1s-applic-prod-scala.. - Mathématiques au lycée Bellepierre

Chapitre 12 – Applications du produit scalaire TABLE DES MATIÈRES – page -1
Chapitre 12 – Applications du produit scalaire
Table des matières
I Exercices I-1
1 Théorèmed’AlKashi.................................... I-1
2 ................................................ I-1
3 ................................................ I-1
4 ................................................ I-1
5 ................................................ I-2
6 ................................................ I-2
7 ................................................ I-2
8 ................................................ I-2
9 ................................................ I-3
10 ................................................ I-3
11 ................................................ I-3
12 ................................................ I-3
13 ................................................ I-3
14 ................................................ I-3
15 ................................................ I-4
16 Loidessinus......................................... I-4
17 Triangulation ........................................ I-4
II Cours II-1
1 Calculs d’angles et de longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
2 Vecteur normal à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
3 Équationd’uncercle ....................................II-1
4 Formules d’addition et de duplication des cosinus et sinus. . . . . . . . . . . . . . . . II-2
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Chapitre 12 – Applications du produit scalaire I EXERCICES – page I-1
I Exercices
Calculs d’angles et de longueurs
1 Théorème d’Al Kashi
Dans un triangle ABC, on pose : AB =c,BC =a,AC =b(figure ci-dessous).
1. Écrire le produit scalaire −→ AB.−→ AC de deux façons :
– d’une part en fonction de a,b,c;
– d’autre part avec le cosinus de l’angle b A.
2. En déduire a2en fonction de b,c, et cos b A.
c
a
b
A
B C
L’égalité de la deuxième question ci-dessus s’appelle le théorème de Al Kashi 1.
2
1. Tracer le triangle ABC tel que AC = 7 cm, AB = 5 cm, BC = 10 cm.
2. Calculer le cosinus de l’angle b Aà l’aide de la propriété d’Al Kashi, puis en déduire la mesure
de cet angle en degrés au dixième près.
3
1. Tracer le triangle ABC tel que AB = 6 cm, AC = 4 cm, [ BAC =π
3rad.
2. Calculer la distance BC. Donner la valeur exacte et l’arrondi au centième.
Vecteur normal à une droite
4
(O, I, J) est un repère orthonormé du plan.
1. (a) Dans le repère (O, I, J), placer A(1 ; 4) et tracer la droite (d1) passant par A, de vecteur
directeur ~u1(3 ; 2).
(b) Calculer une équation cartésienne de la droite (d1).
(c) Tracer le vecteur ~n1(2 ; −3) à partir du point A.
(d) Que peut-on dire des vecteurs ~u1et ~n1? Justifier
On dit que le vecteur ~n1est un vecteur normal à la droite (d1).
2. (a) Dans le repère (O, I, J), tracer la droite (d2) d’équation −x+ 4y+ 3 = 0
(b) Déterminer les coordonnées d’un vecteur directeur ~u2de la droite (d2).
(c) Justifier que les vecteurs ~n2(−1 ; 4) et ~u2sont orthogonaux (c’est à dire que le vecteur
~n2est un vecteur normal à la droite (d2)).
3. Pour une droite (d), quel lien direct peut-on faire entre une équation cartésienne ax+by +c= 0
et les coordonnées d’un vecteur normal ~n ? Répondre sans justifier, en observant les résultats
précédents.
1. Al Kashi est un mathématicien et astronome perse du 14esiècle, né en Iran et mort à Samarcande en Ouzbékistan.
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Chapitre 12 – Applications du produit scalaire I EXERCICES – page I-2
5
(O, I, J) est un repère orthonormé du plan.
1. (a) Dans le repère (O, I, J), placer A(4 ; 2), tracer le vecteur ~n1(1 ; 3) à partir du point A.
(b) Calculer une équation cartésienne de la droite (d1) de vecteur normal ~n1.
(c) Tracer la droite (d1).
2. (a) Dans le repère (O, I, J), tracer la droite (d2) d’équation 5x+ 2y+ 13 = 0
(b) Déterminer les coordonnées d’un vecteur ~n2normal à la droite (d2).
6
1. Tracer un repère orthonormé, placer les points A(1 ; 5) et B(3 ; 1) et tracer le cercle (C) de
diamètre [AB].
2. La droite (d) est la tangente au cercle (C) en B.
(a) Tracer la droite (d).
(b) Déterminer une équation cartésienne de la droite (d).
Équation d’un cercle
Le programme de mathématiques de 1re S indique qu’un élève doit savoir déterminer une équation de
cercle défini par son centre et son rayon ou par son diamètre.
7
1. Tracer un repère orthonormé, placer le point A(3 ; 1) et tracer le cercle (C1) de centre Aet
de rayon 2.
2. On considère un point M(x;y) quelconque du cercle (C1).
Démontrer que : (x−3)2+ (y−1)2= 22Indications :
– d’un part, quelle est la valeur de AM2?
– d’autre part, écrire AM2en fonction de xet de y.
L’équation (x−3)2+ (y−1)2= 22est une équation du cercle de centre A(3 ; 1) et de rayon 2.
3. Dans le même repère, placer B(−2 ; −4), et déterminer une équation du cercle C2de centre
Bet de rayon 3.
4. Toujours dans le même repère, placer D(−5 ; 3) et E(−1 ; 1) et tracer le cercle C3de diamètre
[DE]. Nous allons déterminer une équation du cercle (C3) par une méthode différente des 2
précédentes.
(a) Placer un point quelconque Nsur le cercle (C3) et tracer le triangle DEN .
(b) Quelle est la nature de ce triangle ?
(c) Utiliser alors le produit scalaire −−→ DN.−−→ EN pour obtenir une équation du cercle (C3). On
écrira l’équation obtenue sous la forme ax2+bx +cy2+dy +e= 0
5. Dans le même repère, placer F(3 ; −4) et G(6 ; −3) et tracer le cercle C4de diamètre
[F G]. Déterminer une équation du cercle (C4). On écrira l’équation obtenue sous la forme
ax2+bx +cy2+dy +e= 0.
8
Chacune des équations suivantes est une équation d’un cercle de centre Aet de rayon r. Déterminer
dans chaque cas les coordonnées de Aet la valeur de r.
(1) (x−5)2+ (y−7)2= 36 (2) (x+ 2)2+ (y−4)2= 16 (3) x2+ (y+ 3)2= 5
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Chapitre 12 – Applications du produit scalaire I EXERCICES – page I-3
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1. L’équation x2−8x+y2+ 10y+ 34 = 0 est l’équation d’un cercle et on peut retrouver les
coordonnées de son centre Aet la valeur de son rayon r.
Pour cela suivre les indications ci-dessous.
(a) Compléter d’abord ci-dessous (la méthode est analogue à la mise sous forme canonique).
x2−8x= (x−...)2−. . . y2+ 10y= (y+...)2−...
(b) Écrire ensuite l’équation de départ sous la forme (x−α)2+ (y−β)2=r2.
(c) Indiquer enfin les coordonnées de Aet la valeur du rayon r.
2. L’équation x2+ 12x+y2−2y+ 32 = 0 est l’équation d’un cercle de centre Bet de rayon r.
Déterminer les coordonnées de Bet la valeur de r.
10
1. Tracer un repère orthonormé, et placer les points A(1 ; 4) et B(7 ; 2) et tracer le cercle (C)
de diamètre [AB]. Tracer ensuite la droite (d) d’équation y=x, puis placer Eet Fles points
d’intersection de la droite (d) et du cercle (C).
2. Déterminer une équation du cercle (C) dans ce repère.
3. Déterminer les coordonnées des points Eet F. Indication : sachant que y=x, remplacer dans
l’équation du cercle, puis résoudre l’équation obtenue.
Formules d’addition et de duplication des cosinus et sinus.
11
L’objectif de cet exercice est de démontrer une formule sur les cos-
inus et les sinus.
Le programme de 1re S indique qu’un élève doit savoir faire cette
démonstration.
Dans un repère orthonormé (O, I, J), les points Aet Bappartien-
nent au cercle trigonométrique associés respectivement aux nombres
réels aet b, autrement dit, on a les mesures d’angles de vecteurs
suivantes : −→
OI, −→ OA=aet −→
OI, −−→ OB=b
O•I
•
J
•A
a
•
Bb
•
1. Donner les coordonnées des vecteurs −→ OA et −−→ OB en fonction de aet b
2. À l’aide des coordonnées précédentes, écrire le produit scalaire −→ OA.−−→ OB en fonction de aet b.
3. Écrire le produit scalaire −→ OA.−−→ OB d’une deuxième manière, en utilisant la méthode de calcul
avec le cosinus.
4. En déduire cos(a−b) en fonction de cos a, sin a, cos b, sin b
12
Calculer la valeur exacte de cos 5π
12. Indication : justifier d’abord que π 6+π 4=5π 12 .
13
D’après le cours, pour tout nombre réel aon a : cos 2a= cos2a−sin2a.
Écrire cos 2auniquement en fonction de cos a. Indication : cos2a+ sin2a=...?
14
Calculer la valeur exacte de cos π
8. Indication : π 4= 2 ×π 8.
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Chapitre 12 – Applications du produit scalaire I EXERCICES – page I-4
15
Résoudre l’équation cos 2x= cos x. Indication : utiliser l’égalité obtenue dans l’exercice sur fiche no13
pour écrire cos 2xen fonction de cos x, puis poser X= cos xet résoudre une équation d’inconnue X.
Autres calculs d’angles et de longueurs
16 Loi des sinus
Dans un triangle ABC, on pose : AB =c,BC =a,AC =b(figure
ci-contre) et on appelle Hle pied de la hauteur issue de A, et Kle pied
de la hauteur issue de B.c
a
b
A
B C
H
K
1. Écrire AH de deux façons en fonction de b,c, sin b B, et sin b C. Indication : utiliser les triangles
ABH et AV H.
2. En déduire que sin b
B
b=sin b
C
c
3. Écrire BK de deux façons en utilisant les triangles ABK et CBK.
4. En déduire que sin b
A
a=sin b
C
c
5. En déduire que sin b
A
a=sin b
B
b=sin b
C
c. On appelle cette égalité la formule des sinus ou la loi
des sinus.
17 Triangulation
La distance entre deux villes Aet Best de 5 km, et le point C
représente le sommet d’une montagne visible depuis la ville A
et la ville B.
À l’aide d’un appareil, on a mesuré les angles suivants :
[
BAC = 60◦et [ ABC = 75◦.
Calculer la distance BC. On donnera la valeur exacte sous la
forme a√b
c.
AB
5
60◦75◦
C
Cet exercice indique le procédé de triangulation. On va ensuite viser un autre point D à partir des
points Bet Cpuis on calcule la distance BD ou CD, et ainsi de suite. C’est par ce procédé qu’ont
été établis les cartes géographiques anciennement. À la fin du 18esiècle c’est ainsi que Delambre et
Méchain ont déterminé la distance de Dunkerque à Barcelone. Des procédés de ce type, plus complexes,
sont utilisés par exemple dans le système GPS.
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