Correction DSTn 1 - 1 s - dst1314 v1
Premières S- MATHEMATIQUES
Mme. FRANCOMME & M. FERRE &
M. COUDERT
C
ORRECTION
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1 Samedi 05.10.13
Durée :3 heures
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront dans l’appréciation des copies.
Toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, sera prise en compte et valorisée dans la notation.
EXERCICE 1
(5 points) Les questions de cet exercice sont indépendantes
1) Restitution organisée de connaissances : a, b, c désignent 3 réels avec on pose, pour tout x réel,
. Donner avec sa démonstration la forme canonique de f.
COURS (1 point)
2) Résoudre dans l’équation
(E)
On a :
Résolvons l’équation du second degré : (E’)
on pose :
pour tout
réel x , ainsi est un trinôme de la forme avec a = 2 ; b = -5 et c = 3 d’où le
discriminant :
, comme l’équation (E’) admet donc
deux solutions
!
"
et
!#
"
En conclusion, l’ensemble S des solutions de (E) est : $%&&
'(1 point)
3) Résoudre dans l’inéquation (
"
)#
*
On écrit : (
"
)#
"
)#
(
))#"
)#
(
)#))"
)#
(
))+
)#
(
L’inéquation (I) est définie sur ,-., on étudie le signe du trinôme / définie sur de la
forme avec a = 1 ; b = -1 et c = -6 d’où le discriminant :
/, comme l’équation admet donc deux solutions
!
et
#!
on peut alors construire le tableau de signes suivant :
0
0
-
-
0 + +
/
+ 0
-
-
0 +
/
-
0 +
-
0 +
On en déduit l’ensemble de solution S de l’inéquation(I) : $10&121&1 (1,5 points)
4) Soit définie, pour tout x réel, par 3 Donner la forme canonique de , ainsi que les
coordonnées du sommet de sa courbe puis le tableau de variation.
pour tout réel x, f est un trinôme de la forme avec a = -3, b = 4
et c = 1
Pour trouver la forme canonique on calcule 4
"
et
56
76
7
6
7
"#8#
9
donc la forme canonique de f s’écrit :
4
56
7
9
Les coordonnées du sommet S : : $4&5
&
9
On en déduit aussi le tableau de variation de f, sachant que a = -3 <0 (1,5 points)
0
0
9
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EXERCICE 2
( 1.5 points)
Soit la fonction définie sur par :: où : désigne un réel
1) Pour quelle valeur de m le nombre 1 est-il une racine de .
Pour que 1 soit racine, il faut que : ::::
(0,25 points)
2) Calculer le discriminant de 3
est un trinôme de la forme avec : ; :
:::: (0,5 points)
3) En déduire les valeurs de m pour lesquelles admet deux racines.
est un trinôme de variable m, avec pour racines m=0 et m = 4, on obtient le tableau de signes suivant pour
:
0
0
:
:
+
0
-
0
+
admet deux racines <=10&>?21@&0? (0,75 point)
EXERCICE 3
( 2.5 points)
On considère l’expression A
)+)B
))+B
1) Déterminer l’ensemble de définition D de cette expression.
On a : =C/ On est amené à étudier le trinôme
de la forme avec a= 1 ; b = -1 et c = -20 d’où le discriminant :
DE, comme l’équation f(x) = 0 admet donc deux solutions
F
et
#
#F
Donc C ,-&. (0,75 points)
2) a) Résoudre dans D : A
On a les équivalences suivantes : A/
On est amené à étudier le trinôme G de la formeG avec a= 1 ; b = -3 et
c = -10 d’où le discriminant :
E, comme l’équation g(x) = 0 admet
donc deux solutions
9
et
#9
mais H
I
JKLMKNHKC
En conclusion l’ensemble S des solutions de A est : $-.(0,75 points)
b) Résoudre dans D : AO
Dans D on a les équivalences :
AO
)+)B
))+B
O
))B
))B
O
P)
Q)
O
)#")!
)#)!
O
)#"
)#
O
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On obtient le tableau de signes :
D’où S’ l’ensemble des solutions de AO : $
I
10&?2?&?21&0? (1 point)
EXERCICE 4
( 2.5 points)
1) On considère l’équation (E) dans : RE
a) Pour quelles valeurs de x l’expression RE est-elle définie ?
RE est définie que si EO
On est amené à étudier le signe du trinôme Ede la forme avec a= -1 ;
b = 2 et c = 9 d’où le discriminant :
E, comme l’équation f(x) = 0 admet
donc deux solutions
#"B
et
"B
On obtient alors le tableau de signes avec a=-1 <0 :
0
0
-
0
+
0
-
Si on note S l’ensemble des solutions de EOon a : $?&1 (1 point)
b) Existe-t-il des solutions à l’équation si S ? Justifier votre réponse.
On sait que la racine carrée d’un nombre réel est toujours positive donc si S alors l’équation (E) n’a pas de
solutions. (0,25 points)
2) a)On suppose à présent que O. Trouver une équation du second degré équivalente à (E) puis la
résoudre.
On peut écrire :
RETE
JL=?&1UVE
JL =?&1
DJL=?&1JL=?&1JL=?&1
V
JL=?&1UOr S ne peut pas convenir et =?&1donc
l’ensemble S’ des solutions de g(x)=0 est : $W-.(1 point)
b) Conclure en donnant l’ensemble des solutions de l’équation initiale.
D’après ce qui précède on peut conclure que l’ensemble des solutions de (E) est $W-.(0,25 point)
0
0
-
-
0 +
+
-
0 + + +
A
+
-
0
+ +
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EXERCICE 5
( 3 points)
Les paraboles X
, X
, X
et X
"
tracées, ci-contre, représentent
quatre fonctions polynômes de degré 2 de la forme :
Compléter le tableau suivant : (0.2 point par réponse)
EXERCICE 6
( 1.5 points)
La trajectoire du ballon dégagé par un gardien de but est modélisée
dans un repère par un arc de parabole. La parabole représente la
fonction définie, pour tout x réel, par :
)
Y
a) A quelle distance du gardien le ballon retombe-t-il ?
On écrit pour x réel:
)
Y
On cherche à résoudre :
Ainsi le ballon retombe à 32 mètres du gardien. (0,75 point)
b) Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon ? (0,75 point)
Ici
)
Y
pour tour réel, de la forme avec a = -1/32 , b = 1 et c = 0
Pour trouver la forme canonique on calcul 4
Z
[Y
/ et
5/
/
/D donc la hauteur maximale atteinte par le ballon est 8 mètres.
EXERCICE 7
( 4 points)
1.
a) (MN) est perpendiculaire à (MQ)=(AB) car MNPQ est un rectangle.
(CH) est également perpendiculaire de (AB) car H est le pied de la hauteur issue de C dans le triangle ABC.
On peut en conclure que les droites (MN) et (CH) sont parallèles car elles sont perpendiculaires à la même
droite (AB).
A, M et H sont alignés et A , N et C sont aussi alignés, le théorème de Thalès nous permet d’écrire :
\]
\^
]_
`^
Soit :
)
8
]_
+
donc ab
cd
e
(1 point)
Courbes
Valeur c
Signe
Signe a
Forme
factorisée
Forme développée
Coordonnées
Sommet
Forme
canonique
X
S
f
S
Pas de forme factorisée
d
cd
gg
&
X
g
h
d
id
j
h
i
&
h
X
f
>
&
g
k
h
g
h
d
h
g
h
X
"
S
i
@
d
h
d
h
)
&
i
@
d
i
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Durée :3 heures
b) (PQ) est perpendiculaire à (MQ)=(AB) car MNPQ est un rectangle.
On a vu que(CH) est également perpendiculaire de (AB). On peut en conclure que les droites (PQ) et (CH)
sont parallèles car perpendiculaires à la même droite (AB).
A,P et C sont alignés et B , Q et H sont alignés, le théorème de Thalès nous permet d’écrire :
lm
l^
nm
`^
Soit :
lm
"
]_
+
(car BH = AB – AH=12-8=4) avec op
cd
e
donc : qr
d
h
(1 point)
c. Les points A, M, Q et B sont alignés et on a : AB=AM + MQ + QB = 12 donc : os
)
donc :
argh
id
h
(0.5 point)
2.
a) On peut écrire que l’aire du rectangle MNQP est :
$optar
cd
e
t6gh
id
h
7
id
@
t6gh
id
h
7(0.5 point)
La fonction S(x) est une fonction trinôme et on a en développant : $
F
8
E
$est un trinôme de la forme$ avec a = -9/8 , b = 9 et c = 0
Pour trouver la forme canonique on calcul 4
F
u
v
et
5
F
8
ED ainsi S admet un maximum 18, car a<0, atteint en dw@(1 point)
1
/
5
100%
