fiche de révision du bac

FICHE DE RÉVISION DU BAC
LE COURS
[Série – Matière – (Option)]
[Titre de la–fiche]
Mathématiques
Séries S – STI2D – STL – pro
Nombres complexes
Note liminaire
Programme selon les sections :
- représentation graphique, opérations, conjugué, module, argument, forme trigonométrique :
toutes sections
- notation exponentielle : STISD – STL - S
Prérequis
Cercle trigonométrique – polynômes du second degré – trigonométrie – exponentielle – valeur
absolue
Plan du cours
1. L’ensemble des nombres complexes
2. Polynômes du second degré
3. Module et argument
4. Notation exponentielle
5. Caractérisation des réels et imaginaires purs
1. L’ensemble des nombres complexes
Définition :
L’ensemble des nombres complexes, noté C, est un ensemble de nombres défini par les propriétés
suivantes :
- C contient R l’ensemble des réels
- les règles de calcul dans C (addition et soustraction, multiplication et division) sont les mêmes que
dans R
- il existe dans C un nombre i tel que
- un nombre complexe z peut s’écrire de manière unique sous la forme
avec a et b réels.
i correspond à un nombre « inventé » :
.
Dans l’ensemble des nombres complexes, un carré n’est plus forcément positif, comme c’est le cas
dans l’ensemble des réels.
La solution de l’équation
a donc deux solutions dans l’ensemble des complexes (alors que
dans l’ensemble des réels, elle n’a pas de solution) :
et
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Nombres complexes
D’où : la solution de l’équation
avec k réel et
a deux solutions dans l’ensemble des
complexes (alors que dans l’ensemble des réels, elle n’a pas de solution) :
et
Rapports d’inclusion :
Les rapports d’inclusion des différents ensembles de nombres sont les suivants :
Définitions :
Soit un complexe
(a et b réels)
- a est appelée partie réelle de z. Elle se note également
.
- b est appelée partie imaginaire de z. Elle se note également
On peut donc écrire z sous la forme :
Un nombre complexe a une unique partie réelle et une unique partie imaginaire.
Ex :
et
Un nombre réel z est un nombre complexe tel que
Un nombre complexe z tel
(partie imaginaire nulle).
(partie réelle nulle) est dit imaginaire pur.
Propriétés :
si et seulement si
et
(parties réelle et imaginaire nulles)
si et seulement si
et
(parties réelles identique et parties imaginaires
identiques)
Opérations :
pour tout réel k
pour
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Nombres complexes
Exemples :
2
Nombre conjugué :
Le nombre conjugué d’un complexe
On le note .
est le nombre complexe égal à
.
Ex :
Propriétés de conjugaison :
pour tout
et
pour
et
d’où
et
2. Polynômes du second degré
Soit P un polynôme du second degré dans C (c’est-à-dire défini pour tout
réels (a, b et c réels) :
-Si
alors le polynôme a deux racines réelles :
-Si
alors le polynôme a une racine double :
) avec coefficients
et
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-Dans R si
alors le polynôme n’a pas de racine.
-Dans C si
alors le polynôme a deux racines complexes :
et
Dans C un polynôme du second degré à coefficients réels est donc toujours factorisable :
Exemple :
donc P a deux racines complexes.
3. Module et argument
Représentation graphique :
Un nombre complexe z peut être représenté par un point M dans un plan muni d’un repère
orthonormé direct
. Le point M est l’image de z dans le plan.
Son abscisse correspond sa partie réelle et son ordonnée à sa partie imaginaire.
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Ex :
Remarque :
-L’image du conjugué d’un complexe est le symétrique du point M par rapport à l’axe des
abscisses.
Ex :
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Module :
Le module d’un complexe
On le note .
est le nombre réel égal à
.
Interprétation géométrique :
Si un nombre complexe z a pour image un point M alors
.
Le module correspond à la distance entre le point M et l’origine du repère.
Si un complexe z a pour image un point M et un complexe z’ un point N alors
(distance entre M et N)
Propriétés :
(
est donc un nombre réel)
pour tout
pour
pour
(inégalité triangulaire)
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Argument :
Un argument d’un complexe ayant pour image un point M est une valeur (en radians) de l’angle
. On le note
.
Remarques :
- Le nombre 0 n’a pas d’argument.
- Un complexe a une infinité d’arguments : si
un argument de z.
est un argument de z, alors
(
) est aussi
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Propriétés :
(
)
(
)
Forme trigonométrique :
Soit un argument de z (
). L’abscisse de M correspond à
On peut donc écrire z sous la forme trigonométrique suivante :
et son ordonnée à
.
Remarque :
Les parties réelle et imaginaire sont bien uniques car
.
et
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Nombres complexes
Exemple :
et
Propriété :
Si deux nombres complexes sont égaux alors ils ont même module et même argument à
près.
Opérations :
pour
pour
pour tout
4. Notation exponentielle
La notation exponentielle d’un complexe
est
.
Ex :
Remarques :
- Un nombre complexe de module 1 est de la forme
.
- On a :
- Le nombre 0 n’a pas de notation exponentielle (il n’a pas d’argument).
Propriété :
Si
avec
et
alors
et
.
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Séries S – STI2D – STL – pro
Nombres complexes
Conjugué :
Le conjugué d’un nombre complexe
est
.
Opérations :
pour
pour
pour tout
5. Caractérisation des réels et imaginaires purs
Réels :
Un nombre z est réel si et seulement si
Un nombre z est réel si et seulement si
Un nombre z est réel si et seulement si
.
.
ou
(
).
Représentation graphique :
L’image d’un réel dans le plan muni d’un repère orthonormé direct
abscisses.
est un point sur l’axe des
Remarque :
Le module d’un nombre réel est égal à sa valeur absolue.
Ex :
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Nombres complexes
Imaginaires purs :
Un nombre z est imaginaire pur si et seulement si
.
Un nombre z est imaginaire pur si et seulement si
.
Un nombre z est imaginaire pur si et seulement si
ou
(
).
Représentation graphique :
L’image d’un imaginaire pur dans le plan muni d’un repère orthonormé direct
sur l’axe des ordonnées.
est un point
Remarque :
Le nombre 0 est à la fois un réel et un imaginaire pur.
-
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