Second degré - Académie en ligne

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Séquence 1 – MA11
Séquence 1
Second degré
Sommaire
Pré-requis
Différentes formes d’une fonction polynôme de degré 2
Équation du second degré
Signe du trinôme
Synthèse du cours
Exercices d’approfondissement
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Séquence 1 – MA11
1Pré-requis
Fonction polynôme de degré 2
 Définitions
La fonction f définie sur  par fx ax bx c :2++ avec a ≠0 est une
fonction polynôme de degré 2 ou fonction trinôme.
Propriété
La courbe représentative de la fonction
fx ax bx c :2++
avec
a ≠0 est une parabole qui a
l’allure suivante :
Si a >0
f est décroissante puis croissante.
La parabole admet un axe de symétrie parallèle à l’axe
des ordonnées.
Allure :
S
b
2a
Le point d’intersection de la parabole avec son axe de
symétrie est le sommet de la parabole.
Le sommet de la parabole a pour abscisse −
b
a
2;
f atteint un minimum en ce point qui vaut
fb
a
−
2.
Si
a <0
f est croissante puis décroissante.
La parabole admet un axe de symétrie parallèle à
l’axe des ordonnées.
Allure :
S
b
2a
Le point d’intersection de la parabole avec son axe de
symétrie est le sommet de la parabole.
Le sommet de la parabole a pour abscisse −
b
a 2 ;
f atteint un maximum en ce point qui vaut
fb
a
−
2.
A
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Séquence 1 – MA11
On obtient le tableau de variation suivant :
x –∞ −
b
a
2+∞
variation de
f
fb
a
−
2
On obtient le tableau de variation suivant :
x –∞ −
b
a
2+∞
variation de
f
fb
a
−
2
Résoudre une équation
a) Equation du 1er degré
Résoudre :
 3–4=0
x  −+=254 x
 3–4=0
3=4
=4
3
x
x
x
S
=
4
3
 −+=
−=−
−=−
=−
−=
=
254
245
21
1
2
1
2
1
2
x
x
x
x
S
b) Equation produit
Résoudre : (2x + 3)(-4x + 7)=0
(2 + 3)( 4 + 7)=0
2 +3=0ou 4 +7=0
2
xx
xx
x
−
−
=3ou 4=-7
=3
2ou
−−
−
x
xx
== 7
4=7 4
3
2;7 4
−
−
=−
S
B
 Exemple
 Solution
 Solution
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Séquence 1 – MA11
c) Quelques équations du second degré
Résoudre :
 340
2
xx −=  x
225 0−=
 340
340
0340
04
3
0
2
xx
xx
xx
xx
S
−=
−=
=−=
==
=
()
;
ou
ou
44
3
x
x
xx
xx
x
2
22
25 0
50
550
50 50
5
−=
−=
−+=
−= +=
=
()()
ou
ou
xx
S
=−
=−
{}
5
55;
 Solution
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Séquence 1 – MA11
2
Différentes formes d’une
fonction polynôme de degré 2
Activité
Étude d’un exemple
On considère la fonction
f définie sur  par fx x x ()=+−253
2 (*)
 Déterminer une nouvelle écriture de
f
Factorisons : 2532 5
2
3
2
25
4
5
4
22
2
xx x x
x
+−= + −
=+
−
22
2
3
2
25
4
25
16
24
16
2
−
=+
−−
=
x
x
++
−
=+
−
5
4
49
16
25
4
49
8
2
2
x (**)
(*) est la forme développée de f
(**) est la forme canonique de
f ( x n’apparaît qu’une seule fois dans l’expression).
A
Activité 1
Regardons
xx
25
2
+ comme le
début du développement d’un carré
( ...) x +2
Ce résultat peut être obtenu
avec la fonction forme_cano-
nique du logiciel Xcas :
Remarque
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