Résumé probabilité 2 I) Vocabulaire des événements Définition

Lycée Boucher de Perthes 2011/2012
Résumé probabilité 2nde
I) Vocabulaire des événements
Définition
L’univers Ω est l’ensemble des
issues ( ou résultats possibles ou
éventualités) de l’expérience
aléatoire.
Un événement A est une partie ou
sous-ensemble de l’univers Ω.
Un événement élémentaire est un
ensemble contenant une seule
issue de l’expérience.
Un événement certain contient
toutes les issues, c’est donc Ω
Un événement impossible ne
contient aucune issue.
Exemple
On lance un dé cubique dont les faces sont
numérotées de 1 à 6. L’univers est donc
Ω = { 1 ; 2; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }
Soit A l’événement « obtenir un résultat pair. »
A={2;4;6}
L’événement B « obtenir 5. » est un événement
élémentaire.
B={ 5 }
L’événement C « obtenir un résultat positif. » est
un événement certain.
L’événement D « obtenir un résultat supérieur à
8. » est un événement impossible ; c’est
l’ensemble vide ; on note D = ∅
Une réunion d’événements ‫ ܤ ∪ ܣ‬A l’événement « obtenir un résultat pair. »
est formée de toutes les issues
qui sont au moins dans l’un des E « obtenir un multiple de 3 » ; E = { 3 ; 6 }
deux événements A ou B.
A∪E={2;3;4;6}
Une intersection d’événements
A ∩ B est formée de toutes les A ∩ E =
issues qui sont à la fois dans A et A ∩ E est l’événement « obtenir un résultat pair et
dans B.
un multiple de 3. »
Deux événements A et B sont A et B sont disjoints.
incompatibles ou disjoints s’ils
n’ont aucune issue commune.
On a : A ∩ ‫∅ = ܤ‬
L’événement contraire de A, noté { 1 ; 3 ; 5 } est l’événement ‫ܣ‬ҧ : « obtenir un
‫ܣ‬ҧ est formé de toutes les issues nombre impair. »
qui ne sont pas dans A ;
‫ܣ ∩ ܣ‬ҧ = ∅ ݁‫ܣ ∪ ܣ ݐ‬ҧ = Ω
II) Vocabulaire des probabilités
Lorsqu’on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence d’apparition d’une
éventualité tend vers une valeur « idéale » : on l’appelle probabilité de l’événement élémentaire associé à
l’éventualité considérée.
C’est un nombre compris entre 0 et 1. On le note p({a}), a étant l’éventualité observée.
Exemples :
• On lance une pièce de monnaie. La probabilité d’obtenir « face » est 0,5.
1
1
• On lance un dé. La probabilité d’obtenir le nombre 3 est égale à . p({3}) = .
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Propriété 1 : (admise)
Si A = Ø alors p(A) = 0.
Si A ≠ Ø, alors la probabilité de l’événement A est la somme des probabilités des événements
élémentaires qui le composent.
Si A = {a1, a2, a3, …, ak}, alors p(A) = p({a1}) + p({a2}) + p({a3}) + …+ p({ak}).
Propriété 2 :
Quel que soit l’événement A, 0 ≤ p(A) ≤ 1 et p( Ω ) = 1.
Équiprobabilité
Lorsque chaque événement élémentaire a la même probabilité, on dit qu’il y a équiprobabilité ou que les
événements élémentaires sont équiprobables.
Expressions qui signifient qu’il y a équiprobabilité :
On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes.
On lance une pièce parfaitement équilibrée.
On jette un dé non pipé.
Les jetons ou les boules sont indiscernables au toucher…
Propriété 3 :
Si l’on est dans une situation d’équiprobabilité, chaque événement élémentaire a pour probabilité
1
où n
n
est le nombre d’éventualités.
Si A est événement contenant m éventualités, alors p(A) =
m
.
n
On écrit parfois p(A) = nombre de résultats favorables
nombre de résultats possibles
Exemple :
On tire au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes. Chaque tirage est équiprobable.
1
13 1
. La probabilité de tirer un trèfle est de
= .
La probabilité de tirer le roi de trèfle est
52 4
52
Ω
III) Probabilités et événements
A
Propriété 4 :
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)
Propriété 5:
Si A et B sont incompatibles alors p(A ∪ B) = p(A) + p(B).
B
A ∪ B
Preuve : Si A et B sont incompatibles alors ‫ ܿ݊݋݀ ∅ = ܤ ∩ ܣ‬p(‫ = )ܤ ∩ ܣ‬0 donc d’après la propriété 4,
‫݌‬ሺ‫ܤ ∪ ܣ‬ሻ = ‫݌‬ሺ‫ܣ‬ሻ + ‫݌‬ሺ‫ܤ‬ሻ
Propriété 5 : Quel que soit l’événement A, ‫݌‬ሺ‫ܣ‬ሻ + ‫݌‬ሺ‫ܣ‬ҧሻ = 1 ‫݌ ݐ݅݋ݏ‬ሺ‫ܣ‬ҧሻ = 1 − ‫݌‬ሺ‫ܣ‬ሻ