OPERATIONS SUR LES VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES

Opérations sur les variables aléatoires discrètes 145
OPERATIONS SUR LES VARIABLES
ALEATOIRES DISCRETES
MARCHE D’APPROCHE
4. COUPLE DE VARIABLES ALEATOIRES
4. 1. Le rouge et le noir
Cet exemple sera repris dans tout le chapitre.
Une urne contient 10 boules : 5 blanches, 3 rouges et 2 noires. De cette urne on extrait 3
boules, successivement et sans remise.
Soit X le nombre de boules rouges et Y le nombre de boules noires figurant dans
l’échantillon.
! Soit Ω l’ensemble des échantillons de 3 boules. Le nombre de ces échantillons est
C10
3, c’est à dire 120.
! Soit X(Ω) et Y(Ω) les univers-images respectifs de X et de Y.
Alors X(Ω) = ’0; 3÷ et Y(Ω) = ’0; 2÷.
! A chaque échantillon précédent est associé un couple (xi, yi) où xi∈X(Ω) et yi∈Y(Ω).
Soit i∈’0; 3÷ et j∈ ’0; 2÷. Calculons la probabilité, notée pij, de l’événement
(X = xi)∩(Y = yj) . Alors pCCC
C
ij
ijij
=××
−−
325
3
10
3.
Ce qui permet de dresser le tableau suivant où, volontairement pour faciliter les
additions, nous n’avons pas simplifié les fractions :
Y
X0 1 2 Sommes
0 10/120 20/120 5/120 35/120
1 30/120 30/120 3/120 63/120
2 15/120 6/120 0 21/120
3 1/120 0 0 1/120
Sommes 56/120 56/120 8/120 1
L’ensemble {(xi,
yj); pi j} est la loi de probabilité du couple (X, Y) de variables
aléatoires que l’on appelle aussi loi conjointe des variables aléatoires X et Y.
7
«Rien n’est moins sûr que
l’incertain.»
Pierre DAC

Chapitre 7
146
4. 2. Lois marginales
! Dans l’exemple précédent, intéressons-nous uniquement à la variable X.
etc....

Chapitre 7
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3. SOMME ET PRODUIT DE VARIABLES ALEATOIRES
3. 1. Somme de deux variables aléatoires
! Le rouge et le noir
♦ Les variables aléatoires X et Y sont telles que X(Ω) = ’0; 3÷ et Y(Ω) = ’0; 2÷.
Soit Z = X + Y. Alors Z(Ω) = ’0, 5÷.
La loi de probabilité de Z est définie par : pZ k p X i Y j
ijk
( ) [( ) ( )]== =∩=
+=
∑.
Par exemple : p(Z = 2) = p[(X = 0) ∩(Y = 2)] + p[(X = 1)∩(Y = 1)] + p[(X = 2)∩(Y = 0)],
d’où pZ()== + + =25
120 30 120 15 120 5 12 .
En utilisant cette méthode on obtient la loi de probabilité de X + Y.
zk012345Somme
pk1/12 5/12 5/12 1/12 0 0 1
♦ Le calcul des espérances mathématiques des variables X, Y, et X + Y conduit à :
E(X) = 9
10 , E(Y) = 3 5 et E(X + Y) = 3 2, donc E(X + Y) = E(X) + E(Y).
♦ Le calcul des variances des variables aléatoires X, Y et X + Y conduit à :
VX VY VX Y() , () ( )==+=
49
100 13 25 17 6
et , donc V(X + Y) ≠ V(X) + V(Y).
! La dame de cœur
En reprenant la même démarche avec cet exemple on obtient :
♦ La loi de probabilité de X + Y
zk012
Somme
pk21/32 10/32 1/32 1
♦ Les espérances mathématiques
E(X) = 1
8, E(Y) = 1 4 et E(X + Y) = 3 8, donc E(X + Y) = E(X) + E(Y).
♦ Les variances
VX VY VX Y() , () ( )== +=
7
64 3 16 19 64
et , donc V(X + Y) = V(X) + V(Y).
! Généralisation
♦ Quelles que soient les variables aléatoires discrètes X et Y : E(X + Y) = E(X) + E(Y).
En effet, si X et Y sont définies sur le même univers Ω, alors X + Y est définie sur la
même univers et : EX Y X Y p() ()(){}
+= + ×
∈
∑
ωω
ω Ω
af.
Alors EX Y X p Y p() (){} (){} += × + ×
∈∈
∑∑
ωω ωω
ωω ΩΩ
af af) = E(X) + E(Y).