FA11.2

Mathématiques 11H - 11B FA11.2 Équations
1
THÉORIE : Équations du 2
ème
degré
Lorsqu’on ne peut pas factoriser simplement, on effectue la complétion du carré.
Voici ce que cela donne avec l’équation 2x
2
+ x – 3 = 0.
Exemple :
2x
2
+ x – 3 = 0
x
2
+ 1
2x - 3 2 = 0
x
2
+ 1
2x + 1 16 - 1 16 - 3 2 = 0
x + 1
4
2
- 1
16 + 3 2 = 0
x + 1
4
2
- 1
16 + 24 16 = 0
x + 1
4
2
- 25
16 = 0
x + 1
4
2
- 5
4
2
= 0
x + 1
4 + 5 4 - x + 1 4 - 5 4= 0
x + 6
4 - x - 4 4= 0
x + 3
2 - (x - 1) = 0
 S = - 3
2 ;1

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2
Si on applique la méthode ci-dessus à l’équation générale ax2 + bx + c = 0, on trouve
ax2 + b + c = 0
x2 + b
ax - c a = 0
x2 + b
ax + b2
4a2 - b2 4a2 + c
a = 0
x + b
2a2
- b2
4a2 - c
a = 0
x + b
2a2
- b2
4a2 + 4ac 4a2 = 0
x + b
2a2
- b2 - 4ac
4a2 = 0
x + b
2a2
- b2 - 4ac
2a 2
= 0
Si on pose ∆ = b2 - 4ac (appelé le discriminant de ax2 + bx + c = 0), on a :
x + b
2a2
- √∆
2a2
= 0
x + b
2a + √∆ 2ax + b 2a - √∆ 2a = 0
x + b + √∆
2a x + b - √∆ 2a  = 0
x + - b - √∆
2a x + - b + √∆ 2a  = 0
L’équation ax2 + bx + c = 0 a donc deux solutions :
- x1= - b - √∆
2a
- x2= - b + √∆
2a

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3
On doit alors distinguer 3 cas :
a. si ∆ < 0 : l’équation n’a pas de solution
x1 = x2 = ∅  S = ∅
b. si ∆ = 0 : l’équation possède une solution unique :
x1 = x2 = - b
2a  S = - b 2a
c. si ∆ > 0 : l’équation possède deux solutions :
x1= - b - √∆
2a  S = - b - √∆ 2a ; - b + √∆ 2a 
x2= - b + √∆
2a  S = - b + √∆ 2a ; - b - √∆ 2a 