corrigé

Lycée Naval, Spé 2.
Devoir non surveillé n◦06 (correction)
Pouvoir des pointes
1. Le problème est invariant par toute translation selon l’axe (Oz), le potentiel
ne dépend que des variables ret θ.
2. Dans une région vide de charges, le potentiel électrostatique vérifie l’équation de La-
place ∆V= 0 ; à l’aide de l’expression proposée pour le potentiel et de l’expression
du laplacien en coordonnées cylindriques, on obtient :
∀θ∈]0, β[,∀r∈[0,+∞[,0=∆V=1
r
d
dr rdf(r) dr g(θ) + f(r) r2g00(θ) (1)
Ce résultat est en particulier vrai ∀θ∈]0, β[, pour un r0tel que f(r0)6= 0 (la
fonction f n’est pas identiquement nulle sinon le potentiel serait uniforme dans le
domaine). On en déduit :
∀θ∈]0, β[, g00 (θ) = −r0
f(r0)r0
df
dr (r=r0)g(θ)
On peut donc poser ∀θ∈]0, β[, g00 (θ) = cste ×g(θ).
On reporte alors ce résultat dans l’équation (1), en particularisant à un θ0tel que
g(θ0)6= 0 :
∀r∈]0,+∞[,d
dr rdf(r) dr =−f(r) r×g00(θ0) g(θ0)=−f(r) r×cste
3. La fonction g vérifie l’équation d’un oscillateur harmonique g00(θ) + ν2g(θ)=0, on
en déduit :
∀θ∈]0, β[, g(θ) = Acos (νθ) + Bsin (νθ)
L’équation différentielle sur fpeut se réécrire :
∀r∈]0,+∞[, rf00(r) + f0(r)−ν2f(r)
r= 0
On cherche alors des solution de la forme rpce qui impose :
p(p−1)rp−1+prp−1−ν2rp−1= 0 ⇔p(p−1) + p−ν2= 0
Ce qui impose p2=ν2⇔p=±νet finalement :
∀r∈]0,∞[, f(r) = arν+br−ν
4. À l’origine le potentiel vaut V0et ne doit donc pas diverger, la constante bde la
fonction fest nécessairement nulle.
La continuité du potentiel impose :
∀r∈]0,∞[, V (r, 0) = V(r, β) = V0
Comme V(r, θ) = V0+f(r)g(θ)avec fqui ne s’annule pas, la seule solution est
d’imposer g(0) = g(β) = 0.
—g(0) = A= 0 ;
—g(β) = Bsin (νβ)=0 ⇔ν=mπ
βavec m∈N?(car ν > 0).
On en déduit finalement :
∀r∈[0,∞[, f(r) = armπ/β et ∀θ∈]0, β[, g(θ) = Bsin mπ
βθm∈N?
5. L’équation de Poisson étant linéaire, une somme de solutions reste solution de
l’équation et la solution la plus générale pour le problème posé est de la forme :
V(r, θ) = V0+
∞
X
m=1
amrmπ/β sin mπθ
β
6. Avec ~ E=−−−→ grad(V), on en déduit en coordonnées cylindriques :
Er(r, θ) = −∂V
∂r ⇒Er(r, θ) = −πa1 βrπ/β−1sin πθ β
Eθ(r, θ) = −1
r
∂V
∂θ ⇒Eθ(r, θ) = −πa1 βrπ/β−1cos πθ β
7. Eθ(r, β/2) = 0 . Le plan d’équation θ=β/2est un plan de symétrie de la distri-
bution de charges ; en un point de ce plan ; le champ électrique est contenu dans ce
plan et donc selon la direction radiale.
Er(r, 0) = Er(r, β) = 0 ; les plans θ= 0 et θ=βsont des équipotentielles, le champ
électrique en un point de ces plans est nécessairement perpendiculaire à ces plans
et donc selon ~uθ.
8. Pour une pointe (π/β −1) <0,lim
r→0k~
Ek= +∞. Dans le cas d’une pointe, on
observe une divergence de la norme du champ électrique qui peut donc dépasser la
valeur du champ disruptif.
Remarque : dans les cas réalistes, le champ électrique ne diverge pas, mais tend
vers une valeur très grande car l’extrémité de la pointe contient toujours quelques
atomes et n’est pas un point au sens mathématique du terme.
9. Les conducteurs étant respectivement au potentiel nul et au potentiel V0= 1,0 kV,
pour un espacement d= 1 m, si le champ électrique était uniforme, il aurait pour
intensité k~ Ek= 1,0 kV/m(cas d’un condensateur plan).
Ici, il apparaît clairement que le champ électrique est plus important au voisinage
de la pointe, ce qui est confirmé par le resserrement des équipotentielles au voisinage
de la pointe.
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