Fiche 10 : Probabilités

Fiche Corrigés
Nº : 32010
MATHEMATIQUES
Série S
Fiche 10 : Probabilités
Calculer une probabilité simple
Exercice 1
 150 
Le nombre de cas possibles est le nombre de façons de choisir deux objets parmi 150, c’est-à-dire 
 = 11175.
 2 
Le nombre de cas favorables peut être obtenu de la manière suivante : le client est mécontent s’il obtient au moins un carton
avarié.
On considère la partition suivante des cartons de lait : 142 cartons non avariés et 8 avariés.
Le nombre de cas favorables est obtenu en prenant :
• 1 carton parmi les 8 et 1 carton parmi 142 ;
• ou 2 cartons parmi les 8 et 0 carton parmi 142.
Le nombre de cas favorables est donc :
 8   142   8   142 
 
 +  
 = 1164.
1 1   2 0 
1164
 0.1042.
La probabilité cherchée est
11175
Opérations sur les événements et probabilité
Exercice 2
Le mot « hasard » nous indique l’équiprobabilité des tirages.
Il suffit de dénombrer les cas possibles et les cas favorables.
L’ordre dans lequel il choisit ses cartes n’a pas d’importance et les répétitions ne sont pas possibles (tirage simultané).
n
p
Donc on dénombrera avec   .
 4   28 
  
3 2
1512
 0, 0075.
a) p1 =     =
 32 
201376
 
5
 4   28 
  
1 4
81900
 0, 4067.
b) p 2 =     =
 32 
201376
 
5
 4   4   24 
   
3 1 1
384
 0, 0019.
c) p3 =       =
 32 
201376
 
5
d) Il suffit de calculer
P ((3rois ) ∪ (1dame )) = P (3rois ) + P (1dame ) − P ((3rois ) ∩ (1dame )) = p1 + p 2 − p3  0, 0075 + 0, 4067 − 0, 0019 = 0, 4123.
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1
Fiche Corrigés
Nº : 32010
MATHEMATIQUES
Série S
Calcul d’une probabilité conditionnelle
Exercice 3
P (Dp / Rp ) =
P (Dp ∩ Rp )
.
P (Rp )
 4   4   24 
   
1 1 3
32384
 0,1608.
P (Dp ∩ Rp ) =       =
 32 
201376
 
5
 4   28 
  
1 4
81900
 0, 4067 .
P (Rp ) =     =
 32 
201376
 
5
P (Dp / Rp ) =
P (Dp ∩ Rp ) 0,1608

 0, 3954.
P (Rp )
0, 4067
Reconnaître une probabilité conditionnelle
Exercice 4
On désigne par A l’événement « être un tireur entraîné » et par G l’événement « atteindre la cible ».
Ce qui conditionne la réussite au tir sur la cible est de savoir si le tireur est entraîné ou ne l’est pas. La lecture de l’énoncé nous
indique que « si l’on sait que le tireur est entraîné… » on écrira donc P (?/ A ) car ce qui se trouve à droite du signe / est ce que
l’on connaît avec certitude.
La probabilité 80 % est celle de G/A d’où P (G / A ) = 80 % = 0,8.
Probabilités composées
Exercice 5
Il s’agit cette fois de calculer P (A ∩ G ) on sait d’après la formule que P (A ∩ G ) = P (A / G ) × P (G ) = P (G / A ) × P (A ).
Or P (G / A ) = 0,8
d’où P (A ∩ G ) = P (G / A ) × P (A ) = 0,8 × 0, 4 = 0, 32.
Utiliser la formule des probabilités totales
Exercice 6
Nous sommes dans le cas de la partition {A, A} car un participant est entraîné ou non d’après l’énoncé.
P (G ) = P (G / A ) × P (A ) + P (G / A )× P ( A )
P (G ) = 0,8 × 0, 4 + 0, 5 × 0, 6 = 0, 62
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Fiche Corrigés
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MATHEMATIQUES
Série S
Reconnaître une loi binomiale
Exercice 7
L’épreuve de Bernoulli est un tir sur la cible : elle est atteinte avec une probabilité p = 0,62 ( Méthode : « Utiliser la formule des
probabilités totales », fiche exercices n°10 « Probabilités ».).
Cette épreuve est répétée 10 fois (n = 10), de manière indépendante.
On cherche la probabilité d’avoir 7 succès.
 10 
7
3
 (0, 62 ) (1 − 0, 62 )  0, 2319.
7
 
Donc P (X = 7 ) = 
Etude d’une variable aléatoire discrète
Déterminer une loi de probabilité
Exercice 8
On effectue au minimum 1 lancer et au maximum 5 lancers donc les valeurs prises par X sont 1, 2, 3, 4, 5.
1
2
1 1 1
désigne l’événement « obtenir pile, face », donc P (X = 2 ) = P (P, F ) = P (P ) × P (F ) = × = , car les
2 2 4
• L’événement (X = 1) signifie que l’on a obtenu face au premier lancer, donc P (X = 1) = .
• L’événement (X = 2 )
événements P et F sont indépendants .
• L’événement (X = 3) désigne l’événement « obtenir pile, pile, face »,
donc P (X = 3 ) = P (P, P, F ) = P (P ) × P (P ) × P (F ) =
1 1 1 1
× × = .
2 2 2 8
• De même P (X = 4 ) = P (P, P, P, F ) = P (P ) × P (P ) × P (P ) × P (F ) =
1 1 1 1
1
× × × = .
2 2 2 2 16
• L’événement (X = 5 ) est la réunion des deux événements incompatibles : « obtenir 4 fois pile puis une fois face » et « obtenir
5 fois pile ».
Donc P (X = 5 ) =
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
× × × × + × × × × = .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 16
On remarquera que la somme des probabilités vaut bien 1.
Déterminer une fonction de répartition
Exercice 9
Si x < 1 alors FX (x) = 0.
1
2
1 1 3
Si 2 ≤ x < 3 alors FX (x) = + = .
2 4 4
1 1 1 7
Si 3 ≤ x < 4 alors FX (x) = + + = .
2 4 8 8
1 1 1 1 15
= .
Si 4 ≤ x < 5 alors FX (x) = + + +
2 4 8 16 16
1 1 1 1
1
= 1.
Si 5 ≤ x alors FX (x) = + + + +
2 4 8 16 16
Si 1 ≤ x < 2 alors FX (x) = .
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Fiche Corrigés
Nº : 32010
MATHEMATIQUES
Série S
La représentation graphique est une fonction en escalier :
Calculer une espérance 
Exercice 10
i=k
E (X ) = ∑ x i × pi = 1 ×
i =1
1
1
1
1
1 31
+ 2× + 3× + 4× + 5×
= .
2
4
8
16
16 16
Calculer une variance, un écart-type
Exercice 11
i=k
∑ (x ) p
2
i
i
= 12 ×
i =1
1
1
1
1
1 83
+ 22 × + 32 × + 42 × + 52 ×
= .
2
4
8
16
16 16
La variance V (X ) =
L’écart-type vaut
2
83  31 
367
−  =
.
16  16 
256
367
367
=
.
256
16
Etude d’une variable aléatoire continue
Densité de probabilité
Exercice 12
1. L’énoncé nous indique P ([0; 200[) = 0, 5.
On va calculer P ([0; 200[).
On applique la formule P ([0; 200[) =
∫
200
0
200
λe −λx dx =  −e −λx  0 = −e −200 λ + 1.
Il vient −e −200 λ + 1 = 0, 5 ,
e −200 λ = 0, 5 ,
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Fiche Corrigés
Nº : 32010
MATHEMATIQUES
Série S
1
−200λ = ln (0, 5 ) = ln   = − ln (2 ),
2
λ=
− ln (2 ) ln (2 )
=
.
−200
200
Calculer une probabilité dans le cas continu
Exercice 13
2. On utilise l’événement contraire :
P ([300; +∞[) = 1 − P ([0;300[) = 1 − ∫ λe −λx dx ;
300
0
P ([0;300[) = 1 −  −e −λx  0 = 1 +  e −λx  0 = 1 + e −300 λ − e0 = 1 + e −300 λ − 1 = e −300 λ
300
300
On remplace λ par sa valeur, il vient e
−300 ln( 2)
200
= 0, 35.
Calculer une espérance mathématique avec une loi continue
Exercice 14
A
3. a) ∫0 λxe −λx dx =
∫
A
0
x(λe −λx )dx qui s’intègre par parties :
une primitive de x  λe −λx est x  −e −λx et la dérivée de x  x est x  1 ;
d’où
∫
A
0
A
A
A
e −λA
1
e −λA 1
 e −λx 
x(λe −λx )dx) =  − xe −λx  0 + ∫ e −λx dx = −Ae −λA − 0 + 
= −Ae −λA +
−
= − Ae −λA −
+ .

0
−λ −λ
λ
λ
 −λ  0
En réduisant au même dénominateur, on obtient le résultat attendu.
b) En utilisant les résultats sur les croissances comparées des fonctions puissances et exponentielles, il vient : Alim
(Ae−λA ) = 0
→+∞
1
200
 e −λA 
= 289.
 = 0 donc d m = =
λ ln(2)
 λ 
et Alim
→+∞ 
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