Rappels de trigonométrie

Rappels de trigonométrie
1 Définition des fonctions trigonométriques
Le cercle trigonométrique (cercle de rayon 1) est la situation de base permettant de définir les
fonctions sinus et cosinus pour tout nombre réel.
O
}
}
}
cos(α)
cos(α)
sin(α)
sin(α)
tan(α)
A
α
I(1 ; 0)
J(0 ; 1)
À toute valeur réelle de αcorrespond un point
Asitué sur le cercle trigonométrique. On peut
considéré que celui-ci est repéré par l’angle α.
Il faut remarquer que l’angle est orienté et qu’il
peut donc avoir des valeurs positives ou néga-
tives. À intervalle de 2π, les points sont iden-
tiques, ainsi que les coordonnées !
Si on passe à un cercle de rayon quelconque r, les coordonnées des points sur le cercle s’obtiennent
comme suit :
α
x
y
A
T
r
sin(α)
r·sin(α)
cos(α)
1
r·cos(α)
Les coordonnées du point Arepéré par l’angle
αsont, par définition :
A= (cos(α) ; sin(α))
Le point T, quant à lui, a les coordonnées
T= (r·cos(α) ; r·sin(α))
Il suffit d’appliquer Thalès aux 2 triangles em-
boîtés pour trouver ces dernières coordonnées.
2 Graphes des fonctions sinus et cosinus
Si pour chaque valeur réelle de α, on a une et une seule valeur pour le cosinus (abscisse du point
repéré par α) ou le sinus (ordonnée du point), alors le cosinus et le sinus sont des fonctions qui ont
une représentation graphique. Il est possible de l’obtenir point par point avec un peu de patience en
utilisant simplement la définition de ces fonctions données à partir du cercle trigonométrique.
1

2.1 Représentation graphique de la fonction sinus
Chaque valeur d’angle est reportée sur l’axe des xdu graphique à gauche du cercle trigonométrique.
On choisit bien entendu une certaine échelle pour ces valeurs. L’image de chacun de ces xest donnée
par la hauteur du point repéré par l’angle de valeur α=xsur le cercle trigonométrique.
-
π
12
π
12
π
6
π
6
π
4
π
4
π
3
π
3
5π
12
5π
12
π
2
π
2
−π
12 −π
12
−π
6
−π
6
−π
4
−π
4
−π
3
−π
3
−5π
12
−5π
12
−π
2
−π
2
1
11
0,5
0,5
0
0
−0,5
Si on poursuit la construction de la courbe au-delà de π
2et −π 2jusqu’à respectivement πet −π, on
obtient la courbe pour un tour complet du cercle. Si on insiste en poursuivant avec des angles dépassant
ces valeurs, la courbe se reproduit à l’identique. C’est pourquoi l’on dit que le sinus est une fonction
périodique de période 2π.
-
π
2π
−π
2
−π
1
1
0,5
−0,5
0
2

2.2 Représentation graphique de la fonction cosinus
π
12
π
12
π
6
π
6
π
4
π
4
π
3
π
3
5π
12
5π
12
π
2
π
2
1
1
0,5
0,5
0
0
Pour trouver le graphique de
la fonction cosinus, il faut faire
un travail semblable, mais en
considérant cette fois les abs-
cisses des points sur le cercle,
car c’est ainsi qu’est défini le
cosinus.
Si on poursuit la construc-
tion de la courbe au-delà de
π
2et −π 2jusqu’à respective-
ment πet −π, on obtient la
courbe pour un tour complet
du cercle. Si on insiste en pour-
suivant avec des angles dépas-
sant ces valeurs, la courbe se
reproduit à l’identique. C’est
pourquoi l’on dit que le cosinus
est une fonction périodique de
période 2π.
En appliquant une rotation de 90oà notre graphique, on obtient :
-
π
2π
−π
2
−π
1
1
0,5
−0,5
0
3

3 Valeurs remarquables et propriétés élémentaires
3.1 Valeurs remarquables du sinus, du cosinus et de la tangente
Un triangle rectangle isocèle et un triangle équilatéral ont des angles particuliers. En calculant les
rapports trigonométriques, on trouve les valeurs suivantes
x0π
6
π
4
π
3
π
2
cos x1√3
2
√2
2
1
20
sin x01
2
√2
2
√3
21
tan x0√3 1 √3
3??
3.2 Propriétés élémentaires
Les valeurs du sinus et du cosinus respectent les inégalités
−1≤cos x≤1
−1≤sin x≤1
La périodicité du sinus et du cosinus permet d’écrire pour tout réel xet tout entier relatif k
cos(x+ 2kπ) = cos x
sin(x+ 2kπ) = sin x
Grâce à Pythagore, on vérifie aisément
(cos(x))2+ (sin(x))2= 1 ou , autrement écrit, cos2(x) + sin2(x) = 1
Les signes du cosinus et du sinus sont
OI
J
cos x≥0
sin x≥0
cos x≤0
sin x≥0
cos x≤0
sin x≤0
cos x≥0
sin x≤0
On a aussi :
tan x=sin x
cos x
4

3.3 Angles complémentaires
Deux points du cercle associés à deux angles
complémentaires sont symétriques par rapport
à la droite dd’équation y=x. Pour cette rai-
son, leur coordonnées sont « échangées ». Si
la coordonnées d’un point est (a , b), l’autre a
pour coordonnées (b , a). On a ainsi
cos π
2−x= sin x
sin π
2−x= cos xd:y=x
OI
J
x
M(cos x, sin x)
π
2−x
M′(cos(π/2−x),sin(π/2−x))
3.4 Angles associés
En lisant attentivement le cercle trigonométrique, on trouve les résultats
I
J
x
M
M(cos x, sin x)
π−x
M1
M1(cos(π−x),sin(π−x))
cos(π−x) = −cos x
sin(π−x) = sin x
π+x
M2
M2(cos(π+x),sin(π+x))
cos(π+x) = −cos x
sin(π+x) = −sin x
−x
M3
M3(cos(−x),sin(−x))
cos(−x) = cos x
sin(−x) = −sin x
4 Quelques identités remarquables
cos(α+β) = cos(α) cos(β)−sin(α) sin(β)
sin(α+β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β)
cos(2α) = cos2(α)−sin2(α) = 1 −2 sin2(α) = 2 cos2(α)−1
sin(2α) = 2 sin(α) cos(α)
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