fiche de révision du bac

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FICHE DE RÉVISION DU BAC
Mathématiques – Séries S – STI2D – STL – pro
Nombres complexes
LE COURS
[Série – Matière – (Option)]
[Titre de la fiche]
1
Note liminaire
Programme selon les sections :
- représentation graphique, opérations, conjugué, module, argument, forme trigonométrique :
toutes sections
- notation exponentielle : STISD – STL - S
Prérequis
Cercle trigonométrique – polynômes du second degré – trigonométrie – exponentielle – valeur
absolue
Plan du cours
1. L’ensemble des nombres complexes
2. Polynômes du second degré
3. Module et argument
4. Notation exponentielle
5. Caractérisation des réels et imaginaires purs
1. L’ensemble des nombres complexes
Définition :
L’ensemble des nombres complexes, noté C, est un ensemble de nombres défini par les propriétés
suivantes :
- C contient R l’ensemble des réels
- les règles de calcul dans C (addition et soustraction, multiplication et division) sont les mêmes que
dans R
- il existe dans C un nombre i tel que
- un nombre complexe z peut s’écrire de manière unique sous la forme avec a et b réels.
i correspond à un nombre « inventé » : .
Dans l’ensemble des nombres complexes, un carré n’est plus forcément positif, comme c’est le cas
dans l’ensemble des réels.
La solution de l’équation a donc deux solutions dans l’ensemble des complexes (alors que
dans l’ensemble des réels, elle n’a pas de solution) : et

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D’où : la solution de l’équation avec k réel et a deux solutions dans l’ensemble des
complexes (alors que dans l’ensemble des réels, elle n’a pas de solution) : et
Rapports d’inclusion :
Les rapports d’inclusion des différents ensembles de nombres sont les suivants :
Définitions :
Soit un complexe (a et b réels)
- a est appelée partie réelle de z. Elle se note également .
- b est appelée partie imaginaire de z. Elle se note également
On peut donc écrire z sous la forme :
Un nombre complexe a une unique partie réelle et une unique partie imaginaire.
Ex : et
Un nombre réel z est un nombre complexe tel que (partie imaginaire nulle).
Un nombre complexe z tel (partie réelle nulle) est dit imaginaire pur.
Propriétés :
si et seulement si et (parties réelle et imaginaire nulles)
si et seulement si et (parties réelles identique et parties imaginaires
identiques)
Opérations :
pour tout réel k
pour

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3
Exemples :
2
Nombre conjugué :
Le nombre conjugué d’un complexe est le nombre complexe égal à .
On le note .
Ex :
Propriétés de conjugaison :
pour tout
et pour
et d’où et
2. Polynômes du second degré
Soit P un polynôme du second degré dans C (c’est-à-dire défini pour tout ) avec coefficients
réels (a, b et c réels) :
-Si alors le polynôme a deux racines réelles : et
-Si alors le polynôme a une racine double :

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-Dans R si alors le polynôme n’a pas de racine.
-Dans C si alors le polynôme a deux racines complexes :
et
Dans C un polynôme du second degré à coefficients réels est donc toujours factorisable :
Exemple :
donc P a deux racines complexes.
3. Module et argument
Représentation graphique :
Un nombre complexe z peut être représenté par un point M dans un plan muni d’un repère
orthonormé direct . Le point M est l’image de z dans le plan.
Son abscisse correspond sa partie réelle et son ordonnée à sa partie imaginaire.

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Ex :
Remarque :
-L’image du conjugué d’un complexe est le symétrique du point M par rapport à l’axe des
abscisses.
Ex :