Probabilités.pdf

Lyée Vitor Hugo Besançon
PC*
Année 2016-2017
PROBABILITÉS
Épreuves orales
1 Centrale-Supéle
Soit N la variable aléatoire donnant le nombre d'÷ufs pondus par une poule.
On suppose que N suit la loi de Poisson de paramètre λ.
La probabilité pour qu'un ÷uf élose est p ∈]0, 1[.
On note D la variable aléatoire donnant le nombre de desendants d'une poule.
1. Quel est le nombre moyen d'÷ufs pondus par la poule ? (Proposer deux preuves.)
2. Déterminer la loi de D.
3. Les variables aléatoires D et N sont-elles indépendantes ? Qu'en est-il de N − D et D ?
4. Comment retrouve-t-on la loi de N à partir de elles de N − D et D ?
2 Mines-Ponts
Soit X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans N∗ telles que X ⩽ Y .
On suppose que pour tout n ∈ N∗ , la loi onditionnelle de X par rapport à l'événement [Y = n] est
la loi uniforme sur {1, . . . , n}.
Montrer que Y − X + 1 et X suivent la même loi.
3 Mines-Ponts
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi géométrique de paramètre p ∈]0, 1[.
On pose U = ∣X − Y ∣ et V = min(X, Y ).
1. Trouver la loi du ouple (U, V ).
2. En déduire les lois de U et V .
4 Mines-Ponts
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N.
Montrer que la série ∑ P (X > n) onverge si et seulement si X admet une espérane.
Montrer que dans e as, E(X) = ∑ P (X > n).
+∞
n=0
5 Mines-Ponts
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N∗ admettant une espérane.
1
Montrer que E ( X1 ) ⩾ E(X)
et étudier le as d'égalité.
6 Mines-Ponts
Soit X une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre λ.
1
).
1. Caluler E ( X+1
2. Quelle est la probabilité que X prenne une valeur paire ? impaire ?
7 EIVP
On donne n variables aléatoires X1 , . . . , Xn indépendantes suivant toutes la loi B(p).
Donner les lois de Y = ∏ Xk , W = max Xk et Z = max (Xk+1 − Xk ).
n
k=1
1⩽k⩽n
1⩽k⩽n
1
8 Centrale-Supéle
Deux entreprises doivent livrer haune 2N pièes à un entrept avant un temps T . L'entreprise 1
envoie deux amions, ontenant haun N pièes, et l'entreprise 2 en envoie un seul. Le temps
néessaire à l'arrivée d'un amion est ompté en unités arbitraires, entières.
On note X1 , X2 , X3 les variables aléatoires donnant le temps d'arrivée des amions. Elles sont
1
mutuellement indépendantes et suivent haune une loi géométrique de paramètre p = .
T
1. Déterminer les lois suivies par E1 = min(X1 , X2 ) et E2 = max(X1 , X2 ).
2. Quelle est la probabilité que le amion de la seonde entreprise arrive après les deux amions
de la première ?
9 CCP
On dispose de deux urnes U1 et U2 et de deux jetons. Initialement, les deux jetons sont plaés dans
les urnes, l'une pouvant être vide. On hoisit aléatoirement l'une des deux urnes. Si elle n'est pas
vide, on prend un jeton de ette urne que l'on replae aléatoirement dans une des deux urnes et si
elle est vide, on fait la même opération sur l'autre urne.
Pour tout n ∈ N, on note Xn la variable aléatoire représentant le nombre de jetons dans U1 au bout
de n tirages.
⎛P (Xn = 0)⎞
⎛p ⎞
⎛1/2 1/4
0 ⎞
On note pour tout n ∈ N, Un = ⎜P (Xn = 1)⎟. On pose U0 = ⎜q ⎟ et A = ⎜1/2 1/2 1/2⎟.
⎝P (Xn = 2)⎠
⎝r ⎠
⎝ 0
1/4 1/2⎠
1. (a) Donner une base du noyau de A et en déduire une valeur propre.
(b) Montrer que A admet trois valeurs propres distintes a < b < c et qu'elle est diagonalisable.
() Trouver un veteur propre assoié à c.
⎛1⎞
(d) On admet que ⎜ 0 ⎟ est un veteur propre assoié à b. Donner une matrie P dont la
⎝−1⎠
première ligne ne omporte que des 1 et telle que P −1 AP soit diagonale.
2. (a) Montrer que pour tout n ∈ N, Un+1 = AUn et en déduire la loi de Xn .
⎛ l0 ⎞
(b) Justier que (Un ) admet une limite ⎜l1 ⎟.
⎝ l2 ⎠
Reonnaître la loi de la variable aléatoire X vériant ∀k ∈ {0, 1, 2}, P (X = k) = lk .
10 CCE Mines
Soit (Yn )n∈N∗ une suite de variables aléatoires disrètes indépendantes, de même loi et possédant un
moment d'ordre 2.
n
Pour tout n ∈ N∗ , on pose Sn = ∑ Yk .
k=1
1. Montrer que pour tout a > 0, P (∣
Sn
V (Y1 )
− E(Y1 )∣ ⩾ a) ⩽
.
n
na2
2. On tire ave remise une boule parmi deux rouges et trois noires. Quand a-t-on au moins 95%
de hane d'avoir une proportion de boules rouges tirées omprise entre 0,35 et 0,45 ?
2
11 Centrale-Supéle
Soit (Xn )n⩾1 une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la même loi.
Pour tout n ∈ N∗ , on a P (Xn = −1) = p et P (Xn = 1) = 1 − p ave p ∈ [0, 1].
On pose pour tout n ∈ N∗ , Zn = X1 X2 . . . Xn et an = P (Zn = −1).
1. Exprimer an+1 en fontion de an et en déduire an pour tout n ∈ N∗ .
2. Caluler l'espérane de Zn pour tout n ∈ N∗ .
3. Caluler la ovariane de Zn et Zn+1 pour tout n ∈ N∗ .
Donner Cov(Z1 , Z2 ). Qu'en déduit-on ?
12 Centrale-Supéle
Une urne ontient des boules noires et des boules blanhes dans une proportion p ∈]0, 1[ pour les
boules noires. On réalise des tirages ave remise. On note X la longueur de la première suite de boules
de la même ouleur, Y la longueur de la seonde suite.
Par exemple, si on tire blanhe, blanhe, noire, noire, noire, blanhe... alors X prend la valeur 2 et
Y la valeur 3.
Par onvention, on note [X = 0] l'événement la première suite ne s'arrête jamais et [Y = 0]
l'événement la seonde suite ne s'arrête jamais .
1. Pour tout (k, h) ∈ (N∗ )2 , érire l'événement (X = k, Y = h) omme réunion de deux événements
disjoints et en déduire sa probabilité.
2. Déterminer la loi de X et aluler son espérane.
3. Déterminer la loi de Y et aluler son espérane.
13 Centrale-Supéle/CCP
Soit p variables aléatoires X1 , . . . , Xp admettant une variane.
On note C = (Cov(Xi , Xj ))(i,j)∈J1,pK2 la matrie des ovarianes.
d
⎛u 1 ⎞
1. Soit u = ⎜ ⋮ ⎟ ∈ Mp,1 (R). Montrer que V (∑ uk Xk ) = uT Cu.
k=1
⎝u p ⎠
2. Montrer que C est diagonalisable à valeurs propres positives.
3. Montrer que l'appliation qui à u assoie V ( ∑ uk Xk ) est ontinue.
d
k=1
4. Montrer qu'elle admet sur la boule unité fermée un maximum L que l'on alulera.
14 Centrale-Supéle
On onsidère n points d'un plan que l'on olorie ave p rayons de ouleurs diérentes de manière
aléatoire (ave p > n ⩾ 2).
1. Quelle est la probabilité d'avoir au moins deux points de même ouleur ?
2. Caluler Pn,p (k) la probabilité d'avoir k ouleurs diérentes dans les as : k = 1, k = 2 et k = n.
3. Soit Sn,k le nombre de surjetions d'un ensemble à n élements dans un ensemble à k éléments.
Trouver un réel a tel que Sn,k = (Sn−1,k + Sn−1,k−1 )a.
Quel est le lien entre Sn,k et Pn,p (k) ?
15 X-ESPCI
Cinq personnes sont assises autour d'une table. Deux d'entre elles, voisines, détiennent haune un
ballon. À haque tour, haque personne lane son ballon à son voisin de gauhe ou de droite ave la
même probabilité 12 .
Le jeu s'arrête quand l'un des onvives reçoit les deux ballons.
Déterminer le nombre moyen de tours néessaires pour que le jeu s'arrête.
3