— g(0) = A = 0 ; — g(β) = B sin (νβ) = 0 Lycée Naval, Spé 2. Devoir non surveillé n◦ 06 (correction) Pouvoir des pointes ν= mπ β avec m ∈ N ? (car ν > 0). On en déduit finalement : ∀r ∈ [0, ∞[ , f (r) = armπ/β 1. Le problème est invariant par toute translation selon l’axe (Oz), le potentiel ne dépend que des variables r et θ. et ∀θ ∈ ]0, β[ , g(θ) = B sin mπ θ β m ∈ N? 5. L’équation de Poisson étant linéaire, une somme de solutions reste solution de l’équation et la solution la plus générale pour le problème posé est de la forme : ∞ X mπθ mπ/β V (r, θ) = V0 + am r sin β m=1 2. Dans une région vide de charges, le potentiel électrostatique vérifie l’équation de Laplace ∆V = 0 ; à l’aide de l’expression proposée pour le potentiel et de l’expression du laplacien en coordonnées cylindriques, on obtient : df (r) f (r) 1 d r g(θ) + 2 g 00 (θ) (1) ∀θ ∈ ]0, β[ , ∀r ∈ [0, +∞[, 0 = ∆V = r dr dr r −→ ~ = −− 6. Avec E grad(V ), on en déduit en coordonnées cylindriques : πa1 π/β−1 πθ ∂V ⇒ Er (r, θ) = − r sin Er (r, θ) = − ∂r β β πa1 π/β−1 πθ 1 ∂V ⇒ Eθ (r, θ) = − r cos Eθ (r, θ) = − r ∂θ β β Ce résultat est en particulier vrai ∀θ ∈ ]0, β[, pour un r0 tel que f (r0 ) 6= 0 (la fonction f n’est pas identiquement nulle sinon le potentiel serait uniforme dans le domaine). On en déduit : r0 df ∀θ ∈ ]0, β[ , g 00 (θ) = − r0 (r = r0 ) g(θ) f (r0 ) dr On peut donc poser ∀θ ∈ ]0, β[ , g 00 (θ) = cste × g(θ) . 7. Eθ (r, β/2) = 0 . Le plan d’équation θ = β/2 est un plan de symétrie de la distribution de charges ; en un point de ce plan ; le champ électrique est contenu dans ce plan et donc selon la direction radiale. On reporte alors ce résultat dans l’équation (1), en particularisant à un θ0 tel que g(θ0 ) 6= 0 : d df (r) f (r) g 00 (θ0 ) f (r) ∀r ∈]0, +∞[, r =− × =− × cste dr dr r g(θ0 ) r Er (r, 0) = Er (r, β) = 0 ; les plans θ = 0 et θ = β sont des équipotentielles, le champ électrique en un point de ces plans est nécessairement perpendiculaire à ces plans et donc selon ~uθ . 3. La fonction g vérifie l’équation d’un oscillateur harmonique g 00 (θ) + ν 2 g(θ) = 0, on en déduit : ∀θ ∈ ]0, β[ , g(θ) = A cos (νθ) + B sin (νθ) ~ = +∞ . Dans le cas d’une pointe, on 8. Pour une pointe (π/β − 1) < 0, lim kEk r→0 observe une divergence de la norme du champ électrique qui peut donc dépasser la valeur du champ disruptif. Remarque : dans les cas réalistes, le champ électrique ne diverge pas, mais tend vers une valeur très grande car l’extrémité de la pointe contient toujours quelques atomes et n’est pas un point au sens mathématique du terme. L’équation différentielle sur f peut se réécrire : ∀r ∈]0, +∞[, rf 00 (r) + f 0 (r) − ν 2 ⇔ f (r) =0 r On cherche alors des solution de la forme rp ce qui impose : p(p − 1)rp−1 + prp−1 − ν 2 rp−1 = 0 ⇔ p(p − 1) + p − ν 2 = 0 Ce qui impose p2 = ν 2 ⇔ p = ±ν et finalement : ∀r ∈ ]0, ∞[ , f (r) = arν + br−ν 9. Les conducteurs étant respectivement au potentiel nul et au potentiel V0 = 1, 0 kV, pour un espacement d = 1 m, si le champ électrique était uniforme, il aurait pour ~ = 1, 0 kV/m (cas d’un condensateur plan). intensité kEk Ici, il apparaît clairement que le champ électrique est plus important au voisinage de la pointe, ce qui est confirmé par le resserrement des équipotentielles au voisinage de la pointe. 4. À l’origine le potentiel vaut V0 et ne doit donc pas diverger, la constante b de la fonction f est nécessairement nulle. La continuité du potentiel impose : ∀r ∈ ]0, ∞[ , V (r, 0) = V (r, β) = V0 Comme V (r, θ) = V0 + f (r)g(θ) avec f qui ne s’annule pas, la seule solution est d’imposer g(0) = g(β) = 0. 1