2.
Vérification :
On remplace x par 2 dans x2 – 4x + 4 pour voir si on trouve bien 0 : 22 – 4×2 + 4 = 4 – 8 + 4 = 0.
Exemples 2 : 3x2 – x – 4 = 0
Ici a = 3, b = –1 et c = –4.
Commençons donc par calculer le discriminant :  = b2 – 4ac = (–1)2 – 4×3×(–4) = 1 + 48 = 49.
 > 0, donc cette équation a deux solutions qui sont
x1=−b−
√ Δ
2a=1−7 6=−1
et
x2=−b+
√ Δ
2a=1+7 6=4 3
.
Vérification :
On remplace x par –1 et
4
3
dans 3x2 – x – 4 pour voir si on trouve bien 0 :
3×(–1)2 – (–1) – 4 = 3 + 1 – 4 = 0 et 3×
(
4
3
)
2
–
4
3
– 4 =
16
3
–
4
3
–
12
3
= 0.
Exemples 3 : 5x2 + 6x + 2 0
Ici a = 5, b = 6 et c = 2.
Commençons donc par calculer le discriminant :  = b2 – 4ac = 62 – 4×5×2 = 36 – 40 = –4.
 < 0, donc cette équation n’a pas de solution réelle.
II. Signe du trinôme f ( x ) = a x 2 + bx + c avec a ≠ 0 :
1°) Forme de la courbe représentative de f ( x ) :
Si  < 0 Si  = 0 Si  > 0

Remarque :
Ces représentations graphique permettent d’établir le tableau de signes de f en fonction du signe de a et
des éventuelles solutions de f (x) = 0.
Méthode :
On commence par calculer le discriminant  et les éventuelles solutions de f (x) = 0.
Si  < 0, P(x) est toujours du signe de a
Si  = 0, alors P(x) est
{
du signe de asi x≠x0
= 0si x=x0
Si  > 0, alors le signe de P(x) est défini par le tableau de signes suivant (où l’on suppose que x1 < x2) :
x–∞ x1 x2 +∞
x – x1– + +
x – x2– – +
(x – x1)(x – x2)+ – +
f(x)Signe de aSigne de –aSigne de a
Autrement dit, un polynôme est : - du signe de (–a) entre ses deux racines
- du signe de (a) ailleurs
Exemple :
Soit le polynôme P(x) = 2x² – 3x – 9.
On commence par calculer  = 9 + 4×2×9 = 81.  > 0, la courbe représentative de f coupe donc l’axe
des abscisses deux fois : en
x1=−b−
√ Δ
2a=3−9 4=−2 3
et en
x2=−b+
√ Δ
2a=3+9 4=3
.
Donc, puisque a > 0, on obtient le tableau de signes suivant :
x–∞
−2
3
3 +∞
f (x) + 0 – 0 +