Variables aléatoires discrètes : propriétés 1 Linéarité 2

Variables aléatoires discrètes : propriétés
1
Linéarité
Soit X la variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :
xi 15
20
25 30
35
pi 0, 1 0, 25 0, 2 0, 3 0, 15
Calculer E(X) et V (X).
Soit Y la variable aléatoire telle que Y = 2X + 3. Donner la loi de probabilité de Y sous forme
de tableau puis calculer E(Y ) et V (Y ). Que peut-on remarquer ?
En utilisant la définition de l’espérance mathématique et de la variance, démontrer que
si Y = aX + b avec a et b réels, alors E(Y ) = aE(X) + b
et
V (Y ) = a2 V (X)
Cas particuliers :
• E(X) = m et Y = X − m : calculer E(Y )
On dit que la variable aléatoire Y est centrée.
X −m
• E(X) = m V (X) = σ 2 et Y =
: calculer E(Y ) et V (Y ).
σ
On dit que la variable aléatoire Y est centrée et réduite.
2
Indépendance et somme de variables aléatoires discrètes
2.1
Exemple
On considère 10 boules : 2 boules portent le numéro 10, 3 boules portent le numéro 8 et 5 boules
portent le numéro 3.
1. On tire au hasard 2 boules, successivement et sans remise.
X est la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le numéro de la première boule tirée.
Y est la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le numéro de la deuxième boule tirée
multiplié par 0,9.
Donner les lois de probabilité de X et Y puis calculer E(X), V (X), E(Y ) et V (Y ).
Z est la variable aléatoire définie par Z = X + Y .
Donner la loi de probabilité de Z sous forme de tableau puis calculer E(Z) et V (Z). Que peut-on
remarquer ?
On dit que deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes si pour tout réels a et b les
événements (X = a) et (Y = b) sont indépendants.
Prouver que les variables aléatoires X et Y ci-dessus ne sont pas indépendantes.
1
2. On tire au hasard 2 boules, successivement et avec remise.
X est la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le numéro de la première boule tirée Y est
la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le numéro de la deuxième boule tirée multiplié
par 0,9. Donner les lois de probabilité de X et Y puis E(X), V (X), E(Y ) et V (Y ).
Z est la variable aléatoire définie par Z = X + Y .
Donner la loi de probabilité de Z sous forme de tableau puis calculer E(Z) et V (Z). Que peut-on
remarquer ?
2.2
Propriétés
Si X et Y sont deux variables aléatoires alors :
E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
et
E(X − Y ) = E(X) − E(Y )
Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes alors :
V (X + Y ) = V (X) + V (Y )
et
V (X − Y ) = V (X) + V (Y )
On démontre le résultat suivant :
si X1 , X2 , . . . , Xn sont n variables aléatoires de même espérance mathématique m et de même
écart-type σ et si S est la variable aléatoire définie par S = X1 + X2 + . . . Xn alors E(S) = nm et
√
σ(S) = σ n.
2