Nombre dérivé Tangente et approximation affine

Nombre dérivé
Définitions :
• une fonction est dite dérivable en lorsque admet une limite finie quand tend vers 0.
• (lire « prime de ») est alors le nombre dérivé de en
Remarques :
1. est l’accroissement moyen de entre et ; c’est le coefficient directeur de la sécante .
2. Au lieu de il revient au même d’écrire
Tangente et approximation affine
Définition : la tangente en un point d’une courbe est la position limite, quand elle existe, de la sécante
lorsque le point de tend vers le point .
Propriété : si est dérivable en , alors sa courbe admet une tangente en
son coefficient directeur est et son équation est .
Définitions :
• est l’ approximation affine de (lorsque est) au voisinage de
•Autrement dit, au voisinage de , l’accroissement des images est
approximativement proportionnel à l’accroissement de la variable ;
le coefficient de proportionnalité est le nombre dérivé ;
l’approximation est d’autant meilleure que est proche de .
Remarques :
1. On dit aussi «tangente en » au lieu de «tangente en »
La tangente en est la représentation graphique de la fonction affine
2. La courbe d’une fonction peut admettre une tangente (verticale) sans être dérivable (voir fonction racine carrée en 0).
variable h (ou x)
a
f(a+h)
f(a)+f'(a)×h h = 0.6
f(a)
f'(a)×h
h
a+h
Différence : 2.38
Valeur exacte : f(a+h) = 12.98
Approximation affine : f(a)+f ' (a) h =10.6
a = 2
ST
1
f ' (a)
A
M
N
P
f
a
f a h+( ) f a( )−
h
---------------------------------
h
f′a( ) f a h+( ) f a( )−
h
---------------------------------
h0→
lim=
f
a
f
a
f a h+( ) f a( )−
h
---------------------------------
f
a
a h+
S
f′a( ) f a h+( ) f a( )−
h
---------------------------------
h0→
lim=
f′a( ) f x( ) f a( )−
x a−
-----------------------
x a→
lim=
A
C( )
AM( )
M
C( )
A
f
a
C
f
A a f a( );( )
f′a( )
y f a( ) f′a( ) x a−( )×+=
f x( ) f a( ) f′a( ) x a−( )+≈
f a h+( ) f a( ) f′a( ) h×+≈
f x( )
f a h+( )
x
h
a
0
f a h+( ) f a( )−f′a( ) h×≈
accroissement
de l’image coefficient de accroissement
de la variable
proportionnalité
f x( ) f a( )−f′a( ) x a−( )×≈
a
f′a( )
x
h
a
0
a
A a f a( ),( )
T
a
x f a( ) f′a( ) x a−( )+SQQT

Nombre dérivé - Tangente et approximation affine - Exemple
Montrons que est dérivable en
; est donc dérivable en 2 et .
L’équation de la tangente en 2 est
Remarques :
1. La valeur de de devient aussi
proche de que l’on veut, à condition de
prendre suffisamment proche de 0. C’est ce
qui permet d’écrire .
2. On ne pouvait pas obtenir
en remplaçant par dans car n’existe pas.
3. L’erreur commise dans l’approximation est la différence entre la valeur exacte et la valeur prise
comme approximation : on constate que cette erreur devient très petite lorsque est proche de : plus précisément, cette
différence devient très petite par rapport à .
4. Si on regarde la courbe et la tangente dans un voisinage de plus en plus restreint autour du point de tangence, on constate
qu’elles tendent à se confondre : l’approximation de la fonction par la fonction affine est de plus en plus précise
Calculs annexes
f x( ) x
3
6x−11+=
f
2
f2h+( ) f2( )−
h
--------------------------------- 7 6h6h
2
h
3
7−+ + +
h
----------------------------------------------------
h6 6h h
2
+ +( )
h
------------------------------------ 6 6h h
2
+ +
=
= =
f2( ) 2
3
6 2×− 11+ 8 12−11+ 7= = =
f2h+( ) 2 h+( )
3
6 2 h+( )− 11+
2h+( ) 4 4h h
2
+ +( ) 12 6h+[ ]− 11+
8 8h2h
2
4h4h
2
h
3
12−6h−11+ + + + + +
7 6h6h
2
h
3
+ + +
=
=
=
=
f2h+( ) f2( )−
h
---------------------------------
h0→
lim 6 6h h
2
+ +
h0→
lim 6 6 0×0
2
+ + 6= = =
f
f′2( ) 6=
y f 2( ) f′2( ) x2−( )×+=
y7 6 x2−( )+=
y6x5−=
⇔
⇔(équation réduite)
h
6
+
6
h
+
h
2
f
H
2
+
h
L
f
H
2
L
+
6
∗
h
Différence
0.8 11.44 16.152 11.8 4.352
0.5 9.25 11.625 10. 1.625
0.1 6.61 7.661 7.6 0.061
0.01 6.0601 7.060601 7.06 0.000601
0.001 6.006001 7.006006001 7.006 6.000999997 × 10
− 6
0.0001 6.00060001 7.00060006 7.0006 6.000099972 × 10
− 8
6 6h h
2
+ +
6
h
6 6h h
2
+ +
h0→
lim 6=
f2h+( ) f2( )−
h
---------------------------------
h0→
lim
h
0
f2h+( ) f2( )−
h
---------------------------------
0
0
---
f2h+( )
f2( ) f′2( ) h×+
h
0
h
- 4 - 2 2 4
- 20
- 10
10
20
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
2
4
6
8
10
12
1.9 2.0 2.1 2.2
6.5
7.0
7.5
8.0
1.96 1.98 2.00 2.02 2.04 2.06
6.8
6.9
7.0
7.1
7.2
7.3
4×
4×
4×
f

Fonction dérivée
Définition : une fonction est dérivable sur une partie si elle est dérivable en tout .
La fonction , définie sur , est alors appelée fonction dérivée de .
Remarque : presque toutes les fonctions rencontrées au lycée sont dérivables sur les intervalles sur lesquels elles sont définies.
Deux exceptions : les fonctions et (valeur absolue), non dérivables en 0.
Dérivées des fonctions usuelles
Propriétés :
, et désignent des constantes réelles ; un entier ;
Opérations sur les dérivées
Propriétés : ( et désignent des fonctions alors que , et désignent des nombres réels)
Si et sont définie et dérivables sur alors , , , , et sont également
dérivables lorsqu’elles sont définies et on a les formules suivantes
Remarque : on peut aussi mémoriser les cinq premières formules sous forme plus condensée mais moins explicite
sur Si alors
Remarques :
cas particuliers :
si alors (fonction constante)
si alors
on retrouve tous ces résultats à partir d’une seule formule
valable pour :
Si alors
etc...
c.à.d.
etc...
même formule avec en écrivant
Si alors Validité
produit par une constante
sur
somme
différence
produit
quotient sur privé des valeurs de telles
que
composée avec une
fonction affine sur ensemble des valeurs de
telles que
I
a I∈
a f ′a( )SQQT
I
f
x xSQQT
x xSQQT
k
a
b
n
f x( ) …=
f′x( ) =
ax b+
a
f x( ) k=
f′x( ) 0=
f x( ) x=
f′x( ) 1=
x
2
2x
n∈
f x( ) x
n
=
f′x( ) n x
n1−
×=
x
3
3x
2
∗
0{ }\
1
x
---
1−
x
2
------
1
x
2
-----
2−
x
3
------
1
x
3
-----
3−
x
4
------
0∞+;] [
x
1
2x
----------
n1
2
---
=
x x
1 2/
=
x( )sin
x( )cos
x( )cos
x( )sin−
u
v
k
a
b
u
v
I
k u×
u v+
u v−
u v×
u
v
---
x v ax b+( )SQQT
f x( ) …=
f′x( ) …=
k u×x( )
k u′x( )×
I
u x( ) v x( )+
u′x( ) v′x( )+
u x( ) v x( )−
u′x( ) v′x( )−
u x( ) v x( )×
u'x( ) v x( )×u x( ) v'x( )×+
u x( )
v x( )
---------
u'x( ) v x( )×u x( ) v'x( )×−
v x( )[ ]
2
-----------------------------------------------------------
I
x
v x( ) 0=
v ax b+( )
v′ax b+( ) a×
D
x
ax b+I∈
ku( )′ ku′=
u v+( )′ u′v′+=
u v−( )′ u′v′−=
uv( )′ u′v uv′+=
u
v
---
 ′u′v uv′−
v
2
----------------------
=

Fonction dérivée - Exemples
1) Reprenons la fonction définie sur par
On remarque que avec et .
On en déduit que est dérivable sur et
on retrouve en particulier que
mais on peut calculer le nombre dérivé en n’importe valeur et tracer les tangentes correspondantes.
Ne pas confondre ordonnée du point de la courbe dont l’abscisse est
avec coefficient directeur de la tangente en .
2) définie sur
on remarque que
on en déduit que est dérivable sur avec
3) définie sur .
on remarque que avec et
on en déduit que est dérivable sur avec
4) définie sur
on remarque que avec et
on en déduit que est dérivable sur avec
5) définie sur
on remarque que avec , et .
on en déduit que est dérivable sur avec
or
Finalement
f x( ) x
3
6x−11+=
f x( ) x
3
6x11−( )− u x( ) v x( )−= =
u x( ) x
3
=
v x( ) 6x11−=
f
f′x( ) u′x( ) v′x( )−3x
2
6−= =
f′2( ) 3 2
2
×6−12 6−6= = =
- 4 - 2 2 4
- 20
- 10
10
20
x
3−
0
2
f x( )
2
11
7
f′x( )
21
6−
6
6
1
6−
1
21
1
3−2
1
11
f3−( ) 2=
3−
f′3−( ) 21=
3−
f x( ) x
2
5
----- 4
x
2
-----+=
0{ }\
f x( ) 1
5
--- x
2
×41
x
2
-----
×+=
f
0{ }\
f′x( ) 1
5
--- 2x×42−
x
3
------
×+2
5
---x8
x
3
-----
−= =
f x( ) x x=
0∞+;[ [
f x( ) u x( ) v x( )×=
u x( ) x=
v x( ) x=
f
0∞+;] [
f′x( ) 1 x×x1
2x
----------
×+xx
x
------+= =
f x( ) x
2
1+
3x1+
---------------
=
1 3⁄{ }\
f x( ) u x( )
v x( )
---------
=
u x( ) x
2
1+=
v x( ) 3x1+=
f
1 3⁄{ }\
f′x( ) u'x( ) v x( )×u x( ) v'x( )×−
v x( )[ ]
2
----------------------------------------------------------- 2x0+( ) 3x1+( )× x
2
1+( ) 3×−
3x1+( )
2
---------------------------------------------------------------------------------- …3x
2
2x3−+
3x1+( )
2
------------------------------
= = = =
f x( ) 2x1+( )
5
=
f x( ) v ax b+( )=
v x( ) x
5
=
a2=
b1=
f
f′x( ) v′ax b+( ) a×=
v′x( ) 5x
4
=
f′x( ) 5 2x1+( )
4
2×10 2x1+( )
4
= =

Lien entre signe de la dérivée et variations de la fonction
Comme la dérivée donne la valeur du coefficient directeur de la tangente, il parait
«évident» que :
Si alors la tangente en , et «donc» la courbe, montent
Si alors la tangente en , et «donc» la courbe, descendent.
on admettra les résultats suivants
Propriétés : soit une fonction dérivable sur un intervalle .
• Si sur , alors est strictement croissante sur .
Si sur , alors est strictement décroissante sur .
Même si s’annule en des valeurs isolées de , sans changer de signe, la monotonie reste stricte.
• Si sur , alors est constante sur .
• Si s’annule et change de signe en alors admet un extrémum local égal à et atteint en
Méthode : pour étudier le sens de variation d’une fonction, on procédera de la façon suivante
• on détermine à l’aide des formules du cours.
• on étudie le signe de en fonction de .
la réponse est parfois immédiate (si est une somme de termes positifs par exemple) ;
sinon on écrit sous la forme d’un produit ou d’un quotient et on utilise ensuite un tableau de signes ;
parfois, on est amené à étudier les variations de pour en déduire son signe.
• la propriété précédente donne alors le sens de variation de ;
on présente souvent la réponse dans un tableau combinant signe de et variations de .
• les extrémums locaux éventuels se repèrent alors aisément :
Remarques : et précisions
1. Dans le tableau précédent, , et sont des valeurs isolées où s’annule ; en effet dans des intervalles s’étendant
de part et d’autre de ces valeurs.
En conséquence, la courbe ne présente pas de palier horizontal autour de ces valeurs (contrairement à ce que l’on peut parfois
croire en observant la courbe sur une calculatrice).
2. un maximum «local» est un maximum sur un intervalle qui n’est pas forcément l’ensemble de définition entier.
3. Attention : si n’est pas un intervalle, on peut avoir sur sans que soit strictement croissante sur .
(ou sur sans que soit strictement décroissante sur ; voir exemple n°3 page suivante)
… … … …
signe de … … … …
variations de … … … …
maximum local
égal à et
atteint en
minimum local
égal à et
atteint en
pas d’extremum local
mais une tangente
horizontale en
Allure de la courbe :
(dans les trois cas, il y a
une tangente horizontale
car son coefficient
directeur est nul)
a
f a( )
f b( )
1
f′a( ) 0>
b
1
f′b( ) 0<
f′a( ) 0>
a
f′b( ) 0<
b
f
I
f' 0>
I
f
I
f' 0<
I
f
I
f′
I
f' 0=
I
f
I
f′
a
f
f a( )
a
f′x( )
f′x( )
x
f′x( )
f′x( )
f′
f
f′x( )
f x( )
x
a
b
c
f′x( )
+
0
−
+
0
−
−
0
−
f x( )
f a( )
f b( )
f c( )
f a( )
a
f b( )
b
c
a
b
c
f′
f′0≠
I
f′x( ) 0>
I
f
I
f′x( ) 0<
I
f
I