Les fibres optiques

Les fibres optiques :
Supplément d’électromagnétisme appliqué
Par
Pierre-André Bélanger
Université Laval, Canada

Table des matières
Anatomie d’une fibre optique 1
Un matériau fort complexe.....................................................................................................3
La fabrication d’une fibre optique.........................................................................................5
Du multimode au monomode.................................................................................................7
Le défi des lignes transocéaniques .........................................................................................8
Combattre la non linéarité par la non linéarité.....................................................................8
1 Les communications optiques 10
1.1 Introduction................................................................................................................10
1.2 Description du contenu...............................................................................................12
1.3 Utilisation de ce manuel..............................................................................................14
2 Rappel de la théorie de l’électromagnétisme 16
2.1 Équations de Maxwell.................................................................................................16
2.2 Équations d’onde (à second membre en
ε
)...............................................................19
2.3 Électromagnétisme. Propagation d’ondes planes électromagnétiques (TEM).........20
2.4 Réflexion et réfraction à l’interface ...........................................................................22
2.4.1 Onde incidente polarisée dont le vecteur E est normal au plan d’incidence............24
2.4.2 Onde incidente polarisée dont le vecteur E est parallèle au plan d’incidence .........27
2.4.3 Coefficients de réflexion et de transmission de la puissance....................................29
2.5 Réflexion totale interne; champ évanescent...............................................................31
2.6 Déplacement de Goss-Hänchen..................................................................................35
2.7 Dispersion....................................................................................................................38
2.7.1 Dispersion chromatique..........................................................................................39
2.7.2 Propagation d’une impulsion dans un milieu dispersif............................................43
2.7.3 Propagation d’une impulsion gaussienne ................................................................46
2.7.4 Dispersion matériau et largeur de bande .................................................................50
2.7.5 Propagation d’une impulsion dans un milieu dispersif et non linéaire .....................52
3Modes guidés d’une structure diélectrique plane 59
3.1 Diélectrique symétrique à trois couches :analyse globale..........................................59
3.1.1 Modèle mathématique (étape 1)..............................................................................60
3.1.2 Modes TE et TM (étape 2)......................................................................................62
3.1.3 Sélection de la forme appropriée de la solution (étape 3)........................................63
3.1.4 Calcul du mode TE pair (étape 4)...........................................................................64
3.1.5 Analyse des modes obtenus et de leurs conditions de coupure (étape 5)..................70
3.1.6 Relation de dispersion (étape 6)..............................................................................73
3.1.7 Modèle géométrico-ondulatoire..............................................................................81
3.1.8 Effet Goss-Hänchen et le modèle géométrico-ondulatoire.......................................85
4Modes guidés d’une structure diélectrique plane 90
4.1 Équations de base et contraintes physiques...............................................................90
4.1.1 Modèle mathématique (étape 1)..............................................................................91
4.1.2 Condition physique de la symétrie de révolution (étape 2)......................................92
4.1.3 Solution de l’équation radiale (étape 3) ..................................................................93
4.1.4 Conditions aux limites à l’interface coeur-gaine (étape 4).......................................94

iii
4.1.5 Équation caractéristiqueet solutions modales (étape 5) ...........................................96
4.1.6 Solution numérique de l’équation caractéristique (étape 6)...................................100
4.2 Fibre monomode.......................................................................................................103
4.3 Modes polarisés linéairement (LP)...........................................................................107
4.3.1 Nomenclature des modes LP ................................................................................112
5 La fibre à gradient d’indice 124
5.1 Modes polarisés linéairement (LPl,p)........................................................................125
5.2 Fibre à profil parabolique généralisée.....................................................................126
5.2.1 Solution mathématique du profil...........................................................................127
5.2.2 Étude comparative de divers profils......................................................................129
5.3 Modes LP Laguerre-Gauss.......................................................................................134
5.4 Modes LP et optique géométrique............................................................................137
5.5 Fibre à profil d’indice parabolique..........................................................................144
5.6 Le modèle de l’optique géométrique........................................................................146
5.7 Fibre à profil optimisé..............................................................................................147
5.8 Largeur de bande et fibre optimale..........................................................................150
A. Dérivation de l’équation de propagation d’une impulsion 155
A.1 Milieu dispersif linéaire............................................................................................155
A.2 Milieu dispersif non linéaire.....................................................................................156
B. Guides plans couplé :Mode TE pair 157
B.1 Solution exacte pour les guides plans symétriques couplés.....................................157
B.2 Solution de faible couplage.......................................................................................161
C. Fonctions mathématiques 163
C.1 Fonctions de Bessel :rappel ......................................................................................163
C.1.1 Fonctions de Bessel et fonctions de Hankel..........................................................163
C.2 Comportement asymptotique...................................................................................167
C.3 Relations de récurrence............................................................................................168
C.4 Fonctions de Bessel modifiées...................................................................................168
D. Approximation de l’optique géométrique 172
D.1 Équation de l’iconale................................................................................................172
D.2 Le vecteur de Poynting en optique géométrique......................................................173
D.3 Équation des rayons lumineux.................................................................................174
D.4 Propagation dans un milieu d’indice n(r)................................................................176
E. Profil optimal181
E.1 Le profil SELFOC (sech(αr))...................................................................................182
E.2 Profil optimal et rayons hélicoïdaux ........................................................................186
BIBLIOGRAPHIE 187

1
Anatomie d’une fibre optique
Elle est lumineuse, résistante et de moins en moins coûteuse : Que peut-on demander de plus ? La fibre
optique, ce petit bijou technologique de la taille d’un cheveu, n’a pas fini de nous étonner et de révolutionner le
monde des télécommunications.
Lorsque vous naviguez sur Internet et que vous faites l’acquisition d’une image contenant quelques
centaines de mégabits (106 bits), vous constatez avec dépit que votre résidence est encore reliée au réseau par cette
bonne vieille paire de fils de cuivre de la compagnie de téléphone. L’image ne vient pas vite, vraiment pas vite. Mais
patience ! Déjà, la solution à ce délai, soit la fibre optique, gagne du terrain. Au cours de l’année 1997, on prévoit en
installer pas moins de 25 millions de kilomètres dans le monde. De l’Afrique au Canada, en passant par l’Europe, et
de Montréal à Toronto ou à New York, toutes les communications passent maintenant par des lignes en fibre optique
qui se rendent de plus en plus près de chez vous. Et si, pour des raisons de coûts de l’installation (entre 1500$ et
2500$ par résidence), la fibre optique « résidentielle» reste pour l’instant exclue, peut-être verrons-nous bientôt les
compagnies de téléphone et de câble s’entendre pour remplacer le fil de cuivre par un câble coaxial, ce qui
augmenterait déjà de beaucoup la qualité du service. L’autre solution serait d’envisager que les services de téléphone
et de télévision soient transmis par ondes de haute fréquence (comme avec votre téléphone sans fil) à partir d’une
station locale câblée par fibre optique.
Nos systèmes de télécommunications transmettent l’information en code binaire, c’est-à-dire sous la forme
de séquences synchronisées de « 0 » et de « 1 », chaque unité d’information (0 ou 1) correspondant à un bit. Pour
obtenir un grand débit, il faut transmettre plusieurs bits par seconde. Par exemple, une conversation téléphonique de
grande qualité requiert un taux de transmission d’environ 64 X 103 bits/s. Pour une petite pièce musicale d’une
qualité comparable à celle d’un disque compact, on parle d’un taux de 600 X 103 bits/s et pour une image de couleur
qualité, de 45 X 106 bits/s.
De ce fait, un fil de cuivre ne peut supporter simultanément que quelques communications, contre une
centaine pour le câble et… 300 000 pour la fibre optique. Mais la valeur d’une voie de communication ne se mesure
pas uniquement par sa capacité, mais également par sa qualité de transmission de l’information. Pour évaluer ce
critère, on utilise aujourd’hui un facteur de qualité (BL) qui correspond au nombre de bits/s (B) que l’on peut
transmettre, multiplié par la distance (L) à laquelle on doit régénérer le signal à cause de sa distorsion ou de son
atténuation. La figure 1 montre l’évolution de ce facteur de qualité en fonction des années. On remarque à quel point
l’arrivée des nouvelles technologies a modifié le facteur BL depuis l’invention du télégraphe.
Pour obtenir un grand débit de transmission, il faut envoyer des impulsions le plus courtes possible, chaque
impulsion correspondant à un bit. Or, plus une impulsion est brève, plus son contenu spectral, c’est-à-dire l’ensemble
de ses fréquences, est étendu, entre autres vers les hautes fréquences, ce qui n’est pas sans causer un problème.
Comme le montre la figure 2, si la paire de fils de cuivre atténue peu les basses fréquences utilisées pour transmettre
la voie humaine, elle abaisse dangereusement les hautes fréquences nécessaires à la transmission d’une image vidéo.
C’est pourquoi les compagnies responsables de la transmission du signal de télévision ont adopté le guide d’onde
coaxial. Toutefois, même dans un câble coaxial, les hautes fréquences finissent par être atténuées, provoquant ainsi
une détérioration rapide du signal. On comprend alors pourquoi les compagnies doivent réactiver leurs signaux en
installant des amplificateurs et des régénérateurs tout le long des rues qu’elles desservent. On comprend aussi que le
câble coaxial ne puisse être utilisé dans le cas d’un service téléphonique à très grand débit pour des distances
transocéaniques. Le coût d’installation d’équipements pour « rafraîchir » le signal à des distances inférieures au
kilomètre deviendrait, en effet, inacceptable. Bref, la solution qui s’impose est l’utilisation de fibres optiques.
Avec les fibres optiques, l’information n’est plus transmise sous forme électrique, mais lumineuse. Le
guidage de la lumière par réflexion totale interne est connu depuis fort longtemps. Il a souvent été utilisé dans des
œuvres d’art – par exemple, des fontaines où la lumière est guidée à l’intérieur des jets d’eau. L’invention du laser à
semi-conducteur, au début des années 60, a incité les scientifiques à envisager le développement d’un système de
communication optique où le signal lumineux généré par le laser voyagerait à l’intérieur d’une fibre optique. Mais la
route était encore longue avant que cette idée n’aboutisse au système que nous connaissons aujourd’hui.

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