Résumé probabilité 2 I) Vocabulaire des événements Définition

Lycée Boucher de Perthes 2011/2012
Résumé probabilité 2
nde
I) Vocabulaire des événements
Définition
Exemple
L’univers
Ω
est l’ensemble des
issues ( ou résultats possibles ou
éventualités) de l’expérience
aléatoire.
On lance un dé cubique dont les faces sont
numérotées de 1 à 6. L’univers est donc
Ω
=
{
1
;
2
;
3
;
4
;
5
;
6
}
Un événement A est une partie ou
sous-ensemble de l’univers Ω.
Soit A l’événement «
obtenir un résultat pair.
»
A = { 2 ; 4 ; 6 }
Un
événement éléme
ntaire
est un
ensemble contenant une seule
issue de l’expérience.
L’événement B «
obtenir 5.
» est un événement
élémentaire.
B={ 5 }
Un
événement certain
contient
toutes les issues, c’est donc Ω
L’événement C «
obtenir un résultat positif.
» est
un événement certain.
Un
événement impossible
ne
contient aucune issue.
L’événement D «
obtenir un résultat supérieur à
8. » est un événement impossible ; c’est
l’ensemble vide ; on note D =
∅
Une
réunion d’événements
ܣ
∪
ܤ
est formée de toutes les issues
qui sont au moins dans l’un des
deux événements A ou B.
A l’événement «
obtenir un résultat pair.
»
E « obtenir un multiple de 3 » ; E = { 3 ; 6 }
A
∪
E = { 2 ; 3 ; 4 ; 6 }
Une
intersection d’événements
A
∩
B est formée de toutes les
issues qui sont à la fois dans A et
dans B.
A
∩
E =
A
∩
E est l’événement « obtenir un résultat pair et
un multiple de 3. »
Deux événements A et B sont
incompatibles ou disjoints s’ils
n’ont aucune issue commune.
On a : A
∩
ܤ
=
∅
A et B sont disjoints.
L’événement contraire de A, noté
ܣ
ҧ
est formé de toutes les issues
qui ne sont pas dans A ;
ܣ
∩
ܣ
ҧ
=
∅
݁ݐ
ܣ
∪
ܣ
ҧ
=
Ω
{ 1 ; 3 ; 5 } est l’événement
ܣ
ҧ
: « obtenir un
nombre impair. »
II) Vocabulaire des probabilités
Lorsqu’on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence d’apparition d’une
éventualité tend vers une valeur « idéale » : on l’appelle probabilité de l’événement élémentaire associé à
l’éventualité considérée.
C’est un nombre compris entre 0 et 1. On le note p({a}), a étant l’éventualité observée.
Exemples :
• On lance une pièce de monnaie. La probabilité d’obtenir « face » est 0,5.
• On lance un dé. La probabilité d’obtenir le nombre 3 est égale à 1
6 . p({3}) = 1 6 .

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A
B
Ω
A
∪
B
Propriété 1 : (admise)
Si A = Ø alors p(A) = 0.
Si A
≠
Ø, alors la probabilité de l’événement A est la somme des probabilités des événements
élémentaires qui le composent.
Si A = {a
1
, a
2,
a
3
, …, a
k
}, alors p(A) = p({a
1
}) + p({a
2
}) + p({a
3
}) + …+ p({a
k
}).
Propriété 2 :
Quel que soit l’événement A, 0 ≤ p(A) ≤ 1 et p(
Ω
) = 1.
Équiprobabilité
Lorsque chaque événement élémentaire a la même probabilité, on dit qu’il y a équiprobabilité ou que les
événements élémentaires sont équiprobables.
Expressions qui signifient qu’il y a équiprobabilité :
On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes.
On lance une pièce parfaitement équilibrée.
On jette un dé non pipé.
Les jetons ou les boules sont indiscernables au toucher…
Propriété 3 :
Si l’on est dans une situation d’équiprobabilité, chaque événement élémentaire a pour probabilité 1
n où n
est le nombre d’éventualités.
Si A est événement contenant m éventualités, alors p(A) = m
n .
On écrit parfois p(A) =
possibles résultats de nombre favorables résultats de nombre
Exemple :
On tire au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes. Chaque tirage est équiprobable.
La probabilité de tirer le roi de trèfle est 1
52 . La probabilité de tirer un trèfle est de 13 52 = 1 4 .
III) Probabilités et événements
Propriété 4 : p(A
∪
B) = p(A) + p(B) − p(A
∩
B)
Propriété 5: Si A et B sont incompatibles alors p(A
∪
B) = p(A) + p(B).
Preuve : Si A et B sont incompatibles alors ܣ ∩ ܤ = ∅ ݀݋݊ܿ p(ܣ
∩
ܤ) = 0 donc d’après la propriété 4,
݌ሺܣ ∪ ܤሻ= ݌ሺܣሻ+ ݌ሺܤሻ
Propriété 5 : Quel que soit l’événement A, ݌ሺܣሻ+ ݌ሺܣҧሻ= 1 ݏ݋݅ݐ ݌ሺܣҧሻ= 1 − ݌ሺܣሻ