Classes de Première bac pro(Ct+Cr+S)

Classes de Première
bac pro(Ct+Cr+S)
Chapitre 3 :
Equations.Inéquations.Systèmes
Année scolaire 2006-2007
I) Le premier degré : (Rappels)
1) Etude d’une situation
On place à intérêts simples une somme de 3 200 € au taux annuel de 4,5%. On perçoit à
la fin du placement une somme de 3 560 €. Quelle a été la durée du placement ?
Rédaction de la solution :
Soit x la durée du placement :
L’équation est : 3 200 + 3 2000,045x = 3 560
D’où : 3 200 + 144x = 3 560
144x = 3 560 – 3 200
x =
144
360
= 2,5
La durée du placement est de 2 ans et demi.
2) Equations du 1er degré à une inconnue
a) Résolution de ax = b avec a  0 :
Cette équation n’admet qu’une seule solution et x= -
a
b
Exemple : Résoudre 3x = 5.
Alors : x =
3
5
b) Cas général se ramenant au cas précédent :
Exemple :
Résoudre 4x + 5 = 7x – 1
4x-7x = -1 – 5
-3x = -6
x = -6/-3 = 2
La solution est 2
3) Systèmes de deux équations à deux inconnues
Deux méthodes seront étudiées pour résoudre ces systèmes : la substitution et la
méthode par additions .
Exemple :
159
1323
yx
yx
Méthode :
- On choisit une lettre pour désigner la grandeur inconnue
(souvent x)
- On pose l’équation
- On la résout
- On écrit une phrase de conclusion

a) Par substitution :
1)
yx
yx
915
1323
2)
yx
yy
915
132)915(3
3)
yx
yy
915
1322745
4)
yx
y
915
5829
5)
)2(915
2
x
y
6)
3
2
x
y
Donc S= {(3 ;-2)}
b) Par additions :
1)
))3((159
1323
yx
yx
2)
45273
1323
yx
yx
(L2 L1+L2) 3)
5829
1323
y
yx
4)
2
13)2(23
y
x
5)
2
93
y
x
6)
2
3
y
x
Donc S= {(3 ;-2)}
4) Inéquations du 1er degré à une inconnue
Exemple :
Résoudre l’inéquation suivante : 5x + 3  -2
On procède comme pour les équations :
5x  -2 – 3
5x  -5
x  -
5
5
= -1
Représentation des solutions :
- Sous la forme d’intervalle : S = [-1 ;+ [
- Sous la forme d’une droite graduée :
Attention : Quand le nombre devant x est négatif, il faut changer le sens de l’inégalité.
Exemple :
Résoudre –3x+1  4
-3x  3
x  -1
II) Etude du signe d’expressions algébriques
1) Signe d’un produit
Problème : Résoudre l’inéquation suivante :
(3x + 1)(5x – 2)  0
Méthode :
a) On résout 3x + 1 = 0 et 5x – 2 = 0. On trouve x = -1/3 pour la première équation
et x = 2/5 pour l’autre.
b) On place ces deux valeurs dans l’ordre croissant dans un tableau comme suit :
x
- -1/3 2/5 +

c) On complète le tableau précédent de la façon suivante :
x
- -1/3 2/5 +
Signe de 3x+1
- 0 + +
Signe de 5x-2
- - 0 +
Signe de
(3x+1)(5x-2)
+ 0 - 0 +
Explications : On commence par placer les 0 (D’après les calculs du a) )
- Si le coefficient devant x est positif, on met d’abord les signes – jusqu’au 0 puis
après +
- Si le coefficient devant x est négatif, on fait le contraire.
- Ensuite, pour remplir la dernière ligne, on applique la règle des signes de la
multiplication.
d) On note les solutions sous la forme d’ensembles :
S = ] -  ; -1/3] U [2/5;+ [
2) Signe d’un quotient
III) Second degré
1) Trinôme du second degré
On appelle trinôme du second degré une expression algébrique du type ax2 + bx + c avec
a réel  0, b et c des réels quelconques.
Exemple :
3x2+5x-2 est un trinôme du second degré.
2) Equations du second degré se ramenant au 1er degré
Exemples :
a) Résoudre l’équation suivante : x2 – 6x + 9 = 0 (E)
On reconnaît l’identité remarquable (a - b)2 = a2-2ab+b2
En effet, (x-3)2 = x2 – 6x +9
Or (x-3)2 = 0 équivaut à x-3 = 0 D’où x = 3
Donc, l’équation (E) n’admet qu’une seule solution x = 3
b) Résoudre l’équation suivante : x2 + x – 20 = 0
Or, (x – 4)(x+5) = x2 + x –20
D’où résoudre x2 + x – 20 = 0 revient à résoudre (x – 4)(x+5) = 0
Un produit de facteurs est nul si l’un au moins de ses facteurs est nul.
Donc : x - 4= 0 ou x+5= 0. C’est-à-dire : x = 4 ou x = -5
S = {4 ;-5}
3) Cas général
On veut résoudre ax2 + bx + c = 0 avec a  0
Méthode :
1) On calcule  = b2 - 4ac (le discriminant)
2) 3 cas possibles selon les valeurs de  :

- Si  < 0, l’équation n’a pas de solution réelle
- Si  > 0, l’équation admet deux solutions réelles distinctes :
x1 =
a
b2
et x2 =
a
b2
- Si  = 0, l’équation admet une seule solution (=la solution double) : x =
a
b
2
Exemple : On reprend l’exemple précédent : x2+x-20 = 0
On calcule  = b2 – 4ac
= 12 - 41(-20)
= 81 = 92 > 0 donc l’équation admet deux solutions réelles distinctes
x1=
a
b2
=
12 91
= 4 et x2 =
a
b2
=
12 91
= -5
Donc S = {4 ;-5}