1s-applic-prod-scala.. - Mathématiques au lycée Bellepierre

Chapitre 12 – Applications du produit scalaire
TABLE DES MATIÈRES – page -1
Chapitre 12 – Applications du produit scalaire
Table des matières
I
Exercices
I-1
1
Théorème d’Al Kashi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
16
Loi des sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
17
Triangulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
II Cours
II-1
1
Calculs d’angles et de longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
2
Vecteur normal à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
3
Équation d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
4
Formules d’addition et de duplication des cosinus et sinus. . . . . . . . . . . . . . . . II-2
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I EXERCICES – page I-1
Chapitre 12 – Applications du produit scalaire
I
Exercices
Calculs d’angles et de longueurs
1
Théorème d’Al Kashi
Dans un triangle ABC, on pose : AB = c, BC = a, AC = b (figure ci-dessous).
−→ −→
1. Écrire le produit scalaire AB.AC de deux façons :
– d’une part en fonction de a, b, c ;
c
b
– d’autre part avec le cosinus de l’angle A.
b
2. En déduire a2 en fonction de b, c, et cos A.
A
B
b
a
C
L’égalité de la deuxième question ci-dessus s’appelle le théorème de Al Kashi 1 .
2
1. Tracer le triangle ABC tel que AC = 7 cm, AB = 5 cm, BC = 10 cm.
2. Calculer le cosinus de l’angle Ab à l’aide de la propriété d’Al Kashi, puis en déduire la mesure
de cet angle en degrés au dixième près.
3
[ = π rad.
1. Tracer le triangle ABC tel que AB = 6 cm, AC = 4 cm, BAC
3
2. Calculer la distance BC. Donner la valeur exacte et l’arrondi au centième.
Vecteur normal à une droite
4
(O, I, J) est un repère orthonormé du plan.
1. (a) Dans le repère (O, I, J), placer A (1 ; 4) et tracer la droite (d1 ) passant par A, de vecteur
directeur ~u1 (3 ; 2).
(b) Calculer une équation cartésienne de la droite (d1 ).
(c) Tracer le vecteur n~1 (2 ; −3) à partir du point A.
(d) Que peut-on dire des vecteurs ~u1 et n~1 ? Justifier
On dit que le vecteur n~1 est un vecteur normal à la droite (d1 ).
2. (a) Dans le repère (O, I, J), tracer la droite (d2 ) d’équation −x + 4y + 3 = 0
(b) Déterminer les coordonnées d’un vecteur directeur ~u2 de la droite (d2 ).
(c) Justifier que les vecteurs n~2 (−1 ; 4) et ~u2 sont orthogonaux (c’est à dire que le vecteur
~n2 est un vecteur normal à la droite (d2 )).
3. Pour une droite (d), quel lien direct peut-on faire entre une équation cartésienne ax+ by + c = 0
et les coordonnées d’un vecteur normal ~n ? Répondre sans justifier, en observant les résultats
précédents.
1. Al Kashi est un mathématicien et astronome perse du 14e siècle, né en Iran et mort à Samarcande en Ouzbékistan.
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I EXERCICES – page I-2
Chapitre 12 – Applications du produit scalaire
5
(O, I, J) est un repère orthonormé du plan.
1. (a) Dans le repère (O, I, J), placer A (4 ; 2), tracer le vecteur n~1 (1 ; 3) à partir du point A.
(b) Calculer une équation cartésienne de la droite (d1 ) de vecteur normal n~1 .
(c) Tracer la droite (d1 ).
2. (a) Dans le repère (O, I, J), tracer la droite (d2 ) d’équation 5x + 2y + 13 = 0
(b) Déterminer les coordonnées d’un vecteur ~n2 normal à la droite (d2 ).
6
1. Tracer un repère orthonormé, placer les points A (1 ; 5) et B (3 ; 1) et tracer le cercle (C) de
diamètre [AB].
2. La droite (d) est la tangente au cercle (C) en B.
(a) Tracer la droite (d).
(b) Déterminer une équation cartésienne de la droite (d).
Équation d’un cercle
Le programme de mathématiques de 1re S indique qu’un élève doit savoir déterminer une équation de
cercle défini par son centre et son rayon ou par son diamètre.
7
1. Tracer un repère orthonormé, placer le point A (3 ; 1) et tracer le cercle (C1 ) de centre A et
de rayon 2.
2. On considère un point M (x ; y) quelconque du cercle (C1 ).
Démontrer que : (x − 3)2 + (y − 1)2 = 22
Indications :
2
– d’un part, quelle est la valeur de AM ?
– d’autre part, écrire AM 2 en fonction de x et de y.
L’équation (x − 3)2 + (y − 1)2 = 22 est une équation du cercle de centre A (3 ; 1) et de rayon 2.
3. Dans le même repère, placer B (−2 ; −4), et déterminer une équation du cercle C2 de centre
B et de rayon 3.
4. Toujours dans le même repère, placer D (−5 ; 3) et E (−1 ; 1) et tracer le cercle C3 de diamètre
[DE]. Nous allons déterminer une équation du cercle (C3 ) par une méthode différente des 2
précédentes.
(a) Placer un point quelconque N sur le cercle (C3 ) et tracer le triangle DEN.
(b) Quelle est la nature de ce triangle ?
−−→ −−→
(c) Utiliser alors le produit scalaire DN.EN pour obtenir une équation du cercle (C3 ). On
écrira l’équation obtenue sous la forme ax2 + bx + cy 2 + dy + e = 0
5. Dans le même repère, placer F (3 ; −4) et G (6 ; −3) et tracer le cercle C4 de diamètre
[F G]. Déterminer une équation du cercle (C4 ). On écrira l’équation obtenue sous la forme
ax2 + bx + cy 2 + dy + e = 0.
8
Chacune des équations suivantes est une équation d’un cercle de centre A et de rayon r. Déterminer
dans chaque cas les coordonnées de A et la valeur de r.
(1) (x − 5)2 + (y − 7)2 = 36
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(2) (x + 2)2 + (y − 4)2 = 16
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(3) x2 + (y + 3)2 = 5
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I EXERCICES – page I-3
Chapitre 12 – Applications du produit scalaire
9
1. L’équation x2 − 8x + y 2 + 10y + 34 = 0 est l’équation d’un cercle et on peut retrouver les
coordonnées de son centre A et la valeur de son rayon r.
Pour cela suivre les indications ci-dessous.
(a) Compléter d’abord ci-dessous (la méthode est analogue à la mise sous forme canonique).
x2 − 8x = (x − . . .)2 − . . .
y 2 + 10y = (y + . . .)2 − . . .
(b) Écrire ensuite l’équation de départ sous la forme (x − α)2 + (y − β)2 = r 2 .
(c) Indiquer enfin les coordonnées de A et la valeur du rayon r.
2. L’équation x2 + 12x + y 2 − 2y + 32 = 0 est l’équation d’un cercle de centre B et de rayon r.
Déterminer les coordonnées de B et la valeur de r.
10
1. Tracer un repère orthonormé, et placer les points A (1 ; 4) et B (7 ; 2) et tracer le cercle (C)
de diamètre [AB]. Tracer ensuite la droite (d) d’équation y = x, puis placer E et F les points
d’intersection de la droite (d) et du cercle (C).
2. Déterminer une équation du cercle (C) dans ce repère.
3. Déterminer les coordonnées des points E et F . Indication : sachant que y = x, remplacer dans
l’équation du cercle, puis résoudre l’équation obtenue.
Formules d’addition et de duplication des cosinus et sinus.
11
L’objectif de cet exercice est de démontrer une formule sur les cosinus et les sinus.
Le programme de 1re S indique qu’un élève doit savoir faire cette
démonstration.
J
•
A
•
a
B
•
•b
•
I
O
Dans un repère orthonormé (O, I, J), les points A et B appartiennent au cercle trigonométrique associés respectivement aux nombres
réels a et b, autrement
dit, on
a les mesures d’angles de vecteurs
−
−→ −→
→ −−→
suivantes : OI, OA = a et OI, OB = b
−→ −−→
1. Donner les coordonnées des vecteurs OA et OB en fonction de a et b
−→ −−→
2. À l’aide des coordonnées précédentes, écrire le produit scalaire OA.OB en fonction de a et b.
−→ −−→
3. Écrire le produit scalaire OA.OB d’une deuxième manière, en utilisant la méthode de calcul
avec le cosinus.
4. En déduire cos(a − b) en fonction de cos a, sin a, cos b, sin b
12
π π
5π
5π
Calculer la valeur exacte de cos
. Indication : justifier d’abord que + =
.
12
6
4
12
13
D’après le cours, pour tout nombre réel a on a : cos 2a = cos2 a − sin2 a.
Écrire cos 2a uniquement en fonction de cos a. Indication : cos2 a + sin2 a = . . . ?
14
Calculer la valeur exacte de cos
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π
π
π
. Indication : = 2 × .
8
4
8
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I EXERCICES – page I-4
Chapitre 12 – Applications du produit scalaire
15
Résoudre l’équation cos 2x = cos x. Indication : utiliser l’égalité obtenue dans l’exercice sur fiche no 13
pour écrire cos 2x en fonction de cos x, puis poser X = cos x et résoudre une équation d’inconnue X.
Autres calculs d’angles et de longueurs
16
Loi des sinus
Dans un triangle ABC, on pose : AB = c, BC = a, AC = b (figure
ci-contre) et on appelle H le pied de la hauteur issue de A, et K le pied
de la hauteur issue de B.
A
K
c
b
B
C
H a
b et sin C.
b Indication : utiliser les triangles
1. Écrire AH de deux façons en fonction de b, c, sin B,
ABH et AV H.
b
sin Cb
sin B
=
2. En déduire que
b
c
3. Écrire BK de deux façons en utilisant les triangles ABK et CBK.
sin Ab
sin Cb
=
a
c
sin Bb
sin Cb
sin Ab
=
=
. On appelle cette égalité la formule des sinus ou la loi
5. En déduire que
a
b
c
des sinus.
4. En déduire que
17
Triangulation
La distance entre deux villes A et B est de 5 km, et le point C
représente le sommet d’une montagne visible depuis la ville A
et la ville B.
À l’aide d’un appareil, on a mesuré les angles suivants :
[ = 60◦ et ABC
[ = 75◦.
BAC
C
Calculer√la distance BC. On donnera la valeur exacte sous la
a b
forme
.
c
A
60◦
75◦
5
B
Cet exercice indique le procédé de triangulation. On va ensuite viser un autre point D à partir des
points B et C puis on calcule la distance BD ou CD, et ainsi de suite. C’est par ce procédé qu’ont
été établis les cartes géographiques anciennement. À la fin du 18e siècle c’est ainsi que Delambre et
Méchain ont déterminé la distance de Dunkerque à Barcelone. Des procédés de ce type, plus complexes,
sont utilisés par exemple dans le système GPS.
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II COURS – page II-1
Chapitre 12 – Applications du produit scalaire
II
1
Cours
Calculs d’angles et de longueurs
Théorème de Al Kashi
Dans un triangle ABC tel que AB = c, BC = a, AC = b, on a l’égalité :
b
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A.
Remarque : cette propriété est aussi appelée théorème de Pythagore généralisé ou loi des cosinus.
Démonstration
D’une part nous savons que :
−→ −→
1
AB.AC = AB 2 + AC 2 − BC 2 = (c2 + b2 − a2 )
2
−→ −→
D’autre part, on sait aussi que : AB.AC = AB ×AC ×cos Ab = bc cos Ab
1
Nous avons donc : bc cos Ab = (c2 + b2 − a2 )
2
Par conséquent :
2
bc cos Ab × 2 = c2 + b2 − a2
d’où finalement :
A
c
B
b
a
C
b
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A.
Vecteur normal à une droite
Le programme de mathématiques de 1re S indique qu’un élève doit savoir
– déterminer une équation cartésienne de droite connaissant un point et un vecteur normal ;
– déterminer un vecteur normal à une droite définie par une équation cartésienne.
Définition
Un vecteur normal à une droite est un vecteur non nul, orthogonal à un vecteur directeur de cette
droite.
Propriété
Dans un repère orthonormé du plan, pour une droite (d),
(d) a un vecteur normal de coordonnées (a ; b)
si et seulement si
(d) a une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0
3
Équation d’un cercle
Le programme de mathématiques de 1re S indique qu’un élève doit savoir déterminer une équation de
cercle défini par son centre et son rayon ou par son diamètre.
Propriété
Dans un repère orthonormé, une équation cartésienne du cercle de centre A (α ; β) de rayon r
est : (x − α)2 + (y − β)2 = r 2
Propriété
Le cercle de diamètre [AB] est l’ensemble des points M tels que
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−−→ −−→
MA.MB = 0
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II COURS – page II-2
Chapitre 12 – Applications du produit scalaire
4
Formules d’addition et de duplication des cosinus et sinus.
Le programme de mathématiques de 1re S indique qu’un élève doit savoir démontrer que :
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
Démonstration
Dans un repère orthonormé (O, I, J), les points A et B appartiennent au cercle trigonométrique
associés respectivement
aux nombres
réels a et b, autrement dit, on a les mesures d’angles de vecteurs
−
−
→ −→
→ −−→
suivantes : OI, OA = a et OI, OB = b
J
•
A
•
a
B
O
•
•b
•
I
−→ −−→
−→
−−→
Les coordonnées des vecteurs OA et OB sont donc : OA (cos a ; sin a) et OB (cos b ; sin b)
−→ −−→
Par conséquent, OA.OB = cos a cos b + sin a sin b
−
−→ −−→ −−→ −→
−→ −→
D’autre part, on sait aussi que OA.OB = OB.OA = OB × OA × cos OB, OA
Or les points A et B sont sur le cercle trigonométrique, de sorte que OA = OB = 1
−
−
−→ −→ −−→ −→ −→ −→
→ −−→ −→ −→
De plus OB, OA = OB, OI + OI, OA = − OI, OB + OI, OA = −b + a = a − b
−→ −−→
Ainsi : OA.OB = cos(a − b)
Nous avons donc justifié que
−→ −−→
OA.OB = cos a cos b + sin a sin b
et que
−→ −−→
OA.OB = cos(a − b)
Conclusion : cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
Propriété – Formules d’addition
Pour tous nombres réels a et b,
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
Propriété – Formules de duplication
Pour tous nombres réels a et b :
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cos 2a = cos2 a − sin2 a
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sin 2a = 2 sin a cos a
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