FA11.2

FA11.2 Équations
Mathématiques 11H - 11B
THÉORIE : Équations du 2ème degré
Lorsqu’on ne peut pas factoriser simplement, on effectue la complétion du carré.
Voici ce que cela donne avec l’équation 2x2 + x – 3 = 0.
Exemple :
2x2 + x – 3 = 0
x2 +
1
3
x- =0
2
2
x2 +
1
1
1 3
x+
- =0
2
16 16 2
1
4
2
1
x+
4
2
1
4
2
x+
1
4
2
x+
x+
1 5
1 5
+
- x+ =0
4 4
4 4
x+
6
4
-
x+
3
2
- (x - 1) = 0
x+
-
1
3
+
=0
16 2
-
1
24
+
=0
16 16
-
-
25
=0
16
5
4
2
x-
=0
4
=0
4

S= -
3
2
;1
1
FA11.2 Équations
Mathématiques 11H - 11B
Si on applique la méthode ci-dessus à l’équation générale ax2 + bx + c = 0, on trouve
ax2 + b + c = 0
x2 +
b
c
x=0
a
a
x2 +
b
b
b
c
x+
+
=0
2
2
a
a
4a
4a
2
b
x+
2a
2
b
2a
2
b
x+
2a
2
b
x+
2a
2
x+
-
-
2
b
2
4a
b
2
4a
4ac
4a
=0
2
2
-
b - 4ac
4a
=0
2
2
2
b - 4ac
2a
-
2
-
2
√∆
2a
b
√∆
+
2a
2a
x+
b + √∆
2a
- b - √∆
2a
=0
b - 4ac (appelé le discriminant de ax2 + bx + c = 0), on a :
x+
x+
+
2
Si on pose ∆ =
b
x+
2a
c
=0
a
-
2
2
x+
=0
x+
b
√∆
2a
2a
b - √∆
2a
x+
=0
=0
- b + √∆
2a
=0
L’équation ax2 + bx + c = 0 a donc deux solutions :
- x1 =
- b - √∆
2a
- x2 =
- b + √∆
2a
2
FA11.2 Équations
Mathématiques 11H - 11B
On doit alors distinguer 3 cas :
a. si ∆ < 0 : l’équation n’a pas de solution
x1 = x2 = ∅

S=∅
b. si ∆ = 0 : l’équation possède une solution unique :
x1 = x2 =
-b

2a
S=
-b
2a
c. si ∆ > 0 : l’équation possède deux solutions :
x1 =
- b - √∆

2a
S=
- b - √∆ - b + √∆
;
2a
2a
x2 =
- b + √∆

2a
S=
- b + √∆ - b - √∆
;
2a
2a
3