Fiche 10 : Probabilités

© Tous droits réservés Studyrama 2008
MATHEMATIQUES Série S
Nº : 32010
Fiche téléchargée sur www.studyrama.com 1
Fiche Corrigés
Fiche 10 : Probabilités
Calculer une probabilité simple
Exercice 1
Le nombre de cas possibles est le nombre de façons de choisir deux objets parmi 150, c’est-à-dire
150 11175.
2
=
Le nombre de cas favorables peut être obtenu de la manière suivante : le client est mécontent s’il obtient au moins un carton
avarié.
On considère la partition suivante des cartons de lait : 142 cartons non avariés et 8 avariés.
Le nombre de cas favorables est obtenu en prenant :
• 1 carton parmi les 8 et 1 carton parmi 142 ;
• ou 2 cartons parmi les 8 et 0 carton parmi 142.
Le nombre de cas favorables est donc :
8 142 8 142 1164.
1120
+=
La probabilité cherchée est
1164 0.1042.
11175
Opérations sur les événements et probabilité
Exercice 2
Le mot « hasard » nous indique l’équiprobabilité des tirages.
Il suft de dénombrer les cas possibles et les cas favorables.
L’ordre dans lequel il choisit ses cartes n’a pas d’importance et les répétitions ne sont pas possibles (tirage simultané).
Donc on dénombrera avec
n.
p
a)
1
4 28
32
1512
p 0, 0075.
32 201376
5
==
b)
2
4 28
14
81900
p 0, 4067.
32 201376
5
==
c)
3
4424
311 384
p 0, 0019.
32 201376
5
==
d) Il suft de calculer
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P3 1 P3 P1 P3 1rois dame rois dame rois dame∪=+−∩=
123
p p p 0, 0075 0, 4067 0, 0019 0, 4123.+− + − =

© Tous droits réservés Studyrama 2008
MATHEMATIQUES Série S
Nº : 32010
Fiche téléchargée sur www.studyrama.com 2
Fiche Corrigés
Calcul d’une probabilité conditionnelle
Exercice 3
( ) ( )
( )
P Dp Rp
P Dp / Rp P Rp
∩
=
.
( )
4424
113 32384
P Dp Rp 0,1608
32 201376
5
∩= =
.
( )
4 28
14
81900
P Rp 0, 4067
32 201376
5
==
.
( ) ( )
( )
P Dp Rp 0,1608
P Dp / Rp 0,3954
P Rp 0, 4067
∩
=
.
Reconnaître une probabilité conditionnelle
Exercice 4
On désigne par A l’événement « être un tireur entraîné » et par G l’événement « atteindre la cible ».
Ce qui conditionne la réussite au tir sur la cible est de savoir si le tireur est entraîné ou ne l’est pas. La lecture de l’énoncé nous
indique que « si l’on sait que le tireur est entraîné… » on écrira donc
( )
P ? / A
car ce qui se trouve à droite du signe / est ce que
l’on connaît avec certitude.
La probabilité 80 % est celle de G/A d’où
( )
PG/A
= 80 % = 0,8.
Probabilités composées
Exercice 5
Il s’agit cette fois de calculer
( )
PAG∩
on sait d’après la formule que
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
PA G PA/G PG PG/A PA.∩=×=×
Or
( )
P G / A 0, 8=
d’où
( ) ( ) ( )
P A G P G / A P A 0, 8 0, 4 0, 32.∩= ×=×=
Utiliser la formule des probabilités totales
Exercice 6
Nous sommes dans le cas de la partition
{ }
A,A
car un participant est entraîné ou non d’après l’énoncé.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
PG PG/A PA PG/A PA=×+×
( )
P G 0, 8 0, 4 0, 5 0, 6 0, 62=×+×=

© Tous droits réservés Studyrama 2008
MATHEMATIQUES Série S
Nº : 32010
Fiche téléchargée sur www.studyrama.com 3
Fiche Corrigés
Reconnaître une loi binomiale
Exercice 7
L’épreuve de Bernoulli est un tir sur la cible : elle est atteinte avec une probabilité p = 0,62 ( Méthode : « Utiliser la formule des
probabilités totales », che exercices n°10 « Probabilités ».).
Cette épreuve est répétée 10 fois (n = 10), de manière indépendante.
On cherche la probabilité d’avoir 7 succès.
Donc
( ) ( ) ( )
73
10
P X 7 0, 62 1 0, 62 0, 2319.
7
== −
Etude d’une variable aléatoire discrète
Déterminer une loi de probabilité
Exercice 8
On effectue au minimum 1 lancer et au maximum 5 lancers donc les valeurs prises par X sont 1, 2, 3, 4, 5.
• L’événement
( )
X1=
signie que l’on a obtenu face au premier lancer, donc
( ) 1
PX1.
2
==
• L’événement
( )
X2=
désigne l’événement « obtenir pile, face », donc
( ) ( ) ( ) ( ) 111
PX 2 PP,F PP PF ,
224
== = × =×=
car les
événements P et F sont indépendants .
• L’événement (X = 3) désigne l’événement « obtenir pile, pile, face »,
donc
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1111
PX 3 PP,P,F PP PP PF .
2228
== = × × =××=
• De même
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1111 1
PX 4 PP,P,P,F PP PP PP PF .
222216
= = = × × × =×××=
• L’événement
( )
X5=
est la réunion des deux événements incompatibles : « obtenir 4 fois pile puis une fois face » et « obtenir
5 fois pile ».
Donc
( ) 11111 11111 1
PX 5 .
2222222222 16
==××××+××××=
On remarquera que la somme des probabilités vaut bien 1.
Déterminer une fonction de répartition
Exercice 9
Si x < 1 alors
X
F (x) 0.=
Si 1 ≤ x < 2 alors
X
1
F(x) .
2
=
Si 2 ≤ x < 3 alors
X
113
F (x) .
244
=+=
Si 3 ≤ x < 4 alors
X
1117
F (x) .
2488
=++=
Si 4 ≤ x < 5 alors
X
1 1 1 1 15
F (x) .
2 4 8 16 16
=+++=
Si 5 ≤ x alors
X
11111
F (x) 1.
2 4 8 16 16
=++++=

© Tous droits réservés Studyrama 2008
MATHEMATIQUES Série S
Nº : 32010
Fiche téléchargée sur www.studyrama.com 4
Fiche Corrigés
La représentation graphique est une fonction en escalier :
Calculer une espérance
Exercice 10
( ) ik
ii
i1
1 1 1 1 1 31
EX x p 1 2 3 4 5 .
2 4 8 16 16 16
=
=
= ×=×+×+×+× +× =
∑
Calculer une variance, un écart-type
Exercice 11
( )
ik 222222
ii
i1
1 1 1 1 1 83
xp1 2 3 4 5 .
2 4 8 16 16 16
=
=
=×+×+×+×+×=
∑
La variance
( )
2
83 31 367
VX .
16 16 256
=−=
L’écart-type vaut
367 367 .
256 16
=
Etude d’une variable aléatoire continue
Densité de probabilité
Exercice 12
1. L’énoncé nous indique
[ [
( )
P 0; 200 0,5.=
On va calculer
[ [
( )
P 0; 200 .
On applique la formule
[ [
( ) 200 200
x x 200
0
0
P 0; 200 e dx e e 1.
−λ −λ − λ
= λ = − =− +
∫
Il vient
200
e 1 0, 5
−λ
−+=
,
200
e 0 , 5
−λ
=
,

© Tous droits réservés Studyrama 2008
MATHEMATIQUES Série S
Nº : 32010
Fiche téléchargée sur www.studyrama.com 5
Fiche Corrigés
( ) ( )
1
200 ln 0, 5 ln ln 2
2
− λ= = =−
,
( ) ( )
ln 2 ln 2
200 200
−
λ= =
−
.
Calculer une probabilité dans le cas continu
Exercice 13
2. On utilise l’événement contraire :
[ [
( ) [ [ ( ) 300 x
0
P 300; 1 P 0;300 1 e dx
−λ
+∞=− =−λ
∫
;
[ [
( ) 300 300
xx
00
P 0;300 1 e 1 e
−λ −λ
=−− =+
300 0 300 300
1e e1e1e
−λ −λ −λ
=+ −=+ −=
On remplace
λ
par sa valeur, il vient
300 ln(2 )
200
e 0,35.
−
=
Calculer une espérance mathématique avec une loi continue
Exercice 14
3. a)
AA
xx
00
xe dx x( e )dx
−λ −λ
λ=λ
∫∫
qui s’intègre par parties :
une primitive de
x
xe
−λ
λ
est
x
xe
−λ
−
et la dérivée de
xx
est
x1
;
d’où
AA
A
xxx
0
00
x( e )dx) xe e dx
−λ −λ −λ
λ =− +
∫∫
A
xAA
AAA
0
e e1 e1
Ae 0 Ae Ae .
−λ −λ −λ
−λ −λ −λ
=− − + =− + − =− − +
−λ −λ −λ λ λ
En réduisant au même dénominateur, on obtient le résultat attendu.
b) En utilisant les résultats sur les croissances comparées des fonctions puissances et exponentielles, il vient :
( )
A
A
l i m Ae 0
−λ
→+∞ =
et
A
A
e
lim 0
−λ
→+∞
=
λ
donc
m
1 200
d 289.
ln(2)
===
λ