Variables aléatoires discrètes : propriétés 1 Linéarité 2

Variables aléatoires discrètes : propriétés
1 Linéarité
Soit Xla variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :
xi15 20 25 30 35
pi0,1 0,25 0,2 0,3 0,15
Calculer E(X)et V(X).
Soit Yla variable aléatoire telle que Y= 2X+ 3. Donner la loi de probabilité de Ysous forme
de tableau puis calculer E(Y)et V(Y). Que peut-on remarquer?
En utilisant la définition de l’espérance mathématique et de la variance, démontrer que
si Y=aX +bavec aet bréels, alors E(Y) = aE(X) + bet V(Y) = a2V(X)
Cas particuliers :
•E(X) = met Y=X−m: calculer E(Y)
On dit que la variable aléatoire Yest centrée.
•E(X) = m V (X) = σ2et Y=X−m
σ: calculer E(Y)et V(Y).
On dit que la variable aléatoire Yest centrée et réduite.
2 Indépendance et somme de variables aléatoires discrètes
2.1 Exemple
On considère 10 boules : 2 boules portent le numéro 10, 3 boules portent le numéro 8 et 5 boules
portent le numéro 3.
1. On tire au hasard 2 boules, successivement et sans remise.
Xest la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le numéro de la première boule tirée.
Yest la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le numéro de la deuxième boule tirée
multiplié par 0,9.
Donner les lois de probabilité de Xet Ypuis calculer E(X),V(X),E(Y)et V(Y).
Zest la variable aléatoire définie par Z=X+Y.
Donner la loi de probabilité de Zsous forme de tableau puis calculer E(Z)et V(Z). Que peut-on
remarquer?
On dit que deux variables aléatoires Xet Ysont indépendantes si pour tout réels aet bles
événements (X=a)et (Y=b)sont indépendants.
Prouver que les variables aléatoires Xet Yci-dessus ne sont pas indépendantes.
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2. On tire au hasard 2 boules, successivement et avec remise.
Xest la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le numéro de la première boule tirée Yest
la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le numéro de la deuxième boule tirée multiplié
par 0,9. Donner les lois de probabilité de Xet Ypuis E(X),V(X),E(Y)et V(Y).
Zest la variable aléatoire définie par Z=X+Y.
Donner la loi de probabilité de Zsous forme de tableau puis calculer E(Z)et V(Z). Que peut-on
remarquer?
2.2 Propriétés
Si Xet Ysont deux variables aléatoires alors :
E(X+Y) = E(X) + E(Y)et E(X−Y) = E(X)−E(Y)
Si Xet Ysont deux variables aléatoires indépendantes alors :
V(X+Y) = V(X) + V(Y)et V(X−Y) = V(X) + V(Y)
On démontre le résultat suivant :
si X1,X2,...,Xnsont nvariables aléatoires de même espérance mathématique met de même
écart-type σet si Sest la variable aléatoire définie par S=X1+X2+. . . Xnalors E(S) = nm et
σ(S) = σ√n.
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