THESE de DOCTORAT de l’UNIVERSITE de POITIERS

THESE de DOCTORAT de l’UNIVERSITE de POITIERS
Ecole Doctorale "Ingénierie Chimique Biologique et Géologique"
Secteur de Recherche : "Terres Solides et Enveloppe Superficielle"
présentée par
Anne KACZMARYK
pour l’obtention du Grade de DOCTEUR DE L’UNIVERSITE DE POITIERS
APPROCHES MULTI-CONTINUUM DE LA DUALITE
HOMOGENEISATION - INVERSION DES PROPRIETES
HYDRODYNAMIQUES EN MILIEU POREUX FRACTURE
Directeur de Thèse : Frederick DELAY
Soutenue le 6 novembre 2008 devant la Commission d’Examen :
MM. Michel BUES
Professeur, ENS Géologie, Nancy, Rapporteur
Anis YOUNES
Chargé de Recherche CNRS, IMFS Strasbourg, Rapporteur
Jean-François THOVERT
Directeur de Recherche CNRS, ENSMA Poitiers, Examinateur
Olivier BOUR
Professeur, Géosciences Rennes, Examinateur
Charles DANQUIGNY
Maître de Conférences, Université d’Avignon, Examinateur
Alain MEUNIER
Professeur, Université de Poitiers, Examinateur
SOMMAIRE
INTRODUCTION
7
CHAPITRE I : INTERPRETATION DE TESTS D’INTERFERENCE EN MILIEU
POREUX FRACTURE PAR APPROCHES DOUBLE MILIEU
11
I.1. PRINCIPE ET ÉQUATIONS DU MODÈLE DOUBLE MILIEU
I.1.1. Double milieu homogène
I.1.2. Double milieu fractal
15
17
18
I.2. PROCÉDURE D’INVERSION
19
I.3. PRINCIPE DU CALCUL DES SENSIBILITÉS ANALYTIQUES
I.3.1. Sensibilités analytiques du double milieu homogène
I.3.2. Sensibilités analytiques du double milieu fractal
22
22
24
I.4. MÉTHODE DE CONDITIONNEMENT DE LA MATRICE JACOBIENNE
27
I.5. MODIFICATION DU MODÈLE DOUBLE MILIEU
I.5.1. Principe et équations
I.5.2. Procédure d’inversion
30
30
33
I.6. RÉSULTATS ET INTERPRÉTATIONS
I.6.1. Simple milieu fractal
I.6.2. Double milieu homogène
I.6.3. Double milieu fractal
I.6.4. Double milieu modifié
34
34
36
38
42
I.7. DISCUSSION ET ANALYSE CRITIQUE DES MÉTHODES PROPOSÉES
46
CHAPITRE II : INVERSION D’UNE METHODE LAGRANGIENNE DANS LE
DOMAINE DES TEMPS (TIME DOMAIN RANDOM WALK – TDRW) POUR LA
RÉSOLUTION DU TRANSPORT
49
II.1. FONDEMENTS THÉORIQUES DE LA MÉTHODE TDRW
II.1.1. Equation de Fokker Planck Kolmogorov (FPKE)
II.1.2. Equivalence entre ADE et FPKE
51
52
57
II.2. LA MÉTHODE TDRW
59
II.3. AJOUT DE PROCESSUS DE RÉTENTION
II.3.1. Diffusion matricielle
II.3.2. Sorption avec cinétique de premier ordre
61
61
64
II.4. PROCÉDURE D’INVERSION DE LA MÉTHODE TDRW
II.4.1. Sensibilités analytiques pour un problème advectif-dispersif
II.4.2. Sensibilités analytiques pour un problème advectif-dispersif + diffusion matricielle
II.4.3. Sensibilités analytiques pour un problème advectif-dispersif + cinétique de sorption
71
73
73
74
II.5. RÉSULTATS ET INTERPRÉTATIONS
76
II.6. CONCLUSION ET PERSPECTIVES
77
1
CHAPITRE III : ETUDE PROSPECTIVE DE L’UTILISATION DES EQUATIONS DE
LANGEVIN POUR L’HOMOGENEISATION DU TRANSPORT EN MILIEU
FRACTURÉ
79
III.1. ECRITURE ET RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DE LANGEVIN
III.1.1. Résolution du système complet
III.1.2. Résolution du système simplifié
III.1.3. Comparaison des équations simplifiées et complètes
82
84
85
86
III.2. CALCUL DE LA DISPERSION LIÉE AUX DIFFÉRENTS TERMES DES ÉQUATIONS DE LANGEVIN
III.2.1. Dispersion pour un champ de forces homogène
III.2.2. Dispersion engendrée par un champ de forces hétérogène et corrélé
89
89
91
III.3. CONCLUSION ET PERSPECTIVES
96
CONCLUSION GENERALE
99
ANNEXES
101
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
139
PUBLICATIONS :
ADVANCES IN WATER RESOURCES : Inversion of interference hydraulic pumping tests in both
homogeneous and fractal dual media. F. Delay, A. Kaczmaryk, P. Ackerer, 2007.
JOURNAL OF HYDROLOGY : Interference pumping tests in a fractured limestone (PoitiersFrance) : Inversion of data by means of dual-medium approaches. A. Kaczmaryk, F. Delay, 2007.
JOURNAL OF HYDRAULIC RESEARCH Special issue IAHR-GW 2006 : Interpretation of
interference pumping tests in a fractured limestone (Poitiers-France) using fractal and dual-media
approaches : Homogenization scale of hydraulic parameters. A. Kaczmaryk, F. Delay, 2007.
JOURNAL OF HYDROLOGY : Improving dual-porosity-medium approaches to account for karstic
flow in a fractured limestone : Application to the automatic inversion of hydraulic interference tests
(Hydrogeological Experimental Site, HES-Poitiers-France). A. Kaczmaryk, F. Delay, 2007.
ADVANCES IN WATER RESOURCES : Inversion of a Lagrangian time domain random walk
(TDRW) approach to one-dimensional transport by derivation of the analytical sensitivities to
parameters. F. Delay, A. Kaczmaryk, P. Ackerer, 2008.
2
LISTE DES FIGURES
Figure 1 : Localisation des forages du Site Expérimental Hydrogéologique. En noir : puits testés
en 2004, en blanc : puits testés en 2005.
11
Figure 2 : Exemples de courbes de rabattement obtenues lors des tests de 2004 (à gauche,
pompage en M6) et de 2005 (à droite, pompage en M16).
12
Figure 3 : Exemples de courbes de rabattement et de l’évolution des sensibilités du double milieu
homogène aux paramètres en fonction du temps à 100 m du puits pompé.
23
Figure 4 : Exemples de courbes de rabattement et de l’évolution des sensibilités du double milieu
fractal aux paramètres en fonction du temps à 100 m du puits pompé.
24
Figure 5 : Comparaison entre sensibilités exactes (traits pleins) et approchées (cercles) aux
exposants de puissance du double milieu fractal (a = paramètre de la conductivité
hydraulique et d = paramètre du coefficient d’échange). En haut : sensibilités pour un temps
donné en fonction de la distance au puits pompé ; en bas : sensibilités à une distance donnée
en fonction du temps.
27
Figure 6 : Evolution de la conductivité hydraulique et de l’emmagasinement spécifique avec la
distance puits pompé - puits observé pour t = 48 heures. Données de la campagne 2004
interprétées par l’approche simple milieu fractal (échelle log pour Ss f ( t ) ).
35
Figure 7 : Evolution de la conductivité hydraulique de fracture, des emmagasinements spécifiques
de fracture et de matrice et du coefficient d’échange avec la distance puits pompé – puits
observé. Données de la campagne 2004 interprétées avec l’approche double milieu
homogène (échelle log pour Ssm, Ssf et α). Cercles, cercles pleins, triangles et carrés
correspondent aux réponses des puits observés pour les puits pompés MP4, M7, M11 et M6
respectivement.
36
Figure 8 : Evolution de la conductivité hydraulique de fracture, des emmagasinements spécifiques
de fracture et de matrice et du coefficient d’échange avec la distance puits pompé – puits
observé. Données de la campagne 2005 interprétées avec l’approche double milieu
homogène (échelle log pour Ssm, Ssf et α). Cercles, cercles pleins, triangles, carrés et croix
correspondent aux réponses des puits observés pour les puits pompés M19, M16, M15, M22
et M20 respectivement.
37
Figure 9 : Evolution de la conductivité hydraulique de fracture, des emmagasinements spécifiques
de fracture et de matrice et du coefficient d’échange avec la distance puits pompé – puits
observé. Données de la campagne 2005 interprétées avec l’approche double milieu fractal
(échelle log pour Ssm0, Ssf0, α0, Ssm(r), Ssf(r) et α(r)). Cercles, triangles et carrés
correspondent aux réponses des puits observés pour les puits pompés M20, MP7 et M16
respectivement.
40
Figure 10 : Evolution de la conductivité hydraulique de fracture, des emmagasinements
spécifiques de fracture et de matrice et du coefficient d’échange avec la distance puits
pompé – puits observé. Données de la campagne 2005 interprétées avec l’approche double
milieu modifié homogène (échelle log pour Ssm et Ssf). Cercles et cercles pleins
correspondent aux réponses des puits observés pour les puits pompés M16 et M20
respectivement.
42
3
Figure 11 : Evolution de la conductivité hydraulique de fracture, des emmagasinements
spécifiques de fracture et de matrice et du coefficient d’échange avec la distance puits
pompé – puits observé. Données de la campagne 2005 interprétées avec l’approche double
milieu modifié fractal (échelle log pour α0, Ssm(r) et Ssf(r)). Cercles et cercles pleins
correspondent aux réponses des puits observés pour les puits pompés M16 et M20
respectivement.
44
Figure 12 : Exemples de courbes de restitution obtenues par tests de traçage (données issues de
traçages sur le SEH, résultats non publiés, Marion Chatelier, 2008).
50
Figure 13 : Représentation d’un réseau de liens avec une approche DFN.
50
Figure 14 : Exemples de courbes de restitution pour un problème advectif-dispersif + diffusion
matricielle en réponse à une injection instantanée. A gauche : problème dominé par la
diffusion (a = 5 x 10-3 [T-0.5] pour Pe = 5 et 500) ; à droite : mécanismes advectif-dispersif
prédominants (a = 5 x 10-5 [T-0.5] pour Pe = 5 et 500).
64
Figure 15 : Exemples de courbes de restitution en réponse à une injection instantanée pour un
transport advectif-dispersif (Pe = 500) + cinétique de sorption. Trois couples de valeurs des
paramètres cinétiques sont testés.
69
Figure 16 : Courbe de restitution, concentrations cumulées et sensibilités analytiques du modèle
aux paramètres u et D pour un problème advectif-dispersif (Pe = 500).
73
Figure 17 : Sensibilités analytiques du modèle aux paramètres u, D et a pour un problème
advectif-dispersif + diffusion matricielle. Le problème est dominé par le phénomène de
diffusion (Pe = 500, a = 5 x 10-3[T-0.5]).
74
Figure 18 : Sensibilités analytiques du modèle aux paramètres D, λ et μ pour un problème
advectif-dispersif + cinétique de sorption avec Pe = 500 et (Daλ, Daμ) = (1, 0.5).
75
Figure 19 : Sensibilités analytiques du modèle aux paramètres D, λ et μ pour un problème
advectif-dispersif + cinétique de sorption avec Pe = 500 et (Daλ, Daμ) = (100, 50).
75
Figure 20 : Arbre binaire pour le test des capacités d’inversion du transport sur réseau de liens du
modèle TDRW.
79
Figure 21 : Courbes de restitution à la distance L (Tab. 9) pour différentes valeurs de β. A
gauche : cas peu diffusif ; à droite : cas diffusif. Les pointillés et traits pleins correspondent
aux résultats respectifs de la version simplifiée et complète des équations de Langevin (5000
particules déplacées).
87
Figure 22 : Evolution des vitesses moyennes en fonction du temps pour une résolution complète
des équations de Langevin et différentes valeurs de β.
88
Figure 23 : Comparaison des solutions analytiques (traits pleins) et numériques (figurés) pour le
calcul de la dispersion Dx générée par les équations de Langevin avec un champ de forces
homogène et différentes valeurs de β.
90
Figure 24 : Evolution en fonction du temps de la solution analytique à la dispersion DF engendrée
pour un champ de forces hétérogène corrélé. Différentes valeurs de longueur de corrélation
( ∝ paramètre a) sont testées.
93
Figure 25 : Evolution en fonction du temps de la dispersion calculée par résolution numérique des
équations de Langevin 1D avec un champ de forces homogène et hétérogène.
95
4
LISTE DES TABLEAUX
Tableau 1 : Gammes de variation de la conductivité hydraulique et de l’emmagasinement
spécifique calculées pour t = 48 heures avec l’approche simple milieu fractal sur les données
de 2004.
35
Tableau 2 : Gammes de variation et moyennes de la conductivité hydraulique de fracture, des
emmagasinements spécifiques de fracture et de matrice et du coefficient d’échange identifiés
par l’approche double milieu homogène sur les données de 2004.
36
Tableau 3 : Gammes de variation de la conductivité hydraulique de fracture, des
emmagasinements spécifiques de fracture et de matrice et du coefficient d’échange identifiés
par l’approche double milieu homogène sur les données de 2005.
38
Tableau 4 : Gammes de variation et moyennes des paramètres de dimensionnement s0, des
exposants de puissance λ et des paramètres effectifs s(r) identifiés par l’approche double
milieu fractal sur les données de 2004.
39
Tableau 5 : Gammes de variation des paramètres de dimensionnement s0, des exposants de
puissance λ et des paramètres effectifs s(r) identifiés par l’approche double milieu fractal sur
les données de 2005.
41
Tableau 6 : Gammes de variation et moyennes de la conductivité hydraulique de fracture, des
emmagasinements spécifiques de fracture et de matrice et du coefficient d’échange identifiés
par l’approche double milieu modifié homogène sur les données de 2005.
42
Tableau 7 : Gammes de variation et moyennes des paramètres de dimensionnement s0, des
exposants de puissance λ et des paramètres effectifs s(r) identifiés par l’approche double
milieu modifié fractal sur les données de 2005.
45
Tableau 8 : Valeurs des paramètres des problèmes de référence et des paramètres identifiés
(signalés par *) pour les différents cas tests (L = 50 [L]).
76
Tableau 9 : Paramètres choisis pour les tests de validité des versions complète et simplifiée des
équations de Langevin.
87
5
INTRODUCTION
L’étude d’un système passe par l’acquisition d’informations et de mesures de propriétés directes ou
induites par l’objet concerné. Ces données résultent le plus souvent de tout un ensemble de
phénomènes physiques inhérents aux mécanismes se développant dans le milieu mais aussi aux
méthodes de mesure elles-mêmes. En général, le système reste mal investi tant à l’échelle
macroscopique car les données n’échantillonnent pas la totalité du milieu, qu’à l’échelle locale ou
l’échelle des hétérogénéités car les mesures sont souvent intégratrices de mécanismes sur un support
mal cerné. Pour savoir quelles informations sur le fonctionnement du système on peut attendre des
mesures, il est fréquent de devoir développer un modèle théorique d’interprétation. La première
question à se poser est alors de savoir si l’interprétation n’est pas biaisée par le modèle défini pour une
certaine physique alors que le milieu obéirait à une autre. La seconde question est de déterminer à
quelle physique les mesures donnent accès et quelle panoplie de modèles sont-elles capables
d’alimenter. Cela conduit finalement à : 1- des allers-retours entre physique expérimentale (ce qu’on
mesure et comment) et physique théorique (comment on l’interprète) ; 2- l’utilisation de modèles
d’interprétation avec toute la difficulté qu’on connaît à "essayer de mettre en boîte" les milieux
naturels.
Les milieux souterrains, même dans le cas de sites expérimentaux dédiés (par exemple, le Site
Expérimental Hydrogéologique SEH de l’Université de Poitiers), sont systématiquement sous
échantillonnés par rapport à leur complexité. Le fait est que des mesures locales peuvent rester non
pertinentes à l’échelle macroscopique malgré un échantillonnage important simplement parce que la
physique change entre les échelles. Dans le cas des milieux souterrains, il est fréquent d’être astreint à
un a priori sur la structure et/ou la dynamique du milieu pour pouvoir analyser les données disponibles
dans leur ensemble. Très souvent, donner du sens à des données locales mais néanmoins intégratrices
c’est avant tout avoir une vue simplifiée du milieu via un modèle conceptuel passant par une
homogénéisation. Cette homogénéisation peut être qualifiée de "statique" si elle s’évertue à moyenner
des grandeurs caractéristiques du milieu. Elle peut devenir "dynamique" si elle simplifie, voire
remplace, la complexité d’une physique de processus et mécanismes locaux par une physique du
"comportement moyen". In fine, on pourrait dire que construire un modèle c’est écrire par commodité
le fonctionnement d’un système dont on ne connaît pas bien la physique en inventant en partie des
mécanismes et processus pour mimer les données accessibles in situ. Prenons l’exemple de la
modélisation de la dynamique sédimentaire. Les modèles de sédimentation utilisent souvent un régime
de diffusion des particules pour représenter, à l’échelle des bassins, les observations faites sur le
terrain. Or, on sait pertinemment que la physique du dépôt de sédiments est basée sur la mécanique du
point, la dynamique des fluides et la chute des corps et non sur des équations de diffusion. Pour autant,
les données sont correctement interprétées. Cela dit, si on est capable, via un outil d’interprétation, de
donner du sens à la mesure, il ne faut pas perdre de vue que ce peut être au prix d’un modèle dont la
physique est vraisemblablement fausse. Il est donc illusoire de vouloir utiliser les informations issues
de l’interprétation de données dans un cadre très différent voire incompatible avec celui ayant conduit
à ces informations.
Né en 2002 sur le domaine universitaire du Deffend dans le cadre du XIIième Contrat de Plan EtatRégion, le Site Expérimental Hydrogéologique (SEH) de Poitiers compte à ce jour plus d’une trentaine
de forages et d’ouvrages verticaux. Les enjeux scientifiques ayant motivé sa création sont le suivi et la
7
modélisation du transfert et de la réactivité des eaux d’aquifères carbonatés hétérogènes, dans un souci
de gestion et de protection de la ressource. Le SEH a fait l’objet de plusieurs campagnes
d’expérimentations recueillant de nombreuses données géologiques, météorologiques, hydrauliques et
chimiques. Parmi les tests hydrauliques menés jusqu’à présent, on retiendra deux campagnes (20032004 et 2005) de tests d’interférence et une série de chocs hydrauliques sur chaque puits avec parfois
la mesure de charge en déporté (puits voisins). L’objectif des travaux présentés dans ce manuscrit est
double. Dans un premier temps, il est question de développer des modèles d’interprétation des données
de rabattement hydraulique acquises par tests d’interférence sur le site. Dans un second temps, une
prospection est engagée sur la réalisation d’outils d’interprétation de données (non encore acquises sur
le SEH) pour la compréhension du transport de soluté dans les réservoirs poreux fracturés. Deux
étapes majeures sont indispensables dans cette confrontation modèle/données : 1- la conceptualisation
et la paramétrisation du modèle pour un problème donné (écoulement ou transport de soluté) en
fonction du type de données disponibles. Cette étape nécessite l’homogénéisation des propriétés
macroscopiques du milieu et/ou l’intégration de mécanismes physiques réels ou fictifs pour mimer les
observations ; 2- l’élaboration d’une procédure d’inversion des données (expérimentales voire
synthétiques) passant notamment par la définition de la fonction objectif, le préconditionnement du
problème inverse, l’écriture algorithmique et algébrique d’une procédure d’optimisation adaptée à
l’outil d’interprétation.
Pourquoi avoir choisi d’entreprendre l’étude de l’écoulement et du transport de soluté dans les
réservoirs poreux fracturés en appuyant la réflexion sur une approche "physique" ? C’est une question
légitime quand on sait que la compréhension des systèmes souterrains est généralement vue d’abord
selon une approche "naturaliste", les acteurs s’intéressant souvent aux modèles juste par le biais de
leur utilisation. Même si l’objectif premier reste l’interprétation de données, il ne peut être ignoré que
sans un minimum de compréhension du fonctionnement du milieu et sans un minimum de formalisme,
il est possible d’inventer "tout et n’importe quoi" pour mimer des données. Utiliser intelligemment les
mesures acquises et donner du sens aux paramètres d’un modèle suppose de nombreuses
interrogations sur la physique et la dynamique des systèmes, ce d’autant plus qu’ils sont naturels. Les
modèles ne remplaceront jamais les expérimentations in situ pour la compréhension du
fonctionnement d’un milieu mais gardent néanmoins un intérêt certain s’il s’agit d’exploiter des
données. Bien évidemment, on fera toujours de la physique "sale" en milieux naturels car ils sont
beaucoup trop complexes pour être pleinement contraints. Cependant, il paraît plus rigoureux de
s’appuyer sur des bases physiques pour modéliser un site, en extraire des paramètres et leur
justification a posteriori. L’avantage indéniable de cette stratégie est de savoir ce qu’il y a derrière les
interprétations. De plus, on peut espérer transposer, sinon le modèle, du moins la méthode à d’autres
contextes.
Plusieurs modèles d’interprétation des mesures de rabattement hydraulique obtenues lors des deux
campagnes de tests d’interférence sur le SEH ont été développés et font l’objet du premier chapitre du
manuscrit. Basés sur une approche continue double milieu, ils distinguent les effets conducteurs du
réseau de fractures, des propriétés capacitives de la matrice rocheuse. En termes d’interprétation, il est
fait l’effort de donner du sens aux paramètres en fonction de la base physique des types
d’homogénéisation utilisés et des observations faites in situ. A ce propos, les données montreront que
la séparation en deux continuums imbriqués où l’écoulement est régi par des équations de diffusion et
une cinétique de premier ordre peut s’avérer insuffisante pour la reproduction des effets
macroscopiques visibles sur le site. Il faut alors ajouter une équation d’onde pour obtenir un calage
8
correct. Cet ajout et les paramètres attenants sont discutés au regard de leur sens physique (et/ou
algébrique) mais aussi des données factuelles disponibles sur la géométrie des écoulements. La
procédure d’inversion attachée à chaque modèle calcule analytiquement les sensibilités aux paramètres
et fait appel à quelques astuces techniques pour éviter le mauvais conditionnement du problème en
raison de très forts contrastes entre les valeurs de ces sensibilités. Concernant la partie transport de ce
travail, il faut reconnaître que la philosophie d’approche évoquée plus haut a dû évoluer au sens où
aucune donnée expérimentale n’était disponible à l’initiation de l’étude. Les chapitres II et III sont, de
fait, consacrés à la proposition d’outils d’interprétation pour des données non encore acquises. Le
développement de ces modèles suppose également une simplification du milieu, une homogénéisation
à l’échelle macroscopique et l’inversion des paramètres. Dans le chapitre II, le milieu est simplifié en
remplaçant le réseau de fractures réelles par un réseau de liens monodimensionnels [Ubertosi, 2008] et
le transport advectif-dispersif est simulé par une méthode Lagrangienne dans le domaine des temps
[Bodin et al., 2003a; Delay and Bodin, 2001]. Des mécanismes simples de rétention des particules sont
ajoutés pour mimer les aspects ségrégatifs parfois complexes rencontrés dans les réseaux de fractures.
L’outil d’interprétation ainsi établi est inversé via une méthode utilisant le calcul analytique des
sensibilités aux paramètres. Cette dérivation analytique est une première pour une approche
Lagrangienne et autorise un inverse précis, ce qui n’était jusqu’à présent pas possible en raison de
l’aléa des calculs Lagrangiens. Ensuite, le chapitre III, propose de substituer l’équation d’advectiondispersion et le réseau de liens par des équations continues (équations de Langevin) afin de
s’affranchir d’une complexité notable de paramétrisation des réseaux. En remplaçant le réseau par un
champ de forces hétérogène, on simplifie la paramétrisation tout en espérant maintenir les capacités à
simuler la chenalisation des écoulements fréquemment rencontrée dans les milieux fracturés. Si cette
phase de prospection substituant une physique par une autre s’avérait opérationnelle, il est évident que
l’inversion du transport y gagnerait beaucoup. Cela dit, les pré et le post-conditionnements sur des
données restent obscurs et supposent des investigations bien au-delà du niveau de réalisation de ce
travail.
Les publications rédigées et parues en cours sont insérées à la suite du manuscrit. Quatre papiers
concernent le développement d’outils d’interprétation des tests d’interférence et ses applications aux
données acquises sur le Site Expérimental Hydrogéologique. Un papier détaille la méthode d’inversion
du transport de soluté par approche Lagrangienne dans le domaine des temps. Les travaux prospectifs
sur les équations de Langevin sont pour l’instant inédits. Dans tous les cas, ce travail a souvent
demandé de nombreux développements algébriques, soit novateurs, soit peu documentés dans la
littérature. Lorsque cela est jugé utile pour la compréhension, ces développements sont reportés en
annexe.
9
CHAPITRE I : INTERPRETATION DE TESTS D’INTERFERENCE EN MILIEU
POREUX FRACTURE PAR APPROCHES DOUBLE MILIEU
Section d'équation 1
Le test d’interférence est un essai standard largement utilisé en ingénierie de réservoir lors de toute
étude d’un aquifère afin d’obtenir des informations sur l’hydrodynamique du système. Il consiste à
pomper dans un puits et observer les réponses, sous forme de variations de charge hydraulique, sur un
ou plusieurs piézomètres distants du puits pompé. Le test d’interférence renseigne alors sur la
dynamique des écoulements à une échelle bien supérieure à l’environnement immédiat du forage.
Problème diffusif par définition, l’écoulement radial convergent du test est intégrateur au sens où il ne
permet pas d’accéder à une description complète (locale) de l’hétérogénéité du milieu. Le support
spatial d’intégration est de surcroît difficile à cerner sans ambiguïté. Cependant, dans les milieux
complexes, les informations recueillies en termes de rabattement au cours du temps permettent assez
souvent de distinguer les effets "temps courts" (par exemple, le drainage par les fractures, la vidange
de systèmes karstiques,…), des effets "temps longs" (drainage diffusif de matrice, effets de conditions
aux limites,…). De principe, l’inversion d’un essai d’interférence a toujours pour objectif d’identifier
les capacités conductrices du milieu (conductivité hydraulique, transmissivité) et les capacités de
stockage (emmagasinement spécifique).
Nous nous intéressons aux réservoirs poreux fracturés, milieux où l’identification des paramètres
hydrodynamiques est rendue complexe par la présence d’hétérogénéités spatiales à toutes échelles et
génératrices de propriétés dynamiques fortement contrastées. Les données servant de base à ce travail
ont été acquises par tests d’interférence sur le Site Expérimental Hydrogéologique de Poitiers (SEH).
L’aquifère captif investigué, de 100 mètres d’épaisseur moyenne, est constitué de roches carbonatées
fracturées et karstifiées du Jurassique moyen. La campagne de forage des puits a commencé en 2002 et
s’est terminée en 2005 avec plus d’une trentaine d’ouvrages verticaux disposés selon un dispositif
"five spot" (quatre tailles de mailles de 70 à 210 mètres de côté, Figure 1) permettant d’étudier les
effets d’échelle. La campagne 2004 de tests d’interférence rassemble des essais hydrauliques effectués
en 2003 et 2004 sur la première série de forages. Les puits forés en 2005 ont été testés lors de la
campagne 2005.
Figure 1 : Localisation des forages du Site Expérimental Hydrogéologique. En noir : puits testés en 2004, en blanc :
puits testés en 2005.
11
Deux exemples de tests issus des campagnes 2004 et 2005 sont reportés en Figure 2. Les tests
d’interférence fournissent des courbes de rabattement de différentes formes [Bernard, 2005]. Certaines
sont convexes et montrent une augmentation du rabattement plus importante qu’une fonction linéaire
du log du temps. Elles ont été interprétées comme caractéristiques d’ouvrages fortement productifs
dont la connexion avec le milieu en général et le puits pompé en particulier est importante. D’autres
(non représentées ici) présentent une augmentation brutale du rabattement en fonction du temps et
caractérisent des puits faiblement producteurs. Enfin, de nombreuses courbes ont "localement" une
forme en baïonnette avec la présence d’une inflexion aux temps intermédiaires puis une forme
convexe aux temps longs.
7
7
M11 50 m
M3 55 m
MP5 70 m
MP6 111 m
M2 167 m
M5 183 m
5
4
MP7 50 m
MP6 71 m
MP5 111 m
M7 141 m
M11 211 m
M3 229 m
6
Rabattement (m)
Rabattement (m)
6
3
2
5
4
3
2
1
1
0
0
100
1000
10000
Temps (s)
100000
1000000
100
1000
10000
Temps (s)
100000
1000000
Figure 2 : Exemples de courbes de rabattement obtenues lors des tests de 2004 (à gauche, pompage en M6) et de 2005
(à droite, pompage en M16).
Les données recueillies par tests d’interférence au cours de la campagne 2005 montrent une réponse de
l’aquifère très différente de celle observée en 2004. Toujours de forme convexe, les courbes de
rabattement ne sont cependant plus différenciables en fonction de la distance entre le puits de pompage
et le puits d’observation. Que l’éloignement entre le pompage et le point de mesure soit grand ou petit,
les rabattements suivent la même évolution en amplitude avec des différences de temps de l’ordre de
104 secondes (ce qui est faible comparé aux temps caractéristiques de pompage de l’ordre de 5x105 s).
Par comparaison avec les données de 2004, les rabattements de 2005 sont plus faibles aux distances
courtes. L’aquifère réagit comme si la dépression engendrée par le pompage se propageait rapidement
et identiquement dans un large rayon autour du puits pompé. Cette observation traduit un changement
du comportement hydrodynamique du site. Voyons quelle peut en être l’explication physique.
Selon [Bernard, 2005], cette modification de comportement pourrait provenir de la succession de
pompages d’essai en 2004 qui aurait décolmaté les chenaux d’écoulement, augmentant ainsi la
connectivité des puits. Les nombreux forages effectués en 2004 auraient également participé à la
réouverture d’anciens drains karstiques observés par [Audouin et al., 2008] en imagerie optique dans
les ouvrages. Le marteau fond de trou activé par injection d’air sous pression est la technique utilisée
pour la réalisation de la plupart des puits. Les surpressions d’air, visibles sur le site et se manifestant
par de fortes oscillations de la charge hydraulique, pourraient avoir provoqué un "stress" du milieu
favorisant le décolmatage progressif des chenaux. La répartition non uniforme des arrivées d’eau dans
les puits ainsi que les diagraphies optiques et soniques permettent de souligner la présence d’horizons
karstifiés de faible épaisseur mais largement ouverts et conducteurs. La présence de karst a également
12
été mise en évidence par [Audouin and Bodin, 2008] grâce à l’analyse déportée de réponses à des
chocs hydrauliques. Généralement, les variations de niveaux piézométriques lors d’un choc
hydraulique ne sont enregistrées que dans le puits testé. Or, contrairement à ce qui était admis
[Guyonnet et al., 1993], le volume d’investigation d’un choc hydraulique en termes de propagation de
l’onde de choc (et non de déplacement du volume d’eau) peut être suffisamment important pour que
soient observées des variations de niveaux dans d’autres puits. Sur le SEH, les réponses déportées aux
chocs hydrauliques montrent que certaines connexions sont très diffusives et permettent la propagation
d’onde de perturbation sur de grandes distances (100 m comme ordre de grandeur). Notons que
l’évolution du comportement hydrodynamique de l’aquifère est amorcée sur les dernières données
acquises en 2004, avec certains rabattements qui sont confondus en temps et en amplitude quelle que
soit la distance puits pompé – puits observé.
La grande majorité des courbes de rabattement étant convexes sur des temps de pompage longs, elles
sont difficilement interprétables avec la méthode classique de [Cooper Jr. and Jacob, 1946]. En effet,
la non-linéarité des rabattements en fonction du log du temps rend l’essai non interprétable dans le
cadre d’une hypothèse de milieu homogène à propriétés uniformes. Plus exactement, une
interprétation Cooper-Jacob donnera des paramètres conducteurs et capacitifs évoluant au cours du
temps de pompage. Une approximation combinant la solution analytique de Cooper-Jacob et des lois
d’échelle sur les paramètres conductivité hydraulique K et porosité φ (ou emmagasinement spécifique
Ss) est proposée par [Delay et al., 2004] et [Bernard et al., 2006]. Cette méthode est issue de travaux
sur la théorie de la percolation et les milieux fractals [O'Shaughnessy and Procaccia, 1985; Stauffer
and Aharony, 1994]. La loi d’échelle fractale a déjà été utilisée pour des approches simple continuum
du réservoir [Acuna and Yortsos, 1995; Chang and Yortsos, 1990; Le Borgne et al., 2004] et s’écrit
s ( r ) = s 0 r −α , s ( r ) étant le paramètre effectif pour une distance r, s0 le paramètre de dimensionnement
et α l’exposant de puissance de la loi fractale en espace. Spécifiquement, pour un milieu fractal simple
de dimension D dans un espace Euclidien de dimension d, l’emmagasinement étant proportionnel à la
fraction volumique (cette dernière est le ratio du volume fractal sur le volume total) est par conséquent
proportionnel à r D r d = r D − d . Les milieux fractals sont aussi caractérisés par une dimension dite "du
marcheur aléatoire" stipulant que les paramètres effectifs du transport sont soumis à loi d’échelle. Pour
un écoulement typiquement diffusif, la diffusion hydraulique s’écrit D H = K Ss ≡ r −θ , θ étant la
dimension du marcheur aléatoire (ou encore l’exposant spectral). De fait, la conductivité hydraulique
évolue en K ≡ r D − d −θ . Le travail proposé par [Delay et al., 2004] est une approximation logarithmique
des rabattements en un point en fonction du temps comparable à la solution de Cooper-Jacob. Elle
repose en partie sur la transformation des lois d’échelle spatiales en lois temporelles pour les deux
paramètres K et Ss. Si la diffusion hydraulique du milieu fractal est en r −θ [L-θ], elle reste cependant
de dimension [L2T-1]. L’identification de cette dimension à la loi en [L-θ] suppose une proportionnalité
en régime diffusif T ∝ L2+θ . Il est donc aisé de transformer les lois d’échelles spatiales pour obtenir in
fine : K ( t ) ≡ t −μ , μ = ( d − D + θ ) ( 2 + θ ) ; Ss ( t ) ≡ t −ω , ω = ( d − D ) ( 2 + θ ) .
Dans la théorie d’un milieu fractal, la forme en "baïonnette" de certaines courbes de rabattement
relatives au SEH est expliquée par le passage d’écoulements tridimensionnels à des écoulements
bidimensionnels et un changement de la dimension fractale vue pendant l’essai alors que le rayon
investigué augmente. Chaque courbe de la campagne 2004 a été re-interprétée avec ce modèle fractal
simple continuum par [Kaczmaryk and Delay, 2007b]. Les paramètres identifiés montrent des valeurs
scalaires décroissantes avec la distance puits pompé – puits observé. S’il est question de conductivité
hydraulique, cette décroissance est conforme avec celle attendue d’un milieu fractal. Par contre,
13
l’emmagasinement décroît beaucoup plus fortement, invalidant en partie l’hypothèse que l’approche
simple milieu fractal puisse représenter correctement l’aquifère au droit du site.
La question se pose alors d’identifier un concept, un type de milieu, un modèle, pertinents pour
l’interprétation des données du site sans contradiction avec les hypothèses qui sous-tendent la méthode
utilisée. Parallèlement, on pourra aussi s’interroger sur les capacités de ladite méthode à intégrer
correctement les modifications évidentes de comportement du site entre les deux campagnes de tests.
La philosophie de ce travail est basée sur l’idée du développement d’outils simples d’interprétation de
tests d’interférences. Sous le terme "outils simples", on entend des outils faiblement paramétrés, qui
soient inversibles et qui permettent d’obtenir les caractéristiques macroscopiques de l’écoulement
(conductivité hydraulique et emmagasinement spécifique). La philosophie du développement d’un
outil simple, dont l’utilisation est quasiment aussi facile qu’une solution analytique (sauf qu’elle
nécessite un code de calcul), va à l’encontre d’une représentation détaillée de l’hétérogénéité. Sauf à
représenter les hétérogénéités sous la forme de continuums statistiques décrits simplement (par
exemple, la covariance spatiale de la grandeur d’intérêt), la piste la plus simple reste le milieu
homogène, éventuellement décliné sous diverses formes : fractal, double continuum,…
Les hétérogénéités macroscopiques de l’aquifère étant essentiellement le fait d’un réseau de fractures
et de conduits karstiques envahissant une matrice calcaire poreuse, la première idée traversant l’esprit
est une représentation double milieu du réservoir. Proposé pour la première fois par [Barenblatt et al.,
1960] et largement utilisé depuis en ingénierie pétrolière [Auriault and Boutin, 1992; Landereau,
2000; Landereau et al., 2001; Quintard and Whitaker, 1996; Warren and Root, 1963], le modèle
double milieu décrit l’aquifère poreux fracturé comme l’assemblage de deux continuums interactifs et
imbriqués : 1- la matrice aux propriétés capacitives importantes ; 2- le milieu fractures fortement
conducteur. Les transferts de fluide entre ces deux milieux aux propriétés contrastées sont gérés par un
terme d’échange dont la forme et la paramétrisation revêtent une importance particulière. Les modèles
de [Barenblatt et al., 1960] et de [Warren and Root, 1963] sont qualifiés de modèles à écoulement
pseudo-permanent (ou stationnaires) car ils supposent un échange entre matrice et fractures qui ne
dépend du temps que par le biais de pressions (ou de charges hydrauliques) moyennes dans la matrice
et les fractures. Cette hypothèse est une approximation simplifiant la résolution mathématique mais ne
correspondant pas pour autant à la réalité physique de l’écoulement. Des modèles à écoulement
transitoire ont été proposés [Barker, 1988; Boulton and Streltsova, 1977; Kazemi et al., 1976] et
regroupent toutes les approches basées sur une forme non stationnaire des échanges matrice fractures. Cette forme correspond mieux à la réalité car l’échange devient un phénomène diffusif
d’intensité variable au cours du temps (et non plus uniquement variable par le biais des pressions dans
chaque milieu). Comme ce terme diffusif complique la mise en équation, on simplifie généralement
son expression par la mise en place d’un "effet mémoire" pour l’échange entre la matrice et les
fractures. Il s’agit d’une technique assez classique en physique. Si on relie phénoménologiquement un
signal S ( t ) à une entrée E ( t ) via une relation "stationnaire" S ( t ) = E ( t ) α ( t ) , une approche non
stationnaire remplace la relation précédente par un produit de convolution S ( t ) = ∫ E ( τ ) α ( t − τ ) dτ .
Pour un processus sans mémoire ( α(t) = δ(t) ) , on retrouve la relation phénoménologique initiale. On
peut également trouver d’autres formes du genre : S ( t ) = ∫
∂E ( τ )
α ( t − τ ) dτ . C’est cette dernière qui
∂t
est assez souvent citée pour le caractère non stationnaire des échanges matrice – fractures des modèles
double continuum. Dans une optique de paramétrisation simple, ce travail a fait le choix d’une
14
approche stationnaire pour le terme d’échange. L’hétérogénéité du réservoir poreux fracturé est alors
portée par un milieu matriciel à fort emmagasinement et à conductivité hydraulique négligeable
échangeant sous l’effet de la différence de pression avec un milieu fractures à forte conductivité et à
faible emmagasinement. Ce modèle purement diffusif + cinétique du premier ordre (pour l’échange)
sera l’outil d’interprétation des données acquises en 2004 par tests d’interférence. Cette approche
double milieu devra ensuite être modifiée pour tenir compte des observations faites sur les données de
2005, à savoir l’identité des rabattements quelle que soit la distance à laquelle ils ont été mesurés. On
verra que l’idée de propager très rapidement et uniformément la déplétion engendrée par le puits
pompé peut se ramener à l’ajout d’une partie hyperbolique dans les équations du double milieu.
Afin de concevoir un outil d’interprétation des tests d’interférence qui soit simple et sur lequel on
puisse greffer une procédure d’inversion identifiant automatiquement les paramètres
hydrodynamiques, chaque modèle double milieu est construit selon un schéma d’écoulement radial
convergent à symétrie cylindrique. Les modèles sont développés suivant deux approches : une
approche avec des paramètres uniformes sur tout le domaine, et une approche fractale reprenant ainsi
l’idée que les réseaux de fractures puissent obéir à une géométrie dont la dimension est inférieure à
celle de l’espace Euclidien qui les contient. L’inversion des données est effectuée selon une méthode
classique de minimisation des moindres carrés et on s’attachera à calculer les sensibilités analytiques
du modèle aux différents paramètres, technique donnant rigueur et précision à la procédure de
recherche des paramètres optimaux. Chaque courbe de rabattement correspondant à un couple puits
pompé - puits observé est inversée individuellement. On obtient donc pour chaque couple un jeu de
paramètres hydrodynamiques. L’étalement statistique des valeurs trouvées pour l’ensemble des
couples de puits testés permet de statuer sur le caractère adapté ou non du modèle à représenter le
milieu au droit du site. Par exemple, si le modèle fait l’hypothèse de paramètres uniformes et que les
paramètres ajustés par inversion varient beaucoup en fonction de l’interdistance entre les puits ou de
leur position relative dans l’espace, il est peu vraisemblable que l’hypothèse d’uniformité soit un bon
modèle de représentation.
I.1. Principe et équations du modèle double milieu
En conditions de validité de la loi de Darcy, les équations décrivant l’écoulement dans un double
milieu se notent généralement sous la forme :
∂h f
= ∇.( K f .∇h f ) + q m / f + q f
∂t
∂h
Ss m m = ∇. ( K m .∇h m ) − q m / f + q m
∂t
Ss f
(I.1)
Les indices f et m font référence au continuum fracture et au continuum matrice. h [L] est la variable
d’état et correspond à la charge hydraulique, Ss [L-1] est l’emmagasinement spécifique et K [LT-1] la
conductivité hydraulique. Le terme d’échange entre la matrice et les fractures se note q m / f [T-1]. Le
terme puits – source q [T-1] est défini positif pour des flux entrant dans le milieu considéré (f ou m) et
négatif pour des flux sortant.
Avec à l’esprit le développement d’un modèle conceptuel simple homogénéisant les aquifères poreux
fracturés tels que celui du Site Expérimental Hydrogéologique, l’outil d’interprétation d’essais
15
d’interférence est construit sur la base d’un écoulement 2D (homogénéisé sur la verticale) radial
convergent. La symétrie cylindrique du problème est conservée sur l’ensemble du domaine autour du
puits sans anisotropie (horizontale ou verticale), ni stratification horizontale. L’écoulement dans la
matrice rocheuse est supposé négligeable, éliminant de fait le terme faisant intervenir la conductivité
hydraulique de la matrice. Le terme "puits-source" de l’équation de matrice en (I.1) est également
éliminé car on suppose que les puits de pompage drainent localement le système par le biais des
fractures interceptées. Le terme "puits-source" des fractures est alors noté q p ( 0, t ) (puits pompé en
r = 0 ). L’échange de flux entre la matrice capacitive et les fractures conductrices est développé selon
une formulation stationnaire et dépend d’un coefficient d’échange α [L-1T-1] et de la différence de
pression (ou de charge hydraulique) entre les deux milieux. Au vu des hypothèses énoncées, les
équations (I.1) deviennent :
Ss f ( r )
∂h f ( r, t )
Ss m ( r )
∂t
=
∂h m ( r, t )
∂t
∂h f ( r, t ) ⎞
1∂⎛
⎜ r Kf ( r )
⎟ + α ( r )( h m ( r, t ) − h f ( r, t ) ) + q p ( 0, t )
r ∂r ⎝
∂r
⎠
⎡⎣T −1 ⎤⎦
(I.2)
= α ( r )( h f ( r, t )− h m ( r, t ) ) ⎡⎣T −1 ⎤⎦
avec r et t utilisés comme références spatiales ( r = 0 au puits pompé) et temporelles (t = 0 au
démarrage de l’essai). La discrétisation de ces équations et les conditions limites sont détaillées en
annexe A (équations (A.1) à (A.4)). On obtient un schéma volumes finis du type :
( i − 1 2 ) Ssf Δr 2
i
h fni +1 − h fni
Δt
= i K fi+1 2 ( h fni++11 − h fni +1 ) − ( i − 1) K fi−1 2 ( h fni +1 − h fni−+11 )
+ ( i − 1 2 ) α i Δr 2 ( h nm+i 1 − h fni +1 ) +
( i − 1 2 ) Ss m Δr
i
2
h nm+i 1 − h mn i
Δt
Q p δ1,i
2πe
(I.3)
= ( i − 1 2 ) α i Δr 2 ( h fni +1 − h nm+i 1 )
avec i la référence au numéro de la maille de taille Δr (i croissant en s’éloignant du puits pompé), n la
référence au temps découpé à pas régulier Δt . On retiendra ici les quelques éléments suivants et
déterminants pour une bonne simulation (directe) de l’écoulement radial convergent. Qp [L3T-1] est le
débit pompé dans le puits localisé dans la maille 1 (la fonction Kronecker δ1,i vaut 1 en i = 1 et 0
ailleurs). Ss fi ,Ss mi ,αi sont des valeurs moyennes sur la maille i. Les paramètres capacitifs Ssf et Ssm
étant des fonctions linéaires de la porosité du milieu, ils peuvent être considérés comme des propriétés
additives. La signification physique du coefficient d’échange α est discutée plus loin. Cependant,
puisqu’il régule les flux d’eau entre la matrice (Ssm) et la fracture (Ssf), il peut également être vu
comme une propriété additive. Ce sens physique est conforté par la forme des sensibilités du modèle
double continuum au coefficient d’échange (voir partie I.3.1.) mais également par le fait, qu’en milieu
fractal, l’exposant de puissance de la loi d’échelle du paramètre soit sensiblement le même que ceux
des emmagasinements (voir partie I.1.2.). La valeur moyenne de ces trois paramètres sur une maille i
est alors simplement calculée par une moyenne arithmétique (annexe A). Les conductivités
intermailles K fi±1 2 sont également des valeurs moyennes. Il est démontré en annexe A (équations (A.5)
à (A.12)) qu’en dépit d’un écoulement radial convergent ces conductivités intermailles se ramènent
classiquement à une moyenne harmonique.
16
Ainsi construit, l’outil numérique permet de simuler l’écoulement dans un milieu dont on comprend
que l’hétérogénéité est réduite "au mieux" à des valeurs constantes par mailles concentriques autour du
puits pompé. Rappelons pour mémoire que dans un souci de simplification et de paramétrisation
minimaliste, on "dégrade" l’outil numérique à un double milieu homogène (HDM – Homogeneous
Dual Medium) et à un modèle double milieu fractal (FDM – Fractal Dual Medium).
I.1.1. Double milieu homogène
Le milieu homogène uniforme est la paramétrisation la plus simple que l’on puisse envisager pour les
équations (I.3) alors contraintes par quatre paramètres constants : Kf, Ssf, Ssm, et α. Le système
discrétisé est simplifié (annexe A) :
⎡
2 Ss f
2 ⎤ n +1
n +1
n +1
⎢( i − 1 2 ) Δr Δt + ( 2i − 1) K f + ( i − 1 2 ) Δr α ⎥ h fi − [i K f ] h fi+1 − ⎡⎣( i − 1) K f ⎤⎦ h fi−1
⎣
⎦
Q p δ1,i
Ss ⎤
⎡
= ⎢( i − 1 2 ) Δr 2 f ⎥ h fni + ⎣⎡( i − 1 2 ) Δr 2 α ⎦⎤ h nm+i 1 +
2πe
Δt ⎦
⎣
(I.4)
⎡
⎡
2 Ss m
2 ⎤ n +1
2 Ss m ⎤ n
2
n +1
⎢( i − 1 2 ) Δr Δt + ( i − 1 2 ) Δr α ⎥ h mi = ⎢( i − 1 2 ) Δr Δt ⎥ h mi ⎣⎡ + ( i − 1 2 ) Δr α ⎦⎤ h fi
⎣
⎦
⎣
⎦
Ce système peut s’écrire sous la forme matricielle suivante :
A f ⋅ h fn +1 = Df ⋅ h fn + C ⋅ h nm+1 + B
A m ⋅ h nm+1 = Dm ⋅ h nm + C ⋅ h fn +1
(I.5)
Af est une matrice tri-diagonale tandis que Am, Df, Dm et C sont des matrices diagonales. B est le
vecteur correspondant aux conditions aux limites. En r = 0, on écrit une condition de symétrie
permettant de respecter le caractère radial convergent du problème et le débit pompé par le puits
s’ajoute à la maille #1. Supposant que le milieu est infini, il est décrit par un nombre de mailles Nm
(Nm suffisamment grand pour ne pas influencer les distances intéressées par le calcul) et la maille Nm
se voit imposer une charge hydraulique constante H0.
Les deux équations (I.5) sont couplées par la présence de hm dans l’équation de hf (et inversement).
Une méthode de résolution consiste à itérer jusqu’à convergence de la solution. Une autre méthode
plus élégante (quand elle n’engendre pas de systèmes linéaires mal conditionnés) substitue la charge
dans la matrice de la première équation par son expression obtenue par la seconde.
h nm+1 = ⎡⎣ A −m1 ⋅ Dm ⎤⎦ ⋅ h mn + ⎡⎣ A −m1 ⋅ C⎤⎦ ⋅ h fn +1
⎡⎣ A f − C ⋅ A m−1 ⋅ C ⎤⎦ ⋅ h fn +1 = Df ⋅ h fn + ⎡⎣C ⋅ A −m1 ⋅ Dm ⎤⎦ ⋅ h mn + B
(I.6)
On obtient alors une équation où le vecteur inconnu h nm+1 est éliminé. La matrice ⎡⎣ A f − C ⋅ A m−1 ⋅ C ⎤⎦ est
tri-diagonale et l’équation peut être résolue directement en utilisant l’algorithme de Thomas (détaillé
en annexe B). La résolution de h nm+1 = ⎡⎣ A −m1 ⋅ Dm ⎤⎦ ⋅ h nm + ⎡⎣ A −m1 ⋅ C ⎤⎦ ⋅ h fn +1 est alors immédiate car h fn +1 est
connu. Cette méthode est simple et rapide en temps de calcul. L’algorithme de Thomas transformant le
17
système tri-diagonal initial en système triangulaire, limite les éventuelles singularités numériques dues
à de forts contrastes des grandeurs scalaires dans la matrice initiale (contrastes liés ici pour l’essentiel
à des différences entre la valeur du coefficient d’échange et les termes d’emmagasinement de matrice
et de fractures.
I.1.2. Double milieu fractal
Le double milieu fractal intègre une hétérogénéité spatiale décrite par des lois d’échelle. Ce type de loi
a déjà été utilisé par [Bernard et al., 2006] pour un modèle simple milieu. Les quatre paramètres
hydrodynamiques des équations (I.2) suivent une loi de puissance en espace de type s ( r ) = s 0 r −λ . s0 est
le facteur de dimensionnement, λ l’exposant de puissance. L’approche FDM est alors conditionnée par
huit paramètres :
K f ( r ) = K f 0 r − a ; Ss f ( r ) = Ss f 0 r − b ; Ss m ( r ) = Ss m0 r − c ; α ( r ) = α 0 r − d
(I.7)
Voyons tout d’abord quelles sont les valeurs potentielles des exposants de puissance. Si ces exposants
sont laissés à la dérive (non contraints dans l’inversion), ils engendreront probablement une grande
variabilité des paramètres effectifs s ( r ) . De fait, l’inversion risque de diverger et de surcroît, chercher
des paramètres dont le sens physique est discutable. Dans un milieu fractal, la porosité φ [-] évolue
selon une loi d’échelle de la forme : φ ∝ r D − d avec d la dimension Euclidienne (ici d = 2) et D la
dimension fractale. Pour des objets fractals synthétiques ou naturels, des valeurs de D variant entre 1.5
et 1.95 sont proposées dans la littérature [Bonnet et al., 2001; Stauffer and Aharony, 1994].
L’emmagasinement spécifique peut s’exprimer en première approximation sous la forme Ss ∝ φcρg
avec c [M-1LT2] la compressibilité du milieu, ρ [ML-3] la masse volumique du fluide contenu dans le
milieu et g [LT-2] l’accélération gravitationnelle. De ces relations, on peut déduire que les exposants b
et c pour Ss f ( r ) et Ss m ( r ) vont varier dans la gamme [0.05 - 0.5]. La signification physique du
coefficient d’échange est celle d’un coefficient de diffusion intégrant une conductivité hydraulique
moyenne sur une surface d’échange entre matrice et fractures. Les flux d’eau entre les deux continuum
−1
s’expriment par prise de moyenne volumique sur V [L3] : V ∫ K∇h dΓ , avec Γ [L2] la surface
Γ
d’échange entre matrice et fractures, K∇h les flux [LT-1] traversant cette surface. En supposant
l’homogénéité du milieu et en utilisant un schéma en différences finies, cette expression peut se
simplifier en K ( ΓΔh ) ( V ΔL ) . La comparaison par identification à la forme du terme d’échange en
(I.2) donne à ce dernier l’expression: K Γ
( V ΔL ) .
V et ΔL sont indépendants de la nature fractale
du milieu et les paramètres K et Γ obéissent aux lois d’échelle : K ≡ r D − d −θ ; Γ ≡ r D −1 . Le coefficient α
suit alors une loi en α ≡ r 2D − d −1−θ . θ variant entre 0.3 et 0.8 en milieu fractal bi-dimensionnel,
l’exposant d de la loi d’échelle pour α varie entre [0-0.8]. Le coefficient d’échange a un rôle
"tampon" entre le fluide contenu dans la matrice dépendant de Ss m ( r ) et le fluide de la fracture
conditionné par Ss f ( r ) . En fait, ce coefficient régule les échanges d’eau entre les deux milieux. On
peut donc supposer qu’il suit une loi d’échelle similaire à celle des emmagasinements spécifiques des
deux continuums. L’exposant d devrait donc également varier sur [0.05 - 0.5]. Il reste à borner les
valeurs de a pour la conductivité hydraulique de fracture. Dans un milieu fractal, la diffusion
hydraulique évolue selon D H ∝ r −θ [Stauffer and Aharony, 1994]. Connaissant la relation
D H = K f Ss et K f ≡ r D − d −θ , on obtient une gamme de variation de [0.4 - 1.3] pour l’exposant a.
18
Dans le système d’équations discrétisées en (I.3), la conductivité hydraulique intermaille doit être
remplacée par sa moyenne harmonique tandis que les paramètres capacitifs et d’échange sont évalués
par leur moyenne arithmétique. Le développement de ces moyennes en contexte fractal est détaillé en
annexe A (équations (A.14) à (A.19)). Si on se trouve assez loin du puits pompé (voir annexe A, r
grand, indice de maille i élevé) ces moyennes, harmoniques ou arithmétiques, tendent vers les valeurs
locales du paramètre. Ainsi, pour la moyenne harmonique de la conductivité hydraulique à l’interface
entre la maille i et la maille i+1, on obtient :
K f i +1/ 2
H
≈ K f 0 (iΔr) − a
(I.8)
Pour la moyenne arithmétique des paramètres s = Ssf, Ssm et α sur la maille i, on aura :
si
A
≈ s 0 ( (i − 1/ 2)Δr )
−λ
(I.9)
Finalement, les équations discrètes du double milieu fractal s’écrivent :
Ss f 0
⎡
⎤
1− b
2− b
+ ( i1− a + (i − 1)1− a ) Δr − a K f 0 + (i − 1/ 2)1− d Δr 2− d α 0 ⎥ h fni+1 − ⎡i1− a Δr − a K f 0 ⎤ h fni++11
⎢(i − 1/ 2) Δr
⎣
⎦
Δt
⎢⎣
⎥⎦
Ss f 0 ⎤ n
⎡
Q p δ1,i
h f i + ⎣⎡ (i − 1/ 2)1− d Δr 2 − d α 0 ⎦⎤ h nm+i1 +
− ⎡ (i − 1)1− a Δr − a K f 0 ⎤ h fni+−11 = ⎢ (i − 1/ 2)1− b Δr 2 − b
⎥
⎣
⎦
2πe
Δt ⎥⎦
⎢⎣
(I.10)
Ss m 0
Ss m 0 ⎤ n
⎡
⎤
⎡
1− c
2−c
+ (i − 1/ 2)1− d Δr 2 − d α 0 ⎥ h nm+i1 = ⎢(i − 1/ 2)1− c Δr 2 − c
⎢(i − 1/ 2) Δr
⎥ hm
Δt
Δt ⎦⎥ i
⎣⎢
⎦⎥
⎣⎢
+ ⎡⎣(i − 1/ 2)1− d Δr 2 − d α 0 ⎤⎦ h fni+1
Sous forme matricielle, le système linéaire obtenu est comparable à celui du HDM en (I.6) avec
matrices et vecteurs ( A f , A m , C, Df , Dm , B ) modifiés pour intégrer l’hétérogénéité fractale du milieu.
La résolution numérique est similaire à celle décrite pour l’approche HDM.
I.2. Procédure d’inversion
Le problème inverse a pour but d’optimiser un jeu de paramètres s qui, via le modèle, reproduise le
plus fidèlement possible le comportement observé. Mathématiquement cela se traduit par la
minimisation d’une fonction objectif intégrant la différence entre la variable d’état simulée et la
variable d’état observée. En fonction du type de problème résolu, plusieurs formes de fonction objectif
sont envisageables. La bonne définition de la fonction objectif est un des éléments clés du problème
inverse car ladite fonction doit être adaptée aux données que l’on souhaite mimer avec le modèle. En
l’occurrence la minimisation est modulable en pondérant certaines valeurs d’erreurs entre variable
simulée et variable observée par rapport à d’autres. Dans le cas d’un double milieu, les
développements de formes algébriques et les calculs de valeurs (voir partie I.3.) des sensibilités du
modèle aux paramètres montrent que tous les temps comptent, ne justifiant pas l’utilisation de
pondérateurs. On peut également contraindre l’optimiseur par l’ajout de contraintes sur les valeurs des
19
paramètres (par exemple autoriser l’exposant a de la loi fractale de la conductivité hydraulique à varier
sur [0.4 - 1.3]). L’essentiel des puits observés et qui présentent des rabattements interprétables sont
connectés au continuum fractures. Par équilibre local des charges hydrauliques au puits sur toute la
colonne d’eau, on peut raisonnablement penser que les mesures des tests d’interférence intéressent une
charge correspondant localement à celle du milieu fractures (mais aussi du milieu matrice en
supposant l’équilibre hydrostatique au puits observé). La variable d’état est donc la charge hydraulique
dans le milieu fracturé. La fonction objectif est de type moindres carrés entre charges calculées h Cf et
charges observées h Of et s’écrit:
F(s) =
2
1 n C
1
h fi ( s ) − h Ofi ) = ξ T ( s ) .ξ ( s )
(
∑
2 i =1
2
(I.11)
s est le vecteur des paramètres à identifier (de taille p = nombre de paramètres). Le vecteur erreur ξ
{
}
est noté ξ ( s ) = ξi = ( h Cfi ( s ) − h Ofi ) , i = 1 n , n étant le nombre de points de calage choisis entre
courbes de rabattement simulées et observées. Dans le cas présent, puisqu’une seule courbe de
rabattement est ajustée, la notion de point de mesure fait référence à des temps sur la courbe
d’évolution du rabattement local observé. L’inversion fournit un jeu de paramètres par couple puits
pompé – puits observé et on regarde ensuite si le comportement de l’ensemble des paramètres sur Nc
couples est compatible avec l’hypothèse attenante au milieu testé : uniforme, ou évoluant avec la
distance r selon une loi s ( r ) ≡ r −λ .
Le vecteur s contenant peu de paramètres (4 pour le modèle homogène et 8 pour le fractal), l’inversion
s’appuie sur une méthode d’optimisation itérative de Gauss-Newton, réputée efficace tant que le
problème comporte moins d’une vingtaine de paramètres [Carrera and Neuman, 1986]. A l’instar de
nombreuses méthodes d’optimisation non linéaire, la méthode de Gauss-Newton est basée sur le calcul
de la direction de descente d des paramètres entre deux itérations de convergence (k et k+1) jusqu’à ce
que la fonction objectif atteigne un minimum local. Une approximation au second ordre de la fonction
objectif à l’itéré k+1 est obtenue par développement de Taylor :
T
1 T
F ( s k +1 ) = F ( s k ) + d k .∇F ( s k ) + d k .∇ 2 F ( s k ) .d k
2
(I.12)
∇F ( s k ) est le gradient de la fonction objectif (vecteur de taille p) : ∇F ( s k ) = {∂F ∂s j , j = 1...p} ,
∇ 2 F ( s k ) est la matrice Hessienne (de dimension pxp) : ∇ 2 F ( s k ) = {∂ 2 F ∂si ∂si ,i, j = 1...p} . La dérivée
de F ( s k +1 ) par rapport à s k +1 ou, ce qui est équivalent, à d k = s k +1 − s k s’écrit :
∇F ( s k +1 ) = ∇F ( s k ) + ∇ 2 F ( s k ) .d k
(I.13)
Lorsqu’on atteint l’optimum ∇F ( s k +1 ) = 0 . Par conséquent, la direction de descente entre les itérations
k et k+1 a pour expression :
(
)
d k = s k +1 − s k = − ∇ 2 F ( s k ) .∇F ( s k )
-1
(I.14)
20
Cette forme est connue sous le nom de méthode de Newton. La méthode dérivée dite de GaussNewton repose sur le calcul exact du gradient et sur l’approximation du Hessien. On peut montrer par
quelques manipulations algébriques que le gradient s’exprime en fonction de la matrice Jacobienne des
erreurs et du vecteur erreur : ∇Fk = J ξTk .ξ k . La Jacobienne s’écrit : J ξk = {∂ξik ∂s j ,i = 1...n, j = 1...p} et
stocke les sensibilités du modèle aux paramètres : ∂ξi ∂s j = ∂h Cfi ∂s j . Le Hessien se note :
(
)
∇ 2 Fk = J Tξk .J ξk + ∂J ξTk ∂s .ξ k . En supposant ξ k petit près de l’optimum, l’expression du Hessien est
simplifiée : ∇ F ≈ J .J ξk . L’identification de la direction de descente par la méthode de Gauss2
k
T
ξk
Newton s’écrit alors :
(
d k = − J ξTk .J ξk
) .( J
-1
T
ξk
.ξ k
)
(I.15)
La difficulté de cette approche réside dans le calcul de la matrice Jacobienne et certains défauts de
convergence du problème (I.15) peuvent être liés à la mauvaise approximation du Hessien. Il existe
une méthode d’inversion, a priori plus accessible, basée sur une approximation linéaire au premier
ordre de la fonction objectif : F ( s k + λd k )
F ( s k ) + λ ∇F ( s k ) ⋅ d k . Supposons λ > 0 , pour que F
T
diminue en ( s k + λd k ) , il faut choisir λ ∇F ( s k ) ⋅ d k grand en valeur absolue et de signe négatif. La
T
solution pour obtenir la diminution la plus forte de F ( s k + λd k ) est de prendre d k = −∇F ( s k ) . Cette
méthode dite "Steepest-Descent" calcule la direction de descente directement à partir du gradient.
Intéressante sur les premières itérations de convergence, le plus souvent cette approche n’est pas assez
précise lorsque la solution s’approche de l’optimum. Afin d’accélérer l’identification des paramètres,
on peut coupler les deux méthodes (algorithme de Levenberg-Marquardt) et passer de la méthode
Steepest-Descent aux premières itérations de convergence à la méthode de Gauss-Newton quand la
fonction objectif se rapproche du minimum. Cet algorithme s’écrit :
(η I + (J
k
T
ξk
.J ξk
)).d
k
= − J ξTk .ξ k
(I.16)
Dans cette équation, I est la matrice identité et η un scalaire qui pondère le passage d’une méthode à
l’autre. Si la norme de ηk I est largement supérieure à celle de J Tξk .J ξk , l’algorithme tend vers une
forme Steepest-Descent alors que si η est nul, il est de type Gauss-Newton.
L’équation (I.16) met en exergue le rôle fondamental, dans la recherche d’une solution inverse, de la
matrice Jacobienne dont on rappellera qu’elle porte les sensibilités du modèle aux paramètres :
J ξk = {∂ξik ∂s j ,i = 1...n, j = 1...p} , ∂ξi ∂s j = ∂h Cfi ∂s j . La convergence du problème inverse est
directement liée à la bonne estimation de cette matrice, d’où l’intérêt des efforts consacrés au calcul
des sensibilités. D’utilisation fréquente au vu de sa relative simplicité, l’approximation des sensibilités
par perturbations est généralement peu efficace. Les dérivées correspondant aux sensibilités sont
approchées par un schéma au premier ordre nécessitant le re-calcul complet de la réponse du modèle
pour une perturbation δs ajoutée aux paramètres. Concrètement, on obtient les sensibilités selon :
k
k
∂ξik ξi ( s j + δs j ) − ξi ( s j )
≈
∂s kj
δs j
(I.17)
21
La difficulté réside dans le choix de la taille de la perturbation δsj : si elle est trop grande,
l’approximation en (I.17) sera mauvaise, si elle est trop petite des problèmes numériques (division par
zéro, erreurs d’arrondis…) peuvent survenir. La méthode analytique choisie dans ce travail consiste à
écrire explicitement l’équation de chacun des termes de la matrice Jacobienne. Mise en avant par [Mc
Laughlin and Townley, 1996], cette méthode s’utilise plus communément pour des modèles directs
simples car le principe est de dériver les équations du calcul direct par rapport à chaque paramètre.
I.3. Principe du calcul des sensibilités analytiques
Formellement, le système d’équations matricielles (I.5) peut se réécrire :
A f ⋅ h fn +1 = Wf
A m ⋅ h nm+1 = Wm
(I.18)
Wf et Wm sont les vecteurs correspondant aux membres de droite des équations (I.5). En dérivant ces
équations par rapport au paramètre sj, on obtient :
Af ⋅
∂h fn +1 ∂Wf ∂A f n +1
=
−
⋅ hf
∂s j
∂s j
∂s j
∂h n +1 ∂Wm ∂A m n +1
Am ⋅ m =
−
⋅ hm
∂s j
∂s j
∂s j
(I.19)
Les sensibilités ∂h fn +1 ∂s j sont accessibles en résolvant le système (I.19) comparable à (I.18) aux
membres de droite près. Fondamentalement, le calcul des sensibilités est similaire à celui du problème
direct (même matrice de "raideur"), se réalise conjointement (même boucle d’itérations sur le temps)
et utilise le même algorithme (substitution de la charge dans la matrice dans l’équation de la fracture
comme décrit par l’équation (I.6) puis résolution du système par l’algorithme de Thomas détaillé en
annexe B). Cette similitude est bénéfique en termes de temps de calcul et de programmation car ici
l’algorithme de Thomas triangulant la matrice A est calculé une fois pour toutes. Par exemple pour p
paramètres, on résoudra un calcul direct et p calculs de sensibilités de type A ⋅ h = W dans la même
boucle d’itérations sur le temps. Autre avantage indéniable, les sensibilités seront calculées avec la
même précision intrinsèque que les variables d’état hf et hm. Le seul bémol est l’effort nécessaire afin
d’accéder "analytiquement" aux dérivées des matrices et vecteurs du système linéaire à résoudre
(second membre de (I.19)). Parfois c’est impossible, dans le cas de discrétisations complexes ou de
paramétrisations emboîtées (s est le paramètre recherché alors que c’est z =f(s) qui agit sur la variable
d’état du calcul direct). Dans les approches double milieu, ces difficultés ne se posent pas et les
systèmes permettant de calculer les sensibilités analytiques s’acquièrent via quelques développements
algébriques.
I.3.1. Sensibilités analytiques du double milieu homogène
Les expressions analytiques des sensibilités du modèle double milieu homogène sont données en
annexe B de l’article de [Delay et al., 2007]. La Figure 3 illustre l’évolution des sensibilités aux quatre
paramètres {K f ,Ss f ,Ss m ,α} du milieu homogène en fonction du temps de pompage. On s’appuie sur
22
cette figure pour résumer la discussion sur la forme et les valeurs des courbes sensibilités ∂h f ∂s j
versus temps. Les courbes ont à l’évidence des formes différentes. La sensibilité à la conductivité
hydraulique de fracture suit l’évolution des courbes de rabattement et atteint des valeurs de l’ordre de
105. La sensibilité à l’emmagasinement spécifique de fracture est forte dès les premiers temps de
pompage (drainage rapide du système fracturé lors de la mise en marche de la pompe) puis décroît
rapidement. Ses valeurs maximales atteignent 105. La matrice prenant le relais pour l’alimentation en
eau du système pompé, l’évolution de la sensibilité à l’emmagasinement spécifique de matrice est
d’abord faible puis augmente progressivement pour les temps longs jusqu’à des valeurs de l’ordre de
104. Le passage à une alimentation par la matrice rocheuse via drainage par les fractures est contrôlé
par l’échange entre les deux milieux. De fait, la sensibilité au coefficient d’échange est maximale pour
les temps intermédiaires avec des valeurs bien plus importantes que pour les autres paramètres : la
sensibilité à α dépasse 109. Cette forme de sensibilité justifie le rôle tampon entre les deux continuum
du coefficient d’échange et le fait de lui donner un sens physique proche d’un emmagasinement (lui
conférant un caractère de "propriété additive").
5
h (m)
5
3
x 10
4
5
Fracture
4
x 10
dhf /dKf
2.5
Matrix
dhf /dSsm
dhm /dKf
4
dhm /dSsm
2
3
3
1.5
2
2
1
1
0
2
10
1
0.5
4
0
2
10
6
10
time (s)
10
4
10
5
5
0
2
10
6
10
4
10
6
10
9
x 10
1.5
x 10
dhf /dSsf
4
1
dhm /dSsf
3
0.5
2
0
1
-0.5
dhf /dalpha
dhm /dalpha
0
2
10
4
10
6
10
-1
2
10
4
10
Figure 3 : Exemples de courbes de rabattement et de l’évolution des sensibilités du double milieu homogène aux
paramètres en fonction du temps à 100 m du puits pompé.
Notons que pour cet exemple, la courbe de rabattement présente une forme de baïonnette (convexité
aux temps intermédiaires). Lorsque la transition drainage par les fractures / alimentation par la matrice
n’est pas marquée par une inflexion de la courbe de rabattement (c’est parfois le cas sur les courbes
échantillonnées), on pourrait supposer une sensibilité moindre au coefficient d’échange. Des calculs
exploratoires ont montré que cette intuition était fausse : quelle que soit la forme de la courbe de
23
rabattement, α reste toujours le paramètre le plus sensible du modèle. La grande différence de valeurs
de sensibilités entre les paramètres rend la matrice Jacobienne ∂ξ ∂s mal conditionnée et la recherche
des paramètres en (I.16) mal posée. En effet, en raison des cinq ordres de grandeur d’écart entre les
sensibilités du modèle au coefficient d’échange et les sensibilités aux autres paramètres, le produit
scalaire J Tξk .J ξk de l’équation (I.16) contient des valeurs pouvant différer de dix ordres de grandeur
alors que la matrice est de petite taille. Le calcul des directions de descente est alors sujet à des
difficultés d’inversion numérique de J Tξk .J ξk . Passer par une résolution du système sans inversion ne
fonctionne guère mieux et ne permet d’obtenir que des valeurs très approximatives du vecteur de
descente. Une méthode dite de conditionnement de la matrice Jacobienne a donc été développée afin
(
de pouvoir calculer J Tξk .J ξk
)
−1
et inverser les tests d’interférence (partie I.4.).
I.3.2. Sensibilités analytiques du double milieu fractal
Rappelons que dans ce modèle, les paramètres suivent une loi d’échelle du type : s ( r ) = s 0 r −λ . Les
expressions analytiques des sensibilités du modèle double milieu fractal aux paramètres
K f0 ,Ss f0 ,Ss m0 , α 0 ,a, b,c,d sont consignées en annexe C de l’article de [Delay et al., 2007]. Un
{
}
exemple de l’évolution de ces sensibilités en fonction du temps est donné par la Figure 4.
h (m)
3
1500
15000
2
dhf /dSsf0
dhf /dKf0
Fracture
1000
Matrix
dhm /dKf0
dhm /dSsf0
10000
500
1
5000
0
0
2
10
4
6
10
time (s)
10
-500
2
10
4
10
6
10
0
2
10
4
6
10
10
7
10000
8000
6
dhf /dSsm0
x 10
2
4
0
6000
2
-2
4000
0
dhm /dSsm0
2000
-2
-4
dhf /dalpha0
-6
dhm /dalpha0
0
2
10
4
6
10
10
0
-0.2
-4
2
10
4
10
dhf /da
dhm /da
6
10
-8
2
10
0
0.5
-2
0
4
6
10
10
-0.4
-4
-0.6
-0.8
2
10
4
10
-0.5
dhf /db
dhf /dc
dhm /db
dhm /dc
6
10
-6
2
10
dhf /dd
dhm /dd
4
10
6
10
-1
2
10
4
10
6
10
Figure 4 : Exemples de courbes de rabattement et de l’évolution des sensibilités du double milieu fractal aux
paramètres en fonction du temps à 100 m du puits pompé.
24
Les paramètres de dimensionnement s 0 suivent la même évolution que leurs équivalents s dans le
double milieu homogène. Les formes des sensibilités aux exposants de puissance λ sont comparables
à celles de leur paramètre s 0 à un facteur négatif près. Cette constatation empirique a cependant un
fondement algébrique plus rigoureux qui va permettre de "simplifier" le calcul des sensibilités et du
problème inverse.
Le calcul direct étant noté selon le formalisme A ⋅ h n +1 = W + D ⋅ h n , le calcul des dérivées ∂h n +1 ∂s
s’écrit :
A⋅
∂h n +1 ∂W ∂D n
∂h n ∂A n +1
=
+
⋅h + D⋅
−
⋅h
∂s
∂s
∂s
∂s
∂s
(I.20)
A est une matrice tridiagonale et W est un vecteur construit par la combinaison linéaire du vecteur B
et du terme C ⋅ h nm+1 de l’équation (I.5). Les coefficients a ij , w i , d i des matrices et vecteurs A, W et D
dépendent de la combinaison linéaire {s k = s 0 k1−λ Δr −λ , ( k = i − 1, i − 1 2, i )} dont l’origine est liée aux
valeurs des paramètres sur les mailles du domaine ( Ss f i ,Ss m i ,α i approchés par leur moyenne
arithmétique, voir annexe A) et aux paramètres intermailles ( K fi±1 2 évalué par sa moyenne
harmonique, annexe A). Les formes algébriques de ces coefficients a ij , w i , d i sont données dans
l’annexe C du papier [Delay et al., 2007].
Les dérivées ∂s k ∂s 0 et ∂s k ∂λ s’écrivent :
∂s k
= k1−λ Δr −λ
∂s 0
∂s k
∂s
= −s 0 ln ( k Δr ) k1−λ Δr −λ = −s 0 ln ( k Δr ) k
∂λ
∂s0
(I.21)
Supposons que la distance rk = kΔr soit suffisamment grande, ln ( k Δr ) est sensiblement constant quel
que soit k ( k = i − 1, i − 1 2, i ) et pris égal à ln ( ( i − 1 2 ) Δr ) .
Tous les coefficients scalaires des matrices et vecteurs A, W et D pouvant être dérivés selon par
exemple :
∂a ij
∂λ
=
∂a
⎧ ∂s ⎫
∂
{s k } ≈ −s0 ln ( ( i − 1 2 ) Δr ) ⎨ k ⎬ ≈ −s0 ln ( ( i − 1 2 ) Δr ) ij
∂λ
∂s 0
⎩ ∂s 0 ⎭
L’équation (I.20) pour la sensibilité aux exposants de puissance λ devient :
A⋅
∂h n +1
∂W
∂D n
∂h n
∂A n +1
= −S ⋅
−S⋅
⋅h + D⋅
+S⋅
⋅h
∂λ
∂s 0
∂s 0
∂λ
∂s 0
(I.22)
avec S une matrice diagonale contenant les termes s 0 ln ( ( i − 1 2 ) Δr ) ,i = 1...Nm .
25
Procédons maintenant par raisonnement récursif . En supposant ∂h n ∂λ = −S ⋅∂h n ∂s 0 , l’expression
précédente peut être réécrite :
A⋅
⎡ ∂W ∂D n
∂h n +1
∂h n ∂A n +1 ⎤
= −S ⋅ ⎢
+
⋅h + D⋅
−
⋅h ⎥
∂λ
∂s 0 ∂s 0
⎣ ∂s 0 ∂s 0
⎦
(I.23)
Comparons cette forme à celle des sensibilités au paramètre s0 :
A⋅
∂h n +1 ∂W ∂D n
∂h n ∂A n +1
=
+
⋅h + D⋅
−
⋅h
∂s 0
∂s 0 ∂s 0
∂s 0 ∂s 0
(I.24)
Il devient évident que :
∂h n +1
∂h n +1
= −S ⋅
∂λ
∂s 0
(I.25)
Le raisonnement récursif est alors complet.
Cette relation (I.25) justifie l’observation faite sur la Figure 4 et s’avère utile puisque les sensibilités
du modèle fractal aux exposants de puissance peuvent être calculées directement à partir des
sensibilités aux paramètres de dimensionnement. L’inversion de tests d’interférence avec un modèle
double milieu fractal nécessite alors la résolution, pour chaque itération de convergence, d’un
problème direct (équation (I.6)) et de quatre calculs de sensibilités (équation (I.24) pour
s 0 = K f0 ,Ss f0 ,Ss m0 , α 0 ) au lieu de huit, les sensibilités aux exposants de puissance étant directement
obtenues par la relation (I.25). Avantageuse d’un point de vue programmation et temps de calcul, des
tests systématiques ont montré que l’approximation des sensibilités aux exposants restait efficace en
temps de convergence du problème inverse. Une comparaison entre sensibilités exactes (détaillées en
annexe C de [Delay et al., 2007]) et sensibilités approchées est présentée en Figure 5. Bien que des
différences entre les valeurs de ces sensibilités soient observables sur les premières mailles (i<200),
aucune différence dans la convergence de l’inversion des données n’a été constatée tant dans la
précision de la solution trouvée que dans le nombre d’itérations requises pour y arriver. Rappelons que
l’approximation des sensibilités aux exposants de puissance provient des simplifications des valeurs de
paramètres sur la maille ou l’intermaille (moyennes arithmétiques et harmoniques). L’inversion avec
le modèle fractal en utilisant des sensibilités approchées aux exposants de puissance est précise et
procure un gain en temps de calcul qui rend le modèle fractal équivalent au modèle homogène.
26
dhf /dd à t = 100 000 s
dhf /da à t = 100 000 s
0,15
6
4
0,1
2
0
0,05
-2
0
-4
-0,05
-6
-0,1
-8
0
200
400
600
800
0
1000
200
Numéro de mailles
400
600
Numéro de mailles
800
1000
dhf /dd en maille 300 (75 m)
dhf /da en maille 300 (75 m)
1
0,2
0
0
-0,2
-1
-0,4
-2
-0,6
-3
-0,8
-4
-1
-5
-1,2
100
1000
10000
Temps (s)
100000
100
1000
Temps(s)
10000
100000
Figure 5 : Comparaison entre sensibilités exactes (traits pleins) et approchées (cercles) aux exposants de puissance du
double milieu fractal (a = paramètre de la conductivité hydraulique et d = paramètre du coefficient d’échange). En
haut : sensibilités pour un temps donné en fonction de la distance au puits pompé ; en bas : sensibilités à une distance
donnée en fonction du temps.
I.4. Méthode de conditionnement de la matrice Jacobienne
Détaillons maintenant un aspect technique à propos du conditionnement de la matrice des sensibilités.
Ce point est primordial au sens où la matrice Jacobienne reste un des éléments clés des problèmes
inverses utilisant des méthodes de descente. Dans le cas présent, un mauvais conditionnement peut
être source de difficultés lors de la résolution du système linéaire de Gauss-Newton
(
d k = − J Tξk .J ξk
)
−1
.J ξTk .ξ k qui devient numériquement singulier. Le fait est que les sensibilités du
modèle peuvent être très contrastées d’un paramètre à l’autre (plusieurs ordres de grandeur entre ses
sensibilités à Kf, Ssf, Ssm et la sensibilité à α, voir parties I.3.1. et I.3.2.). On aurait pu s’attendre à ne
rencontrer ce problème que dans le cadre de phénomènes décrits par une partie hyperbolique (transport
de soluté par exemple), or on l’observe également pour un phénomène diffusif tel que l’écoulement.
Dans le cas du double milieu, la comparaison est simple. Typiquement un problème hyperbolique
∂u
∂u
s’écrit :
+ v = 0 (u variable d’état et v vitesse). Pour l’écoulement double milieu simplifié en
∂t
∂x
∂u
∂2u
Δu Δu
− D H 2 + αΔu = 0 , le terme αΔu est transformable en αΔL
,
jouant le rôle d’une
∂t
∂x
ΔL ΔL
27
∂u
d’un problème hyperbolique. Il est donc
∂x
logique, en dépit du caractère diffusif de l’équation d’écoulement, que le double milieu soit très
sensible sur sa cinétique d’échange, à l’image d’un problème hyperbolique (convectif). La matrice
Jacobienne résultante est alors mal conditionnée pour espérer une résolution propre du problème
inverse.
dérivée d’ordre un en espace comparable au terme
L’idée retenue pour conditionner la matrice est de multiplier par un scalaire la ou les sensibilités les
plus fortes (ou les plus faibles) afin que tous les termes de la matrice Jacobienne soient du même ordre
de grandeur. L’algorithme d’inversion n’est pas modifié mais il faut appréhender ce que la Jacobienne
reconditionnée identifie comparé aux paramètres réels du problème.
Prenons l’exemple d’un modèle défini par un jeu de paramètres s = {s j , j = 1...p} dont la sensibilité au
paramètre p diffère de plusieurs ordres de grandeurs des sensibilités aux autres paramètres. La fonction
objectif est établie sur n points de calage. La matrice Jacobienne J ξk = {∂ξ km ∂s j , m = 1...n, j = 1...p} est
modifiée en multipliant les sensibilités ∂ξ km ∂s p par un scalaire γ afin de les rendre du même ordre de
k
grandeur que ∂ξ km ∂s j , j = 1...p − 1 . On note J *ξk la matrice Jacobienne reconditionnée et d*
la
direction de descente calculée.
L’algorithme d’inversion de Gauss-Newton devient :
(
k
T
d* = − J *ξk .J *ξk
) .( J
−1
*T
ξk
.ξ k
)
(I.26)
avec :
(J
*T
ξk
(J
. J *ξk
*T
ξk
.ξ k
)
)
⎛ n ∂ξm ∂ξ m
⎜ ∑ ∂s ∂s
j
⎜ m =1 i
=⎜
n
⎜ γ ∂ξ m ∂ξ m
∑
⎜ m =1 ∂s ∂s
p
j
⎝
n
∂ξ m ⎞
⎛
⎜ ∑ ξ m ∂s ⎟
m =1
j ⎟
=⎜ n
⎜
∂ξ ⎟
⎜⎜ γ ∑ ξm m ⎟⎟
⎝ m =1 ∂s p ⎠
∂ξm ∂ξ m ⎞
⎟
m =1 ∂s i ∂s p
⎟
i, j = 1...p − 1
2⎟
n ⎛
⎞
∂ξ
γ2 ∑ ⎜ m ⎟ ⎟
⎜
⎟ ⎟
m =1 ⎝ ∂s p ⎠ ⎠
n
γ∑
(I.27)
Le système linéaire (I.26) réécrit sous la forme A ⋅ d* = B , devient :
p −1
∑a d
j=1
ij
*
j
+ γa ip d*p = − bi
( i = 1...p − 1)
⎧ p −1
⎫
γ ⎨∑ a pjd*j + γa pp d*p ⎬ = − γb p
⎩ j=1
⎭
(I.28)
28
Pour identifier les paramètres s* obtenus par résolution de (I.26), on compare (I.28) au système
classique (sans modification des sensibilités) :
p −1
∑a d
j=1
ij
j=1
+ a ip d p = − bi
( i = 1...p − 1)
(I.29)
p −1
∑a
j
pj
d j + a pp d p = − b p
Par identification entre (I.28) et (I.29), on obtient : d*j = d j , j = 1...p − 1 et γ d*p = d p . Cependant,
puisque toutes les composantes de la direction de descente sont calculées avec le même système
linéaire, le passage d p → d*p = d p γ influence le calcul des autres composantes (et pour cause, puisque
le système (I.29) n’a pas de solution numérique). En posant
γ
∂ξ
∂ξ
∂ξ ∂s p
≡ * =
∂s p
∂s p
∂s p ∂s*p
(I.30)
on obtient trivialement :
s*p =
sp
(I.31)
γ
Finalement, une fois le système résolu la convergence des paramètres s’écrit :
k
s kj +1 = s kj + ζd*j
s kp +1
γ
=
s kp
γ
(I.32)
k
+ ζd*p
ζ est un scalaire permettant de limiter la descente selon d* afin qu’entre deux itérations successives,
les paramètres n’échantillonnent pas une gamme trop grande. Pour les écoulements traités dans ce
travail, ζ a été choisi de façon à ce que la conductivité hydraulique K f (ou K f0 en fractal) varie de
plus ou moins 10 ou 15 % entre deux itérations. Ce réglage s’est avéré un bon compromis entre
rapidité et précision de l’optimiseur.
Signalons maintenant une petite subtilité à propos de l’inversion du double milieu fractal. Il a été
démontré plus haut que les sensibilités aux exposants de puissance dépendaient des sensibilités aux
paramètres de dimensionnement par la relation (I.25). De fait, si la fonction objectif n’intègre que les
données d’un seul point d’observation et que l’on utilise la relation (I.25) pour le calcul des
sensibilités, la matrice
(J
*T
ξk
.J *ξk
)
de l’algorithme (I.26) présente une singularité. Imaginons un
problème simple avec seulement deux paramètres s0 et λ. Utilisant la relation (I.25), l’algorithme de
Gauss-Newton pour inverser les données d’une courbe de rabattement obtenue sur un puits distant de r
du pompage s’écrit :
29
⎛ n ⎛ ∂ξ ⎞ 2
⎜ ∑⎜ m ⎟
⎜ m =1 ⎝ ∂s 0 ⎠
⎜
2
⎜ n ⎛ ∂ξ m ⎞
β
⎟
⎜⎜ ∑ ⎜
⎝ m =1 ⎝ ∂s 0 ⎠
2
⎛ ∂ξ m ⎞ ⎞
∂ξ
⎛ n
⎟
β∑ ⎜
ξm m
⎟
∑
⎜
m =1 ⎝ ∂s 0 ⎠ ⎟ ⎛ d s ⎞
0
⎜ m =1 ∂s 0
⋅
=
⎟
⎜
⎟
2
n
n
⎛ ∂ξ ⎞ ⎟ ⎝ d λ ⎠ ⎜⎜ β ξ ∂ξ m
∑
m
β2 ∑ ⎜ m ⎟ ⎟
⎜
⎟
⎝ m =1 ∂s 0
m =1 ⎝ ∂s 0 ⎠ ⎠
n
⎞
⎟
⎟ avec β = −s ln ( r )
0
⎟
⎟⎟
⎠
(I.33)
Ce système est singulier mais possède une solution de la forme :
dλ =
d s0
β
=−
d s0
(I.34)
s 0 ln ( r )
Pour le double milieu fractal à huit paramètres, cette solution permet de ne résoudre qu’un système à
quatre paramètres ( s 0 = K f0 ,Ss f0 ,Ss m0 , α 0 ) au lieu de huit. Une fois les directions de descente des
paramètres de dimensionnement s0 obtenues, les directions de descente pour les exposants de
puissance sont immédiatement déduites de (I.34). Cette simplification ne s’applique pas si la fonction
objectif intègre plusieurs points d’observation distribués spatialement. En effet, il est impossible dans
ce cas de mettre −s 0 ln ( r ) en facteur dans (I.22) et (I.33). Pour les applications aux données du SEH,
chaque courbe de rabattement a été inversée individuellement avec par conséquent l’intégration d’une
seule distance r dans les termes de la fonction objectif. Dès lors, que le modèle de référence soit
homogène ou fractal, l’inversion ne calculera que quatre directions de descente pour les paramètres
{K f ,Ssf ,Ssm ,α} ou K f0 ,Ssf0 ,Ss m0 ,α 0 . Par conséquent, inverser un modèle ou l’autre n’a pas
{
}
d’incidence sur le coût d’une itération. Pour autant, ceci ne préjuge pas du fait que la convergence de
l’un soit plus lente que celle de l’autre.
Voyons maintenant comme adapter le modèle double milieu pour traduire le comportement
hydrodynamique observé sur le SEH en 2005.
I.5. Modification du modèle double milieu
I.5.1. Principe et équations
Les différentes investigations menées sur le SEH conduisent à représenter l’aquifère comme un milieu
capacitif traversé par des fractures conductrices et un réseau karstique à écoulement rapide (pour
l’essentiel visible hydrauliquement à compter de 2005). Cette conceptualisation est à l’origine de
l’idée d’ajouter un terme aux équations de diffusivité afin de propager rapidement une différence de
pression de manière à stresser quasi uniformément le milieu. Cette volonté "algébrique" cherchant
simplement à coller aux données d’interférences doit être relayée par une approche rigoureuse qui ne
viole ni la physique ni les autres éléments d’observation acquis sur le site. Intuitivement, la tendance
irait au développement d’un triple milieu avec deux équations de diffusivité pour la matrice rocheuse
et pour les fractures et une équation supplémentaire pour décrire l’écoulement dans les drains
karstiques représentés par des tubes. La question se pose alors de savoir que choisir pour la physique
dans les tubes. Rien dans les données de terrain n’indique des vitesses de circulation dans ces tubes qui
puissent être mesurées avec précision. De plus, un rapide calcul avec un régime d’écoulement darcéen
montre qu’il faudrait générer des vitesses de circulation très grandes dans les tubes pour qu’un terme
30
du type ∇ ⋅ ( K ⋅ ∇h ) puisse propager, aussi rapidement que les données le suggèrent, une déplétion
quasi uniforme à l’échelle du site. Le choix est donc fait de propager, comme en hydraulique de
"conduite", une onde conséquence de la déplétion engendrée par le puits de pompage. Le couplage de
propagation d’onde avec le régime classique de diffusion des écoulements darcéens en milieu poreux
et/ou fracturé (double milieu dans le cas présent) se fait par le biais d’une équation de quantité de
mouvement notée sous la forme :
−
1 ∂2h t ∂2h t
+ 2 =0
2
2
∂x
c ∂t
(I.35)
h t étant la charge hydraulique dans le tube considéré. Différentiée au premier ordre, cette équation
correspond à l’équation d’advection à la vitesse c (célérité de l’onde) :
∂h t
∂h t
+ c
=0
∂t
∂x
(I.36)
Un triple milieu supposerait l’individualisation de trois variables d’état : ht , hf et hm , avec une
hypothèse de continuité entre le continuum fractures et les tubes : h t = h f à Γ t avec Γ t , la surface des
tubes en contact avec les fractures. Or cette conception suppose connus (à peu près) la localisation et
le volume des tubes, ce que les tests d’interférence ne permettent pas de distinguer. En supposant que
les charges hydrauliques ht et hf s’équilibrent rapidement devant le temps total du pompage, on peut
développer un double milieu dans lequel ces charges sont confondues. Le double milieu classique est
alors modifié en ajoutant l’équation d’onde en (I.36) dans l’équation de la fracture (I.2) (détails et
justification dans [Kaczmaryk and Delay, 2007c]). Cette équation d’onde a un volume de référence V’
correspondant au volume occupé par les tubes tandis que l’équation de diffusivité de la fracture
s’applique sur un volume de référence V ∝ e r 2 avec e [L] l’épaisseur de l’aquifère et r [L] le rayon
d’investigation du test d’interférence. Ces deux volumes étant différents et le ratio V ' V inconnu, le
couplage des deux équations pour un système qui ne dissocie pas un milieu "tubes" et un milieu
"fractures - matrice" engendre une indétermination de la vitesse apparente de l’onde. Les équations du
double milieu fractures - matrice et intégrant aux fractures une propagation d’onde s’écrivent :
q p ( 0, t )
∂h f (r, t)
=∇ r . ( K f (r).∇ r h f (r, t) ) − u.∇ r h f (r, t) + α(r) ( h m (r, t) − h f (r, t) ) +
∂t
γ
∂h (r, t)
Ss m (r) m
= α(r) ( h f (r, t) − h m (r, t) )
∂t
Ss f (r)
(I.37)
La vitesse apparente de l’onde de déplétion créée par le pompage est alors u Ss f [LT-1]. Elle est
positive dans le sens puits de pompage - limite externe. La seconde indétermination est l’absence
logique de connaissance de la condition à la limite r = 0 de l’équation d’onde. Cette absence doit se
traduire mathématiquement par un degré de liberté supplémentaire du système que l’on peut choisir
d’intégrer aux équations sous la forme d’un paramètre supplémentaire. Toujours au registre du
raisonnement algébrique, on comprendra qu’ajouter un terme hyperbolique dans l’équation du milieu
fractures va partager les flux entre l’écoulement diffusif ∇ ⋅ ( K f ⋅ ∇h f ) et le terme u ⋅ ∇h f . Le terme
u ⋅ ∇h f (avec u > 0 ) agit comme un terme puits et, en particulier quand r → 0 , il peut modifier
l’expression de la conservation de la masse là où elle est par ailleurs parfaitement conditionnée par le
31
flux qp pompé au puits en r = 0 . Le degré de liberté supplémentaire prend la forme d’un coefficient
scalaire γ modulant le flux qp pompé au puits afin que localement la maille pompée vidange
effectivement le flux réellement extrait par le puits. On constatera d’ailleurs que la position de ce
paramètre γ est consistante avec l’indétermination en r = 0 de la condition à la limite de l’équation
d’onde. Physiquement, le terme γ (nécessairement supérieur à 1 au vu de sa signification
mathématique) prend le sens d’une condition de connexion entre le puits pompé et la dynamique
advective-diffusive des écoulements dans le milieu fractures + tubes. Si γ = 1 , la connexion puits –
aquifère est parfaite, et si γ → + ∞ , le puits est non connecté à l’aquifère.
Les deux paramètres u et γ ajoutés pour mimer les observations issues des tests d’interférence de 2005
ont un sens physique clair mais restent en partie factuels car ils amalgament des indéterminations
difficiles à lever au vu des données (qui ne fournissent pas d’informations précises concernant le
volume des drains et la connexion puits - fractures). Ils sont de fait difficiles à conditionner sur les
données. Cependant, la linéarité de l’équation de la fracture en (I.37) permet d’établir une relation
entre u, γ et les paramètres s = K f ( r ) ,Ss f ( r ) ,Ss m ( r ) , α ( r ) : la valeur de γ conditionne l’identification
de u et s à un facteur multiplicatif près. Prenons l’exemple suivant : avec les paramètres γ = 1 , u1 et
s1 , les équations (I.37) simulent les charges hydrauliques
{h ( r, t ) , h ( r, t )} .
1
f
1
m
Pour γ = 10 , on
obtiendra le même champ de charges hydrauliques avec u1 10 et s1 10 . Le fait que les paramètres s
puissent être définis à un facteur près est un cas typique d’indétermination. La solution est de ne pas
inverser le paramètre γ qui, une fois fixé dans les équations, ne nuit plus à la recherche d’une solution
unique pour s (de fait, l’unicité de s n’est pas acquise, mais ne dépend que du problème posé et non de
l’ajout du paramètre γ).
La discrétisation des équations (I.37) est détaillée en annexe C et se base sur la préservation de la
quantité de mouvement pour le terme hyperbolique afin que l’onde de déplétion créée par le pompage
soit transmise identiquement dans tout le système fracturé. La vitesse effective de propagation de
l’onde est alors constante sur tout le domaine. Garder la vitesse constante pour ne pas amortir la
propagation de l’onde est consistant avec une préservation de la quantité de mouvement. De plus, ce
choix facilite le problème inverse au sens où il sera plus facile de définir la valeur de u permettant de
rendre similaires les courbes de rabattement. On aurait aussi pu amortir la vitesse selon une loi
exponentielle décroissante u ( r ) = u 0 exp ( − r λ ) afin d’intégrer la dissipation d’énergie ou
l’augmentation du volume des drains avec la distance r (se traduisant alors par une baisse de u).
D’un point de vue pratique, le modèle numérique est construit de façon à ce que les limites externes
n’influencent pas le test d’interférence. En raison du terme hyperbolique et de la vitesse rapide de
propagation, la configuration choisie pour le double milieu classique est légèrement modifiée. Sans
entrer dans les détails qui sont fournis dans [Kaczmaryk and Delay, 2007c], le modèle est constitué de
trois zones concentriques. La première est régie par les équations (I.37), la seconde et la troisième par
les équations classiques du double milieu (I.2). Les paramètres des zones 1 et 2 sont les mêmes et sont
inversés tandis que ceux de la zone 3 sont fixés à des valeurs d’homogénéisation du SEH en 2004. Les
rayons des trois zones sont respectivement : r1 = 1000 m, r2 = 1300m, r3 = 3000 m .
L’ajout d’un terme hyperbolique et le découpage en couronnes peuvent également se justifier au vu
des conclusions du travail de [Boisson, 2007] sur le développement d’un modèle 2D simple continuum
homogène d’interprétation des tests d’interférence du SEH. Ce modèle est une représentation
32
schématique de la solution de [Butler, 1988] pour l’écoulement dans les milieux hétérogènes. Cette
solution considère un pompage au centre d’un disque ayant certaines propriétés hydrodynamiques
englobé dans une matrice aux propriétés différentes. D’après Boisson, la similitude des réponses des
puits à un pompage serait le fait d’interférences n’échantillonnant pas le site mais son environnement,
justifiant ainsi que les tests ne fournissent pas d’information sur l’hétérogénéité de la zone d’étude. Cet
argument justifierait l’identité des rabattements quel que soit le puits observé. Pour modéliser
l’écoulement sur le SEH, il émet alors l’hypothèse que la matrice (la couronne environnante) est
définie par une conductivité hydraulique plus faible que celle du disque central. Il inverse les courbes
de rabattement observées et obtient les couples conductivité hydraulique et emmagasinement
spécifique pour chaque zone. Une des conclusions de son étude est que le rabattement observé pour
des temps de pompage supérieurs à deux minutes correspondrait principalement à l’environnement
extérieur. Dès les temps courts, l’eau proviendrait alors des zones éloignées dont le comportement
hydrodynamique n’a pas été affecté par la création du site.
Finalement, on retiendra que tout ceci revient à pomper dans un puits de 300 mètres de diamètre (taille
du SEH) qui serait alimenté par une couronne de 8 kilomètres de diamètre afin d’observer le même
rabattement sur tous les puits du site. Cette conception, construite à partir d’une équation de diffusion
simple milieu, paraît déraisonnable et conforte l’hypothèse d’une propagation d’onde (et non de
masse) pour assurer la déplétion du système sans aller chercher l’eau à très grande distance. La taille
choisie pour la première couronne du modèle double milieu modifié (avec terme hyperbolique) est
discutable mais peut se justifier par l’absence de variation notable de charge hydraulique sur un puits
situé à un peu plus d’un kilomètre du site.
Les capacités du double milieu avec terme hyperbolique à homogénéiser le comportement du site de
2005 ont été testées avec les approches homogène et fractale déjà utilisées pour l’interprétation des
données de 2004. La procédure d’inversion est modifiée par la présence des paramètres u et γ dans les
équations.
I.5.2. Procédure d’inversion
L’inversion des données est orchestrée en deux temps. Les paramètres u et γ sont calés manuellement
puis le jeu de paramètres s est identifié automatiquement par un algorithme de Levenberg-Marquardt.
1ère étape
Le coefficient γ est fixé à 1 considérant dans un premier temps que la connexion entre les puits et
l’aquifère est parfaite (hypothèse confortée d’ailleurs par plusieurs faits : réponse immédiate des autres
puits du site, imagerie optique montrant de larges ouvertures karstiques…). Connaissant la relation de
proportionnalité entre γ, u et s, la valeur de γ pourra être réajustée sans avoir besoin d’inverser à
nouveau les données. La pertinence du jeu de paramètres effectifs obtenu est regardée a posteriori et
statue sur la valeur de γ. Les valeurs de s sont préconditionnées par les valeurs obtenues lors de
l’inversion des courbes de rabattement de 2004. La vitesse u est ensuite déterminée de façon à ce que,
pour un rabattement donné, la différence de temps entre deux courbes simulées, l’une proche du puits
pompé, l’autre éloignée, soit de l’ordre de 104 secondes, laps de temps conforme aux observations. La
vitesse u est gardée constante sur la première couronne pour toutes les inversions du modèle. Pour les
données 2005 du SEH, u est égal à 10-6 s-1. L’emmagasinement spécifique moyen de fracture étant de
33
10-6 m-1, la vitesse effective résultante est de l’ordre du m s-1. En intégrant dans cette vitesse u le ratio
entre le volume occupé par les drains et le volume total de la couronne, on obtient une valeur
physiquement réaliste c pour la propagation d’onde. Par exemple, un ratio de 1/1000 donne une
célérité c de l’ordre de 1000 m s-1, valeur en adéquation avec la propagation d’une onde de choc
dans un fluide.
2ième étape
Les paramètres s = K f ( r ) ,Ss f ( r ) ,Ss m ( r ) , α ( r ) de l’approche homogène ou fractale sont identifiés par
un algorithme de Levenberg-Marquardt selon une procédure similaire à celle présentée pour
l’inversion des données de 2004. La fonction objectif n’a pas de raison d’être modifiée puisque les
paramètres u et γ ajoutés sont inversés séparément. Elle est donc définie par l’équation (I.11). La
sensibilité du modèle au coefficient d’échange est supérieure à celles des autres paramètres de 4 à 5
ordres de grandeur, nécessitant comme précédemment le reconditionnement de la matrice Jacobienne
des erreurs.
I.6. Résultats et interprétations
Les résultats des interprétations des données de 2004 et de 2005 sont présentés pour chaque modèle.
Les valeurs des paramètres identifiés pour les différentes distances entre puits pompé et puits observé
sont reportées graphiquement pour apprécier leur gamme de variation et les éventuelles tendances en
fonction de la distance. Ces résultats sont plus amplement détaillés dans les articles de [Kaczmaryk
and Delay, 2007a; Kaczmaryk and Delay, 2007b; Kaczmaryk and Delay, 2007c]. Les pourcentages
d’erreur sur les paramètres inversés sont calculés par la méthode de la covariance (méthode détaillée
dans la section "The direct models and their inversion procedure" de [Kaczmaryk and Delay, 2007a].
Précisons que les paramètres identifiés par les modèles sont le résultat de très bons calages des courbes
de rabattement observées. Par conséquent, les éventuelles discordances présentées dans les résultats ne
sont pas le fait de la mauvaise convergence de l’inversion mais sont imputables aux hypothèses ayant
servi à la construction des modèles.
I.6.1. Simple milieu fractal
Rappelons que dans la solution proposée par [Delay et al., 2004] et utilisée par [Bernard et al., 2006]
pour inverser les données de rabattement du SEH, les lois d’échelle de la conductivité hydraulique et
de l’emmagasinement spécifique sont reformulées en temps et s’écrivent :
K f ( t ) = K f0 t −μ ; Ss f ( t ) = Ss f0 t −ω avec μ =
d−D+θ
d−D
;ω=
2+θ
2+θ
(I.38)
D est la dimension fractale, d la dimension Euclidienne et θ l’exposant spectral. Les valeurs des
paramètres effectifs interprétés sur les données de 2004 avec ce modèle pour des temps longs de
pompage (t = 48 heures) sont reportées en Figure 6. Les bornes de leurs gammes de variation sont
résumées au Tableau 1.
34
m .s -1
1,0E-04
5,0E-05
m -1
Ssf (t)
K f (t)
4,0E-05
1,0E-05
3,0E-05
1,0E-06
1,0E-07
2,0E-05
0
50
100
150
200
Dis tance (m)
250
0
300
50
100
150
200
Distance (m)
250
300
Figure 6 : Evolution de la conductivité hydraulique et de l’emmagasinement spécifique avec la distance puits pompé puits observé pour t = 48 heures. Données de la campagne 2004 interprétées par l’approche simple milieu fractal
(échelle log pour
Ss f ( t ) ).
Kf ( r )
Valeur minimale
Valeur maximale
Ss f ( r )
-5
2.6 x 10
4.8 x 10-5
1.4 x 10-7
5.6 x 10-5
Tableau 1 : Gammes de variation de la conductivité hydraulique et de l’emmagasinement spécifique calculées pour t =
48 heures avec l’approche simple milieu fractal sur les données de 2004.
La conductivité hydraulique interprétée pour les temps longs est quasi constante avec une valeur
moyenne de l’ordre de 3 x 10-5 m s-1 quelle que soit la distance entre le puits et le point de mesure. Les
valeurs des exposants μ et ω identifiés sont compatibles avec la dimension fractale d’un réseau de
percolation bidimensionnel (D entre 1.80 et 1.95) : μ varie entre 0.05 et 0.45 et ω est quasi constant à
une valeur de 0.05. Cependant, l’emmagasinement spécifique effectif calculé pour les temps longs
décroît fortement avec l’augmentation de la distance entre le puits pompé et le puits observé. La loi de
décroissance effective de Ss f ( r ) = Ss f0 r −χ n’est pas compatible avec le modèle fractal identifié :
Ss f ( r ) = Ss f0 r
−{0.05→ 0.20}
. En effet, le calage d’une loi de décroissance sur les résultats de la Figure 6
donne une valeur de χ de 1.95. La loi d’échelle identifiée par approche simple milieu fractal n’est donc
pas suffisante pour mimer la décroissance forte imposée par le calage des données et observée sur le
graphique. Ceci va dans le sens d’un échec relatif du simple milieu fractal à représenter le site. La
question est alors de chercher pourquoi le modèle est consistant pour la conductivité hydraulique et ne
l’est pas pour l’emmagasinement spécifique. Une explication, basée sur la forme de l’équation de
diffusivité peut être proposée. Dans cette équation, le terme attaché à la conductivité hydraulique est
d’ordre 2 ( ∂ 2 ∂r 2 ) tandis que le terme portant l’emmagasinement est en ∂ ∂t . Ce dernier est
finalement plus facile à modifier lors du calage des rabattements dont on rappellera qu’il s’agit de
variations de charge au cours du temps, mesure parfaitement compatible avec une dérivée en temps
∂ ∂t . Visiblement, les données du SEH ont une diffusivité hydraulique qui augmente avec la distance
contrairement à ce que prédit un modèle fractal ( D H ∝ r −θ ). Pour augmenter la diffusion hydraulique
D H = K f Ss f , le modèle et son inversion choisissent de diminuer Ssf au lieu d’augmenter Kf.
35
I.6.2. Double milieu homogène
Données de 2004
La Figure 7 trace l’évolution des paramètres du double milieu homogène identifiés sur les données de
2004. Leurs gammes de variation sont synthétisées au Tableau 2.
m.s -1
2,2E-05
1,0E-04
m-1
Ssm
Kf
2,0E-05
1,8E-05
1,0E-05
1,6E-05
1,4E-05
1,2E-05
1,0E-06
1,0E-05
0
1,0E-05
50
100
150
Distance (m)
200
0
250
m -1
m -1.s -1
1,0E-08
Ss f
50
100
150
Distance (m)
200
250
50
100
150
Distance (m)
200
250
α
1,0E-09
1,0E-06
1,0E-10
1,0E-11
1,0E-07
0
50
100
150
Distance (m)
200
250
0
Figure 7 : Evolution de la conductivité hydraulique de fracture, des emmagasinements spécifiques de fracture et de
matrice et du coefficient d’échange avec la distance puits pompé – puits observé. Données de la campagne 2004
interprétées avec l’approche double milieu homogène (échelle log pour Ssm, Ssf et α). Cercles, cercles pleins, triangles
et carrés correspondent aux réponses des puits observés pour les puits pompés MP4, M7, M11 et M6 respectivement.
Valeur minimale
Valeur maximale
Valeur moyenne
Kf
1.1 x 10-5
2.1 x 10-5
1.6 x 10-5
Ssf
2.4 x 10-7
4.8 x 10-6
1.6 x 10-6
Ssm
1.4 x 10-6
3.9 x 10-5
1.3 x 10-5
α
8.0 x 10-11
2.0 x 10-9
7.4 x 10-10
Tableau 2 : Gammes de variation et moyennes de la conductivité hydraulique de fracture, des emmagasinements
spécifiques de fracture et de matrice et du coefficient d’échange identifiés par l’approche double milieu homogène sur
les données de 2004.
Les paramètres identifiés sont homogènes avec une gamme de variation très faible pour la conductivité
hydraulique Kf d’une valeur moyenne de 1.6 x 10-5 m s-1. Les paramètres capacitifs et d’échange
varient sur un ordre de grandeur, gamme largement acceptable du fait de la relation entre
emmagasinement et compressibilité, cette dernière pouvant localement varier fortement dans les
aquifères captifs peu densément fracturés. On obtient des valeurs moyennes de 10-5 m-1 pour
l’emmagasinement matriciel et 10-6 m-1 pour les fractures. Un seul ordre de grandeur d’écart entre
l’emmagasinement de fractures et de matrice peut sembler faible, on s’attendrait intuitivement à des
36
contrastes plus importants entre les fractures fortement conductrices et la matrice capacitive.
Cependant, il faut rappeler que le découpage en deux continuum distincts intéresse vraisemblablement
pour le SEH le même réseau de fractures, la matrice carbonatée étant quasi imperméable à l’échelle de
l’échantillon. Pour un même réseau de fractures, le double continuum dichotomise sur la taille
caractéristique des fractures : discontinuités, petites fractures, joints de stratification d’une taille
moyenne de l’ordre de 10 cm à 1 m pour le milieu "matrice", fractures et drains karstiques d’une
dizaine de mètres ou plus pour le milieu "fractures". Il n’est donc pas surprenant d’obtenir un seul
ordre de grandeur d’écart entre les emmagasinements des deux continuums. Dans les premiers temps
de pompage lorsque le réseau de fractures est sollicité, la diffusivité hydraulique de l’aquifère
s’exprime selon K f Ss f puis décroît jusqu’à des valeurs égales à K f Ss m pour les temps longs
quand la matrice a pris le relais dans l’alimentation du système drainé. La diffusivité passe alors d’une
valeur de l’ordre de 10 au début du pompage à une valeur de 1 aux temps longs. Les paramètres
identifiés étant sensiblement constants quelle que soit la distance puits pompé – puits observé, le
double milieu homogène constitue un bon outil d’interprétation des tests d’interférence et
vraisemblablement une bonne représentation du réservoir pour la campagne de 2004.
Données de 2005
La Figure 8 met en évidence la non-homogénéisation de l’écoulement en 2005 avec l’approche double
milieu homogène. Seule la conductivité hydraulique est sub-constante autour de 1.5 x 10-5 m s-1. Les
paramètres capacitifs et d’échange décroissent sur deux ordres de grandeur avec l’augmentation de la
distance pompage - observation. Les valeurs extrêmes des paramètres sont reportées au Tableau 3.
2,0E-05
m.s -1
1,0E-03
m -1
Ss m
Kf
1,8E-05
1,0E-04
1,6E-05
1,4E-05
1,0E-05
1,2E-05
1,0E-06
1,0E-05
0
m -1
1,0E-04
100
200
Distance (m)
0
300
m -1.s -1
1,0E-07
Ss f
1,0E-05
1,0E-08
1,0E-06
1,0E-09
100
200
Distance (m)
300
100
200
Distance (m)
300
α
1,0E-10
1,0E-07
0
100
200
Distance (m )
300
0
Figure 8 : Evolution de la conductivité hydraulique de fracture, des emmagasinements spécifiques de fracture et de
matrice et du coefficient d’échange avec la distance puits pompé – puits observé. Données de la campagne 2005
interprétées avec l’approche double milieu homogène (échelle log pour Ssm, Ssf et α). Cercles, cercles pleins, triangles,
carrés et croix correspondent aux réponses des puits observés pour les puits pompés M19, M16, M15, M22 et M20
respectivement.
37
Valeur minimale
Valeur maximale
Kf
1.3 x 10-5
1.8 x 10-5
Ssf
3.2 x 10-7
1.5 x 10-5
Ssm
4.5 x 10-6
2.4 x 10-4
α
2.7 x 10-10
1.7 x 10-8
Tableau 3 : Gammes de variation de la conductivité hydraulique de fracture, des emmagasinements spécifiques de
fracture et de matrice et du coefficient d’échange identifiés par l’approche double milieu homogène sur les données de
2005.
En calant une courbe de tendance en loi de puissance sur les résultats d’inversion des paramètres
d’emmagasinement et d’échange, on obtient des exposants de puissance compris entre 1.7 et 1.9. Cette
décroissance forte est bien évidemment incompatible avec l’uniformité supposée par le double milieu
homogène.
Le modèle double milieu homogène n’arrive pas à simuler le comportement du site en 2005 car les
équations de diffusion ne sont pas adaptées pour représenter l’identité des courbes de rabattement
obtenues pour différentes distances entre le puits pompé et le puits observé. En effet, le modèle double
milieu diffusif fait l’hypothèse que la distance entre les puits a une influence sur les rabattements
mesurés en fonction du temps suivant : L ∝ T 0.5 . En d’autres termes, multiplier la distance entre le
puits pompé et le puits observé par 2 est interprété par le modèle en multipliant les temps
caractéristiques de réponses par 2 . Le fait que les courbes de 2005 soient similaires en temps et en
amplitude conduit trivialement à une multiplication des temps par 1 lorsque les distances sont
doublées. Le modèle augmente alors artificiellement la diffusion hydraulique pour représenter la
similarité des courbes. Comme pour le simple milieu fractal, l’augmentation de la diffusion
hydraulique est obtenue par une forte décroissance des paramètres d’emmagasinements (et du
coefficient d’échange, au sens physique proche d’un emmagasinement). Rappelons qu’il plus aisé pour
le modèle de modifier un terme de premier ordre ∂h ∂t (ou h f − h m pour le coefficient d’échange)
qu’un terme d’ordre deux ∂ 2 h ∂r 2 pour caler les rabattements.
I.6.3. Double milieu fractal
Données de 2004
Le double milieu fractal homogénéise les paramètres s0 et λ de la loi de puissance s ( r ) = s 0 r −λ . Les
gammes de variation et les valeurs moyennes sont notées dans le Tableau 4. Les exposants de
puissance varient dans les gammes théoriques évoquées plus haut. Le paramètre a de la loi fractale
pour la conductivité hydraulique a une valeur moyenne de 0.69. Les exposants intéressants les
paramètres capacitifs et d’échange sont compris dans la même gamme de variation avec une valeur
moyenne de 0.15 – 0.18. Que les exposants b et c des emmagasinements de fractures et matrice
respectivement soient quasi identiques est normal puisque les deux continuum seraient a priori la
représentation du même réseau de fractures (différenciées par leur taille caractéristique). Comme le
modèle homogène, le double milieu fractal est un bon outil d’interprétation des tests d’interférence
réalisés sur l’aquifère du SEH en 2004. Cependant, en regardant plus attentivement, notamment en
n’extrayant que les résultats d’un seul puits pompé, le milieu homogène a des paramètres identifiés qui
décroissent légèrement. Cette décroissance dévalue un peu l’hypothèse d’homogénéité. Dans le
38
modèle fractal, la décroissance est justifiée par les lois de puissance s ( r ) = s 0 r −λ , et finalement
crédibilise mieux l’approche fractale que l’approche homogène.
K f0
Ss f0
Ss m0
α0
Valeur minimale
Valeur maximale
Valeur moyenne
5.5 x 10-4
8.3 x 10-4
6.9 x 10-4
6.7 x 10-7
5.5 x 10-6
2.5 x 10-6
5.7 x 10-6
5.9 x 10-5
2.0 x 10-5
2.3 x 10-10
1.3 x 10-9
6.4 x 10-10
Valeur minimale
Valeur maximale
Valeur moyenne
a
0.67
0.72
0.69
b
0.08
0.21
0.16
c
0.15
0.29
0.18
d
0.06
0.20
0.15
Kf ( r )
Ss f ( r )
-5
Valeur minimale
Valeur maximale
Valeur moyenne à 150 m
Ss m ( r )
-7
1.3 x 10
4.6 x 10-5
2.2 x 10-5
-6
2.4 x 10
2.8 x 10-6
1.1 x 10-6
3.0 x 10
1.5 x 10-5
8.1 x 10-6
α(r)
9.8 x 10-11
7.0 x 10-10
3.0 x 10-10
Tableau 4 : Gammes de variation et moyennes des paramètres de dimensionnement s0, des exposants de puissance λ et
des paramètres effectifs s(r) identifiés par l’approche double milieu fractal sur les données de 2004.
Données de 2005
Les résultats de l’inversion des données de 2005 par le double milieu fractal sont illustrés Figure 9. Le
Tableau 5 rassemble les valeurs limites obtenues pour chaque paramètre et la valeur moyenne des
paramètres effectifs calculée pour une distance de 150m.
0,72
1,2E-03
Kf 0
a
0,71
1,0E-03
0,70
8,0E-04
0,69
0,68
6,0E-04
0,67
4,0E-04
0,66
0
50
100
150
200
Distance (m)
250
300
1,0E-04
0
50
100
150
200
Distance (m)
250
300
100
150
200
Distance (m)
250
300
0,25
Ss f 0
b
0,21
1,0E-05
0,17
0,13
1,0E-06
0,09
1,0E-07
0,05
0
50
100
150
200
Distance (m)
250
300
0
50
39
0,30
1,0E-04
Ss m0
c
0,25
0,20
0,15
0,10
1,0E-05
0,05
0
50
100
150
200
Distance (m)
250
300
1,0E-07
0
50
100
150
200
Distance (m)
250
300
50
100
150
200
Distance (m)
250
300
250
300
250
300
0,17
α0
d
0,15
1,0E-08
0,13
0,11
1,0E-09
0,09
0,07
1,0E-10
0,05
0
50
100
150
200
Distance (m)
250
300
m.s -1
0
m-1
1,0E-04
9,0E-05
Ss m (r)
Kf (r)
7,0E-05
1,0E-05
5,0E-05
3,0E-05
1,0E-05
1,0E-06
0
1,0E-04
50
100
150
200
Distance (m)
250
300
m -1
0
50
100
150
200
Distance (m)
m-1.s -1
1,0E-07
Ssf (r)
1,0E-05
1,0E-08
1,0E-06
1,0E-09
α (r)
1,0E-10
1,0E-07
0
50
100
150
200
Distance (m)
250
300
0
50
100
150
200
Distance (m)
Figure 9 : Evolution de la conductivité hydraulique de fracture, des emmagasinements spécifiques de fracture et de
matrice et du coefficient d’échange avec la distance puits pompé – puits observé. Données de la campagne 2005
interprétées avec l’approche double milieu fractal (échelle log pour Ssm0, Ssf0, α0, Ssm(r), Ssf(r) et α(r)). Cercles,
triangles et carrés correspondent aux réponses des puits observés pour les puits pompés M20, MP7 et M16
respectivement.
40
K f0
Ss f0
Ss m0
α0
Valeur minimale
Valeur maximale
4.9 x 10-4
1.0 x 10-3
7.3 x 10-7
1.3 x 10-5
1.0 x 10-5
5.9 x 10-5
3.9 x 10-10
1.2 x 10-8
Valeur minimale
Valeur maximale
a
0.66
0.71
b
0.05
0.23
c
0.05
0.28
d
0.05
0.15
Valeur minimale
Valeur maximale
Valeur moyenne à 150 m
Kf ( r )
Ss f ( r )
Ss m ( r )
α(r)
1.1 x 10-5
7.9 x 10-5
2 x 10-5
4.3 x 10-7
8.5 x 10-6
2 x 10-6
6.2 x 10-6
4.1 x 10-5
1 x 10-5
2.7 x 10-10
1.0 x 10-8
8 x 10-10
Tableau 5 : Gammes de variation des paramètres de dimensionnement s0, des exposants de puissance λ et des
paramètres effectifs s(r) identifiés par l’approche double milieu fractal sur les données de 2005.
En traçant une courbe de tendance en loi de puissance sur les paramètres effectifs, le fait est que les
exposants des paramètres capacitifs et d’échange ne sont pas en adéquation avec la théorie du milieu
fractal. La conductivité hydraulique effective décroît suivant r −0.96 , en accord avec la théorie donnant
l’exposant a entre [0.4 - 1.3]. Les exposants des emmagasinements de fractures et de matrice sont de
l’ordre de [0.7 - 0.9] au lieu de [0.05 - 0.5]. De même, l’exposant d pour le coefficient d’échange est
de 1.7 pour une valeur attendue entre [0.05 - 0.5]. On notera également que les décroissances
effectives r −χ sont toutes plus fortes que celles données par les paramètres inversés s ( r ) ∝ s 0 r −λ ,
conductivité hydraulique incluse (voir Tableau 5). Cela dit, en admettant que cette conductivité,
comme pour l’approche simple milieu soit à peu près consistante avec une nature fractale, il reste que
le modèle doit augmenter artificiellement la diffusion hydraulique avec la distance pour mimer la
similarité des courbes de 2005. Là encore, il fait décroître fortement les paramètres capacitifs et
d’échange avec l’interdistance pompage – observation. Cette conclusion invalide en partie l’utilisation
de modèles basés uniquement sur des équations de diffusion pour représenter le comportement
hydrodynamique de l’aquifère en 2005. C’est une raison pour laquelle les modèles proposés par
[Boisson, 2007] et [Audouin, 2007] sont, sinon inconsistants, du moins discutables. Entendons par là
que comme toute approche de modélisation, ils apportent leur lot de contributions mais restent
"coincés" par la physique incluse dans les concepts. On peut bien évidemment dire la même chose des
travaux consignés dans ce mémoire. Cela étant, les deux modèles susmentionnés supposent une
diffusion hydraulique très forte dans une couronne englobant le site expérimental (milieu homogène
pour Boisson, et milieu où la géométrie des fractures est représentée pour Audouin). Finalement, dans
ces deux modèles, la couronne correspondant au site joue le rôle d’un puits de 300 mètres de diamètre
et l’eau alimentant le pompage provient de zones éloignées (jusqu’à 8 kilomètres). Il paraît peu
probable que les tests d’interférence intéressent des zones aussi éloignées. Dans le cas des doubles
milieux abordés pour ce travail, il n’est pas nécessaire d’aller chercher l’eau très loin, mais les
paramètres identifiés ne sont pas cohérents avec la physique (ou les concepts) inhérents aux modèles.
L’option est donc prise de relaxer les contraintes en changeant la physique, conformément aux idées
exposées plus haut et qui verraient s’ajouter une propagation d’onde au drainage diffusif du système
41
Les modèles double milieu homogène et fractal étant inadéquats pour homogénéiser les paramètres
hydrodynamiques de l’aquifère dans sa configuration de 2005, voyons maintenant si l’ajout d’un terme
hyperbolique dans les équations de diffusion pour mimer la propagation rapide de l’onde de déplétion
engendrée par le pompage peut permettre d’interpréter les tests.
I.6.4. Double milieu modifié
Approche homogène
Pour u = 10-6 s-1 et γ = 1, les paramètres identifiés sur les données de 2005 avec le double milieu
modifié homogène sont reportés Figure 10 et les valeurs limites sont données au Tableau 6.
m -1
m .s -1
2,82E-04
1,0E-04
Kf
2,80E-04
Ss m
2,78E-04
1,0E-05
2,76E-04
2,74E-04
1,0E-06
2,72E-04
0
50
100
150
200
250
0
300
50
100
150
200
250
300
200
250
300
Distance (m )
Distance (m )
m -1
m -1.s -1
1,0E-04
9,0E-10
Ss f
1,0E-05
α
7,0E-10
5,0E-10
1,0E-06
3,0E-10
1,0E-07
1,0E-10
0
50
100
150
200
250
300
0
50
100
150
Distance (m )
Distance (m )
Figure 10 : Evolution de la conductivité hydraulique de fracture, des emmagasinements spécifiques de fracture et de
matrice et du coefficient d’échange avec la distance puits pompé – puits observé. Données de la campagne 2005
interprétées avec l’approche double milieu modifié homogène (échelle log pour Ssm et Ssf). Cercles et cercles pleins
correspondent aux réponses des puits observés pour les puits pompés M16 et M20 respectivement.
Valeur minimale
Valeur maximale
Valeur moyenne
Kf
2.74 x 10-4
2.80 x 10-4
2.76 x 10-4
Ssf
9.2 x 10-7
4.8 x 10-6
2.1 x 10-6
Ssm
8.6 x 10-6
1.3 x 10-5
1.1 x 10-5
α
3.6 x 10-10
7.3 x 10-10
5.7 x 10-10
Tableau 6 : Gammes de variation et moyennes de la conductivité hydraulique de fracture, des emmagasinements
spécifiques de fracture et de matrice et du coefficient d’échange identifiés par l’approche double milieu modifié
homogène sur les données de 2005.
42
Les résultats des interprétations des tests de 2005 avec un double milieu modifié homogène montrent
l’homogénéité des quatre paramètres hydrodynamiques et l’absence d’évolution notable avec la
distance puits pompé – puits observé. La conductivité hydraulique est constante avec une valeur de
2.76 x 10-4 m s-1, valeur supérieure d’un ordre de grandeur à celle identifiée sur les données de 2004
avec le double milieu homogène. Les paramètres capacitifs et d’échange varient sur un demi ordre de
grandeur, gamme plus faible que celle de la campagne 2004. Les valeurs moyennes sont similaires à
celles obtenues avant perturbation du site. Cette similitude est un argument pour conserver γ à une
valeur de 1 car en supposant un volume ré-ouvert assez faible entre 2004 et 2005, les propriétés
capacitives du milieu ne seraient pas affectées contrairement aux propriétés conductrices. La
cohérence des paramètres trouvés en termes de valeurs génériques et de logique donne du poids à une
valeur γ = 1. Au vu du sens physique attribué plus haut au paramètre γ, la connectivité entre les puits et
l’aquifère serait parfaite, rendant complète la transmission de l’onde de déplétion.
Approche fractale
La Figure 11 et le Tableau 7 résument les résultats des inversions des données de 2005 avec le double
milieu fractal modifié.
0,590
1,11E-02
a
Kf 0
1,10E-02
0,588
1,09E-02
0,586
1,08E-02
0,584
1,07E-02
0,582
1,06E-02
0
50
100
150
200
Distance (m)
250
0
300
50
100
150
200
250
300
250
300
Distance (m)
5,0E-06
0,45
b
Ss f 0
4,0E-06
0,35
3,0E-06
0,25
2,0E-06
0,15
0,05
1,0E-06
0
50
100
150
200
Distance (m)
250
300
0
50
100
150
200
Distance (m)
43
0,23
2,1E-05
c
Ss m 0
1,9E-05
0,21
1,7E-05
0,19
1,5E-05
0,17
1,3E-05
0,15
0
50
100
150
200
Distance (m)
250
300
0
50
100
150
200
Distance (m)
250
300
50
100
250
300
0,25
1,0E-08
α0
d
0,21
0,17
1,0E-09
0,13
0,09
0,05
1,0E-10
0
50
100
150
200
Distance (m)
250
300
0
150
200
Distance (m)
m-1
9,0E-06
m.s -1
1,3E-03
Kf (r)
1,1E-03
Ss m (r)
8,0E-06
9,0E-04
7,0E-06
7,0E-04
6,0E-06
5,0E-04
5,0E-06
3,0E-04
0
50
100
150
200
Distance (m)
250
0
300
m-1
1,0E-05
50
100
150
200
Distance (m)
250
300
250
300
m-1.s -1
6,0E-10
α (r)
Ss f (r)
5,0E-10
4,0E-10
1,0E-06
3,0E-10
2,0E-10
1,0E-07
0
50
100
150
200
Distance (m)
250
300
0
50
100
150
200
Distance (m)
Figure 11 : Evolution de la conductivité hydraulique de fracture, des emmagasinements spécifiques de fracture et de
matrice et du coefficient d’échange avec la distance puits pompé – puits observé. Données de la campagne 2005
interprétées avec l’approche double milieu modifié fractal (échelle log pour α0, Ssm(r) et Ssf(r)). Cercles et cercles
pleins correspondent aux réponses des puits observés pour les puits pompés M16 et M20 respectivement.
44
K f0
Ss f0
Ss m0
α0
Valeur minimale
Valeur maximale
Valeur moyenne
1.06 x 10-2
1.11 x 10-2
1.10 x 10-2
1.1 x 10-6
3.9 x 10-6
2.2 x 10-6
1.3 x 10-5
1.9 x 10-5
1.5 x 10-5
4.2 x 10-10
1.2 x 10-9
8.2 x 10-10
Valeur minimale
Valeur maximale
Valeur moyenne
a
0.584
0.589
0.587
b
0.10
0.39
0.18
c
0.17
0.22
0.19
d
0.05
0.22
0.16
Kf ( r )
Valeur minimale
Valeur maximale
Valeur moyenne à 150 m
Ss f ( r )
-4
4.0 x 10
1.1 x 10-3
5.8 x 10-4
Ss m ( r )
-7
4.4 x 10
1.8 x 10-6
8.7 x 10-7
-6
4.8 x 10
8.6 x 10-6
5.9 x 10-6
α(r)
2.8 x 10-10
5.5 x 10-10
3.6 x 10-10
Tableau 7 : Gammes de variation et moyennes des paramètres de dimensionnement s0, des exposants de puissance λ et
des paramètres effectifs s(r) identifiés par l’approche double milieu modifié fractal sur les données de 2005.
Les paramètres de dimensionnement s0 sont quasi constants et échantillonnent moins d’un demi ordre
de grandeur. L’exposant de puissance a pour Kf a une valeur moyenne de 0.586, valeur un peu
inférieure à celle obtenue sur les données de 2004 avec le double milieu fractal classique. Les
exposants b, c et d des paramètres capacitifs et d’échange décroissent légèrement mais sont compris
dans la même gamme que celle de 2004 avec une valeur moyenne de 0.18. Les paramètres effectifs
suivent les lois de puissance attendues par la théorie. La courbe de tendance calculée pour la
conductivité hydraulique effective (Figure 11) s’écrit K f ( r ) = 0.0107r −0.582 . L’exposant est
parfaitement cohérent avec les valeurs inversées sur les données de rabattement. Les
emmagasinements et coefficient d’échange effectifs évoluent peu en fonction de la distance au puits
(Figure 11). Pour des distances comprises entre 50 et 300 mètres, la décroissance est calée par une loi
de puissance en r −0.15 . Là encore, cet exposant est comparable à ceux identifiés par approche inverse.
Finalement, les deux approches homogène et fractale du double milieu modifié constituent des
modèles capables d’interpréter les tests d’interférence sur un site au comportement hydrodynamique
fortement influencé par la présence de drains karstiques. La propagation d’onde est bien intégrée par le
terme hyperbolique ajouté aux équations de diffusion. L’eau alimentant le pompage ne provient pas de
distances démesurées (1000 mètres), donnant ainsi un sens physique correct au modèle. Rappelons que
le choix a été fait de maintenir constante une vitesse de propagation d’onde sur une couronne de taille
fixée. A l’instar de ce qui a été discuté précédemment, la vitesse aurait pu être relaxée en exponentielle
décroissante et mimer une perte progressive d’énergie de l’onde propagée. Sans avoir repris des
calculs systématiques, notamment une ré-inversion des données, un "calcul de coin de table" montre
que les valeurs de u et leur distance d’amortissement resteraient du même ordre que les valeurs fixes
imposées ici.
45
I.7. Discussion et analyse critique des méthodes proposées
Rappelons que les données de 2004 représentent un drainage normal (régime diffusif) de l’aquifère du
SEH. Le modèle double milieu, que se soit avec une hypothèse d’uniformité des paramètres ou de leur
caractère fractal, est un outil performant de simulation des courbes de rabattement observées. Il permet
de caler, avec un même jeu de paramètres, les temps courts, les temps longs et les éventuelles
inflexions aux temps intermédiaires (courbes en forme de baïonnette). Précisons également que
l’approche fractale est sensiblement mieux adaptée à l’aquifère du SEH que l’approche homogène, ce
qui n’est pas incompatible, aux dires de la littérature, avec le caractère fracturé du milieu.
Concernant les données acquises par tests d’interférence en 2005, les temps courts sont très sensibles à
l’identité des rabattements quelle que soit la distance entre puits pompé et puits observé. Le modèle
double milieu a été modifié par l’ajout d’un terme hyperbolique propageant une onde de déplétion
créée par le pompage. Cette onde serait propagée par des conduits karstiques réouverts entre 2004 et
2005 lors de l’exploitation du site. Cette modification est a priori compatible avec les observations de
[Audouin, 2007] sur le SEH : les couches du réservoir sont interstratifiées à trois ou quatre niveaux de
profondeur de lits karstiques sub-horizontaux bien développés pouvant présenter des drains allant
jusqu’à un mètre de diamètre environ. Ces chenaux sont assimilés à des conduites propageant l’onde
de déplétion du pompage dans une large couronne autour du puits englobant tout le site. Le modèle
ainsi modifié est décrit par les paramètres classiques du double milieu auxquels s’ajoutent deux
paramètres : le coefficient γ [-] qui traduit la qualité de la connexion hydraulique entre le puits et
l’aquifère et la vitesse apparente u [T-1] de propagation de l’onde de déplétion dans les conduits
karstiques. Ces deux paramètres supplémentaires sont entachés de certaines indéterminations et sont
de fait calés manuellement avant l’identification des autres paramètres. L’inversion sur les données de
2005 engendre un jeu de paramètres hydrodynamiques dont les valeurs sont similaires à celles
obtenues sur les données 2004 avec une approche diffusive classique. Seule la conductivité
hydraulique de fractures est différente avec une valeur d’un ordre de grandeur supérieure à celle de
2004.
Dans le modèle double milieu modifié, la conductivité hydraulique Kf est associée à la vitesse u de
propagation de l’onde car les deux termes u.∇h f et ∇ ( K f .∇h f ) transmettent le gradient de charge
hydraulique dans le milieu fractures sur lequel sont "entassés" (lumped) les drains karstiques. La
conductivité hydraulique est donc en partie attachée à la zone rapidement stressée par le pompage et
dont on ne connaît pas le volume. Revenons à la configuration de l’aquifère en 2005 : il peut être
représenté par une couche au comportement hydrodynamique de 2004 traversée par trois ou quatre
couches correspondant à des drains de un mètre d’épaisseur drainant chacune un mètre de part et
d’autre. On pourrait ainsi avoir une dizaine de mètres d’épaisseur effective où la conductivité
hydraulique est attachée au drainage rapide par des conduites locales. Notons que cette épaisseur totale
de l’ordre d’une dizaine de mètres n’est pas complètement "tirée d’un chapeau" et peut correspondre
localement à l’épaisseur totale de faciès vacuolaires reconnus par imagerie optique dans les puits. En
2004, pour un milieu homogène, la transmissivité effective rapportée par l’inversion du double milieu
est calculable en multipliant la conductivité hydraulique de 2004 par les cent mètres d’épaisseur. On
obtient une valeur de transmissivité de 1.6 x 10-3 m2 s-1. Par contre, si on admet que le drainage par
conduites en 2005 ne stresse majoritairement (ou n’est vu effectivement par le double milieu modifié)
que sur une dizaine de mètres, la transmissivité de 2005 est calculée en multipliant la conductivité
46
hydraulique de 2005 par les dix mètres d’épaisseur effectivement drainés. Cette transmissivité s’établit
à 2.8 x 10-3 m2 s-1, valeur tout à fait comparable à celle de 2004.
Les paramètres γ et u du modèle double milieu modifié sont factuels et portent des indéterminations
liées à la méconnaissance de la condition limite au puits de l’équation d’onde pour γ et du ratio volume
des drains sur volume de la couronne pour u. De plus, le couplage des équations de diffusion du
double milieu avec l’équation d’onde rend en partie indéterminée la conductivité hydraulique de
fractures identifiée sur les données (voir ci-dessus). Concernant la prédiction pour des aspects
hydrauliques, ces indéterminations ne posent pas de problème majeur et des explications sur le sens
physique de ces trois paramètres ont été proposées précédemment. S’il est maintenant question
d’étendre les résultats à la prédiction des vitesses d’écoulement et du temps de séjour de soluté dans
l’aquifère, la chose semble moins entendue. Il n’est pas trivial de calculer la vitesse d’écoulement du
fluide dans le système à partir de la vitesse de propagation de l’onde de déplétion et de la conductivité
hydraulique de fractures. On peut toujours le faire en reprenant des équations en conduites forcées sur
lesquelles on attacherait des effets visqueux liés à la rugosité des drains et aux pertes d’énergie vers le
milieu fracturé. Cela étant, il faudrait épiloguer sur les hypothèses ou paramétrer et inverser avec de
multiples solutions possibles sans conditionnement sérieux. Par exemple, on ne connaît pas le volume
ou l’épaisseur sur lequel s’applique la propagation d’onde. Il est donc louable de chercher d’autres
approches en particulier susceptibles de fournir des paramètres plus "communs" et correspondant à la
dynamique temps courts du réservoir.
On peut également développer des modèles occultant les temps courts en s’appuyant judicieusement
sur l’assertion que la dynamique du réservoir en écoulement naturel, et donc sans "stress", est bien
mieux représentée sur un essai d’interférence au temps longs, c’est-à-dire lorsqu’une portion
importante du milieu est sollicitée. Ne regardant que les temps longs, le régime diffusif est suffisant
pour résoudre l’écoulement et il n’est plus nécessaire d’ajouter un terme hyperbolique. Des travaux
s’appuyant sur une approche milieu continu stochastique [Neuman, 2005; Neuman et al., 2004] et
réinterprétant les données du SEH sont en cours. Dans cette approche, la variabilité spatiale des
propriétés hydrodynamiques est décrite par un milieu continu stochastique (géostatistique) de
paramétrisation simple telle que : la moyenne, la longueur de corrélation spatiale et la variance. En
supposant un régime d’écoulement pseudo-stationnaire, il est possible, via une méthode graphique, de
déterminer la transmissivité macroscopique du milieu mais ni les valeurs d’emmagasinement ni le
comportement aux temps courts ne sont accessibles. L’interprétation par cette méthode de toutes les
courbes de rabattement acquises sur le SEH en 2004 et 2005 montre que la transmissivité de 2004 est
équivalente à celle de 2005 avec une valeur de l’ordre de 10-3 m2 s-1. Cette valeur est comparable à
celle d’un modèle double milieu sur les données de 2004, ce qui est logique, l’approche stochastique
évoquée étant, elle aussi, basée sur un régime diffusif d’écoulement.
S’il est question d’applications ultérieures à des régimes d’écoulement naturel, alors l’analyse temps
longs des courbes de rabattement acquises par tests d’interférence serait suffisante pour appréhender la
dynamique du milieu. Des approches basées sur des équations de diffusion sont alors largement
suffisantes. Définies par des paramètres pertinents, on peut espérer qu’elles puissent être utilisées pour
prédire, via le champ de vitesses déduit, le transport de soluté dans l’aquifère en régime naturel, sous
couvert que ce dernier ne chenalise pas trop les flux hydriques (fractures + drains). Par contre, en
régime de "stress" du réservoir, par exemple une exploitation d’eau potable, l’analyse des temps courts
est indispensable pour la prédiction du comportement hydrodynamique. Dans ce cas, pour un aquifère
47
fortement hétérogène tel que le SEH en 2005, des équations de diffusion ne sont pas suffisantes. La
question qui reste alors en suspend après ce travail est de savoir comment un modèle double milieu
modifié (par ajout d’un terme hyperbolique) peut aider au conditionnement des temps de transfert de
soluté.
En utilisant, dans la résolution du transport, une approche de type réseau de fractures discrètes, il est
envisageable de faire porter le terme en u par des grandes fractures ouvertes connectant directement
l’entrée et la sortie du système. Le terme diffusif serait alors représenté par un réseau de petites
fractures plus ou moins connectées à ces grandes fractures. Le terme d’échange du double milieu,
équivalent à un terme cinétique, servirait alors à décrire les phénomènes de rétention du soluté sur les
parois des fractures ou dans la matrice rocheuse traversée par le réseau. Ceci n’est qu’une vue
conceptuelle du passage de l’écoulement au transport en milieu poreux par identification
d’équivalence entre termes des équations. Encore faudrait-il porter les paramètres d’un processus à
l’autre, le problème est loin d’être résolu.
48
CHAPITRE II : INVERSION D’UNE METHODE LAGRANGIENNE DANS LE
DOMAINE DES TEMPS (TIME DOMAIN RANDOM WALK – TDRW) POUR LA
RESOLUTION DU TRANSPORT
Section d'équation (suivante)
La dynamique des flux hydriques ne préjuge pas complètement des temps de séjour de soluté dans le
réservoir. En effet, le couplage, voire plus simplement la relation entre écoulement et transport
constitue un vrai problème, aujourd’hui encore mal résolu d’autant plus que les milieux sont
hétérogènes et contrastent les flux sur de faibles distances. Dans sa configuration actuelle, l’aquifère
du Site Expérimental Hydrogéologique est représenté par un triple milieu (drains karstiques, réseaux
de fractures, matrice rocheuse) susceptible de faire varier les temps caractéristiques de séjour d’un
soluté sur plusieurs ordres de grandeur. La question se pose donc de représenter correctement ces trois
entités lors de la résolution du problème de transport. Décrire explicitement la géométrie et la structure
de l’aquifère est un problème compliqué, difficile à calculer et de surcroît mal conditionné en raison
du peu de données à disposition. Dans le meilleur des cas, des tests de traçage effectués sur site
fournissent des courbes de restitution en soluté. Méthode standard à l’image du test d’interférence
pour l’étude de l’écoulement, le test de traçage dans l’une de ses formes la plus simple consiste à
injecter dans un puits une solution dont on est capable de mesurer la concentration en un point distant
après transport. On arrête les mesures lorsque les concentrations ne sont plus détectables ou tendent
vers des valeurs constantes pour une injection continue. La courbe de restitution ainsi obtenue
correspond à l’évolution de la concentration en traceur en fonction du temps en un point de l’espace et
traduit la densité de probabilité des temps de transfert du soluté. Sur ces courbes de restitution, on voit
un mélange entre convolution et prise de moyenne des vitesses locales échantillonnées entre le point
d’injection et le point de mesure. A défaut de pouvoir individualiser tous les mécanismes physiques du
transport et toutes les hétérogénéités rencontrées, une interprétation possible des courbes de restitution
est de développer un modèle d’homogénéisation a priori puis comparer aux données.
Dans les milieux très contrastés tels que les réservoirs poreux fracturés, le transport est difficile à
homogénéiser en raison des forts contrastes de temps de transfert :
- temps de transfert courts : advection dans les fractures de grande extension et à vitesse élevée. Une
conceptualisation possible, si les hétérogénéités au sein des fractures sont en partie occultées, sera
de ne voir le problème que sous la forme d’un lien matérialisé par un point d’entrée et un point de
sortie ;
- temps de transfert longs : cheminement dans le réseau de petites fractures peu connectées ou à
vitesse lente, diffusion – dispersion dans les zones très lentes et les bras morts, diffusion
matricielle, sorption…
Cette vue simplificatrice et qui n’est pas neuve, permet d’obtenir un modèle avec intrinsèquement peu
de paramètres (du moins à l’échelle élémentaire du lien). L’apport majeur de ce travail est de
considérer que le problème est inversible et de fournir les moyens d’une résolution correcte
(rigoureuse). Il n’est pas nié pour autant que la vue simplifiée du milieu (intégrant dans le modèle des
mécanismes réels ou fictifs) puisse être multiple. Avant même de commencer, le problème inverse est
donc comme à son habitude mal posé. Ce qui suit n’est alors qu’une contribution de plus, certainement
biaisée mais dont on espère que conjuguée à d’autres, elle fasse évoluer la compréhension des
transferts dans les réservoirs souterrains.
49
Pour les milieux fracturés, les approches de type Discrete Fracture Network (DFN) ont la capacité de
distinguer explicitement le "double milieu" en termes de dynamique temps courts et temps longs
(Figure 12, gauche) et les multimodalités (Figure 12, droite) que l’on peut observer dans le cas de la
chenalisation des écoulements (chemins plus ou moins dissociés et empruntés par le traceur). On
l’aura compris, cette approche est le choix de ce travail avec en l’occurrence une représentation des
drains et fractures connectés sous la forme de liens monodimensionnels (Figure 13).
1,0
1,0
0,9
Concentration normalisée
Concentration normalisée
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,1
0,0
0,0
0
100
200
300
400
500
0
Tem ps (m in)
500
1000
1500
Tem ps (min)
Figure 12 : Exemples de courbes de restitution obtenues par tests de traçage (données issues de traçages sur le SEH,
résultats non publiés, Marion Chatelier, 2008).
La mise en équation du transport sur un lien est beaucoup plus simple que sur un milieu continu
multidimensionnel. C’est une des raisons pour lesquelles l’approche continue double milieu a été
délaissée au profit du DFN. De plus, il reste toujours le problème du conditionnement de la vitesse du
fluide sur un modèle double milieu associant une vitesse de propagation d’onde et une conductivité
hydraulique de fractures. Dans le DFN, les drains à vitesses d’écoulement rapides sont mimés par de
grandes fractures connectant les limites du système, le réseau de fractures par l’ensemble de liens de
plus petites tailles ou à vitesses plus faibles et des processus de rétention des particules peuvent être
ajoutés pour simuler les temps longs (à rapprocher du milieu "matrice" dans un double continuum).
Figure 13 : Représentation d’un réseau de liens avec une approche DFN.
50
La méthode Time Domain Random Walk (TDRW) originellement proposée par [Banton et al., 1997]
et développée par [Delay and Bodin, 2001] et [Bodin et al., 2003a] résout le transport advectifdispersif de particules Lagrangiennes sur un réseau de liens 1D, avec éventuellement l’ajout d’effets
de diffusion – rétention dans la matrice. L’attrait pour cette approche réside dans sa capacité à obtenir
la densité de probabilité des temps de transition des particules entre deux points sans discrétisation du
temps. Dans les DFN il s’agit d’un avantage car, quels que soient la taille d’un lien et les temps
caractéristiques attachés, le calcul reste le même, ni plus long, ni plus court et ne demande aucune rediscrétisation éventuelle du réseau.
Ce travail teste les capacités d’homogénéisation du transport et d’inversion des paramètres de
l’approche TDRW. Un mécanisme de sorption avec effets cinétiques a été ajouté afin d’accroître le
potentiel de simulation "temps longs". Avant de regarder les aspects techniques relatifs au calcul direct
et à l’inversion, un retour sur les fondements théoriques de l’approche Lagrangienne en temps est
proposé.
II.1. Fondements théoriques de la méthode TDRW
La méthode Time Domain Random Walk est une approche Lagrangienne issue du développement
dans le domaine des temps du mouvement de marcheurs aléatoires. Les méthodes de marcheurs
aléatoires sont issues de la physique statistique et sont régies par une équation générale qui manipule
la densité de probabilité de présence d’une particule en un point au temps t. La forme la plus
généralement utilisée de cette densité de probabilité est décrite par l’équation dite de ChapmanKolmogorov. Dans le cas particulier de particules markoviennes, cette équation limitée à un
développement au second ordre, pour des sauts de particules dans l’espace Euclidien, s’appelle
l’équation de Fokker-Planck-Kolmogorov. On verra ultérieurement que sa forme est quasi similaire à
l’équation d’advection-dispersion. Un processus stochastique est dit markovien si la densité de
probabilité conditionnelle des états futurs ne dépend que de l’état présent et non des états passés. Le
déplacement d’une particule markovienne à un temps t est donc indépendant de la trajectoire suivie
auparavant (pas d’effet mémoire). Traduit mathématiquement, un processus markovien se décrira par
les expressions suivantes.
Soit P ( E n , E n −1 ,
E1 ) la densité de probabilité n variables de n états successifs d’un processus
markovien. Classiquement, le développement de cette pdf peut s’écrire :
P ( E n , E n −1 ,
E1 ) = P ( E n / E n −1 , E n − 2 ,
avec P ( E / {
})
E1 ) P ( E n −1 / E n − 2 ,
E1 )
P ( E 2 / E1 ) P ( E1 )
la densité de probabilité conditionnelle de E "connaissant"
(II.1)
{ } . Pour un processus
markovien, chaque pdf P ( E i / E i −1 ,...E1 ) ne dépendant que de E i −1 , la pdf n variables de n états
s’écrira :
P ( E n , E n −1 ,
E1 ) = P ( E n / E n −1 ) P ( E n −1 / E n − 2 )
P ( E 2 / E1 ) P ( E1 )
(II.2)
Plus spécifiquement, la trajectoire d’une particule représentée par le passage entre n états successifs
P ( E n , E1 ) ne dépend que du produit des probabilités de transition E i −1 → E i , soit P ( E i / E i −1 ) .
51
II.1.1. Equation de Fokker Planck Kolmogorov (FPKE)
Soit une particule présente en un point y à un temps t. La probabilité qu’elle effectue une transition de
y vers x sur une durée τ s’écrit Ψ ( x, t + τ / y, t ) . Si cette particule suit un processus markovien et que
le nombre de sauts est suffisant sur une durée t, la probabilité d’être en x à un temps t devient
équivalente à la probabilité d’effectuer une transition de x0 vers x (en plusieurs sauts) sur une durée t
sachant que la particule est en x0 à t = 0 . On écrit : P ( x, t ) = Ψ ( x, t / x 0 ,0 ) .
L’expression variationnelle de la densité P ( x, t ) donne :
∂P ( x, t )
∂t
= Lim
Ψ ( x, t + Δt / x 0 ,0 ) − Ψ ( x, t / x 0 ,0 )
Δt
Δt → 0
= Lim
Ψ ( x, t + Δt / x 0 ,0 ) − P ( x, t )
Δt → 0
Δt
(II.3)
On cherche alors à exprimer Ψ ( x, t + Δt / x 0 ,0 ) de l’expression (II.3). Fondamentalement, tous les
mécanismes de transport de la particule sont intégrés dans la probabilité Ψ ( x, t / x ', t ') . On peut écrire:
Ψ ( x, t + Δt / x 0 ,0 ) = P ( x, t + Δt ) = ∫ P ( y, t ) Ψ ( x, t + Δt / y, t ) dy
(II.4)
Ω
ce qui se traduit par : la probabilité d’être en x au temps t+Δt est égale à la probabilité d’être en y à t et
d’effectuer une transition de y vers x sur une durée Δt, et ce quelle que soit la position y appartenant
au domaine Ω. L’équation (II.4) est connue sous le nom d’équation de Chapman-Kolmogorov.
Contrairement à une idée répandue, il n’est pas nécessaire d’invoquer le caractère markovien des sauts
de particules. L’expression (II.4) peut être obtenue en utilisant le théorème de Bayes :
P ( A, B ) = P ( A / B ) P ( B )
⇒ P ( A ) = ∫ P ( A, B ) dB = ∫ P ( A / B ) P ( B ) dB
(II.5)
En remplaçant Ψ ( x, t + Δt / x 0 ,0 ) par son expression (II.4) dans l’équation (II.3), on obtient :
∂P ( x, t )
∂t
= Lim
Δt → 0
⎞
1⎛
⎜ ∫ P ( y, t ) Ψ ( x, t + Δt / y, t ) dy − P ( x, t ) ⎟
Δt ⎝ Ω
⎠
(II.6)
On cherche maintenant à exprimer le terme Ψ ( x, t + Δt / y, t ) de l’équation (II.6). Quand Δt tend vers
0, la transition de y vers x ne peut pas se produire (durée de transition nulle) sauf si x = y . On écrit :
Lim Ψ ( x, t + Δt / y, t ) = δ ( x − y )
Δt → 0
où δ (
)
(II.7)
est la fonction Delta Dirac ( δ ( 0 ) = 1, δ ( χ ≠ 0 ) = 1 ).
Le passage de l’équation probabiliste de Chapman-Kolmogorov (II.4) à une équation déterministe aux
dérivées partielles est réalisé via un développement de Kramers-Moyal. Plusieurs types de
développements de la probabilité Ψ ( x, t + Δt / y, t ) présente dans l’équation (II.7) peuvent être
52
proposés (annexe D). Etant donnée la forme de l’équation (II.7), certains auteurs comme [Zaslavsky,
iω x − y
2002] et [Delay et al., 2005] choisissent de passer par la fonction caractéristique Ψ ( ω) = e ( ) .
Bien évidemment, ce choix est du registre de la sémantique car il conduit exactement au même résultat
que d’autres méthodes. Il est même plus long, mais a le mérite de stipuler clairement les endroits où
certaines hypothèses sont nécessaires.
Ce développement s’appuie sur le raisonnement suivant. Prenons une particule dont la position est une
variable aléatoire ξ . Pour un ensemble de particules, la probabilité de présence d’une particule en x
est décrite par la pdf P ( x ) avec :
P ( x ) = δ ( ξ − x ) avec δ ( ξ − x ) = 0 si ξ ≠ x et δ ( ξ − x ) = 1 si ξ = x
La fonction Delta Dirac δ ( x ) est remplacée par son expression dans le domaine de Fourier
ou indifféremment
∫e
− i ωx
(II.8)
∫e
i ωx
dω
dω . La fonction caractéristique de la probabilité P(x) s’écrit alors
P ( ω) = ∫ eiωx P ( x ) dx = eiωξ .
Reprenons la probabilité Ψ ( x, t + Δt / y, t ) et notons Ψ ( ω) sa fonction caractéristique. On écrit :
Ψ ( ω) = ∫ e
iω( x − y )
Ψ ( x, t + Δt / y, t ) dx
(II.9)
On dérive Ψ ( ω) à l’ordre n par rapport à la fréquence ω :
n
n iω( x − y )
⎛ ∂ ⎞
Ψ ( x, t + Δt / y, t ) dx
⎜
⎟ Ψ ( ω) = ∫ ( i ( x − y ) ) e
⎝ ∂ω ⎠
(II.10)
Dans le cas particulier ω = 0 , on obtient :
n
n
⎛ ∂ ⎞
= i n ∫ ( x − y ) Ψ ( x, t + Δt / y, t ) dx
⎜
⎟ Ψ ( ω)
⎝ ∂ω ⎠
ω= 0
Dans cette expression, le terme
∫ ( x − y ) Ψ ( x, t + Δt / y, t ) dx
n
(II.11)
correspond au moment d’ordre n des
tailles de sauts partant de y au temps t et de durée Δt . L’équation (II.11) devient :
n
⎛ ∂ ⎞
= i n M n ( y, t, Δt )
⎜
⎟ Ψ ( ω)
∂ω
⎝
⎠
ω= 0
(II.12)
Le développement de Taylor de Ψ ( ω) en ω à partir de Ψ ( 0 ) s’écrit :
n
ωn ⎛ ∂ ⎞
Ψ ( ω) = Ψ ( 0 ) + ∑ ⎜
⎟ Ψ ( ω) ω= 0
n =1 n! ⎝ ∂ω ⎠
∞
(II.13)
53
L’expression de Ψ ( 0 ) donne :
Ψ ( 0) = ∫ e
i0( x − y )
Ψ ( x, t + Δt / y, t ) dx = ∫ Ψ ( x, t + Δt / y, t ) dx = 1
(II.14)
En substituant Ψ ( 0 ) et les termes en ∂ n ∂ωn dans l’expression de Ψ ( ω) en (II.13), on obtient
finalement le développement de la fonction caractéristique sur les moments des tailles de transitions :
∞
Ψ ( ω) = 1 + ∑
n =1
( iω )
n!
n
M n ( y, t, Δt )
(II.15)
Pour retrouver l’expression de Ψ ( x, t + Δt / y, t ) , il suffit d’établir la transformée de Fourier inverse de
Ψ ( ω) :
Ψ ( x, t + Δt / y, t ) = ∫ e
− iω( x − y )
∞
dω + ∑ ∫ e
− iω( x − y )
( iω )
n!
n =1
n
M n ( y, t, Δt ) dω
(II.16)
Notons que les exponentielles de la transformée inverse sont bien en ω ( x − y ) car l’objet qualifié par
Ψ est la transition y → x de taille x − y . Dans l’équation (II.16), le terme ∫ e
la fonction Delta Dirac δ ( x − y ) tandis que chaque terme
( −1)
n
n
( iω )
n
e
− iω( x − y )
− iω( x − y )
dω correspond à
f ( y ) s’écrit aussi
⎛ ∂ ⎞ − iω( x − y )
f ( y ) . On obtient :
⎜ ⎟ e
⎝ ∂x ⎠
(
)
∞
Ψ ( x, t + Δt / y, t ) = δ ( x − y ) + ∑
n =1
( −1)
n
n
(
⎛ ∂ ⎞
− iω( x − y )
n
dω
⎜ ⎟ M ( y, t, Δt ) ∫ e
n! ⎝ ∂x ⎠
)
(II.17)
Finalement, la probabilité pour une particule d’être en x à t + Δt sachant qu’elle était en y à t s’écrit :
∞
Ψ ( x, t + Δt / y, t ) = δ ( x − y ) + ∑
n =1
( −1)
n!
n
M n ( y, t, Δt ) δ n ( x − y )
(II.18)
avec δn ( x − y ) la dérivée d’ordre n de la fonction Delta Dirac.
Le moment d’ordre 1, M1 ( y, t, Δt ) , est un vecteur (à d composantes, d = dimension de l’espace
Euclidien) correspondant à la moyenne de la taille des sauts partant de y et de durée Δt. Le moment
d’ordre 2, M 2 ( y, t, Δt ) , est la matrice (d x d) de covariance de la taille des sauts.
Supposons maintenant que les moments d’ordre supérieurs à 2 sont nuls ou négligeables et que les
moments d’ordre 1 et 2 peuvent, à eux seuls, décrire les mécanismes de transport et les éventuels effets
de l’hétérogénéité spatiale (et/ou temporelle) du milieu. Notons que cette assertion se vérifie par
exemple pour le processus markovien du mouvement brownien [Chandrasekhar, 1943; Einstein,
1905]. En remplaçant Ψ ( x, t + Δt / y, t ) dans l’équation (II.6) par son expression en (II.18) tronquée
au-delà du second ordre, on obtient :
54
∂P ( x, t )
∂t
= Lim
Δt → 0
1⎛
1
⎜ ∫ P ( y, t ) δ ( x − y ) dy + ∫ P ( y, t ) M ( y, t, Δt ) δ ' ( x − y ) dy
Δt ⎝ Ω
Ω
⎞
1
+ ∫ P ( y, t ) M 2 ( y, t, Δt ) δ '' ( x − y ) dy − P ( x, t ) ⎟
2Ω
⎠
Les premier et quatrième termes de l’équation (II.19) s’annulent car
(II.19)
∫ P ( y, t ) δ ( x − y ) dy = P ( x, t ) , ce
Ω
qui donne :
∂P ( x, t )
∂t
= Lim
Δt → 0
⎞
1⎛
1
1
2
⎜ ∫ P ( y, t ) M ( y, t, Δt ) δ ' ( x − y ) dy + ∫ P ( y, t ) M ( y, t, Δt ) δ '' ( x − y ) dy ⎟
2Ω
Δt ⎝ Ω
⎠
(II.20)
Les deux termes intégraux présents dans (II.20) sont développés séparément en utilisant des
intégrations par parties pour éliminer les dérivées de la fonction Delta Dirac.
∂
∫ P ( y, t ) M ( y, t, Δt ) δ ' ( x − y ) dy = − ∫ ∂y ( P ( y, t ) M ( y, t, Δt ) ) δ ( x − y ) dy
1
Ω
1
Ω
+ ∫ P ( y, t ) M ( y, t, Δt ) δ ( x − y ) dy
(II.21)
1
Γ
Γ représente le contour du domaine Ω . La fonction δ ( x − y ) est nulle sur ce contour sauf dans le cas
particulier où x est sur Γ. Cherchant à établir une équation sur le domaine Ω ( x ∈ Ω ), le cas x = y
avec x sur la limite n’a pas de raison d’être. L’expression (II.21) devient par conséquent :
∂
∫ P ( y, t ) M ( y, t, Δt ) δ ' ( x − y ) dy = − ∂y ( P ( y, t ) M ( y, t, Δt ) )
1
=−
1
Ω
y=x
∂
( P ( x, t ) M1 ( x, t, Δt ) )
∂x
(II.22)
De la même façon, la seconde intégrale de (II.20) se développe en deux intégrations par parties
successives :
1
1 ∂
P ( y, t ) M 2 ( y, t, Δt ) δ '' ( x − y ) dy = − ∫ ( P ( y, t ) M 2 ( y, t, Δt ) ) δ ' ( x − y ) dy
∫
2Ω
2 Ω ∂y
+
1
P ( y, t ) M 2 ( y, t, Δt ) δ ' ( x − y ) dy
∫
2Γ
(II.23)
−
1 ∂
1 ∂
P ( y, t ) M 2 ( y, t, Δt ) ) δ ' ( x − y ) dy = ∫ 2 ( P ( y, t ) M 2 ( y, t, Δt ) ) δ ( x − y ) dy
(
∫
2 Ω ∂y
2 Ω ∂y
2
−
1 ∂
( P ( y, t ) M 2 ( y, t, Δt ) δ ( x − y ) ) dy
2 ∫Γ ∂y
En simplifiant l’expression (II.23) de ses intégrales de contour comme pour (II.21), on obtient :
1
1 ∂2
2
P
y,
t
M
y,
t,
Δ
t
δ
''
x
−
y
dy
=
(
)
(
)
(
)
( P ( x, t ) M 2 ( x, t, Δt ) )
2 Ω∫
2 ∂x 2
(II.24)
55
Les deux intégrales de (II.20) sont ensuite substituées par leurs expressions en (II.22) et (II.24) pour
obtenir l’équation de Fokker-Planck:
∂P ( x, t )
∂t
= Lim
Δt → 0
⎞
1⎛ ∂
1 ∂2
1
−
Δ
+
P
x,
t
M
x,
t,
t
P x, t ) M 2 ( x, t, Δt ) ) ⎟
( ) (
))
(
⎜
2 ( (
Δt ⎝ ∂x
2 ∂x
⎠
(II.25)
Les hypothèses dites de Kolmogorov établissent que les limites suivantes existent (ce qui est vrai pour
un processus markovien type mouvement brownien) :
1 1
M ( x, t, Δt ) = A ( x, t )
Δt
1
Lim M 2 ( x, t, Δt ) = B ( x, t )
Δt → 0 Δt
1
Lim M n ( x, t, Δt ) = 0 ( n > 2 )
Δt → 0 Δt
Lim
Δt → 0
(II.26)
La troisième condition (moments d’ordre supérieurs à 2 supposés nuls) justifie l’équation (II.19)
tronquée au-delà du second ordre. Le vecteur A ( x, t ) de dimension [LT-1] correspond à la moyenne
de la vitesse des sauts. Le tenseur B ( x, t ) de dimension [L2T-1] représente la dispersion statistique de
la vitesse des sauts autour de la moyenne.
En intégrant les hypothèses de Kolmogorov (II.26) dans l’équation de Fokker-Planck (II.25), on
obtient une équation générale du transport dite de Fokker-Planck-Kolmogorov :
∂P ( x, t )
∂t
=−
∂
1 ∂2
A ( x, t ) P ( x, t ) ) +
(
( B ( x, t ) P ( x, t ) )
∂x
2 ∂x 2
(II.27)
Rappelons les hypothèses principales attenantes à la forme de cette équation :
- les particules sont markoviennes ;
- le processus est conceptuellement identique que la vitesse soit v1 ou v2 ;
- bien que l’hypothèse ne soit pas nécessaire à l’établissement de (II.27), les probabilités de
transition Ψ ( ) sont généralement multigaussiennes, justifiant d’ailleurs le développement à
l’ordre 2 (moments d’ordre 3 nuls, moments d’ordre 4 négligeables) .
L’équation (II.27), en particulier dans le cas de transitions markoviennes multigausiennes, possède une
solution explicite. Il suffit de mimer des sauts (transitions) de particules successivement indépendants
de moyenne et covariance définies pour une durée Δt par A ( x, t ) Δt et B ( x, t ) Δt et de distribution
gaussienne. Δt est supposé suffisamment petit pour que A (
)
et B (
)
soient constants sur Δt. Dans
ces conditions, pour une particule, chaque transition s’écrit :
x ( t + Δt ) = x ( t ) + A ( x, t ) Δt + Z B ( x, t ) Δt
(II.28)
x(t) est un vecteur de taille d (d = dimension de l’espace Euclidien) portant la position de la particule
au temps t. Z est un vecteur de d nombres aléatoires indépendants tirés d’une distribution normale de
moyenne nulle et de variance unité.
56
II.1.2. Equivalence entre ADE et FPKE
Etablissons maintenant l’équivalence entre l’équation générale de Fokker-Planck-Kolmogorov (FPKE)
et l’équation d’advection-dispersion (ADE) classiquement utilisée pour décrire le transport de soluté
en milieu poreux saturé.
L’équation d’advection-dispersion s’écrit sous la forme :
∂C ( x, t )
∂t
=−
∂C ( x, t ) ⎞
∂
∂ ⎛
u ( x, t ) C ( x, t ) ) + ⎜ D ( x, t )
(
⎟
∂x
∂x ⎝
∂x ⎠
(II.29)
avec : C ( x, t ) [ML-3] la concentration en soluté au point x au temps t, u ( x, t ) [LT-1] le vecteur vitesse
moyenne du fluide et D ( x, t ) [L2T-1] le tenseur de dispersion. Pour obtenir l’équivalence entre FPKE
et ADE, le terme en dérivée seconde de (II.27) est exprimé selon :
∂2
∂ ⎛ ∂
⎞
B x, t ) P ( x, t ) ) = ⎜ ( B ( x, t ) P ( x, t ) ) ⎟
2 ( (
∂x
∂x ⎝ ∂x
⎠
⎞ ∂ ⎛
∂P ( x, t ) ⎞
∂ ⎛ ∂B ( x, t )
= ⎜
P ( x, t ) ⎟ + ⎜ B ( x, t )
⎟
∂x ⎝ ∂x
∂x ⎠
⎠ ∂x ⎝
(II.30)
En substituant (II.30) dans (II.27) on obtient :
∂P ( x, t )
∂t
=−
⎞ 1 ∂ ⎛
∂P ( x, t ) ⎞
∂ ⎛⎛
1 ∂B ( x, t ) ⎞
⎜⎜ ⎜ A ( x, t ) −
⎟ P ( x, t ) ⎟⎟ +
⎜ B ( x, t )
⎟
2 ∂x ⎠
∂x ⎝ ⎝
∂x ⎠
⎠ 2 ∂x ⎝
(II.31)
L’équivalence entre l’équation d’advection-dispersion en (II.29) et l’équation de Fokker-PlanckKolmogorov en (II.31) est obtenue par identification :
C ( x, t ) ≡ P ( x, t )
u ( x, t ) ≡ A ( x, t ) −
1 ∂B ( x, t )
2 ∂x
(II.32)
1
D ( x, t ) ≡ B ( x, t )
2
Dans le cas particulier d’un milieu homogène avec le tenseur de dispersion D ( x, t ) constant dans
l’espace, l’équation d’advection-dispersion peut être réécrite sous la forme :
∂C ( x, t )
∂t
=−
∂
∂2
u ( x, t ) C ( x, t ) ) + 2 ( D ( x, t ) C ( x, t ) )
(
∂x
∂x
(II.33)
Dans ce cas, l’équivalence entre ADE et FPKE en comparant les expressions (II.27) et (II.33) est
triviale et s’écrit :
57
C ( x, t ) ≡ P ( x, t )
u ( x, t ) ≡ A ( x, t )
(II.34)
1
D ( x, t ) ≡ B ( x, t )
2
Sur la base de l’équivalence entre ADE et FPKE, une solution de ADE en (II.29) peut s’écrire en
empruntant le même algorithme de marcheurs aléatoires que celui de la solution de FPKE en (II.28).
Pour une équivalence comparable à (II.32) mais réécrite sous la forme B ( x, t ) = 2D ( x, t ) et
A ( x, t ) = u ( x, t ) + ∂D ( x, t ) ∂x , l’algorithme s’écrira :
⎛
∂D ( x, t ) ⎞
x ( t + Δt ) = x ( t ) + ⎜ u ( x, t ) +
⎟ Δt + Z 2D ( x, t ) Δt
∂x ⎠
⎝
(II.35)
Bien évidemment, dans un milieu homogène cette solution se simplifie en :
x ( t + Δt ) = x ( t ) + u ( x, t ) Δt + Z 2D ( x, t ) Δt
(II.36)
Les équations (II.28), (II.35) et (II.36) sont des algorithmes de marche aléatoire (Random Walk) en
espace.
Cet algorithme est simple mais lorsque la dispersion n’est pas constante (expression (II.35)), certaines
précautions sont à prendre et peuvent considérablement alourdir les calculs. Imaginons la transition
d’une particule entre deux milieux ayant des coefficients de dispersion fortement contrastés. Le
caractère discontinu de D ( x, t ) fera que les dérivées ∂D ( x, t ) ∂x dans l’équation (II.35) seront mal
définies. La conservation de la masse à l’interface entre les deux milieux ne sera pas préservée et
d’autres techniques devront être utilisées pour calculer les sauts de particules. La dispersion étant plus
ou moins proportionnelle à la vitesse du fluide, ce genre de problème est d’autant plus important dans
les milieux fortement hétérogènes, en l’occurrence, un réseau de fractures. En général, la variabilité
des vitesses d’une fracture à l’autre est importante, créant ainsi de forts contrastes des coefficients de
dispersion. Les différentes techniques proposées dans la littérature (principe de réflexion [Uffink,
1985], interpolation [LaBolle et al., 1996]) pour résoudre ce problème font appel à une discrétisation
fine du pas de temps et deviennent coûteuses en temps calcul. Par ailleurs, la mise en œuvre d’un
algorithme de Random Walk dans l’espace suppose que chaque particule effectue au moins une
trentaine de sauts par lien pour simuler correctement la distribution de la taille des sauts conséquence
de la dispersion. Néanmoins, cette règle empirique peut être partiellement relaxée, sans pour autant
éviter la lourdeur des calculs sur des réseaux "réalistes" de fractures comptant plusieurs milliers de
liens. Ces constatations et problèmes calculatoires ont conduit à modifier l’algorithme de calcul du
transport des particules en conservant la physique du transport décrite par l’équation de ChapmanKolmogorov (II.4). La méthode TDRW de marche aléatoire dans le temps a été développée dans ce
cadre. Rappelons qu’elle calcule directement le temps mis par une particule pour transiter d’un point A
à un point B pouvant représenter l’entrée et la sortie d’un lien.
58
II.2. La méthode TDRW
On peut directement développer une équation de Chapman-Kolmogorov dans le domaine des temps
[Delay, Travaux inédits]. Le principe est comparable à l’un de ceux proposés en annexe D comme
alternative au développement proposé entre (II.3) et (II.25). Rappelons qu’en espace, on utilise une
équation de Chapman-Kolmogorov du type :
P ( x, t + τ ) = ∫ P ( y, t )Ψ ( x, t + τ / y, t ) dy
(II.37)
Ω
Le cœur du développement repose alors sur l’identification de la probabilité de transition y → x sur la
durée τ, Ψ ( x, t + τ / y, t ) (voir équations (II.3) à (II.25) et annexe D).
Pour un développement en temps, l’équation est modifiée sous la forme :
t
P ( t, x + χ ) = ∫ P ( t ', x )Ψ ( t, x + χ / t ', x ) dt '
(II.38)
0
que l’on traduira comme : la probabilité d’arriver en x + χ au temps t est égale à la probabilité
d’arriver en x au temps t’ et d’effectuer une transition x → x + χ de durée t − t ' . Fondamentalement,
le problème en temps diffère du problème en espace au sens où le déplacement est fixé entre x et
x + χ alors que la durée est variable (c’est l’inverse pour un développement en espace, voir partie
II.1.1.). La fonction Ψ ( t, x + χ / t ', x ) est ensuite développée sur la base de la fonction Delta Dirac en
temps δ ( t1 − t 2 ) (voir annexe E). Le passage dans le domaine des temps proposé ci-dessous est une
approche alternative, plus intuitive mais qui a le mérite de mieux faire sentir, qu’écrite en temps,
l’équation du transport suppose des sauts de taille fixée (entre deux points) et dont on identifie la durée
variable (aléatoire).
Supposons que l’écoulement dans un milieu hétérogène fracturé et/ou poreux puisse se simplifier en
un réseau de liens 1D connectés ou un réseau de tubes de courant. TDRW calcule la durée des temps
de séjour entre deux points situés sur la même ligne de courant (lien ou tube). L’équation de transport
mimée est fondamentalement 1D (bien que des probabilités empiriques puissent être ajoutées et
autoriser les particules à sauter d’une ligne de courant à l’autre. Cet "artifice" ne modifie nullement le
principe du développement proposé ci-dessous).
Ecrivons l’équation d’advection-dispersion en formalisme de Fokker-Planck-Kolmogorov pour un
milieu hétérogène 1D. Les références d’espace et de temps pour la variable C et les paramètres u et D
sont supprimées afin d’alléger la notation.
2
∂C
∂ ⎛⎛
∂D ⎞ ⎞ ∂ ( DC )
= − ⎜⎜u +
+
C
⎟ ⎟
∂t
∂x ⎝ ⎝
∂x ⎠ ⎠
∂x 2
(II.39)
En contexte Lagrangien, chaque particule suit une ligne de courant. Les variable d’espace et de temps
sont reliées par la relation x = ut autorisant un changement de variables le long d’une ligne de courant
à la vitesse u. Pour une grandeur scalaire s, on écrit :
59
∂s ∂s ∂x ∂s
=
=
u
∂t ∂x ∂t ∂x
(II.40)
Appliqué à l’équation d’advection-dispersion (II.39), ce changement de variables donne :
2
∂C
∂D ⎞ ⎞ 1 ∂ ( DC )
1 ∂ ⎛⎛
= − 2 ⎜⎜ u +
⎟C⎟ +
∂x
∂x ⎠ ⎠ u 3 ∂t 2
u ∂t ⎝ ⎝
(II.41)
En utilisant l’équivalence entre ADE et FPKE, l’équation (II.41) s’interprète comme la description par
une équation Eulérienne aux dérivées partielles de la densité de probabilité des temps de transport des
particules sur une distance donnée. La moyenne m t et la variance σ 2t de la distribution de cette pdf
sont :
mt =
∂D ⎞
1 ⎛
u+
⎟L
2 ⎜
∂x ⎠
u ⎝
σ 2t =
2DL
u3
(II.42)
avec L la distance parcourue.
Choisissant pour des questions de simplification de travailler sur des liens (ou segments) homogènes,
u et D sont constants sur le segment (mais peuvent varier d’un segment à l’autre) et sont sortis des
dérivées de l’expression (II.41). On obtient :
∂C
1 ∂C D ∂ 2 C
=−
+
∂x
u ∂t u 3 ∂t 2
(II.43)
La moyenne de l’expression (II.42) devient :
mt = L u
(II.44)
Notons que si u et D ne sont pas constants sur la longueur totale du lien mais constants par morceaux
(ou discrétisés comme tels), on peut assez facilement calculer u eq et Deq sur le lien [Delay et al.,
2008].
Pour un transport advectif-dispersif, la distribution des particules dans l’espace est gaussienne.
Cependant, [Delay and Bodin, 2001] ont montré que la distribution des temps de séjour des particules
dans un lien était sensiblement log normale. Ceci peut se justifier empiriquement par la forme
asymétrique de la courbe de restitution concentration en particules versus temps de séjour. Une
justification mathématique est proposée par [Bodin et al., 2003a; Delay and Bodin, 2001]. Il s’agit de
comparer les moments temporels de la pdf exacte des temps de transition dans un milieu semi-infini et
ceux d’une distribution log normale dont moyenne et variance de la variable naturelle (t, par
opposition à ln t ) seraient données par les expressions (II.42). Les auteurs ont montré que
l’approximation était précise en 1 Pe (avec Pe le nombre de Peclet du lien défini par Pe = u L D )
jusqu’aux moments temporels d’ordre 4. On admettra alors que l’hypothèse de log normalité des
temps de séjour est valable pour des nombres de Peclet supérieurs à 10.
60
Le temps de séjour d’une particule par advection-dispersion t AD sur une distance L est déduit de la
relation suivante :
ln ( t AD ) = m ln t + zσln t ⇔ t AD = exp ( m ln t + zσln t )
(II.45)
z est un nombre aléatoire tiré d’une distribution normale de moyenne nulle et variance unité. La
moyenne m ln t et l’écart type σln t de la distribution des logarithmes du temps sont définis par :
m ln t
⎛
⎞
mt
⎟
= ln ⎜
⎜ (1 + σ2 m 2 )1 2 ⎟
t
t
⎝
⎠
12
σln t
⎛ ⎛
σ2 ⎞ ⎞
= ⎜⎜ ln ⎜ 1 + t2 ⎟ ⎟⎟
⎝ ⎝ mt ⎠ ⎠
(II.46)
II.3. Ajout de processus de rétention
Les courbes de restitution obtenues expérimentalement sur de nombreux milieux naturels ou
reconstitutions en laboratoire présentent fréquemment des asymétries positives avec de longues queues
de restitution. Une partie de la masse de soluté est retardée par rapport à l’advection-dispersion avec
plusieurs origines possibles pour ce phénomène [Bodin et al., 2003b] :
- hétérogénéité des chemins d’écoulement : temps de transfert du soluté plus longs dans un chemin
constitué de petites fractures peu connectées que via une fracture unique connectant l’entrée et la
sortie du système ;
- diffusion matricielle : échanges de soluté par diffusion entre la fracture et la matrice rocheuse,
diffusion moléculaire dans les zones stagnantes : rétention du soluté dans des zones porales ou
fracturées sans écoulement (dead-ends) ;
- sorption : rétention des particules sur les parois du réseau de fractures ou dans la matrice rocheuse.
En première approximation et en gardant à l’esprit le souci d’homogénéiser des mécanismes de
transport à l’échelle d’un lien, il est choisi que les éventuels retards soient assimilés à un effet de
diffusion de matrice ou un effet de sorption sur le solide avec une cinétique de premier ordre. Ces
mécanismes de rétention des particules sont greffés au modèle TDRW. Les deux phénomènes sont
considérés séparément car l’objectif n’est pas de reproduire un mécanisme existant mais de mimer la
résultante de plusieurs effets. On choisira entre diffusion et cinétique en fonction de ce que l’on
cherche à reproduire, en l’occurrence, diffusion et cinétique diffèrent pour l’essentiel sur le
comportement aux temps courts. La résolution théorique d’un modèle de transport avec phénomène
d’adsorption dans un milieu hétérogène constitué de deux régions distinctes a été proposée par
[Ahmadi et al., 1998] mais le problème n’est pas inversé.
II.3.1. Diffusion matricielle
En raison des simplifications évoquées plus haut, notamment à propos d’homogénéisation partielle des
chemins d’écoulement sous la forme de liens 1D, on simplifie les effets de diffusion entre phase fluide
mobile et phase solide à un problème de diffusion dans une fracture type "plaques parallèles"
(ouverture constante). Les particules peuvent diffuser dans la matrice rocheuse en traversant les parois
de la fracture. Pour un écoulement Hele-Shaw 1D dans la fracture et une diffusion elle aussi 1D dans
la matrice, les équations de transport s’écrivent :
61
∂φf Cf ∂
∂ ⎛
∂Cf
+ ( φf uCf ) − ⎜ φf Df
∂t
∂x
∂x ⎝
∂x
∂φm C m ∂ ⎛
∂C
− ⎜ φm D m m
∂t
∂z ⎝
∂z
Cm ( z = b, t ) = Cf ( z = b, t )
avec :
⎞ φm D m ∂Cm
⎟−
∂z
b
⎠
=0
z=b
⎞
⎟=0
⎠
(II.47)
f et m les indices se rapportant aux milieux fracture et matrice rocheuse,
Cλ [ML-3] la concentration en soluté dans le milieu λ (λ = f, m),
φλ [-] la porosité,
Dλ [L2T-1] le coefficient de dispersion-diffusion,
b [L] la demi ouverture de la fracture,
z la direction normale au plan de fracture selon laquelle les particules diffusent dans la
matrice.
Dans un scénario de transport sur un lien aux propriétés de vitesse u, dispersion D et diffusion
matricielle Dm, le temps mis par une particule pour parcourir la distance L entre l’entrée et la sortie du
lien peut se calculer par une méthode de séparation d’opérateurs : advection-dipersion d’une part,
diffusion d’autre part. Le temps d’advection-dispersion est calculé selon l’équation (II.45) :
t AD = exp ( m ln t + zσln t ) .
Pour une matrice infinie (dans la direction perpendiculaire à l’écoulement dans la fracture), une
solution est proposée par [Maloszewski and Zuber, 1985] donnant la pdf des temps passés par
advection-diffusion :
f A + Dif ( L, t ) ∝
⎞
a ⎛ t
⎜ −1 ⎟
πt 0 ⎝ t 0 ⎠
−3
2
⎛
⎞
⎜ a2t ⎟
φ D
L
0
⎟ ; t > t0 ; t0 = ; a = m m
exp ⎜ −
u
2b
⎜ t −1 ⎟
⎜ t
⎟
⎝ 0
⎠
(II.48)
t
En inversant la forme cumulée de la pdf
∫ f ( τ ) dτ , on obtient une expression des temps passés par
t0
diffusion pour un temps d’advection t 0 = L u :
t Dif
⎛
⎞
a t0
⎟
=⎜
⎜ erfc −1 ( u10 ) ⎟
⎝
⎠
2
(II.49)
avec u10 un nombre aléatoire tiré dans une distribution uniforme entre 0 et 1.
Fondamentalement, les temps passés par diffusion sont corrélés aux temps passés dans la phase libre
en advection (ou advection-dispersion). En effet, le temps par advection apparaît dans l’expression de
tDif (expression (II.49)). Le temps par diffusion tDif est d’autant plus court que le temps par advection
est petit. En procédant par "operator splitting" dans l’algorithme TDRW qui ajoute tDif à tAD, on
décorrèle artificiellement les deux temps. Si cette décorrélation est maintenue, ce qui facilite
62
l’implémentation, il faut compenser les effets induits par un mécanisme sur l’autre. En pratique, la
diffusion engendre sur le déplacement des particules un effet retard (R>1) comparé, par exemple, à la
convection pure à la vitesse u. Cet effet retard est déjà intégré dans le calcul de tDif puisqu’on vient de
voir que le calcul de tDif dépendait du temps t0. Si décorréler tDif de t0 pour appliquer correctement un
"operator splitting" semble difficile au vu de l’expression (II.49), on peut par contre facilement
compenser sur l’opérateur d’advection-dispersion en multipliant dans le calcul de tAD la vitesse u par
R : u → u* = uR . Algébriquement, la justification de ce coefficient correctif supporte le raisonnement
ci-dessous.
Le calcul du temps passé par diffusion est dérivé d’une solution en advection pure + diffusion
(équation (II.48)). Pourtant, dans un problème d’advection-dispersion-diffusion, le temps de transport
de la particule par advection-dispersion n’est pas nécessairement t0 alors que le temps de diffusion tDif
est calculé pour la référence t0 (expression (II.49)). Supposons qu’une particule puisse porter un temps
t 0 ± ε 0 avec ε 0 une perturbation symétrique autour de t0. Le calcul des temps de diffusion t +Dif et t −Dif
pour des temps t 0 + ε 0 et t 0 − ε 0 donne :
⎛ a ( t + ε ) ⎞ a 2 ( t 02 + 2ε 0 t 0 + ε 02 )
0
0
⎟ =
=⎜
2
⎜ erfc−1 ( u10 ) ⎟
erfc −1 ( u10 )
⎝
⎠
2
t
+
Dif
(
)
⎛ a ( t − ε ) ⎞ a ( t − 2ε 0 t 0 + ε
0
0
⎟ =
t −Dif = ⎜
2
⎜ erfc−1 ( u10 ) ⎟
erfc−1 ( u10 )
⎝
⎠
2
2
2
0
(
)
2
0
)
(II.50)
Le terme ε 02 étant négligeable (petite perturbation au carré), le temps de diffusion peut alors s’écrire :
2
t Dif
⎛
⎞
a t0
2a 2 ε 0 t 0
⎟
=⎜
±
⎜ erfc −1 ( u10 ) ⎟
erfc −1 ( u10 )
⎝
⎠
(
)
2
(II.51)
La perturbation symétrique ε 0 engendre une perturbation symétrique des temps de diffusion
proportionnelle à ±2a 2 ε 0 t 0 . Or la distribution des temps d’advection-dispersion n’est pas symétrique
autour du temps t 0 et le mode de cette distribution est inférieur à t 0 . Le temps moyen de diffusion
calculé avec t 0 comme référence est donc surestimé. L’utilisation d’un coefficient de retard se justifie
donc pour accroître artificiellement la vitesse d’advection u* = uR et ainsi prendre en compte les
effets de la dispersion sur la diffusion. Notons qu’il n’y a aucune raison dans le développement qui
vient d’être fait de corriger les effets de dispersion mécanique, justifiant ainsi que le facteur correctif R
ne s’applique qu’à la vitesse u. R est calculé comme suit. Supposons τ être la durée caractéristique
matérialisant, en raison de la dispersion, l’étalement des temps par advection-dispersion. On choisit
généralement τ = σ t = 2DL u 3 . Le coefficient de retard est alors simplement le ratio entre : 1- la
moyenne entre t 0 et t 0 + τ des temps advectif-diffusifs, et 2- le temps convectif t 0 (référentiel du
cheminement à la vitesse u).
R =1+
t 0 +τ
∫
t f A + Dif ( L, t ) dt t 0
(II.52)
t0
63
avec f A + Dif ( L, t ) la pdf définie par l’expression (II.48). Tous calculs faits, on obtient :
1
⎛ exp ( − ζ 2 )
⎞
2DL ⎞ 2
aL
⎛
R =1+ 2a τ ⎜
−ζ ⎟ ; τ=⎜ 3 ⎟ ; ζ =
⎜
⎟
u τ
⎝ u ⎠
⎝ π erfc ( ζ ) ⎠
(II.53)
Des exemples de courbes de restitution obtenues par calcul direct sont présentés en Figure 14 et
mettent en évidence les effets de la diffusion matricielle. Lorsque le paramètre de diffusion a
(expression (II.48)) est fort, les effets du phénomène de dispersion sont "cachés" par les effets
similaires de la diffusion (courbe de gauche de la Figure 14). Pour un faible paramètre de diffusion
(courbe de droite), les effets de traînée n’existent que pour de grands Peclets (faible dispersion, traînée
peu visible sur la courbe du fait des très faibles valeurs de concentration). Pour de petits Peclets, les
effets de diffusion sont peu visibles à cause de la forte dispersion des particules et la courbe en
pointillé serait sensiblement la même avec un paramètre de diffusion a = 0. Nous verrons que lorsque
la dispersion et la diffusion sont difficilement différenciables sur la courbe de restitution, les
sensibilités du modèle à ces deux paramètres échantillonnent les même gammes de temps. Dans ces
conditions, l’optimiseur d’un inverse automatique a un peu plus de difficulté à identifier lesdits
paramètres.
C
a = 5x10
C
-3
1,0
a = 5x10
-5
1,0
Pe=500
0,8
Pe=500
0,8
Pe=5
0,6
0,6
0,4
0,4
0,2
0,2
0,0
0,E+00
2,E+05
4,E+05 6,E+05
Temps (s)
8,E+05
1,E+06
0,0
0,0E+00
Pe=5
5,0E+04
1,0E+05
Temps (s)
1,5E+05
Figure 14 : Exemples de courbes de restitution pour un problème advectif-dispersif + diffusion matricielle en réponse
à une injection instantanée. A gauche : problème dominé par la diffusion (a = 5 x 10-3 [T-0.5] pour Pe = 5 et 500) ; à
droite : mécanismes advectif-dispersif prédominants (a = 5 x 10-5 [T-0.5] pour Pe = 5 et 500).
II.3.2. Sorption avec cinétique de premier ordre
Toujours dans un esprit d’homogénéisation des mécanismes de transport entre dynamique dans la
phase fluide mobile et interaction avec la phase immobile, une cinétique de sorption sur le solide est
maintenant ajoutée au transport advectif-dispersif. Cette sorption est écrite :
C
kF
kB
S
(II.54)
avec C [ML-3] la concentration mobile, S [MM-1] la concentration adsorbée sur (dans) le solide,
exprimée comme une masse de soluté par masse de solide, k F [T-1] le coefficient de réaction
"forward" et k B [ML-3T-1] le coefficient de réaction "backward".
64
Dans un segment homogène 1D, le transport de soluté incluant la cinétique de sorption de l’expression
(II.54) s’écrit :
∂C ρ ∂S
∂C
∂ 2C
+
+u
−D 2 =0
∂t φ ∂t
∂x
∂x
∂S
∂C
ρ = −φ
= k F C − k BS
∂t
∂t
(II.55)
avec ρ [ML-3] la masse volumique apparente du solide (calculée pour un volume incluant les vides du
milieu poreux) et φ [-] la fraction volumique occupée par le fluide de la fracture.
L’équation (II.55) peut s’exprimer en nombres de particules. pour un volume de référence V, les
concentrations sont définies par C ≡ N f Vφ et S ≡ N i Vρ , Nf et Ni représentant respectivement le
nombre de particules dans le fluide (particules mobiles) et dans la phase immobile. On obtient :
∂N f ∂N i
∂N
∂ 2 Nf
+
+u f −D
=0
∂t
∂t
∂x
∂x 2
∂N i
∂N
= − f = λN f − μN i
∂t
∂t
(II.56)
Les coefficients λ et μ sont des vitesses apparentes [T-1] d’adsorption et de désorption et sont définies
par λ = k F φ , μ = k B ρ . Ces deux paramètres intègrent les vitesses "réelles" kF et kB de la cinétique.
En préliminaires à la résolution du système (II.56), abordons quelques considérations générales à
propos de la cinétique et permettant d’en pressentir les effets sur le transport. Les formes générales des
équations régissant les pdf des temps passés dans chacune des phases (immobile et mobile) sont
extraites de la seconde expression de (II.56).
∂N i
= −μN i ⇒ Pi ( t ) ≡ exp ( −μt )
∂t
∂N f
= −λN f ⇒ Pf ( t ) ≡ exp ( −λt )
∂t
(II.57)
De ces équations, on tire aisément les temps moyens t i et t f
passés dans les phases immobile et
mobile :
∞
ti =
∫ τ exp ( −μτ ) dτ
0
∞
∫ exp ( −μτ ) dτ
∞
1
=
μ
0
;
tf =
∫ τ exp ( −λτ ) dτ
0
∞
∫ exp ( −λτ ) dτ
=
1
λ
(II.58)
0
Sur un transport advectif assujetti à une cinétique, la sorption engendre un effet retard sous la forme :
R=
ti + tf
tf
=
λ+μ
μ
(II.59)
65
Par conséquent, une particule en phase libre à un instant t circule à la vitesse v (vitesse du fluide), une
particule immobile (adsorbée) à une vitesse nulle et la vitesse moyenne d’ensemble est v* = v R .
Etablissons maintenant une solution de la cinétique dans un système clos. Cette hypothèse stipule
fondamentalement que pour tout temps t : N i ( t ) + N f ( t ) = N i0 + N 0f = cste .
En substituant N f ( t ) = − N i ( t ) + N i0 + N 0f dans l’équation cinétique de (II.56), on obtient :
∂N i
= −μN i ( t ) − λN i ( t ) + λ ( N i0 + N 0f )
∂t
(II.60)
La solution de cette équation différentielle du 1er ordre à second membre constant s’obtient facilement
et s’écrit :
⎛
λ ( N i0 + N 0f ) ⎞
λ ( N i0 + N 0f )
⎟ exp ( − ( λ + μ ) t ) +
N i ( t ) = ⎜ N i0 −
⎜
⎟
λ+μ
λ+μ
⎝
⎠
(II.61)
De la même manière, la substitution N i ( t ) = − N f ( t ) + N i0 + N f0 dans l’équation cinétique de (II.56)
donne :
⎛
μ ( N i0 + N f0 ) ⎞
μ ( N i0 + N f0 )
⎟ exp ( − ( λ + μ ) t ) +
N f ( t ) = ⎜ N 0f −
⎜
⎟
λ+μ
λ+μ
⎝
⎠
(II.62)
Les expressions (II.61) et (II.62) peuvent être vues comme les lois régissant les probabilités de
transition Pλ→γ ( t ) de la phase λ vers la phase γ sur la durée t. Exprimées sous forme conditionnelle,
on formulera Pλ→γ ( t ) comme la probabilité d’être dans la phase λ au temps t sachant que la particule
était dans la phase γ au temps 0. Si on pose N i0 = 1, N 0f = 0 dans (II.61), on obtient Pi →i ( t ) , la
probabilité que la particule reste dans la phase immobile sur la durée t. De la même façon,
N i0 = 0, N 0f = 1 dans (II.61) donne Pf →i ( t ) ; N i0 = 1, N 0f = 0 dans (II.62) donne Pi →f ( t ) et
N i0 = 0, N 0f = 1 dans (II.62) donne Pf →f ( t ) . Tous calculs faits, les quatre probabilités de transition
pour les particules s’écrivent :
μ
λ
exp ( − ( λ + μ ) t ) +
λ+μ
λ+μ
−μ
μ
Pi →f ( t ) =
exp ( − ( λ + μ ) t ) +
λ+μ
λ+μ
−λ
λ
Pf →i ( t ) =
exp ( − ( λ + μ ) t ) +
λ+μ
λ+μ
λ
μ
Pf →f ( t ) =
exp ( − ( λ + μ ) t ) +
λ+μ
λ+μ
Pi →i ( t ) =
(II.63)
66
Abordons enfin un dernier élément à propos de la cinétique à savoir l’atteinte du régime d’équilibre.
En condition d’équilibre, par définition il n’y a plus de variation du nombre de particules mobiles et
immobiles en fonction du temps : ∂N i ∂t = ∂N f ∂t = 0 et μN iéq = λN éq
f . En assimilant ce régime au
comportement moyen de la cinétique des transitions i ↔ f , on en déduit que le nombre moyen de
et le nombre de particules en phase immobile est N iéq . En
particules en phase fluide est N éq
f
normalisant, on obtient la proportion de particules mobiles et immobiles dans le système :
Nf =
N éq
N iéq
μ
λ
f
=
,
N
=
=
i
éq
éq
éq
éq
N f + Ni
λ+μ
N f + Ni
λ+μ
(II.64)
Calculons maintenant les temps de rétention de chaque particule par sorption. Ces temps sont dérivés
de l’équation cinétique de (II.56). Prenons l’hypothèse que N f = 0 et N i = 1 à t = 0 . On peut alors
déterminer une expression du temps ti passé adsorbé sur la phase solide (sachant qu’initialement la
particule était sur la phase solide, c’est à dire N i = 1, N f = 0 ).
∂N i
= −μN i ⇒ N i ( t ) = N i0 exp ( −μt ) ; N i0 = 1
∂t
(II.65)
Ni, variant entre 0 et 1, correspond à la probabilité que la particule soit restée un temps t sur la phase
solide et peut être remplacé par un nombre aléatoire uniforme u10 pour calculer de manière
probabiliste le temps d’adsorption ti :
u = exp ( −μt i ) ⇒ t i = −
1
0
ln ( u10 )
μ
(II.66)
De la même façon, avec l’hypothèse N f = 1 et N i = 0 à t = 0 , le temps passé dans la phase fluide
s’écrira :
tf = −
ln ( v10 )
λ
(II.67)
v10 est également un nombre aléatoire tiré dans une distribution uniforme entre 0 et 1.
L’idée est maintenant de calculer le temps de séjour des particules en ajoutant au temps advectifdispersif un temps de cinétique tK, correspondant au temps passé par la particule adsorbée sur la phase
solide. On vient de voir à l’instant que le temps adsorbé ti et le temps "libre" tf sont corrélés par les
effets cinétique C
S . Fondamentalement, les équations précédentes donnent les lois de distribution
de ti et tf, ces deux temps étant a priori indépendants. Mais si la cinétique s’ajoute à un déplacement
advectif-dispersif, il faudrait que tf corresponde au temps passé par advection-dispersion dans le
milieu. Dès lors, pour un tf fixé, le temps ti adsorbé est lié au temps tf afin que la cinétique C
S
s’établisse aux vitesses apparentes λ et μ . Résoudre ce problème peut s’envisager en développant une
procédure comparable à celle proposée par [Michalak and Kitanidis, 2000]. De principe, on calcule le
temps passé par adsorption tK selon :
67
tK = −
1 n
1 n
ln ( j u10 ) , n tel que − ∑ ln ( j v10 ) ≈ t AD
∑
μ j=1
λ j=1
(II.68)
Ce temps tK n’est autre que la somme des temps élémentaires ti passés sur la phase solide, sachant que
le temps total passé dans la phase mobile (somme de tf élémentaires) est le temps d’advectiondispersion. Une fois l’algorithme établi, la question peut se poser de regarder les effets de la sorption
sur les temps d’advection et sur la dispersion macroscopique obtenue sur les courbes de restitution.
Cette question n’est pas sans incidence sur les capacités à inverser (voir partie II.5.).
Effets de la sorption cinétique sur la forme des courbes de restitution
En fonction de la valeur des temps caractéristiques de sorption (plus petits ou plus grands que les
temps d’advection), le comportement pourra varier du simple effet retard à des effets cinétiques
(longues queues de restitution). Voyons comment cela se traduit mathématiquement sur l’équation de
transport. Rappelons tout d’abord le système d’équations transport + cinétique :
∂N f ∂N i
∂N
∂ 2 Nf
+
= −u f + D
= ℑ( Nf )
∂t
∂t
∂x
∂x 2
(II.69)
∂N i
∂N
= − f = λN f − μN i
∂t
∂t
(II.70)
ℑ ( N f ) représente l’opérateur d’advection-dispersion. Dans le cas simple d’un système à l’équilibre
stipulant que ∂N i ∂t = − ∂N f ∂t = 0 , on obtient l’égalité N i = λN f μ . En remplaçant Ni par cette
expression dans l’équation de transport (II.69), on obtient :
R
⎛ λ⎞
∂N f
= ℑ ( N f ) avec R = ⎜1 + ⎟
∂t
⎝ μ⎠
(II.71)
Chose bien connue, l’équilibre local entre phase solide et phase liquide est à l’origine d’une équation
d’advection-dispersion "retardée". Les conditions de validité de cette équation peuvent être
recherchées en reformulant le système (II.69) – (II.70). L’idée est d’identifier sous la même équation,
un transport retardé auquel s’ajoute un terme cinétique. Pour cela, on substitue tout d’abord ∂N i ∂t de
(II.69) par son expression en (II.70) :
∂N f
+ λN f − μN i = ℑ ( N f ) ⇒
∂t
Ni =
λ
1 ⎛ ∂N
⎞
Nf + ⎜ f − ℑ ( Nf ) ⎟
μ
μ ⎝ ∂t
⎠
(II.72)
L’équation (II.72) est dérivée par rapport au temps et ∂N i ∂t est remplacé dans (II.69).
R
∂N f
1 ∂ ⎛ ∂N f
⎞
= ℑ( Nf ) −
− ℑ( Nf ) ⎟
⎜
∂t
μ ∂t ⎝ ∂t
⎠
(II.73)
En développant l’opérateur de transport, (II.73) devient :
68
∂N f
u ∂N f D ∂ 2 N f
1 ∂ ⎛ ∂N f
∂N f
∂ 2 Nf ⎞
=−
+
−
+
u
−
D
⎜
⎟
∂t
R ∂x R ∂x 2 λ + μ ∂t ⎝ ∂t
∂x
∂x 2 ⎠
(II.74)
1 ∂ ⎛ ∂N f
∂N
∂ 2 Nf ⎞
+u f −D
⎜
⎟ correspond au terme cinétique ajouté. L’équation (II.74) est alors à
λ + μ ∂t ⎝ ∂t
∂x
∂x 2 ⎠
une équation d’advection-dispersion retardée à laquelle s’ajoute une partie cinétique. En fonction des
valeurs prises par ce terme cinétique, on observera sur les courbes de restitution des effets de type
retard ou de traînée (longue queue de restitution) :
- si le terme en ∂ ∂t (terme cinétique ajouté) tend rapidement vers 0 : effet retard,
- si le terme en ∂ ∂t est non nul sur une large gamme de temps : effet de traînée.
Pour aller plus loin dans le raisonnement, un changement de variables x → X = x L et
t → T = ut RL est opéré afin d’obtenir une équation adimensionnée qui permette de comparer les
temps caractéristiques d’advection-dispersion et les temps de cinétique. Après changement de
variables, l’équation (II.74) devient :
∂N f
∂N
∂ ⎛ 1 ∂N f ∂N f
1 ∂ 2 Nf
1
1 ∂ 2 Nf ⎞
=− f +
−
+
−
⎜
⎟
∂T
∂X Pe ∂X 2 Da λ + Da μ ∂T ⎝ R ∂T
∂X Pe ∂X 2 ⎠
(II.75)
avec Pe = uL D , le nombre de Peclet et Da λ = λL u , Da μ = μL u , les Damkohler correspondant aux
ratio du temps d’advection sur le temps de sorption ou de désorption. L’importance du terme cinétique
dépend alors de 1 ( Da λ + Da μ ) . Les exemples présentés en Figure 15 montrent que pour des
Damkohler faibles ( Da λ , Da μ ) = (1,0.5 ) , les phénomènes de sorption et désorption sont beaucoup plus
lents que les temps de transport advectif-dispersif et engendrent de longues queues de restitution. Pour
de grands Damkohler ( Da λ , Da μ ) = (100,50 ) , les effets de cinétique sont faibles et la courbe de
restitution est simplement retardée.
C
0,10
Da=(1, 0.5)
0,08
Da=(10, 5)
Da=(100, 50)
0,06
0,04
0,02
0,00
0,E+00
1,E+05
2,E+05
3,E+05
Temps (s)
Figure 15 : Exemples de courbes de restitution en réponse à une injection instantanée pour un transport advectifdispersif (Pe = 500) + cinétique de sorption. Trois couples de valeurs des paramètres cinétiques sont testés.
69
Quel que soit le régime cinétique (effets retard ou traînée), la dispersion macroscopique supportée par
les particules est modifiée selon les modalités décrites ci-dessous.
Effet de la cinétique sur la dispersion macroscopique
Le terme en ∂ ∂t ( D ∂ 2 N f ∂x 2 ) de l’équation (II.74) peut être négligé car il est d’ordre supérieur à 2
(ce n’est donc pas un terme dispersif). Deux termes de (II.74) peuvent accroître la dispersion [Delay et
al., 2008]. En supposant que l’advection est le mécanisme prédominant, les équivalences suivantes
sont obtenues :
∂ ⎛ ∂N f
⎜
∂t ⎝ ∂t
u ∂ ⎛ ∂N f ⎞ u 2 ∂ 2 N f
⎞
=
−
⎟
⎜
⎟=
R ∂x ⎝ ∂t ⎠ R 2 ∂x 2
⎠
u ∂ ⎛ ∂N f ⎞
u 2 ∂ 2 Nf
∂ ⎛ ∂N f ⎞
u
u
=
−
=
−
⎜
⎟
⎜
⎟
∂t ⎝ ∂x ⎠
R ∂x ⎝ ∂x ⎠
R ∂x 2
(II.76)
Ainsi, l’expression (II.74) devient :
∂N f
u ∂N f ⎛ D
1 ⎛ u 2 u 2 ⎞ ⎞ ∂ 2 Nf
=−
+ ⎜⎜ −
− ⎟⎟
⎜
∂t
R ∂x ⎝ R λ + μ ⎝ R 2 R ⎠ ⎟⎠ ∂x 2
(II.77)
L’équation (II.77) est une équation d’advection-dispersion avec vitesse et coefficient de dispersion
définis selon :
ue =
u
R
, De =
D
1 ⎛ u2 u2 ⎞ D
λ μ u2
−
⎜ 2 − ⎟= +
R λ+μ⎝R
R ⎠ R ( λ + μ )3
avec R = 1 + λ μ
(II.78)
La dispersion ajoutée par la sorption est de forme comparable à celle obtenue pour un problème
advectif + cinétique lui-même identifiable via quelques développements algébriques non triviaux (voir
annexe F) à une équation du Télégraphe .
[Coats and Smith, 1964] ont proposé un modèle ("differential capacitance model") pour résoudre le
transport de soluté dans un milieu poreux où les effets capacitifs des dead-ends sont assimilables à une
sorption contrôlée par une cinétique de 1er ordre. Ce modèle est basé sur une solution analytique
obtenue par la résolution d’un système comparable à (II.55) passant par la transformée dans le
domaine de Laplace de la concentration mobile. Cette solution est validée par des expériences en
laboratoire. Comme beaucoup de solutions proposées en variables adimensionnelles et faisant
intervenir divers ratios, la solution de [Coats and Smith, 1964] est extrêmement difficile à inverser
automatiquement. Sans entrer dans le détail de la non-convexité du problème dans un espace "réduit"
des paramètres, on proposera l’assertion suivante. Tout ratio (variable adimensionnelle) contient une
indétermination qui ne peut être levée par l’inversion. Si le ratio a/b est un paramètre sensible du
modèle adimensionné, la même valeur de ce ratio peut être obtenue pour une infinité de valeurs a et b.
Dans la mesure où a et b représentent des paramètres pertinents et dimensionnés du problème traité, il
est évident que l’inversion de a/b ne renseigne a priori ni sur a ni sur b.
70
Bien évidemment dans le cas qui nous préoccupe ici, il n’y a pas de problème lié au caractère
adimensionnel des paramètres. Etant donnée la forme des équations (II.49) et (II.68), il est possible de
procéder à la détermination des paramètres de transport et de rétention par une approche inverse. Cette
dernière, bien qu’assise sur un calcul rigoureux des sensibilités analytiques du modèle, devra
cependant intégrer le comportement de l’équation en fonction des valeurs des paramètres. Ainsi, il
semble difficile de demander à une procédure inverse d’identifier des vitesses cinétiques si le
problème macroscopique se comporte comme une simple advection-dispersion retardée.
II.4. Procédure d’inversion de la méthode TDRW
L’objectif est maintenant d’inverser deux types de transport sur un lien 1D. Ce travail est en partie
l’objet de l’article [Delay et al., 2008] consigné à la fin du manuscrit. Dans le cas d’un problème
advectif-dispersif avec diffusion matricielle, les paramètres d’intérêt sont la vitesse d’advection u, le
coefficient de dispersion D et un paramètre de diffusion a défini par a = φm D m 2b . Pour un
problème advectif-dispersif + cinétique de sorption, les paramètres recherchés vont dépendre des
effets de la cinétique (retard ou traînée). Si la courbe présente une longue queue de restitution, résultat
d’une cinétique lente (Damkohler faibles), les temps caractéristiques d’advection-dispersion et de
cinétique sont bien distincts. Les quatre paramètres {u, D, λ, μ} sont alors identifiables car les
sensibilités analytiques aux paramètres sont différenciables en fonction des temps d’arrivée des
particules (sensibilités présentées plus loin en Figure 17). Par contre, les temps caractéristiques
d’advection ne sont plus différenciables des temps cinétiques sur une courbe d’advection-dispersion
retardée (Damkohler élevés) et on n’a pas (ou peu) accès aux 4 paramètres. Les sensibilités
analytiques n’ont pas de comportement différencié en fonction du temps (Figure 18). Il faut alors se
résigner à ne regarder le problème que sur ses effets, en d’autres termes analyser la paramétrisation
effective et non celle des équations. Pour des Damkohler élevés, seul l’accès aux vitesse et dispersion
effective {u e , D e } (équation (II.78)) d’une ADE retardée est envisageable.
Rappelons que l’inversion est ici un problème d’optimisation qui entend minimiser le carré des écarts
entre concentrations calculées et concentrations observées. On définit alors la fonction objectif
F ( s ) = 1 2 ξ T ( s ) .ξ ( s ) avec s le vecteur des paramètres (de taille p, p = nombre de paramètres), et ξ le
vecteur (de taille n, n = nombre de points de calage) stockant les erreurs entre concentrations simulées
C et concentrations observées Co : ξ = {Ci ( s ) − Cio ,i = 1… n} . L’algorithme de Levenberg-Marquardt
(utilisé pour l’inversion des modèles d’écoulement, équation (I.16)) calcule ensuite la direction de
descente d k entre deux itérations (indexées k et k+1) pour le vecteur des paramètres. Il s’écrit :
(η I + (J
k
T
ξk
.J ξk
)).d
k
= − J ξTk .ξ k . En fonction de la valeur du scalaire ηk multipliant la matrice identité
I, l’algorithme tend vers une méthode de Steepest-descent (norme de ηk I grande devant celle de
J Tξk .J ξk ) ou de Gauss-Newton ( ηk petit). La matrice Jacobienne J ξk contient les dérivées des erreurs
par rapport aux paramètres J ξk = {∂ξik ∂s j ,i = 1 n, j = 1 p} . Du fait de la relation ∂ξi ∂s j = ∂Ci ∂s j ,
les sensibilités aux paramètres ∂Ci ∂s j évoquées plus haut sont les composantes de la matrice
Jacobienne. Les sensibilités sont calculées analytiquement en dérivant les équations du calcul direct
par rapport à chacun des paramètres.
71
En approche Lagrangienne, le problème direct n’a pas d’expression discrète sous la forme d’un
système linéaire (ou non) de dimension finie. Les sensibilités analytiques ne sont donc pas accessibles
à la manière des problèmes d’écoulements (Chapitre I) et pour lesquels il "suffisait" de dériver le
système d’équations discrètes. Il faut s’inspirer du subterfuge, initialement proposé en régime diffusif
par [Delay and Porel, 2003]. Lors de la construction d’une courbe concentration simulée par TDRW
en fonction du temps, ce dernier est découpé en classes de temps d’arrivée. Les particules sont
comptabilisées par classe de temps et on obtient une courbe de concentration simulée discrète:
{Cβ , β = 1 N} . C’est cette courbe discrète qui est ensuite comparée aux données Co à des fins
d’inversion. La sensibilité ∂C i ∂s = ∂Cβ ∂s peut s’exprimer :
∂Cβ
∂s
=
∂Cβ
∂t
t = tβ
La moyenne
∂t ∂Cβ
≈
∂s
∂t
∂t β ∂s
∂t β
t = tβ
(II.79)
∂s
provient du découpage en classes de temps, chaque classe contenant Nβ
particules. Elle s’exprime : ∂t β ∂s = (1 Nβ ) ∑ α=β1 ∂t βα ∂s (α indexant les particules de la classe β).
N
Les temps t βα étant calculés par les algorithmes de TDRW, les dérivées ∂t βα ∂s peuvent être obtenues
en dérivant les expressions de TDRW par rapport au paramètre s. L’annexe de l’article [Delay et al.,
2008] détaille le calcul des dérivées ∂t ∂s pour chaque configuration du transport.
En assimilant la courbe de restitution à la fonction densité de probabilité des temps d’arrivée des
particules f t , la dérivée ∂Cβ ∂t t = t peut être décrite comme la modification de la pdf f t ( t ) pour un
β
changement de variable t → t + ε :
∂Cβ
∂t
≡
f t +ε ( t β ) − f t ( t β )
t = tβ
ε
(II.80)
En représentation discrète et pour imager l’expression (II.80), ce changement de variable se traduit par
un glissement de la pdf sur l’axe des temps vers les temps longs [Delay et al., 2008] :
f t +ε ( t β ) − f t ( t β )
ε
≈
Cβ−1 − Cβ
t β − t β−1
(II.81)
Finalement, la sensibilité du modèle au paramètre s s’écrit :
∂Cβ
∂s
=
Cβ−1 − Cβ 1
t β − t β−1 Nβ
Nβ
∂t βα
∑ ∂s
(II.82)
α=1
A la manière du problème direct, la précision des sensibilités ∂Cβ ∂s dépend de la discrétisation des
temps d’arrivée. Comme en contexte Eulérien (Chapitre I), la précision des sensibilités analytiques,
malgré une approche Lagrangienne, est donnée par la résolution du problème direct. Afin d’éviter les
oscillations liées à la discrétisation du temps, le développement proposé ci-dessus peut être adapté à la
manipulation de concentrations cumulées Cc. La pdf ft est remplacée par la pdf cumulée Ft, et les
72
dérivées ∂C ∂t sont remplacées par ∂Cc ∂t . Les dérivées se calculent selon le même raisonnement
que précédemment : ∂Cc ∂t = − ∂Ft ∂t . Sachant que ∂Ft ∂t = f t , les dérivées ∂Cc ∂t sont simplement
remplacées par −C . En limitant les oscillations (créées lors de la discrétisation du temps) du calcul
direct par le choix des concentrations cumulées au lieu des concentrations, on réduit également les
anomalies pouvant être rencontrées avec les courbes des dérivées ∂C ∂t .
II.4.1. Sensibilités analytiques pour un problème advectif-dispersif
La difficulté principale de l’inversion d’un problème de transport à dominante advective réside dans la
très forte sensibilité au terme hyperbolique (déjà entre-aperçu avec le terme d’échange dans un
écoulement double milieu, voir Chapitre I). La Figure 16 montre l’évolution de la sensibilité à la
vitesse u pour un problème advectif-dispersif. Le préconditionnement de u sur les données est
indispensable afin que la courbe simulée lors des premières itérations de convergence ait des valeurs
de concentration non nulles dans la gamme des temps balayée par la courbe expérimentale.
6
0.1
1
4
C
Cc
0.08
0.8
0.06
0.6
5
x 10
dCc/du
3.5
3
x 10
dCc/dD
2
3
2.5
1
2
0.04
0.4
0.02
0.2
0
1.5
1
-1
0.5
0
0
5
10
15
4
Time (s)
x 10
0
0
5
10
15
4
Time (s)
x 10
0
0
7
0
dCc/dt
0
5
10
15
4
Time (s)
x 10
-2
0
5
10
Time (s)
15
4
x 10
7
x 10
dt/du
-0.02
4
x 10
dt/dD
3
-5
-0.04
2
-0.06
1
-10
-0.08
0
-0.1
0
5
10
15
4
Time (s)
x 10
-15
0
5
10
15
4
Time (s)
x 10
-1
0
5
10
15
4
Time (s)
x 10
Figure 16 : Courbe de restitution, concentrations cumulées et sensibilités analytiques du modèle aux paramètres u et
D pour un problème advectif-dispersif (Pe = 500).
II.4.2. Sensibilités analytiques pour un problème advectif-dispersif + diffusion matricielle
La Figure 17 illustre les sensibilités analytiques du modèle pour un problème advectif-dispersif
dominé par la diffusion matricielle. Dans ce cas, la gamme de temps de forte sensibilité du modèle au
coefficient de dispersion D est réduite devant celle au paramètre de diffusion a. De fait, l’optimiseur
73
n’aura pas de difficulté à dissocier les effets des deux paramètres sur la courbe de restitution et
identifiera les paramètres rapidement et avec précision. Par contre, dans le cas où dispersion et
diffusion sont élevées (par exemple Pe = 5 et a = 5 x 10-3 [T-0.5], Figure 14), les gammes de sensibilités
aux deux paramètres D et a échantillonnent les mêmes temps et l’inversion nécessitera plus
d’itérations de convergence pour identifier les paramètres optimaux avec une précision moindre.
18
x 10
5
15
x 10
4
0
5
0
dCc/dD
dCc/du
16
x 10
14
12
10
10
8
6
dCc/dt
dCc/da
5
4
-0.5
-0.002
-1
-0.004
-1.5
-0.006
-2
-0.008
-2.5
-0.01
2
0
-0.5
0
5
Time (s)
x 10
10
x 10
0
0
5
Time (s)
5
8
-1
dt/du
x 10
x 10
4
0
x 10
dt/dD
5
Time (s)
10
x 10
5
Time (s)
x 10
5
-0.012
0
5
Time (s)
10
x 10
5
7
dt/da
3.5
3
-2
2.5
-2.5
-1.5
2
-3
1.5
-3.5
-2
1
-4
-2.5
-3
5
7
-1.5
-1
10
0
5
Time (s)
10
x 10
5
-4.5
0.5
0
5
Time (s)
10
x 10
5
0
0
10
5
Figure 17 : Sensibilités analytiques du modèle aux paramètres u, D et a pour un problème advectif-dispersif +
diffusion matricielle. Le problème est dominé par le phénomène de diffusion (Pe = 500, a = 5 x 10-3[T-0.5]).
II.4.3. Sensibilités analytiques pour un problème advectif-dispersif + cinétique de sorption
Rappelons que le comportement de la courbe de restitution est assez contrasté en fonction du ratio
entre temps caractéristiques de transport et temps de rétention. Pour une cinétique de sorption lente et
une courbe caractérisée par des effets de traînée (courbe en Figure 15), les sensibilités sont
significatives sur des gammes de temps bien distinctes en fonction du paramètre considéré (Figure 18).
La sensibilité à la dispersion s’exprime sur les temps courts correspondant au pic de concentration
tandis que les sensibilités aux paramètres de cinétique prennent le relais aux temps longs (queue de
restitution). Sur la Figure 19 correspondant aux sensibilités d’une courbe type advection-dispersion
retardée (Figure 15), il est évident que les sensibilités aux paramètres de dispersion et de cinétique
s’expriment sur les mêmes gammes de temps. L’optimiseur ne parvient pas à différencier les effets de
dispersion des effets de cinétique sur la base des sensibilités. In fine, seules une vitesse effective ue de
transfert des particules et une dispersion effective De sont identifiables.
74
5
0
8
dCc/dt
-0.01
x 10
dCc/dD
6
-0.02
4
-0.03
2
-0.04
0
-0.05
-2
-0.06
-4
-0.07
-0.08
0
1
2
Time (s)
3
-6
0
4
0
dCc/dmu
4
5
x 10
-2
2.5
-3
2
-4
1.5
-5
1
-6
0.5
-7
1
x 10
dCc/dlambda
-1
3
0
0
3
6
x 10
3.5
2
Time (s)
x 10
7
4
1
5
2
Time (s)
3
-8
0
4
1
2
Time (s)
5
x 10
3
4
5
x 10
Figure 18 : Sensibilités analytiques du modèle aux paramètres D, λ et μ pour un problème advectif-dispersif +
cinétique de sorption avec Pe = 500 et (Daλ, Daμ) = (1, 0.5).
5
0
8
dCc/dt
x 10
dCc/dD
6
-0.02
4
-0.04
2
-0.06
0
-0.08
-2
-0.1
-4
-0.12
0.5
1
1.5
Time (s)
2
-6
0.5
2.5
x 10
6
12
1
5
1.5
Time (s)
2
2.5
5
x 10
6
x 10
0
x 10
dCc/dmu
10
-0.5
8
-1
6
-1.5
4
-2
2
-2.5
dCc/dlambda
0
0.5
1
1.5
Time (s)
2
2.5
5
x 10
-3
0.5
1
1.5
Time (s)
2
2.5
5
x 10
Figure 19 : Sensibilités analytiques du modèle aux paramètres D, λ et μ pour un problème advectif-dispersif +
cinétique de sorption avec Pe = 500 et (Daλ, Daμ) = (100, 50).
75
II.5. Résultats et interprétations
Divers tests d’inversion ont été entrepris et sont récapitulés à la section "Examples of inversion" de
l’article [Delay et al., 2008]. Le Tableau 8 synthétise les paramètres de référence de chaque test ainsi
que les valeurs des paramètres inversés. La précision des résultats des inversions est évaluée par la
méthode de la matrice de covariance. Cette méthode ainsi que la précision des paramètres identifiés
sont brièvement décrits dans l’article. Résumons les résultats des tests sans entrer dans les détails.
u
1- Advection-dispersion
1,00E-03
2- Advection-dispersion + diffusion
matricielle
1,00E-03
u
Petits Da
1,00E-03
3- Advectionu
dispersion + cinétique
Da
de sorption
1,00E-03
intermédiaires
Grands Da
1,00E-03
u*
1,00E-03
1,00E-03
1,00E-03
1,00E-03
1,00E-03
9,98E-04
9,99E-04
u*
1,00E-03
9,96E-04
ue
3,33E-04
3,33E-04
D
1,00E-02
1,00E-03
1,00E-04
1,00E-02
1,00E-04
D
1,00E-04
1,00E-02
ue*
3,26E-04
3,32E-04
3,33E-04
3,33E-04
a*
D*
a
1,01E-02
1,00E-03
1,00E-04
5,00E-03
4,71E-03
1,17E-02
5,00E-05
4,36E-05
1,01E-02
5,00E-03
5,02E-03
1,96E-04
5,00E-05
4,95E-05
9,99E-05
(λ, μ)
(λ*, μ*)
D*
8,11E-05 2,00E-05 1,00E-05 2,04E-05 1,02E-05
1,01E-02 2,00E-05 1,00E-05 2,06E-05 9,98E-06
De
De*
D
4,07E-03
4,83E-03
1,00E-02
7,74E-04
8,48E-04
1,00E-04
3,41E-03
3,36E-03
1,00E-02
1,07E-04
1,11E-04
1,00E-04
Tableau 8 : Valeurs des paramètres des problèmes de référence et des paramètres identifiés (signalés par *) pour les
différents cas tests (L = 50 [L]).
Il a d’abord été vérifié, par un simple test en advection-dispersion, qu’en dépit d’une sensibilité à la
vitesse u sur une gamme étroite de temps comparée à la durée totale du transport, l’inversion pouvait
trouver u et D. L’optimum pour la vitesse u est atteint d’autant plus rapidement que son
préconditionnement, sur le temps moyen, est proche de la solution.
Ensuite, le transport de soluté est agrémenté de diffusion matricielle. Deux valeurs de diffusion, via le
paramètre a, sont testées pour des valeurs de Peclet ( Pe = uL D ) de 5 et 500. Les courbes ainsi
générées présentent un effet de traînée plus ou moins prononcé (Figure 14). Si la diffusion est forte et
la queue de restitution non négligeable, le temps moyen d’arrivée des particules est fortement
influencé par les faibles concentrations aux temps longs et l’estimation de la vitesse sur le temps
moyen est biaisée. Le préconditionnement de la vitesse doit alors s’établir sur le temps modal (temps
d’apparition des plus fortes concentrations).
Le transport avec une cinétique de sorption est également inversé pour trois couples de valeurs de
vitesses cinétiques λ et μ. Les courbes de restitution calculées par le problème direct avec une vitesse
d’advection u =10-3 [LT-1] sont tracées en Figure 15. Argumentant la discussion plus haut à propos de
la dispersion macroscopique engendrée par la rétention des particules, les formes de courbes sont très
variables et les temps moyens d’arrivée dépendent fortement des temps de cinétique. Pour une
cinétique faible, λ, μ → 10−5 soit ( Da λ , Da μ ) = (1,0.5 ) , les sensibilités à u, D, λ et μ sont bien
différenciées en temps et la procédure inverse identifie les quatre paramètres avec une bonne
précision. Par contre, la procédure erre un peu et devient moins précise pour une cinétique dite
76
intermédiaire, λ, μ → 10−4 soit ( Da λ , Da μ ) = (10,5 ) . Les temps de cinétique étant du même ordre de
grandeur que les temps par advection-dispersion, l’optimiseur ne voit pas les effets de la dispersion et
de la cinétique de façon distincte et commet des erreurs non négligeables sur D, λ et μ. Dans ce cas, on
peut aussi reformuler le problème inverse et chercher des valeurs de vitesse et de dispersion effective
{u e , De } . Pour des cinétiques rapides, λ, μ → 10−3 soit ( Da λ , Da μ ) = (100,50 ) , il est illusoire de
vouloir inverser les quatre paramètres
{u, D, λ, μ}
car la courbe de restitution traduit un transport
advectif-dispersif retardé dont seuls les paramètres effectifs {u e , D e } sont accessibles. Dans tous les
cas, le préconditionnement de la vitesse u doit se faire sur le temps modal afin d’éviter les errances
inutiles d’un optimiseur ne trouvant pas de points d’accroche entre les courbes simulée et observée.
II.6. Conclusion et perspectives
La méthode Time Domain Random Walk est une approche Lagrangienne développée dans le domaine
des temps afin d’établir les temps de transfert de chaque particule injectée dans un lien
monodimensionnel. Elle est de fait particulièrement adaptée aux approches de type Discrete Fracture
Network qui simplifient au moyen de réseaux de liens la géométrie et les éventuelles connexions des
chenaux d’écoulement d’un réseau de fractures. Des mécanismes de rétention de particules, diffusion
matricielle et cinétique de sorption ont été greffés sur le transport advectif-dispersif afin de mimer (en
partie) les courbes de restitution de différentes formes observées lors de traçages in situ. Le sens
physique donné à ces processus additionnels est du registre de la dichotomie distinguant transport par
drainage rapide versus mécanismes longs termes. La relative simplicité de paramétrisation induite par
cette dichotomie présente l’avantage, dans l’état actuel des connaissances, d’être une des rares formes
transposables à de nombreux contextes. L’inversion de la méthode TDRW avec ses deux mécanismes
de rétention s’appuie sur le calcul de sensibilités analytiques en dépit du contexte Lagrangien
jusqu’alors réputé réfractaire au problème inverse en général, et aux calculs robustes de sensibilités en
particulier. Bien évidemment, malgré l’inversion, les caractéristiques et avantages calculatoires des
approches Lagrangiennes ont été préservés. Dans le cas présent, le surcoût calcul n’est pour l’essentiel
que le fait des itérations de convergence, la greffe d’un calcul de sensibilités analytiques étant sans
incidence significative sur le coût intrinsèque du problème direct.
Des travaux de transposition de l’échelle du lien à l’échelle du réseau ont été menés par [Ubertosi,
2008] qui a proposé un modèle discret d’écoulement sur un réseau de liens tridimensionnel. Après
validation de ce modèle en régime permanent et transitoire, le problème de transport est résolu sur la
base de ce réseau. Il est donc contraint par les conductivités hydrauliques macroscopiques des liens qui
peuvent être corrélées pour créer des effets de chenalisation [Ubertosi et al., 2007]. Le transport est
calculé par une méthode Lagrangienne dans le domaine des temps (TDRW) et intègre la majorité des
mécanismes associés au transport de soluté et rencontrés in situ. Le modèle est opérationnel pour du
calcul direct mais la résolution du problème inverse, avec a priori un jeu de paramètres par lien, est
quasi impossible. L’exposé développé plus haut a montré qu’à l’échelle du lien, l’inversion n’était pas
nécessairement immédiate en raison de concurrence d’effets entre mécanismes et/ou de sensibilités
aux paramètres peu différenciées. A l’échelle du réseau, en supposant que chaque lien puisse avoir son
propre jeu de paramètres, il faudrait idéalement avoir des mesures de concentrations sur chaque lien,
indépendantes de surcroît. La chose est bien évidemment impossible dans un réseau de liens car les
concentrations d’un lien "aval" dépendent pour partie des concentrations des liens "amont" drainés. En
d’autres termes, inverser un réseau de liens hétérogènes de manière classique est vraisemblablement
77
impossible même au prix d’un conditionnement (inaccessible sur le terrain) exhaustif sur les
concentrations. Le problème s’accentue d’autant que la chenalisation et les forts contrastes de vitesses,
fréquents dans les milieux fracturés, ne sont guère propices à une inversion "propre" de l’écoulement
lui-même. En pratique, il est probable que l’inversion d’un scénario de transport ne puisse se faire sans
homogénéisation, qu’il s’agisse du problème direct ou de la fonction objectif. Pour cette dernière on
pourra par exemple s’intéresser à des valeurs de moments temporels et/ou spatiaux (dont on sait par
ailleurs que l’acquisition sur des problèmes autres que synthétiques n’est pas forcément triviale). Cela
étant, la diminution du nombre de contraintes suppose également une diminution du nombre de degrés
de liberté, donc une paramétrisation du problème direct revue à la baisse.
A titre illustratif, l’inversion d’un scénario de transport de particules sur un petit réseau DFN est
discutée par [Delay et al., 2008]. Cela dit, la résolution du problème de transport par TDRW sur un
réseau de liens quelconque n’a pas été approfondie, essentiellement en raison d’une complexification
hors du commun de la paramétrisation. En effet, pour un réseau, la multiplication des paramètres (un
jeu par lien ou par groupe de liens) n’est pas au mieux avec la philosophie développée dans ce travail,
à savoir : 1- l’idée d’homogénéiser un problème complexe, 2- l’envie d’explorer de nouvelles pistes
pour l’inversion de problèmes réputés peu convergents ou robustes aux paramètres. Dans le cas du
transport de soluté, le caractère "agrégatif" (ou "intégrateur") du test de traçage, fait qu’une courbe de
restitution en un point ne voit vraisemblablement qu’une partie des phénomènes de transport. En
pratique, il est difficile d’avoir plusieurs points de mesure de la concentration en soluté au cours du
temps pour obtenir l’état du nuage de soluté. Et rien ne dit que cet état du nuage en "tout point en tout
temps" soit un conditionnement suffisant. Hormis quelques cas particuliers, il semble difficile de
chercher des réseaux hétérogènes pour caler un problème de transport sans procéder par conjectures.
Cet aveu d’échec ne dispense pas d’œuvrer et il y aurait vraisemblablement à creuser dans l’utilisation
d’approches Lagrangiennes, le calcul de leurs sensibilités pour cerner par le biais de ces sensibilités
(par exemple, leur cartographie rapportée à la géométrie du réseau) les effets d’hétérogénéité et la
capacité d’inverser sur la base de concentrations et autres mesures des conséquences du transport.
Le problème peut être vu autrement, supposant alors qu’on puisse définir une paramétrisation "subhomogène" du réseau c’est à dire une paramétrisation uniforme ou faite de fonctions paramétriques
(par exemple : définir la vitesse dans les liens en fonction de leur longueur). On peut se questionner
sur l’influence de la paramétrisation et de la géométrie du réseau de liens sur l’identification des
mécanismes de transport. Autrement dit, quel est le rôle joué par la géométrie du réseau sur la
dispersion, la diffusion matricielle et les phénomènes réactifs ou de piégeage du soluté ? Peut-on
définir une typologie de réseau exacerbant un de ces mécanismes, auquel cas l’inversion doit en avoir
connaissance, même de manière labile pour éviter de simuler inutilement un mécanisme filtré par la
typologie. Finalement, il semble que l’inversion du transport dans les milieux géologiques contrastés
demande un niveau de réflexion non encore atteint aujourd’hui par la communauté. Les exercices
menés dans les années 1985-2000 pour des problèmes d’écoulement robustes aux paramètres ont
montré qu’on ne pouvait correctement inverser sans dédier le problème à une question particulière.
Quand le milieu se complique, il est quasi impossible de simuler correctement toute l’évolution
temporelle de tout un champ de charges hydrauliques. Le problème est nécessairement exacerbé en
transport, ne serait-ce que par la présence d’un terme hyperbolique. Se pose alors la question de savoir
ce que l’on veut retenir du transport (court ou long terme, effet local ou global,…) et les moyens
métrologiques à mettre en œuvre pour documenter. Les travaux présentés ici ne répondent pas à ce
genre de questions mais fournissent des outils algébriques permettant de prospecter à moindre coût.
78
CHAPITRE III : ETUDE PROSPECTIVE DE L’UTILISATION DES EQUATIONS
DE LANGEVIN POUR L’HOMOGENEISATION DU TRANSPORT EN MILIEU
FRACTURE
Section d'équation (suivante)
Conformément aux travaux évoqués précédemment à propos d’approches Lagrangiennes dans le
domaine des temps, l’inversion d’un scénario de transport a été testée sur un petit réseau DFN de type
arbre binaire symétrique constitué d’une entrée et d’une sortie (Figure 20). La géométrie du réseau et
la distribution des flux sont connues. Chaque lien de taille constante L est défini par une vitesse uj et
un coefficient de dispersion Dj. A chaque nœud de distribution des flux, la vitesse u du lien d’entrée se
divise en u 2 dans les liens de sortie. De même, à chaque nœud de concentration des flux, les deux
liens d’entrée à vitesse u 2 alimentent un lien de sortie à vitesse u. Finalement, le modèle est
paramétré de N+1 valeurs de dispersion et d’une valeur de vitesse u que l’on doit identifier par
inversion.
u
← Niveau 0 (u 0 = u , D=D 0 )
← Niveau 1 (u1 = u 2 , D=D1 )
← Niveau 2 (u 2 = u 4 , D=D 2 )
← Niveau N (u N = u 2 N , D=D N )
← Niveau N
← Niveau 0
u
Figure 20 : Arbre binaire pour le test des capacités d’inversion du transport sur réseau de liens du modèle TDRW.
Tous développements faits, le transport advectif-dispersif dans ce réseau peut être assimilé à un
problème homogène semi-infini 1D (dont la solution analytique est connue) sur une longueur
2L ( N + 1) et dont vitesse et dispersion équivalentes sont établies selon :
N
u
DFN
=
( N + 1) u
N
∑2
j= 0
j
;
D
DFN
=
∑2 D
j= 0
N
j
∑2
j
(III.1)
j
j= 0
La fonction objectif est construite à partir de la courbe de restitution en sortie du réseau, rendant ainsi
le problème inverse mal posé car défini par N+2 paramètres alors que seuls les deux paramètres
u DFN et D DFN de l’équation (III.1) suffisent à simuler la réponse du réseau. Pour aider l’optimiseur
dans sa recherche des paramètres, une contrainte sur les valeurs de dispersion a été ajoutée, à savoir
79
imposer que le DFN soit plus diffusif en son centre qu’à ses extrémités avec la condition D j > D j−1 .
Les résultats de l’inversion du transport advectif-dispersif sur ce petit DFN sont présentés par [Delay
et al., 2008] et montrent l’efficacité "honorable" de la méthode TDRW inverse + sensibilités
analytiques à identifier les paramètres de transport. Si dans ce réseau simple l’efficacité est juste
"honorable", on ne reviendra pas sur la discussion du chapitre précédant de l’efficacité "misérable"
que pourrait avoir l’inversion d’un réseau quelconque, en proie à des problèmes de géométrie et de
multiplicité des paramètres locaux. Dès lors, l’idée motivant les travaux de ce chapitre est d’essayer de
s’affranchir de ces questions de géométrie de réseau (mal connue, mais sans pour autant préjuger de
son incidence) en l’éliminant.
Dans l’hypothèse où le réseau est la représentation géométrique des "chemins" à vitesses élevées
empruntés par les particules, une approche continue classique pourrait être utilisée. Avec une approche
continue hétérogène (simple ou double milieu), les contrastes de vitesses entre zones lentes (peu
fracturées et/ou mal connectées) et zones rapides (grandes fractures et forte connexion) sont
représentés par le même champ discret. Résolu en contexte Eulérien (discrétisation de l’espace et du
temps) ce champ discret est fréquemment sujet à diffusion numérique. Pour simplifier, les vitesses
élevées peuvent "baver" sur les zones lentes sauf à utiliser des procédures numériques assez lourdes de
séparation d’opérateurs ou de séparation de domaines. Ces approches continues Eulériennes
nécessitent une discrétisation contrastée du milieu assemblant des mailles de petites et de grandes
tailles sous le même domaine et ces contrastes de taille sont connus pour engendrer des difficultés de
résolution numérique [Chen et al., 2008]. Tout ceci conduit à des outils très intéressants sur le plan
cognitif ou pour l’élaboration de calculs de référence. Mais ils resteront difficilement inversibles tant
que l’on ne saura pas inverser directement la géostatistique des champs de paramètres utilisés
(modifier les paramètres de la covariance multi-échelle si tant est, bien évidemment, qu’un champ
géostatistique soit une bonne représentation de l’hétérogénéité du milieu).
Une autre possibilité pour s’affranchir de la géométrie du réseau est de remplacer les équations
classiques du transport et d’assigner une partie de la physique de ces équations de substitution à celle
non résolue (ou mal résolue) par les équations classiques. Les équations d’advection-dispersion, dont
les paramètres sont la vitesse u et la dispersion D, génèrent des déplacements de particules qui suivent
une loi normale. Pour un temps t fixé, on interprèterait ceci comme la conséquence d’une distribution
gaussienne des vitesses locales. La fonction de densité de probabilité des vitesses est définie par sa
moyenne u et sa variance σ 2u . Nous avons vu, quand bien même l’équation d’advection-dispersion
puisse être pertinente à l’échelle locale et parfaitement adaptée au contexte DFN, qu’elle ne constituait
pas une bonne équation d’homogénéisation macroscopique. Rappelons par exemple qu’elle ne peut
représenter ni les multimodalités ni une dispersion mécanique grande échelle autre que gaussienne (en
raison par exemple de la non-homogénéité statistique des vitesses sur l’ensemble du champ modélisé).
En fait, si cette équation est insuffisante, c’est qu’elle amalgame l’essentiel de l’hétérogénéité des
vitesses locales sur un seul paramètre : le tenseur de dispersion gaussienne. Ce paramètre D ne peut à
lui seul porter la représentation de l’hétérogénéité des vitesses locales dont une manifestation bien
connue en régime transitoire est l’évolution des positions relatives des particules entre t et t
(rappelons pour mémoire que la dispersion gaussienne engendre des évolutions relatives en t ). Cette
inadéquation est bien évidemment amplifiée si le champ de vitesses est lui-même non homogène
statistiquement ou non stationnaire spatialement, présentant des valeurs globalement élevées par
endroits et faibles ailleurs (chenalisation). L’idée est donc de trouver un degré de liberté
supplémentaire dans l’équation matérialisant le transport pour reporter une partie de l’hétérogénéité
80
sur ce degré de liberté. Ce principe admis, le pas est rapidement franchi d’associer le degré de liberté
supplémentaire à un champ stochastique continu qui matérialiserait la trace du réseau de liens disparu.
Qui dit réseau de liens pense comportement majoritairement hyperbolique (évolution en t), le degré de
liberté supplémentaire devrait fondamentalement être hyperbolique. Cependant, il ne doit pas faire
l’impasse du conditionnement acquis sur les calculs d’écoulement dont le comportement
macroscopique est à peu près résolu (Chapitre I). Dit autrement, ce terme supplémentaire ne devrait
pas modifier fondamentalement le principe du divergent nul de la vitesse macroscopique des
écoulements dans le milieu. De fait, il faut ajouter un terme dont le concept est similaire à un
coefficient de dispersion, à savoir un "artifice" qui porte l’hétérogénéité des vitesses locales.
Finalement, dans ces nouvelles équations, on aurait un terme classique de dispersion des vitesses
(évolution en t ), un terme additionnel hyperbolique (évolution en t) et enfin le terme hyperbolique
classique advectif, témoin que l’écoulement macroscopique est préservé et affecte bien évidemment le
transport de soluté.
La piste proposée dans la suite du manuscrit est de recourir aux équations de Langevin. Ces équations
s’établissent sur la base d’une conservation locale de la quantité de mouvement des particules et non
pas la conservation macroscopique (dans un volume de référence) de la masse comme l’équation
d’advection-dispersion. En plus d’une partie advective, les équations de Langevin font intervenir une
accélération brownienne qui correspond à un terme dispersif et un paramètre supplémentaire, à savoir
le champ de forces externes agissant sur les particules. Ce degré de liberté typiquement hyperbolique
pourrait porter une partie de l’hétérogénéité du transport non vue par l’équation d’advectiondispersion. C’est dans ce cadre qu’il a été choisi de tester les capacités des équations de Langevin à
mimer le transport dans des milieux aux propriétés fortement contrastées. Ces équations sont connues
et largement utilisées dans d’autres domaines tels que la modélisation des écoulements turbulents pour
l’aéronomie, la météorologie, la dynamique atmosphérique, la dynamique stellaire [Chandrasekhar,
1943], le transport et la rétention de particules colloïdales [Compère, 1999], les interactions solidesliquides, les aérosols,…
Si les idées développées plus haut sont entendues, une façon de concevoir l’homogénéisation partielle
du transport de soluté dans les milieux fracturés est alors de résoudre en contexte Lagrangien les
équations de Langevin. Notons que des résolutions Eulériennes sont envisageables. Sauf à utiliser un
arsenal numérique compliqué, elles castrent en partie le caractère intuitif et précis de la résolution des
composantes hyperboliques des équations. Les approches Eulériennes ne seront pas abordées dans ce
travail. Ce chapitre s’intéresse à la faisabilité d’une homogénéisation du transport en discutant a priori
des conditions d’application des équations de Langevin. Ce travail est une prospection dans le but
d’ouvrir des pistes et/ou de promouvoir une nouvelle approche d’homogénéisation du transport de
soluté en milieu poreux fracturé. L’objectif est de "débroussailler" la physique des équations de
Langevin (en particulier les effets d’hétérogénéité) afin de cerner leurs possibilités d’adaptation à la
simulation du transport de particules dans un milieu contrasté. Une des clefs de l’utilisation des
équations de Langevin pour le transport de soluté est de dévier le champ de forces de son sens premier
pour lui donner le rôle de modulateur (déviateur hyperbolique) des vitesses échantillonnées. Un des
objectifs sera de déterminer l’influence de ce champ de forces sur la forme et les valeurs de dispersion
des particules, et de voir s’il peut générer des "anomalies" de la pdf des temps de séjour. Dans un
premier temps, la résolution des équations de Langevin sera décortiquée afin de bien comprendre le
sens de chacun des termes. Des résolutions dites complètes et simplifiées seront ensuite comparées
afin d’évaluer les conditions d’application des deux formes. Le calcul analytique de la dispersion des
81
particules liée aux différents termes des équations sera explicité dans une deuxième partie. Des tests de
résolution numérique des équations en 1D ont été entrepris sous le logiciel de calcul Matlab et les
résultats de dispersion sur les pdf de temps de séjour des particules seront comparés aux solutions
analytiques. Ce travail a demandé bon nombre de développements algébriques non détaillés dans la
littérature ou inédits et qui sont joints en annexe.
III.1. Ecriture et résolution des équations de Langevin
En contexte Lagrangien, le déplacement de particules browniennes dans un fluide peut être décrit par
une loi de conservation de la quantité de mouvement. Elle établit que les effets d’inertie dans le
déplacement d’une particule de masse m sont la conséquence des forces agissant sur la particule. On
distingue les forces de frottement Fd exercées par le fluide qui transporte la particule, le champ de
forces externes Fe et la force aléatoire Fr due au mouvement brownien. L’équation de conservation de
la quantité de mouvement s’écrit [Ramarao and Tien, 1992] :
m
dv
= Fd + Fe + Fr
dt
(III.2)
[Gupta and Peters, 1985] ont proposé une approche unifiée intégrant les effets inertiels, les forces
électriques et le mouvement brownien pour simuler le dépôt de particules d’aérosols sur un collecteur
sphérique électriquement chargé. Ils ont montré l’efficacité de l’équation (III.2) en comparant les
résultats obtenus en régime d’équilibre de la réaction de dépôt avec une solution analytique donnée par
[Fernandez de la Mora and Rosner, 1982]. Le régime de non-équilibre est également étudié avec la
neutralisation de la charge du collecteur au fur et à mesure du dépôt. La simulation nécessite le calcul
des trajectoires des particules dans un espace où elles sont infléchies par un champ de forces
électriques. Dans les travaux de [Gupta and Peters, 1985], le champ de forces électriques agit à la
manière d’un déviateur (un terme additionnel) au déplacement des particules dans le fluide en
mouvement. C’est cette analogie entre forces externes et déviateur que l’on tente d’exploiter pour la
résolution du transport en milieu poreux fracturé. Les particules sont macroscopiquement déplacées
par un flux K.∇h auquel s’ajoute des composantes (perturbations) liées à la chenalisation par le
réseau. Ces composantes seraient mimées par le champ factuel de forces externes.
A l’échelle de la particule, les forces de frottement sont supposées suivre la loi de Stokes et sont donc
proportionnelles à la vitesse relative entre le fluide et la particule. Le champ de forces externes peut
regrouper une grande variété de forces en fonction du type de particules et du milieu où elles circulent.
La force Fr , résultant des collisions aléatoires des molécules du fluide avec la surface des particules,
est le produit de la masse m de la particule par une accélération brownienne A ( t ) [LT-2].
L’accélération brownienne est supposée indépendante de la vitesse des particules et engendre des
mouvements aléatoires dont les temps caractéristiques sont bien inférieurs à ceux liés aux autres forces
[Chandrasekhar, 1943]. Le vecteur A(t) est alors constitué de composantes spatiales indépendantes
A i ( t ) ( i = x, y, z ) obéissant à des distributions gaussiennes et ayant les propriétés suivantes :
Ai ( t ) = 0
A i ( t ) A j ( τ ) = 2qδ ( i − j) δ ( t − τ )
(III.3)
82
δ ( t ) la fonction Delta Dirac ( δ ( 0 ) = 1, δ ( t ≠ 0 ) = 0 )
avec :
δ ( i − j) le Kronecker ( δ ( i − j) = 0 si i ≠ j δ ( i − j) = 1 si i = j )
q = βkT m
k : constante de Boltzmann [ML2T-2K-1]
T : température absolue [K]
β : coefficient de friction par unité de masse [T-1] défini par la relation : β = 6πμrp m
μ : viscosité dynamique du fluide [ML-1T-1]
rp : rayon de la particule [L].
Lorsque la particule n’est soumise qu’aux forces de frottement et aux forces externes, l’équation (III.2)
est a priori déterministe (sauf si les forces externes sont stochastiques, par exemple en dynamique
stellaire). Par contre, si le mouvement brownien représente une part non négligeable des forces
s’exerçant sur la particule, l’équation (III.2) est stochastique au sens général de la physique statistique
et connue sous le nom d’équation de Langevin [Chandrasekhar, 1943]. Elle permet d’établir
l’expression de la vitesse de la particule, une seconde équation étant ensuite nécessaire pour exprimer
sa trajectoire. Les équations de Langevin peuvent s’écrire sous la forme (ordinaire) suivante, avec x et
t comme références spatiale et temporelle :
dv ( x, t )
dt
dx ( t )
dt
= −β ( v ( x, t ) − u ( x, t ) ) +
F ( x, t )
m
+ A(t)
(III.4)
= v ( x, t )
avec :
v ( x, t ) : vitesse de la particule [LT-1]
x ( t ) : position de la particule [L]
u ( x, t ) : vitesse du fluide [LT-1]
F ( x, t ) : forces externes [MLT-2].
Ces équations ne sont pas incompatibles avec celles de la physique statistique de type ChapmanKolmogorov (Chapitre II, équation (II.4)). Rappelons l’analogie entre :
dx
- une équation probabiliste de sauts de particules :
= u ( x, t ) + Γ ( x, t )
dt
- l’équation déterministe de Fokker-Planck-Kolmogorov pour la densité de particules :
∂P ( x, t )
∂t
T
⎛
⎞
∂
1 ∂ 2 ⎜ Γ ( x, t ) .Γ ( x, t )
= − ( u ( x, t ) P ( x, t ) ) +
P ( x, t ) ⎟
⎟⎟
∂x
2 ∂x 2 ⎜⎜
t
⎝
⎠
P ( x, t ) étant la probabilité pour une particule d’être à la position x au temps t.
De la même manière, on démontrerait que les équations de Langevin conduisent à la définition d’une
équation aux dérivées partielles pour la densité de probabilité de présence des particules P ( v, x, t ) en
un point de l’espace défini par les coordonnées : vitesse de particule, position Euclidienne et temps.
On obtiendrait :
83
∂P ( v, x, t )
=
∂t
⎤
F ( x, t ) ⎞
∂ ⎡⎛
⎢⎜ β ( v ( x, t ) − u ( x, t ) ) −
⎟ P ( v, x, t ) ⎥
∂v ⎢⎣⎝
m ⎠
⎥⎦
−
(III.5)
∂
∂
v ( x, t ) P ( v, x, t ) ) + 2q 2 ( P ( v, x, t ) )
(
∂x
∂v
2
La résolution numérique sous ce formalisme en vitesse, espace et temps s’avère compliquée en raison
des instabilités provenant des deux termes hyperboliques ( ∂ ∂v et ∂ ∂x ) . On peut cependant résoudre
les équations (III.4) par une méthode Lagrangienne en les intégrant une fois sur le temps pour obtenir
une expression de la vitesse de la particule, puis une seconde fois pour l’expression de la trajectoire.
III.1.1. Résolution du système complet
La résolution Lagrangienne des équations (III.4) proposée ici suppose que u et F sont constants sur un
petit pas de temps d’intégration 0 → t . Le détail de ce développement est fourni en annexe G et établit
les équations suivantes :
t
⎛
F ⎞
v ( t ) = v0 exp ( −βt ) + ⎜ u 0 + 0 ⎟ (1 − exp ( −βt ) ) + ∫ A ( τ ) exp ( −β ( t − τ ) ) dτ
βm ⎠
⎝
0
x ( t ) = x0 +
t
v0
⎛
F ⎞⎛ 1
⎞
1 − exp ( −β t ) ) + ⎜ u 0 + 0 ⎟⎜ t + ( exp ( −β t ) − 1) ⎟
(
β
β m ⎠⎝ β
⎝
⎠
(III.7)
1
+ ∫ A ( τ ) 1 − exp ( −β ( t − τ ) ) dτ
β0
(
(III.6)
)
Dans chacune de ces équations apparaît un terme aléatoire conséquence de l’accélération brownienne :
t
R1 ( t ) = ∫ A ( τ ) exp ( −β ( t − τ ) ) dτ
(III.8)
0
R2 (t) =
t
1
A ( τ ) 1 − exp ( −β ( t − τ ) ) dτ
β ∫0
(
)
(III.9)
A partir des propriétés de l’accélération brownienne en (III.3), [Chandrasekhar, 1943] a montré que
les vecteurs R1 ( t ) et R 2 ( t ) étaient corrélés et obéissaient à des distributions multigaussiennes dont
les expressions sont détaillées en annexe G. La matrice de covariance de ces termes aléatoires est de
forme générale :
⎛ RR
C=⎜ 1 1
⎝ R 2 R1
avec
R 1R 2 ⎞
⎟
R 2R 2 ⎠
R 2 R 2 =0,
R 1R 2 =0 pour l’auto-covariance de R1 et
R1R 1 =0,
R 1R 2 =0 pour l’auto-
covariance de R2. La moyenne des termes aléatoires est nulle et les valeurs scalaires des covariances
sont définies par ( i, j = ( x, y, z ) pour un problème 3D) :
84
R1i ( t ) R1 j ( t ) =
kT
δ ( i − j) (1 − exp ( −2β t ) )
m
(III.10)
R 2i ( t ) R 2 j ( t ) =
kT
δ ( i − j) ⎡⎣ 2β t − 3 + 4exp ( −β t ) − exp ( −2β t )⎤⎦
β2 m
(III.11)
R1i ( t ) R 2 j ( t ) =
2
kT
δ ( i − j) ⎡⎣1 − exp ( −β t ) ⎤⎦
βm
(III.12)
III.1.2. Résolution du système simplifié
Dans le cas de particules petites et légères, les expressions de la vitesse et de la trajectoire peuvent être
simplifiées en éliminant les effets inertiels ( dv dt = 0 dans (III.4)). Le système (III.4) devient [Delay
et al., 2005; Ramarao and Tien, 1992] :
v ( x, t ) = u ( x, t ) +
dx ( t )
dt
F ( x, t )
1
+ A(t)
βm
β
(III.13)
= v ( x, t )
Sur un petit pas de temps 0 → t , u et F sont constants. Sachant que A ( t ) = 0 , on peut calculer la
vitesse moyenne des particules et, après intégration, leur trajectoire. On obtient :
v = u0 +
F0
βm
x ( t ) = x0 + v t + R 2 ( t )
t
1
avec R 2 ( t ) = ∫ A ( τ ) dτ
β0
La même forme s’obtiendrait en supposant que le pas de temps 0 → t est tel que t
(III.14)
1 β , soit β t
1
dans (III.6) et (III.7). L’expression (III.14) sans effet inertiel est donc logiquement la forme
"asymptotique" des expressions (III.6) et (III.7) avec effets inertiels. Dans (III.14), le terme aléatoire
R 2 ( t ) est défini par une covariance R 2i ( t ) R 2 j ( t ) = 2qtδ ( i − j) β2 . Le coefficient de diffusion de
Stokes-Einstein se note D = kT 6πμrp = kT β m = q β 2 , permettant de réécrire (III.14) sous la forme :
F0 D
kT
x ( t ) = x 0 + v t + z 2Dt
v = u0 +
(III.15)
avec z un nombre aléatoire distribué selon une loi normale centrée réduite.
Ce système conduit à une équation aux dérivées partielles de type Fokker-Planck-Kolmogorov (voir
développement et analogie proposés en partie II.1.1.) :
85
∂P ( x, t )
∂t
=−
F0 D ⎞
⎤ ∂2
∂ ⎡⎛
+
u
P
x,
t
(
)
0
⎥ + ∂x 2 ⎡⎣ D P ( x, t ) ⎤⎦
∂x ⎢⎣⎜⎝
kT ⎟⎠
⎦
(III.16)
A la lecture de équations (III.6), (III.7) et du système (III.15), on constate tant en version complète que
simplifiée, que le champ de forces est un déviateur hyperbolique permettant de moduler les vitesses de
transport des particules : terme en ∂ ∂v en formalisme "équations complètes" (équation (III.5)) ou en
∂ ∂x en système simplifié (équation (III.16)). Le champ de forces externes dans les équations de
Langevin joue conceptuellement le même rôle que celui attendu d’un déviateur remplaçant pour partie
les effets de réseau dans un transport en milieu fracturé homogénéisé.
III.1.3. Comparaison des équations simplifiées et complètes
La résolution numérique des équations est opérée sous Matlab et nécessite la discrétisation du temps
au pas Δt . Dans la configuration d’un transport 1D avec champ de vitesses du fluide et champ de
forces constants, l’algorithme pour le système complet d’équations (III.6) et (III.7) s’écrit :
⎛
F ⎞
v ( n Δt ) = v ( ( n − 1) Δt ) exp ( −βΔt ) + ⎜ u 0 + 0 ⎟ (1 − exp ( −βΔt ) ) + R1 ( n Δt )
βm ⎠
⎝
v ( ( n − 1) Δt )
x ( n Δt ) = x ( ( n − 1) Δt ) +
(1 − exp ( −βΔt ) )
β
(III.17)
F ⎞⎛
⎛
⎞
1
+ ⎜ u 0 + 0 ⎟⎜ Δt + ( exp ( −βΔt ) − 1) ⎟ + R 2 ( n Δt )
βm ⎠⎝
β
⎝
⎠
avec n l’index des pas de temps. De même pour le système simplifié (III.15), l’algorithme se note :
F0 D
kT
x ( n Δt ) = x ( ( n − 1) Δt ) + v Δt + z 2DΔt
v = u0 +
(III.18)
Les nombres aléatoires R1 et R2 des équations (III.17) sont corrélés suivant une fonction de covariance
⎛ RR
R 1R 2 ⎞ ⎛ F H ⎞
générale : C = ⎜ 1 1
⎟=⎜
⎟
R 2R 2 ⎠ ⎝ H G ⎠
⎝ R 2 R1
Chaque terme F, G et H est détaillé en annexe G. Dans le cas particulier des corrélations R1R 1 :
C ≡ F , ou R 2 R 2 : C ≡ G , les matrices sont diagonales et par conséquent tant la valeur aléatoire de
la vitesse que la valeur aléatoire du déplacement s’écrivent algébriquement z1 et z2 avec z1 et z2 (en
1D) de simples nombres gaussiens. Cela étant, puisqu’il faut respecter la corrélation R 1R 2 et donc
⎛ F H⎞
la matrice C = ⎜
⎟ , la procédure de tirage aléatoire est un peu plus complexe.
⎝H G⎠
Pour générer les deux nombres aléatoires z1 et z2, la matrice C est décomposée selon C = L.LT avec
0 ⎞
⎛a
2
L = ⎜ 11
⎟ , a11 = F , a12 = H F et a 22 = G − H F [Ramarao and Tien, 1992]. On tire
a
a
22 ⎠
⎝ 21
ensuite deux nombres gaussiens indépendants g1 et g2 (de moyenne nulle et de variance unité) et on
86
⎛g ⎞ ⎛z ⎞
déduit z1 et z2 via L. ⎜ 1 ⎟ = ⎜ 1 ⎟ . L n’étant pas normalisée, z1 et z2 sont directement les composantes
⎝ g2 ⎠ ⎝ z2 ⎠
aléatoires de vitesse et trajectoire. Ces nombres sont générés pour chaque itération sur le temps et pour
chaque particule. Dans le cas d’équations simplifiées, la forme est comparable à une ADE traitée en
Lagrangien dans le domaine spatial. Un algorithme similaire à celui décrit en partie II.2. est utilisé
avec tirage d’un seul nombre gaussien centré réduit.
L’hypothèse simplifiant les équations de Langevin repose sur la condition β t
1 . De fait, le premier
test consiste à calculer les pdf des temps de transfert des particules sur un segment 1D de longueur L
fixée avec les versions complète et simplifiée pour différentes valeurs de β et pour un pas de temps
fixé. Ce test permettra de valider les conditions d’utilisation de l’une ou l’autre des versions. Les
paramètres de simulation choisis sont reportés au Tableau 9 et les résultats, sous forme de courbes de
restitution en nombre de particules en fonction du temps, sont illustrés par la Figure 21.
Cas peu diffusif
Cas diffusif
L [L]
1
1
Δt [T]
u 0 [LT-1]
1
1
-3
10-3
10-3
10-3
F0 m [LT ]
10-4
10-4
kT m [L2T-2]
10-6
10-8
10
v 0 [LT-1]
-2
β [T-1]
10
-2
D = kT βm [LT ]
10
-7
1
10
-6
0.1
0.01
-5
-4
10
10
10
10
-9
1
10
-8
0.1
0.01
-7
10-6
10
Tableau 9 : Paramètres choisis pour les tests de validité des versions complète et simplifiée des équations de Langevin.
2000
1800
400
1200
1000
β=1
β=0.1
600
β=10
350
β=10
1400
Nb particules
Nb particules
1600
800
β=0.01
450
β=0.01
300
250
200
β=0.1
150
400
100
200
50
β=1
0
0
0
200
400
600
Temps (s)
800
1000
0
200
400
600
Temps (s)
800
1000
Figure 21 : Courbes de restitution à la distance L (Tab. 9) pour différentes valeurs de β. A gauche : cas peu diffusif ; à
droite : cas diffusif. Les pointillés et traits pleins correspondent aux résultats respectifs de la version simplifiée et
complète des équations de Langevin (5000 particules déplacées).
87
Que le problème soit fortement diffusif ou non, on constate dès βΔt = 1 ( β = 1 car Δt = 1 ) que résoudre
les équations de Langevin complètes n’apporte rien, les courbes des formes complètes ou simplifiées
sont similaires. En deçà de βΔt = 1 , et en particulier si le problème est peu diffusif, la résolution
simplifiée est fausse et surévalue les vitesses effectives de déplacement des particules.
Maintenant que les conditions d’application des équations complètes et simplifiées sont éclaircies,
regardons le rôle joué par le coefficient β sur la valeur des vitesses de transport des particules.
L’expression de la vitesse moyenne des particules s’obtient facilement à partir de l’expression de la
vitesse (III.6), somme d’une vitesse moyenne v ( t ) et d’une perturbation aléatoire R1 ( t ) (dont la
forme est donnée par (III.8)). On obtient alors :
⎛
F ⎞
v ( t ) = v 0 exp ( −β t ) + ⎜ u 0 + 0 ⎟ (1 − exp ( −β t ) )
βm ⎠
⎝
(III.19)
Différents profils d’évolution des vitesses moyennes des particules lors de leur déplacement dans un
milieu 1D (sachant qu’elles étaient immobiles à t = 0 ) sont tracés en Figure 22. Les paramètres
utilisés pour effectuer ces calculs sont : v 0 = 0 , u 0 = 0.5, F0 β m = 0.5, Δt = 0.5 . Cinq valeurs de β
sont testées et la masse des particules est adaptée afin de conserver un ratio F0 βm = 0.5 .
1
0,9
Vitesse moyenne
0,8
0,7
0,6
beta=1
0,5
beta=0,5
0,4
beta=0,25
0,3
beta=0,1
0,2
beta=0,05
0,1
0
0
20
40
Temps
60
80
100
Figure 22 : Evolution des vitesses moyennes en fonction du temps pour une résolution complète des équations de
Langevin et différentes valeurs de β.
Le rôle de β sur l’atteinte du régime asymptotique est évident. En premier lieu, le régime asymptotique
n’est atteint que si β T 1 , avec T le temps total de simulation. Plus la valeur de β est élevée, plus les
particules atteindront rapidement la vitesse moyenne asymptotique maximale pour le test considéré ici
égale à 1, u 0 + F0 β m = 0.5 + 0.5 .
88
Recherchons maintenant la forme de la dispersion non stationnaire des particules, sachant que dans un
champ de forces uniforme elle n’est que le fait de l’hétérogénéité des vitesses des particules
conséquence du mouvement brownien, alors que dans un champ de forces stochastique, s’ajoutera la
composante liée auxdites forces.
III.2. Calcul de la dispersion liée aux différents termes des équations de Langevin
Deux types de calcul ont été entrepris afin de déterminer ce que révèlent les équations de Langevin et
ce qu’elles pourraient apporter à la compréhension de l’homogénéisation du transport. La dispersion
non stationnaire des particules a tout d’abord été calculée pour une résolution complète des équations
et pour un champ de forces homogène et constant. Ceci permet de renseigner sur la dispersion Dx
intrinsèquement liée aux termes inertiels, de frottement et browniens. Ensuite, un champ de forces
hétérogène et corrélé est ajouté puis ses effets sont calculés sur la vitesse moyenne et sur la dispersion
sous la forme d’un terme ajouté DF. Dans les deux cas, les développements algébriques des équations
complètes sont comparés aux comportements asymptotiques issus des formes simplifiées. Des calculs
numériques sous le logiciel Matlab sont effectués à des fins de comparaison aux solutions analytiques
développées.
III.2.1. Dispersion pour un champ de forces homogène
Pour un champ de forces F ( x, t ) homogène dans les équations (III.4), on constate que les vitesses
moyennes v ( t ) (voir partie III.1.3.) et la dispersion D x ( t ) évoluent non linéairement en fonction
du temps jusqu’à tendre vers les valeurs asymptotiques données par les équations simplifiées :
v = u0 +
F0
kT
; D=
βm
βm
(III.20)
Le calcul de la dispersion non stationnaire est plus complexe que celui de la vitesse moyenne v ( t )
(expression (III.19)) car lié aux déplacements aléatoires des particules. Pour obtenir l’expression non
stationnaire de la dispersion D x ( t ) , on a besoin de connaître la covariance des déplacements σ2x ij ( t ) ,
cette dernière pouvant être calculée par intégration de la covariance non stationnaire des fluctuations
de vitesse R1i ( t1 ) R 1j ( t 2 ) . Le développement algébrique est détaillé en annexe H. La covariance des
fluctuations de vitesse s’écrit :
t1 t 2
R1i ( t1 ) R1j ( t 2 ) = ∫ ∫ A i ( τ ) A j ( τ ') exp ( −β ( t1 − τ ) ) exp ( −β ( t 2 − τ ') ) dτ dτ '
(III.21)
0 0
Cette covariance est intégrée pour obtenir la covariance des déplacements conséquence des aléas de
vitesse :
t t
σ 2x ij ( t ) = x i ( t ) x j ( t ) = ∫ ∫ R 1i ( τ ) R 1j ( τ ') dτ dτ '
(III.22)
0 0
89
La dispersion est ici établie selon sa définition sécante D x ij ( t ) = σ 2xij ( t ) 2t . Finalement, la dispersion
non stationnaire générée par les équations de Langevin sous condition de champ de forces homogène
s’écrit :
D x ij ( t ) =
2
⎛ kT
⎞
kT
1
kT
δ ( i − j) − δ ( i − j) ⎜
1 − exp ( −β t ) ) +
1 − exp ( −β t ) ) ⎟
(
(
βm
βt
βm
⎝ 2β m
⎠
Lorsque t est tel que β t
(III.23)
1 , les termes exponentiels de (III.23) s’annulent et la dispersion tend vers le
coefficient de diffusion de Stokes Einstein :
D x ij ≈
kT
kT
δ ( i − j) ≈
δ ( i − j)
βm
6πμrp
(III.24)
Cette solution analytique (III.23) a été comparée aux valeurs de dispersion obtenues par résolution
complète des équations de Langevin (III.6) et (III.7). Pour cela, les paramètres ont été choisis tels que
la valeur asymptotique de la dispersion (équation (III.24)) soit égale à 0.5 (soit σ 2x ij = 1 ). Différentes
valeurs du coefficient β, dont on sait qu’il contrôle la vitesse d’atteinte du régime asymptotique, ont
été testées : 1, 0.5, 0.25, 0.1, 0.025 (la masse m des particules est accordée pour conserver un ratio
kT βm = 0.5 ). La Figure 23 illustre l’évolution de la dispersion D x ( t ) (plus exactement de σ2x ij ( t ) t )
en fonction du temps de déplacement des particules pour des calculs numériques et analytiques.
1
Sigmax²/t
0,8
0,6
sol. numérique beta=1
sol. numérique beta=0,5
sol. numérique beta=0,25
sol. numérique beta=0,1
sol. numérique beta=0,05
0,4
0,2
0
0
20
40
60
Temps (s)
80
100
Figure 23 : Comparaison des solutions analytiques (traits pleins) et numériques (figurés) pour le calcul de la
dispersion Dx générée par les équations de Langevin avec un champ de forces homogène et différentes valeurs de β.
Les résultats numériques et analytiques de la dispersion générée par les équations de Langevin avec un
champ de forces homogène sont concordants. Les petites différences observées pour les plus fortes
valeurs de β et pour les temps longs sont dues aux aléas browniens de la solution numérique
Lagrangienne qui ne compte ici que 10000 particules injectées. La Figure 23, en conformité avec la
90
Figure 22 pour les vitesses, met clairement en évidence le rôle du paramètre β sur l’atteinte d’un
régime asymptotique (D = constante). Dans la perspective d’une utilisation des équations de Langevin
pour le transport macroscopique, il servirait de paramètre factuel qualifiant, en fonction de
l’hétérogénéité supposée du milieu, les temps caractéristiques d’atteinte d’un régime asymptotique
advectif-dispersif à vitesse v et dispersion D constantes. Qualitativement, pour une vitesse v
donnée de transit dans le milieu, des hétérogénéités corrélées sur de longues distances supposent un
temps long d’atteinte du régime asymptotique, de courtes longueurs de corrélation correspondant à des
temps courts. Dans des milieux fracturés, ou plus exactement pour des représentations synthétiques en
réseaux de liens, il reste à évaluer les effets, par exemple, de la distribution des longueurs de liens sur
la dispersion. On comprendrait aisément qu’un réseau de quelques grands liens dominés par
l’advection puisse générer des variances de déplacement σ2x ≡ t 2 ⇒ D ≡ t , tandis qu’un réseau de
petits liens enchevêtrés se comporterait rapidement comme un milieu poreux σ2x ≡ t ⇒ D = constante .
Rappelons que l’idée première motivant l’utilisation des équations de Langevin pour le transport
macroscopique de soluté est de dévoyer une partie de la physique locale de ces équations, en
l’occurrence les effets du champ de forces externes pour représenter une partie des effets
d’hétérogénéité mal vue à l’échelle macroscopique par le tenseur de dispersion. Les développements
précédents ont montré le rôle du champ de forces en tant que déviateur hyperbolique de la propagation
par le fluide. Si ce champ de forces est hétérogène, il engendre aussi des effets de dispersion DF dont
le développement est proposé ci-dessous.
III.2.2. Dispersion engendrée par un champ de forces hétérogène et corrélé
Supposons que le champ de forces spatialement hétérogène soit décrit sous la forme d’une force
moyenne et d’une perturbation : F ( t ) = F ( t ) + f ( t ) . Le temps t correspond, comme dans tous les
développements précédents des équations de Langevin, au temps "Lagrangien" au cours duquel les
particules traversent le champ de forces, ignorant toute référence à une notion d’espace Euclidien.
Supposons que le champ de forces soit spatialement corrélé, les perturbations f ( t ) obéissant à une
fonction de covariance. L’équation de la vitesse des particules devient :
t
⎛
F ⎞
1
v ( t ) = v0 exp ( −βt ) + ⎜ u 0 +
⎟ (1 − exp ( −βt ) ) + ∫ f ( τ ) exp ( −β ( t − τ ) ) dτ + R1 ( t )
βm ⎠
m0
⎝
(III.25)
La vitesse moyenne non stationnaire des particules s’écrit simplement :
⎛
F( t ) ⎞
v ( t ) = v 0 exp ( −β t ) + ⎜ u 0 +
⎟ (1 − exp ( −β t ) )
⎜
⎟
β
m
⎝
⎠
(III.26)
La détermination des effets sur la dispersion non stationnaire nécessite un calcul comparable à celui
proposé pour la dispersion Dx liée aux autres termes des équations de Langevin. Considérant
l’expression (III.25), la covariance des fluctuations de vitesse dues uniquement au terme de forces
externes s’écrit :
91
v i ( t1 ) v j ( t 2 ) =
1
m2
t1 t 2
∫ ∫ f ( τ ) f ( τ ')
i
j
exp ( −β ( t1 − τ ) ) exp ( −β ( t 2 − τ ') ) dτ dτ '
(III.27)
0 0
Contrairement à l’accélération brownienne, la covariance Lagrangienne des perturbations de force
f i ( τ ) f j ( τ ')
n’est pas un bruit blanc avec des fonctions Delta Dirac qui simplifient de manière
significative le calcul de (III.21) et dont la forme générique est comparable à (III.27). Dans le cas
présent, il n’y a pas d’expression algébrique pour une quelconque fonction de covariance de f . Des
solutions existent pour des fonctions décrites explicitement, par exemple une covariance temporelle
exponentielle et stationnaire de la forme :
CFij ( t1 − t 2 ) = σ F2 δ ( i − j) exp ( −a t1 − t 2
)
(III.28)
σ2F est la variance du champ de forces et a [T-1], comparable en dimension au coefficient β, est l’inverse
d’une longueur de corrélation en temps des perturbations f . Le développement complet de la dispersion
liée aux perturbations du champ de forces est proposé en annexe H.
D’autres formes de covariance peuvent être envisagées selon le type de corrélation temporelle
souhaitée. La covariance exponentielle, largement utilisée car infiniment dérivable, donne un champ
de forces à décroissance progressive de la corrélation qui engendre un champ de variations "molles"
(smooth). Pour avoir un champ plus "rugueux" (rough) et peut-être plus représentatif des
hétérogénéités dans un réseau de fractures, des calculs ont été réalisés avec une covariance linéaire
bornée :
C ( t1 , t 2 ) = σ 2 (1 − a t1 − t 2
) pour
t1 − t 2 < 1 a
(III.29)
C ( t1 , t 2 ) = 0 pour t1 − t 2 ≥ 1 a
Les développements algébriques de la dispersion DF sont accessibles mais restent cependant
indéterminés autour de la discontinuité où la covariance s’annule. Ces calculs, bien que réalisés ne
sont ni reportés ni discutés ici.
Après développement de l’équation (III.27) avec la covariance exponentielle (III.28), on obtient
l’expression suivante :
v i ( t1 ) v j ( t 2 ) =
σ2F δ ( i − j)
⎡ exp ( −a ( t 2 − t1 ) ) − a β exp ( −β ( t 2 − t1 ) )
m 2 ( β2 − a 2 ) ⎣
(III.30)
+ (1 + a β ) exp ( −β ( t1 + t 2 ) ) − exp ( −β t 2 − at1 ) − exp ( −β t1 − at 2 ) ⎤⎦
Cette expression peut être séparée en une partie pseudo-stationnaire ℑ ( t 2 − t1 ) avec t 2 ≥ t1 et une
partie non stationnaire Ψ ( t1 , t 2 ) . La covariance des déplacements est ensuite calculée en intégrant la
t t
covariance des fluctuations de vitesse σ 2x ij ( t ) = x i ( t ) x j ( t ) = ∫ ∫ vi ( τ ) v j ( τ ') dτ dτ ' , et s’écrit donc
0 0
en deux parties :
92
σ2x ij ( t ) =
t t
⎞
σ 2F δ ( i − j) ⎛ t t
'
d
d
'
,
'
d
d
'
ℑ
τ
−
τ
τ
τ
+
Ψ
τ
τ
τ
τ
(
)
(
)
⎜
⎟
∫
∫
∫
∫
m 2 ( β2 − a 2 ) ⎝ 0 0
0 0
⎠
(III.31)
Chacune des parties est développée séparément (annexe H) et pour une définition sécante de la
dispersion, l’expression finalement obtenue est la suivante :
σ2F δ ( i − j) ⎡ 1
⎤
a
1
a
D Fij ( t ) = 2 2
1 − exp ( −at ) ) − 2 (1 − exp ( −βt ) ) − 2 (1 − Γ ( 2,at ) ) + 3 (1 − Γ ( 2, β t ) ) ⎥
(
2 ⎢
β
βt
a t
m (β − a ) ⎣ a
⎦
+
σF2 δ ( i − j) ⎡ (1 + a β )
⎤
2
1
1 − exp ( −β t ) ) −
exp ( −β t ) − 1) ( exp ( −at ) − 1) ⎥
(
(
2
2
2
2 ⎢
aβ t
m ( β − a ) ⎣ 2β t
⎦
(III.32)
∞
avec Γ ( 2, u ) = ∫ χ exp ( −χ ) dχ
u
En supposant t suffisamment long pour que at
1 et βt
1 , on obtient une expression asymptotique
indépendante du temps, de la dispersion DF engendrée par l’hétérogénéité du champ de forces :
σ2F δ ( i − j) ⎡ 1 a ⎤
D Fij ≈ 2 2
⎢ − 2⎥
m (β − a 2 ) ⎣ a β ⎦
(III.33)
Le premier test effectué, avant de comparer la dispersion (III.32) à une résolution numérique des
équations de Langevin, est de résoudre (III.32) pour différentes valeurs du paramètre a et déterminer
son influence sur la forme et les valeurs de la dispersion. La Figure 24 illustre l’évolution de la
dispersion liée à l’hétérogénéité du champ de forces pour les valeurs de paramètres suivants :
σ2F = 0.03, β = 1, m = 1 et a = 0.2 − 0.1 − 0.05 − 0.025 .
1,2
a=0,2
a=0,1
a=0,05
a=0,025
Dispersion
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
100
200
Temps
300
400
Figure 24 : Evolution en fonction du temps de la solution analytique à la dispersion DF engendrée pour un champ de
forces hétérogène corrélé. Différentes valeurs de longueur de corrélation ( ∝ paramètre a) sont testées.
93
Les calculs montrent que le paramètre a conditionne la vitesse d’atteinte du régime asymptotique de la
dispersion liée aux perturbations de force. Ce paramètre est l’inverse d’une longueur de corrélation en
temps et, de fait, proportionnel à l’inverse d’une corrélation spatiale. Pour une petite valeur de a, c’està-dire un champ corrélé sur une grande distance, la vitesse d’atteinte du régime asymptotique est lente.
D’autre part, la dispersion DF est d’autant plus faible que le paramètre a est grand. On retiendra de
cette constatation, qu’en toute logique pour un champ corrélé sur de courtes distances, les effets des
forces s’homogénéisent rapidement et n’engendrent qu’une faible dispersion des particules (ceci ne
préjuge bien évidemment pas des effets du champ de forces sur la partie hyperbolique du transport).
Il s’agit maintenant de comparer les calculs numériques des équations de Langevin intégrant un champ
de forces hétérogène à covariance exponentielle avec la solution analytique (III.32), et vérifier si aux
temps longs, on tend vers la valeur de dispersion asymptotique définie en (III.33). Le premier point à
résoudre est de calculer en 1D un champ de forces hétérogène à covariance exponentielle. Rappelons
que la covariance temporelle pour laquelle les calculs de dispersion sont proposés s’écrit :
CF t = σ F2 exp ( −a t ) . En contexte Lagrangien, elle peut se traduire en covariance spatiale de la forme :
CF x = σ 2F exp ( − x b ) . La longueur de corrélation spatiale effective est de 3b (si x = 3b ,
exp ( − x b ) = exp ( −3) → 0 ). La relation établie entre a, inverse d’une longueur de corrélation en
temps et b, proportionnel à une longueur de corrélation spatiale se note : a ≡ v b avec v la vitesse
moyenne effective des particules. Cette vitesse s’écrit
v = u 0 + F0 β m dans un scénario de
transport avec un champ de forces hétérogène sous la forme d’une force moyenne F0
et d’une
perturbation de force f .
Les équations de Langevin assorties d’un champ de forces hétérogène et corrélé sont résolues, sur un
domaine 1D, en utilisant les paramètres suivants : β = 1, m = 1, kT = 0.4, F0 = 0.5, u 0 = 0.5, v 0 = 0.
La covariance temporelle des perturbations de force est définie par a = 0.1 et σ 2F = 0.03 . La vitesse
moyenne échantillonnée par les particules est v = 1 , conduisant à une covariance spatiale du champ
de forces conditionnée par un coefficient b = 10 (soit une longueur de corrélation égale à une trentaine
d’unités de longueur). La dispersion DF, prédite par la solution analytique (III.33), atteint une valeur
asymptotique de 0.3 [L2T-1], de même que celle liée aux déplacements des particules Dx calculée par
(III.24). Ainsi, on peut espérer dissocier les contributions de chacune des dispersions sur la dispersion
totale obtenue par résolution numérique des équations. Le champ de forces est généré sur un domaine
finement maillé ( Δx = 4 ) afin que la dispersion brownienne étale à chaque pas de temps les particules
sur différentes mailles, échantillonnant ainsi différentes valeurs de forces. Un maillage grossier ne
permettrait pas à l’échantillonneur brownien de disperser les particules sur différentes cases et elles
seraient toutes soumises à la même force en même temps, empêchant toute dispersion liée à
l’hétérogénéité des forces. Le pas de temps de simulation est également choisi de façon à ce que les
particules passent par quasiment toutes les mailles pour un échantillonnage correct des forces. Dans le
cas présent, pour v = 1 , il est choisi Δt = 1 . L’évolution de la dispersion calculée par résolution
numérique est tracée en Figure 25.
94
0,35
0,3
Dispersion
0,25
0,2
F hétérogène
0,15
F homogène
0,1
0,05
0
0
200
Temps
400
600
Figure 25 : Evolution en fonction du temps de la dispersion calculée par résolution numérique des équations de
Langevin 1D avec un champ de forces homogène et hétérogène.
Le calcul ne traduit pas la contribution des hétérogénéités du champ de forces à la dispersion totale des
particules. La représentation, sur la Figure 25, de la dispersion obtenue avec un champ de forces
homogène montre que la part de dispersion calculée est attribuable uniquement aux aléas de
déplacement des particules et non pas aux hétérogénéités du champ de forces. Comment expliquer la
non-adéquation de ce test numérique avec la solution analytique (III.32), et le fait de ne pas voir
d’augmentation de la dispersion avec l’ajout d’hétérogénéités ? Plusieurs hypothèses sont envisagées.
Il est possible que le maillage utilisé pour attribuer des valeurs de force au domaine traversé par les
particules soit trop grossier pour que la dispersion brownienne joue son rôle d’échantillonneur. Le
calcul est répété sur un maillage beaucoup plus fin ( Δx = 0.2 ) et conduit exactement aux mêmes
résultats. Pour s’assurer que la discrétisation de l’espace ne soit pas à l’origine du problème, des
simulations de type Monte-Carlo ont été réalisées. Ces tests consistent à injecter une (ou quelques)
particules sur des réalisations différentes du champ de forces mais obéissant à la même fonction de
covariance. La dispersion des particules en un point de l’espace et en fonction du temps de simulation
est ensuite calculée. De cette manière, on espère s’affranchir du problème de maillage car il est certain
que les particules ne voient pas la même valeur locale de force en même temps. Malheureusement, ce
subterfuge est sans effet, aucune augmentation de la dispersion n’étant observée. Finalement, toutes
les particules échantillonnent le même champ de forces en moyenne (car la moyenne des perturbations
f tend vers 0). Même en faisant sauter les particules d’une ligne à l’autre au cours des itérations sur le
temps, on ne génère pas de dispersion. Encore une fois, la moyenne des perturbations de force vues
par les particules tend vers 0. De fait, le biais doit provenir de la résolution en 1D des équations. Les
particules suivant le même parcours, elles sont soumises aux mêmes paramètres de forces externes en
moyenne, et ne sont pas dispersées autrement que par leurs mouvements browniens. La solution serait
alors de résoudre les équations de Langevin en 2D.
Ce genre de petite difficulté numérique n’est pas rapporté dans la littérature. Visiblement, la dispersion
conséquence d’un terme hyperbolique (et non de l’échantillonnage statistique des tailles de sauts
95
connue pour la diffusion-dispersion) n’est accessible que dans un cas multidimensionnel où les
particules, en fonction de la ligne de courant où elles se trouvent, échantillonnent des profils de
vitesses dont la valeur moyenne au bout d’un temps t diffère d’une ligne à l’autre. Dans le cas des
calculs 1D effectués ici, au bout d’un temps t donné, les particules ont échantillonnées (à peu près) la
même valeur de force (ce qui n’était pas trivial a priori). L’artifice de faire "tourner" les particules sur
différentes réalisations 1D du champ de forces ne change rien. Les réalisations sont équiprobables et
au bout de quelques pas de temps, la force moyenne échantillonnée est constante. Reste donc à
implémenter pour les besoins de l’essai un code 2D où, pour une injection sur un front, les particules
ne verront pas nécessairement la même déviation hyperbolique liée aux forces externes.
III.3. Conclusion et perspectives
Entrepris de manière prospective afin de simuler le transport macroscopique de soluté dans des
milieux poreux fracturés en s’affranchissant de la géométrie du réseau de fractures, le travail présenté
sur les équations de Langevin s’est limité à des résolutions 1D. L’analyse des effets d’hétérogénéité
des champs de forces a montré que cette approche 1D était insuffisante pour bien saisir le potentiel des
équations, en particulier au regard de la dispersion et de son comportement non stationnaire. A priori,
l’implémentation d’un code 2D est triviale, vitesse et trajectoire se notant sous la forme de vecteurs
avec une composante selon chaque direction de l’espace Euclidien. Les corrélations vitesse-trajectoire
(voir partie III.1.1.) sont explicitement écrites pour un problème multidimensionnel, il n’y a donc pas
de difficulté particulière à propager les particules dans un espace 2D. Le champ de forces hétérogène
pourra être généré sur un domaine 2D en calculant la covariance Cij entre chaque couple de nœud (ou
de maille) i et j du domaine. Différentes techniques de génération peuvent être envisagées : pour une
matrice C de petite taille, la méthode de décomposition C = L.LT , déjà utilisée pour les tests en 1D
présentés dans ce chapitre sera préférée. Pour une matrice de grande taille, on pourra employer une
méthode de simulation séquentielle non conditionnelle [Deutsh and Journel, 1992] ou, pour une
génération plus rapide, la méthode spectrale "Fast Fourier Transform - Moving Average" développée
par [Le Ravalec-Dupin et al., 2000]. Notons que pour générer des courbes de restitution multimodales
(Figure 12, droite), le champ de forces doit lui-même être, sinon multimodal, du moins très contrasté
et avec de grandes longueurs de corrélation, sans quoi les particules ne verront pas de chemins
préférentiels à l’origine de la ségrégation des temps d’arrivée créant les multimodalités. Pour ce qui est
des courbes de restitution non gaussiennes (Figure 12, gauche), elles le seront nécessairement tant que
la dispersion engendrée par les effets inertiels ou le champ de forces restera non asymptotique. Le
paramètre β (friction pour des équations à l’échelle locale) pourrait alors prendre le sens d’un temps
caractéristique de relaxation en deçà duquel le transport est fondamentalement non gaussien. La même
remarque s’applique au paramètre a de la covariance en temps d’un champ de forces hétérogène. Il
faudra également évaluer les possibilités de travailler sur l’accélération brownienne, en l’occurrence,
aller chercher dans certains secteurs de la physique (plasmas, cristaux liquides, fluides non
newtoniens), les formes "non entières" données à ce terme.
Dans les équations de Langevin sous leur version complète, les particules Lagrangiennes ont de la
mémoire (non explicitement écrite comme telle) concernant leur déplacement grâce aux effets inertiels
qui engendrent une covariance des déplacements dépendante du coefficient β et du temps. Cette
mémoire se manifeste sous forme de doubles intégrales dans le calcul de la dispersion (doubles
intégrales elles mêmes s’inscrivant après une double intégration en temps pour l’obtention de la
covariance des vitesses). L’ajout d’un champ de forces externes hétérogène et corrélé génère des effets
96
mémoire se traduisant également par des doubles intégrales dans l’expression de la dispersion liée aux
hétérogénéités des forces. Dans les équations classiques de Fokker-Planck-Kolmogorov (voir Chapitre
II), les particules sont markoviennes, sans mémoire. Cela étant, le développement général des
équations régissant les pdfs ne s’appuie que sur le théorème de Bayes. L’existence d’effets mémoire
peut donc s’implémenter. Il est possible d’ajouter l’influence des moments supérieurs à 2 (difficile à
résoudre), ou de modifier l’écriture de la densité de probabilité P ( x, t ) de présence d’une particule en
x au temps t en la rendant conditionnelle. Plusieurs auteurs ont proposé des approches basées sur ce
principe. Dans les équations généralisées dites à effets non locaux (héritage spatio-temporel pour les
conditions "locales" de déplacement = effet mémoire) [Cushman, 1997], ou dans les équations
stochastiques du transport [Morales-Casique et al., 2006], les effets mémoire se traduisent par des
doubles intégrales en espace et en temps. Un aspect théorique important sera de trouver une analogie
entre les intégrales Lagrangiennes de l’approche Langevin et les intégrales des équations non locales.
L’avantage des équations de Langevin est que le problème est clairement paramétré avec un sens
"local" bien compris des paramètres. Reste cependant à donner un sens physique clair aux paramètres
lorsque ces équations sont dévoyées et utilisées pour un problème macroscopique. Les intégrales
spatio-temporelles des équations non locales ont quant à elles un sens physique plus diffus, non
compte tenu des difficultés de calcul inhérentes aux intégrations numériques nécessaires à leur
résolution.
On peut maintenant s’interroger sur le sens physique du champ de forces externes dans les équations
de Langevin appliquées au transport macroscopique dans les milieux souterrains, et ses relations avec
la géométrie du réseau de fractures qu’il remplace. Il est décliné sous la forme d’un champ continu,
stationnaire et corrélé, permettant ainsi de : 1- distinguer ses effets sur la vitesse moyenne
échantillonnée par les particules ; 2- développer une expression analytique de la dispersion liée aux
hétérogénéités des forces. En pratique, il n’est absolument pas certain que le champ de forces soit
stationnaire, le réseau de fractures qu’il mime ne l’étant pas forcément. Sera t-il quand même une
représentation macroscopique correcte des hétérogénéités spatiales du réseau de fractures ? Faut-il
ajouter des contraintes au champ de forces pour conserver une physique cohérente ? En effet, la vitesse
u du fluide étant soumise à la contrainte ∇.u = 0 (flux sortants = flux entrants aux limites du système)
et le terme de force étant un déviateur hyperbolique, doit-il lui aussi être contraint par ∇.F = 0 ? On
pourrait aussi imposer que la moyenne des forces sur le domaine soit nulle en posant ∫ FdΩ = 0 . EstΩ
ce vraiment nécessaire ou la condition imposée sur la vitesse u suffit-elle à préserver le bilan des flux
transitant dans le système ? Dans un réseau de fractures quelconque dont on peut déterminer le
gradient hydraulique et les flux en sortie du système, la conductivité hydraulique macroscopique
équivalente K éq est accessible, même dans le cas d’un milieu fortement chenalisé (tel que le Site
Expérimental Hydrogéologique en 2005). A ce propos, le chapitre I de ce travail montre que malgré la
chenalisation, des essais d’interférence bien interprétés sont capables de capturer un comportement
moyen (une conductivité hydraulique) ayant du sens. La conductivité hydraulique équivalente obtenue
donne accès au champ de vitesses u dans le milieu, découpé en une vitesse moyenne u et une
perturbation de vitesse u si la conductivité hydraulique hétérogène est supposée définie par une
moyenne macroscopique K éq + perturbation. La contrainte sur u est de conserver ∇.u = 0 sur le
domaine. Ainsi établi, le champ de vitesses simulera le transport dit "normal" dans le réseau, les
anomalies de transport seront générées par les hétérogénéités du champ de forces externes F = F + f .
97
Vu de cette manière, la seule contrainte à respecter serait alors u + F = v , avec v la vitesse
moyenne de transfert des particules dans le domaine.
Retenons également que la substitution des équations classiques du transport par les équations de
Langevin pour la résolution du transport macroscopique permet de réduire considérablement la
paramétrisation du problème direct. L’approche Lagrangienne TDRW nécessite un jeu de paramètres
par lien ou par groupe de liens tandis que les équations de Langevin ne font intervenir qu’un faible
nombre de paramètres : la vitesse du fluide u, le coefficient β, et le paramètre brownien A pour mimer
l’advection-dispersion avec d’éventuels effets non gaussiens liés à la relaxation des effets inertiels
(mémoire) portés par β. S’ajoute enfin le champ de forces F (généré par F , σ2F et a) pour représenter
les hétérogénéités du réseau de fractures. Ces équations ne sont pas encore inversées mais la
préparation de l’inversion par simplification de la paramétrisation du problème direct est déjà une
avancée. Notons que la procédure d’inversion par la méthode des sensibilités analytiques (Chapitres I
et II) est applicable aux équations de Langevin pour rechercher les paramètres u, β, A et F (Delay,
2008, inédit). Cependant, les paramètres de la covariance de F ne peuvent pas être obtenus par cette
méthode (ils ne sont pas explicitement écrits dans les équations). Ils pourraient certainement être
approchés par la méthode des perturbations ou peut-être par une méthode d’optimisation à
convergence du premier ordre de type simplex et ses variantes. Enfin, la définition de la fonction
objectif et le préconditionnement des paramètres sont deux questions primordiales et stratégiques
auxquelles il faudra réfléchir avant de s’attaquer à la résolution du problème inverse.
98
CONCLUSION GENERALE
Parmi les difficultés majeures inhérentes à l’étude des aquifères poreux fracturés se trouve la
détermination des propriétés hydrodynamiques macroscopiques du réservoir. Les données exploitées
dans le cadre de ce travail ont été acquises en deux campagnes (2004 et 2005) de tests d’interférence
sur le Site Expérimental Hydrogéologique de Poitiers. Elles ont été interprétées par des modèles
continus double milieu pour tester leur capacité à homogénéiser l’écoulement méso-échelle en
contexte partiellement karstique. Ces modèles ont été inversés par un algorithme de LevenbergMarquardt et une dérivation analytique des sensibilités. Cette procédure d’inversion sur un double
milieu n’avait jamais été proposée jusqu’à présent dans la littérature, vraisemblablement en raison de
la faible convergence du problème. Ce travail a pu montrer, grâce au calcul rigoureux des sensibilités
du modèle aux paramètres, que la faible convergence était le fait d’un mauvais conditionnement de la
matrice Jacobienne des erreurs. La méthode de reconditionnement de la matrice constitue un point
important du travail présenté dans ce manuscrit. Plusieurs approches double milieu ont été proposées :
1- les modèles double milieu homogène et fractal, basés sur des équations de diffusion + cinétique de
premier ordre, ont prouvé leur pertinence pour homogénéiser le site dans sa configuration de 2004
(courbes de rabattement clairement individualisées en fonction de la distance puits pompé - puits
observé), avec une "préférence" pour l’approche fractale ; 2- le modèle double milieu modifié par
l’ajout d’un terme de propagation d’onde dans les fractures (drains karstiques) pour mimer le
comportement du site en 2005 (similitude en temps et amplitude des rabattements quelle que soit la
distance puits pompé – puits observé). Finalement et indépendamment du degré de complexité de
l’outil d’interprétation développé, la même valeur de transmissivité macroscopique est obtenue sur le
SEH, quand bien même les courbes de rabattement de 2005 traduiraient des anomalies (chenalisation)
d’écoulement dans des réseaux karstiques. La question se pose alors de l’intérêt à poursuivre
l’exploitation de mesures intégratrices (rabattements obtenus par tests d’interférence) d’où sont
extraites les mêmes valeurs de paramètres hydrodynamiques quel que soit le modèle d’interprétation.
Conjointement, il devient légitime de s’interroger : 1- sur les critères qui conditionnent le choix d’un
modèle pour un site, ou encore, 2- sur la crédibilité d’un modèle dont la physique, incluse a priori,
devient plus explicative que la mesure elle-même. Une réflexion sur ces sujets devrait se développer.
Elle redonnerait probablement vigueur au débat sur les problématiques et les enjeux de l’interprétation
de l’écoulement dans les réservoirs souterrains, en particulier dans les milieux poreux fracturés.
La seconde partie de ce travail s’est efforcée à inverser analytiquement la méthode Lagrangienne Time
Domain Random Walk pour la résolution du transport de soluté dans les réservoirs poreux fracturés.
Des mécanismes de rétention des particules (diffusion matricielle et cinétique de sorption) ont été
greffés à la méthode TDRW afin de moduler la forme des courbes de restitution (effets de retard ou de
traînée). Le calcul analytique des sensibilités aux paramètres dans la procédure d’inversion est
novateur dans le cadre d’approches Lagrangiennes. Il a été abordé à l’échelle locale (un lien) pour la
résolution technique du problème inverse et a montré son efficacité et sa précision. A l’échelle du
réseau de liens, le problème inverse n’est pas simple car, au-delà de la multiplication du nombre de
paramètres, on ne maîtrise pas : 1- ce qui est du registre du paramètre local ou du mécanisme
(advection, dispersion et rétention) versus les effets de réseau (typologie du réseau de liens) ; 2- ce qui
est intrinsèquement lié au réseau réel de fractures versus ce qui est vu par les calculs sur un réseau de
liens. Contrairement au problème d’écoulement abordé au chapitre I, pour être résolu et inversé, le
transport de soluté doit être dédié à une question particulière, à savoir, quel est le centre d’intérêt :
temps courts, temps longs, effets locaux ou macroscopiques, et quels sont les moyens (mesures)
disponibles pour conditionner le problème. Cette réflexion préliminaire s’avère indispensable pour une
bonne définition de la fonction objectif et un préconditionnement "propre" du système. En l’état actuel
99
des connaissances, ce type de réflexion n’a pas encore été suffisamment approfondi. Dans l’absolu,
cette réflexion ne peut être le fait d’une personne ou d’un petit groupe mais doit s’initier dans un
registre plus vaste. Dans l’expectative et pour ne pas être en reste, il a été choisi de contourner
partiellement la difficulté en proposant une approche différente du transport macroscopique en milieu
fracturé.
Afin de s’affranchir de la géométrie du réseau de liens, ce dernier est substitué par un déviateur
hyperbolique sous la forme d’un champ de forces et les équations classiques du transport utilisées dans
l’approche TDRW sont remplacées par les équations de Langevin basées sur la conservation de la
quantité de mouvement. De nombreux développements algébriques et calculs tests ont été proposés
pour comprendre la physique portée par ces équations stochastiques (au sens de la physique
statistique) et appréhender la façon de les transposer au déplacement de particules dans un milieu
poreux fracturé. Bien que prometteuse, la piste doit encore être jalonnée d’autres développements
théoriques et d’autres calculs afin de répondre à nombre de questions restées en suspend à l’issue de
cette première prospection. En admettant qu’un champ de forces spatialement défini par une
covariance puisse substituer proprement le réseau de fractures et les hétérogénéités de transport qu’il
engendre, rien ne dit qu’on s’acquittera pour autant des deux problèmes déjà posés par l’utilisation de
la méthode Lagrangienne TDRW. En effet, les questions sont reportées sur : 1- les effets sur la vitesse
effective des particules et leur dispersion, des paramètres vitesse du fluide, coefficient de friction,
accélération brownienne versus le champ de forces hétérogène; 2- les effets sur les "anomalies" de
transport du remplacement du réseau de liens par le champ de forces. Il n’en reste pas moins
qu’intrinsèquement, les équations de Langevin seraient meilleures candidates à l’inversion que la
méthode TDRW sur réseau en raison d’une paramétrisation simplifiée. Un réseau défini a priori par
un jeu de paramètres par lien est réduit aux paramètres de définition du champ de forces, à savoir :
moyenne, variance, longueur de corrélation et type de covariance. Cependant, inverser directement la
covariance du champ de forces n’est pas un problème trivial.
100
ANNEXES
ANNEXE A : DISCRÉTISATION DES ÉQUATIONS DES MODÈLES DOUBLE MILIEU
HOMOGÈNE ET FRACTAL
103
ANNEXE B : ALGORITHME DE THOMAS POUR LA RÉSOLUTION DE SYSTÈMES
MATRICIELS TRIDIAGONAUX.
109
ANNEXE C : DISCRÉTISATION DES ÉQUATIONS DU DOUBLE MILIEU AVEC
TERME HYPERBOLIQUE
111
ANNEXE D : DÉVELOPPEMENTS DE KRAMERS-MOYAL EN ESPACE
113
ANNEXE E : DÉVELOPPEMENT GÉNÉRAL DE KRAMERS-MOYAL DANS LE
DOMAINE DES TEMPS
117
ANNEXE F : EQUATION DU TÉLÉGRAPHE
119
ANNEXE G : DÉVELOPPEMENT DES ÉQUATIONS DE LANGEVIN
125
ANNEXE H : CALCUL DE LA DISPERSION LIÉE AUX DIFFÉRENTS TERMES DES
ÉQUATIONS DE LANGEVIN
131
101
ANNEXE A : DISCRETISATION DES EQUATIONS DES MODELES DOUBLE MILIEU HOMOGENE
ET FRACTAL
Section d'équation 1
Les équations générales du modèle double milieu en schéma radial convergent s’écrivent :
Ss f ( r )
∂h f ( r, t )
Ss m ( r )
∂t
=
∂h m ( r, t )
∂t
∂h f ( r, t ) ⎞
1∂⎛
⎜ r Kf ( r )
⎟ + α ( r )( h m ( r, t )− h f ( r, t ) ) + q p ( 0, t )
r ∂r ⎝
∂r
⎠
⎡⎣T −1 ⎤⎦
(A.1)
= α ( r )( h f ( r, t )− h m ( r, t ) ) ⎡⎣T −1 ⎤⎦
La discrétisation de ces équations est basée sur un formalisme volumes finis pour des mailles
concentriques, axi-cylindriques de taille Δr et au pas de temps Δt. Pour une maille i, les interfaces sont
indexées (i-1/2) et (i+1/2) et correspondent à des surfaces 2πe ( i − 1) Δr et 2πeiΔr , avec e l’épaisseur
de l’aquifère. Le volume de la maille est ΔVi = 2πe ( i − 1 2 ) Δr 2 . Les variables d’état (hf, hm) sont
moyennées sur la maille i et centrées en (i-1/2) Δr. On écrit h in = h i ( ( i − 1 2 ) Δr, nΔt ) .
Qfi+1/2
Qfi-1/2
Qp
i-1
i
i+1
Δr
(i-1) Δr
i Δr
(i+1) Δr
Le schéma volumes finis est établi en écrivant l’équation de conservation du volume d’eau pour
chaque maille i (la masse volumique du fluide étant constante) :
∂h fi
= Q fi+1 2 − Qfi−1 2 + α i ΔVi ( h mi − h fi ) + Q p δ1,i
∂t
∂h mi
Ss mi ΔVi
= α i ΔVi ( h fi − h mi )
∂t
Ss fi ΔVi
(A.2)
Ss fi ,Ss mi ,α i sont des valeurs moyennes sur la maille i. Qp [L3T-1] est le débit pompé au puits localisé
dans la maille 1 (la fonction Kronecker δ1,i vaut 1 en i = 1 et 0 ailleurs). Chaque flux Qfλ aux
interfaces est donné par la loi de Darcy :
⎛ ∂h ⎞
Qfi+1 2 = 2π ei Δr K fi+1 2 ⎜ f ⎟
⎝ ∂r ⎠i +1 2
Qfi−1 2
⎛ ∂h ⎞
= 2π e ( i − 1) Δr K fi−1 2 ⎜ f ⎟
⎝ ∂r ⎠i −1 2
(A.3)
103
Les conductivités intermailles K fλ sont également des valeurs moyennes dont le développement est
détaillé plus bas. Les équations (A.3) sont substituées dans (A.2) puis discrétisées selon un schéma
implicite en temps. Les dérivées spatiales sont approximées au premier ordre.
( i − 1 2 ) Ssf Δr 2
h fni +1 − h fni
Δt
i
= i K fi+1 2 ( h fni++11 − h fni +1 ) − ( i − 1) K fi−1 2 ( h fni +1 − h fni−+11 )
+ ( i − 1 2 ) α i Δr 2 ( h nm+i 1 − h fni +1 ) +
( i − 1 2 ) Ss m Δr 2
h nm+i 1 − h nmi
i
Δt
Q p δ1,i
2πe
(A.4)
= ( i − 1 2 ) α i Δr 2 ( h fni +1 − h mn +i 1 )
Conditions initiales : h 0fi = h 0mi = H 0
∀i
Conditions aux limites :
- h fnNm+1 = h nm Nm+1 = H 0 : condition type Dirichlet, limite repoussée loin du puits pour satisfaire
-
l’hypothèse d’un milieu infini ;
sur la maille 1 incluant le flux pompé par le puits : Qf1+1 2 = 2πeK f1+1 2 ( h f 2 − h f1 ) ;
-
Qf1 2 = 0 : condition assurant la symétrie du problème entre r ∈ ]−∞,0] et r ∈ [ 0, +∞[ .
Dans le cas d’un milieu hétérogène, les paramètres capacitifs Ssf, Ssm sont des fonctions linéaires de la
porosité du milieu et peuvent donc être vus comme des propriétés additives. α est également
assimilable à une propriété additive car il régule les flux entre l’eau contenue dans la matrice (Ssm) et
celle des fractures (Ssf). La valeur moyenne de ces paramètres sur une maille i correspond par
conséquent à une moyenne arithmétique. La valeur de la conductivité intermaille est obtenue en
étendant l’expression de Thiem (écoulement radial 2D en milieu homogène en régime permanent) à un
milieu hétérogène mais pouvant s’homogénéiser. Cette expression établit la conservation des flux
entre deux points adjacents i et j situés à des distances ri et rj ( rj > ri ) du puits pompé.
Q = 2πeK ij
h j − hi
(A.5)
ln ( rj ri )
hλ est la charge hydraulique en rλ, distance radiale depuis le puits situé en r = 0 . Kij est la conductivité
hydraulique "moyenne" entre ri et rj. Le principe de conservation de la masse suppose que Q est
conservé à l’identique pour tout point à une distance ri-j entre ri et rj :
Q = 2πeK i
h i− j − h i
ln ( ri − j ri )
= 2πeK j
h j − hi− j
ln ( rj ri − j )
= 2πeK ij
h j − hi
ln ( rj ri )
(A.6)
Kλ correspond aux valeurs de conductivités hydrauliques locales en rλ, hi-j est la charge hydraulique
locale en ri-j. Cette dernière s’écrit à partir de (A.6) selon :
104
hi− j =
β j h j + βi h i
avec
βi + β j
βi =
Ki
ln ( ri − j ri )
et
βj =
Kj
ln ( rj ri − j )
(A.7)
En remplaçant hi-j par son expression dans l’équation de Thiem en Ki, on obtient :
βi β j ( h j − h i )
⎛ β j h j + βi h i
⎞
Q = 2πe βi ⎜
− h i ⎟ = 2πe
⎜ β +β
⎟
βi + β j
i
j
⎝
⎠
(A.8)
L’identification entre (A.8) et l’expression de Thiem en Kij dans (A.6), donne la conductivité
intermaille :
K ij =
βiβ j ln ( rj ri )
βi + β j
=
K i K j ln ( rj ri )
K i ln ( rj ri − j ) + K j ln ( ri − j ri )
(A.9)
Pour un maillage axi-cylindrique avec rj = jΔr, ri = ( j − 1) Δr et ri − j = ( j − 1 2 ) Δr , Kij devient :
K ij =
K i K j ln ( j ( j − 1) )
K i ln ( j ( j − 1 2 ) ) + K j ln ( ( j − 1 2 ) ( j − 1) )
(A.10)
Cette équation peut être simplifiée pour les grandes valeurs de j (quand on est suffisamment loin du
puits) :
j
1
1
= 1+
= 1 + ε avec ε =
⇒ ln ( j ( j − 1) ) = ln (1+ ε ) ≈ ε
j −1
j −1
j −1
j
1/ 2
1/ 2
= 1+
= 1+ ε ' avec ε ' =
⇒ ln ( j ( j − 1/ 2) ) = ln (1+ ε ' ) ≈ ε '
j − 1/ 2
j − 1/ 2
j − 1/ 2
j − 1/ 2
1/ 2
1/ 2
= 1+
= 1+ ε '' avec ε '' =
⇒ ln ( ( j − 1/ 2) ( j − 1) ) = ln (1+ ε '') ≈ ε ''
j −1
j −1
j −1
(A.11)
En faisant l’hypothèse ε ' ≈ ε '' ≈ 1 2 ε et en remplaçant les valeurs des logarithmes dans (A.10) par
leurs expressions (A.11), on obtient :
K ij ≈
2K i K j
Ki + K j
(A.12)
Kij est la moyenne harmonique des conductivités locales Ki et Kj.
105
Discrétisation du double milieu homogène
Kf, Ssf, Ssm et α sont constants, les équations (A.4) sont simplifiées :
⎡
2 Ss f
2 ⎤ n +1
n +1
n +1
⎢( i − 1 2 ) Δr Δt + ( 2i − 1) K f + ( i − 1 2 ) Δr α ⎥ h fi − [i K f ] h fi+1 − ⎡⎣( i − 1) K f ⎤⎦ h fi−1
⎣
⎦
Q p δ1,i
Ss ⎤
⎡
= ⎢( i − 1 2 ) Δr 2 f ⎥ h fni + ⎣⎡( i − 1 2 ) Δr 2 α ⎦⎤ h mn +i 1 +
2πe
Δt ⎦
⎣
(A.13)
⎡
⎡
2 Ss m
2 ⎤ n +1
2 Ss m ⎤ n
2
n +1
⎢( i − 1 2 ) Δr Δt + ( i − 1 2 ) Δr α ⎥ h mi = ⎢( i − 1 2 ) Δr Δt ⎥ h mi ⎣⎡ + ( i − 1 2 ) Δr α ⎦⎤ h fi
⎣
⎦
⎣
⎦
Discrétisation du double milieu fractal
Les paramètres suivent des lois de puissance :
K f ( r ) = K f 0 r − a ; Ss f ( r ) = Ss f 0 r − b
Ss m ( r ) = Ss m0 r − c ; α ( r ) = α 0 r − d
La moyenne harmonique pour une conductivité hydraulique fractale s’écrit :
(K
f i +1/ 2
H
)
−1
( i +1/ 2 ) Δr
(
1
=
K f 0 ρ− a
Δr ( i −1/∫2) Δr
)
−1
dρ → K f i +1/ 2
H
=
(a + 1)K f 0 Δr − a
(i + 1/ 2)a +1 − (i − 1/ 2)a +1
(A.14)
Si i est grand devant 1/2 ( i ≥ 25 ), le dénominateur de cette équation se simplifie :
( i + 1 2 ) ≈ ia +1 + 1 2 ( a + 1) ia
a +1
( i − 1 2 ) ≈ ia +1 − 1 2 ( a + 1) ia
a +1
a +1
⇒ ( i + 1 2 ) − ( i − 1 2 ) ≈ ( a + 1) i a
a +1
(A.15)
La moyenne harmonique de la conductivité hydraulique intermaille se simplifie et devient la valeur
locale de K f ( r ) à l’interface iΔr entre les mailles i et i+1.
K f i +1/ 2
H
≈ K f 0 (iΔr) − a
(A.16)
La valeur sur chaque maille des paramètres s = Ssf , Ssm et α est calculée par une moyenne
arithmétique.
iΔr
1
si A =
s 0 ρ − λ dρ →
∫
Δr (i −1) Δr
si
A
=
s 0 Δr − λ ( i1− λ − (i − 1)1− λ )
1 −λ
(A.17)
106
Le développement au premier ordre du numérateur permet de simplifier l’expression.
i1−λ = ( i − 1 2 + 1 2 )
1−λ
( i − 1)
1−λ
≈ (i − 1 2)
1−λ
= (i − 1 2 − 1 2)
1−λ
⇒ i1−λ − ( i − 1)
1−λ
+ 1 2 (1 − λ )( i − 1 2 )
≈ (i − 1 2)
≈ (1 − λ )( i − 1 2 )
1−λ
−λ
− 1 2 (1 − λ )( i − 1 2 )
−λ
(A.18)
−λ
Les paramètres moyens prennent alors la valeur locale de s(r) centrée sur la maille i :
si
A
≈ s 0 ( (i − 1/ 2)Δr )
−λ
(A.19)
Les expressions discrétisées du double milieu fractal sont ensuite écrites en introduisant les
expressions simplifiées des paramètres Kf, Ssf, Ssm et α dans l’expression (A.4) :
Ss f 0
⎡
⎤
1− b
2− b
+ ( i1− a + (i − 1)1− a ) Δr − a K f 0 + (i − 1/ 2)1− d Δr 2− d α 0 ⎥ h fni+1 − ⎡i1− a Δr − a K f 0 ⎤ h fni++11
⎢(i − 1/ 2) Δr
⎣
⎦
Δt
⎣⎢
⎦⎥
Ss f 0 ⎤ n
⎡
Q p δ1,i
1− d
2−d
n +1
− ⎡ (i − 1)1− a Δr − a K f 0 ⎤ h fni+−11 = ⎢ (i − 1/ 2)1− b Δr 2 − b
⎥ h f i + ⎡⎣ (i − 1/ 2) Δr α 0 ⎤⎦ h m i +
⎣
⎦
2πe
Δt ⎦⎥
⎣⎢
(A.20)
Ss m 0
Ss m 0 ⎤ n
⎡
⎤
⎡
1− c
2−c
+ (i − 1/ 2)1− d Δr 2 − d α 0 ⎥ h nm+i1 = ⎢(i − 1/ 2)1− c Δr 2 − c
⎢(i − 1/ 2) Δr
⎥ hm
Δt
Δt ⎥⎦ i
⎥⎦
⎢⎣
⎣⎢
+ ⎡⎣(i − 1/ 2)1− d Δr 2 − d α 0 ⎤⎦ h fni+1
107
ANNEXE B : ALGORITHME DE THOMAS POUR LA RESOLUTION DE SYSTEMES MATRICIELS
TRIDIAGONAUX.
Section d'équation (suivante)
La méthode de l’algorithme de Thomas permet de résoudre des systèmes linéaires de la forme
A.X = V avec A matrice tridiagonale.
⎛
⎜
⎜
k →⎜
⎜
⎜
⎜⎜
⎝0
bk
ak
0⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎟ . ⎜ k ⎟ = ⎜ k ⎟ k :1 → n
⎟ ⎜x ⎟ ⎜v ⎟
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ck
(B.1)
Le système est réécrit sous la forme suivante avec une matrice A modifiée (1 sur la diagonale et λk
sur la diagonale supérieure) et un vecteur V modifié ( βk ).
⎛
⎜
⎜
k →⎜
⎜
⎜
⎜0
⎝
1
λk
0⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎟ .⎜ x k ⎟ = ⎜ βk ⎟
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(B.2)
La kième équation de ce système triangulaire s’écrit x k + λ k x k +1 = βk . La résolution de ce système par
récursion est triviale. En partant de l’égalité : x n = βn , on peut ensuite résoudre : x n −1 = βn −1 − λ n −1x n ,
et plus généralement pour i : n − 2 → 1 x i = βi − λ i x i +1 .
Il faut cependant établir l’équivalence entre (B.1) et (B.2) pour chaque équation indexée k.
b k x k −1 + a k x k + c k x k +1 = v k
⇔
x k + λ k x k +1 = β k
(B.3)
La (k-1)ième équation du système triangulaire s’écrit x k −1 = βk −1 − λ k −1x k . En remplaçant xk-1 dans
l’équation de gauche de l’équivalence (B.3), on obtient :
(a
k
− b k λ k −1 ) x k + c k x k +1 = v k − b k βk −1
⇔
x k + λ k x k +1 = β k
(B.4)
L’équivalence entre deux équations ax + by = c ⇔ dx + ey = f est obtenue pour les conditions :
b a = e d et c a = f d . Appliquées au système (B.4), on obtient :
λk =
ck
a − b k λ k −1
k
βk =
v k − b k βk −1
a k − b k λ k −1
(B.5)
Ces coefficients sont calculés de façon récursive car λ k dépend de λ k −1 et βk dépend de βk −1 et λ k −1 .
Les valeurs de λ1 et de β1 sont obtenues par résolution du système (B.3) pour k = 1 ( b k x k −1 = 0 ) :
λ1 = c1 a1 β1 = v1 a1
(B.6)
109
ANNEXE C : DISCRETISATION
DES EQUATIONS DU DOUBLE MILIEU AVEC TERME
HYPERBOLIQUE
Section d'équation (suivante)
Les équations du double milieu avec ajout d’un terme hyperbolique dans le continuum fracture
s’écrivent :
q p ( 0, t )
∂h f (r, t)
=∇ r . ( K f (r).∇ r h f (r, t) ) − u.∇ r h f (r, t) + α(r) ( h m (r, t) − h f (r, t) ) +
∂t
γ
∂h (r, t)
Ss m (r) m
= α(r) ( h f (r, t) − h m (r, t) )
∂t
Ss f (r)
(C.1)
La discrétisation du terme hyperbolique en schéma amont donne :
∫
V
u.∇ r h f ( r, t ) dV = ∫ u h f ( r, t ) dΓ = u i +1 2Si +1 2 h fi − u i −1 2Si −1 2 h fi−1
Γ
Si+1/2 et Si-1/2 correspondent aux surfaces des interfaces entre les mailles i + 1 et i et i et i − 1
respectivement et s’écrivent : Si +1 2 = 2πei Δr, Si −1 2 = 2πe ( i − 1) Δr .
Pour un schéma discret implicite en temps, les équations (C.1) deviennent (voir aussi l’expression
(A.4) de l’annexe A):
Ss fi
⎡
⎤
2
+ i K f i +1 2 + ( i − 1) K f i −1 2 + i Δr u i +1 2 + ( i − 1 2 ) Δr 2α i ⎥ h fni +1 − ⎡⎣i K f i +1 2 ⎤⎦ h in++11
⎢( i − 1 2 ) Δr
Δt
⎣
⎦
Ss f ⎤
Q p δ1,i
⎡
− ⎣⎡( i − 1) K f i −1 2 + ( i − 1) Δr u i −1 2 ⎦⎤ h in−+11 = ⎢( i − 1 2 ) Δr 2 i ⎥ h fni + ⎡⎣( i − 1 2 ) Δr 2 α i ⎤⎦ h nm+i 1 +
2πeγ
Δt ⎦
⎣
Ss mi
⎡
2
+ ( i − 1 2 ) Δr 2 α i
⎢( i − 1 2 ) Δr
t
Δ
⎣
Ss mi
⎤ n +1 ⎡
2
⎥ h m i = ⎢ ( i − 1 2 ) Δr
Δt
⎦
⎣
(C.2)
⎤ n
2
n +1
⎥ h mi + ⎡⎣( i − 1 2 ) Δr α i ⎤⎦ h fi
⎦
Pour exprimer la vitesse u, on peut choisir un modèle qui préserve soit les flux entre les mailles soit la
quantité de mouvement. Un modèle de préservation des flux pose uS = constante avec S la surface des
interfaces entre les mailles. Développé selon un schéma radial convergent, ce modèle dissipe l’énergie.
En effet, avec uS = constante pour une surface S tendant vers l’infini (loin du puits), la vitesse u tend
vers 0, dissipant ainsi l’onde propagée par le terme hyperbolique. Un modèle de préservation de la
quantité de mouvement pose uS V = constante avec V le volume de la maille. Il peut être illustré par
la création d’un tube qui transmet l’énergie d’une maille à l’autre du système. Pour uS V = constante
sur chaque maille on peut réécrire facilement uS V = u 'ST VT avec ST = π rT2 , VT = π rT2 Δr avec rT le
rayon constant d’un "tube" qui traverserait toutes les mailles.
Il est choisi de préserver la quantité de mouvement afin de transmettre l’onde de déplétion créée par le
pompage identiquement dans tout le système fracturé. Le terme uS V = C (constante) est développé
pour une maille i définie par des interfaces Si+1/2 et Si-1/2 et un volume V = πΔr 2 e ( 2i − 1) .
111
C=
u i +1 2 2πei Δr
πΔr e ( 2i − 1)
2
=
u i −1 2 2πe ( i − 1) Δr
πΔr e ( 2i − 1)
2
⇒C=
u i +1 2 i
=
u i −1 2 ( i − 1)
( i − 1 2 ) Δ r ( i − 1 2 ) Δr
(C.3)
Le paramètre effectif rentré dans le modèle est, in fine, la grandeur constante u correspondant dans le
schéma à :
u=
u i +1 2 i
(i − 1 2)
=
u i −1 2 ( i − 1)
(i − 1 2)
⎡⎣ T −1 ⎤⎦ .
(C.4)
En substituant (C.4) dans (C.2), on obtient finalement la forme discrète suivante :
Ss fi
⎡
⎤
2
+ i K f i +1 2 + ( i − 1) K f i −1 2 + ( i − 1 2 ) Δr u + ( i − 1 2 ) Δr 2 α i ⎥ h fni +1 − ⎣⎡i K f i +1 2 ⎦⎤ h fni++11
⎢( i − 1 2 ) Δr
Δt
⎣
⎦
Ss f ⎤
Q p δ1,i
⎡
− ⎡⎣( i − 1) K f i −1 2 + ( i − 1 2 ) Δr u ⎤⎦ h fni−+11 = ⎢( i − 1 2 ) Δr 2 i ⎥ h fni + ⎡⎣( i − 1 2 ) Δr 2 α i ⎤⎦ h nm+i 1 +
2πeγ
Δt ⎦
⎣
Ss mi
Ss mi
⎡
⎡
⎤
2
+ ( i − 1 2 ) Δr 2 α i ⎥ h nm+i 1 = ⎢( i − 1 2 ) Δr 2
⎢( i − 1 2 ) Δr
Δt
Δt
⎣
⎦
⎣
(C.5)
⎤ n
2
n +1
⎥ h mi + ⎡⎣ ( i − 1 2 ) Δr α i ⎤⎦ h fi
⎦
112
ANNEXE D : DEVELOPPEMENTS DE KRAMERS-MOYAL EN ESPACE
Section d'équation (suivante)
Différents développements dits de Kramers-Moyal sont proposés pour passer de l’équation
probabiliste de Chapman-Kolmogorov en espace à une équation déterministe aux dérivées partielles.
Un de ces développements est présenté dans le chapitre II (équations (II.8) à (II.18), utilisant la
fonction caractéristique des densités de probabilités de transition y → x des particules), les autres sont
détaillées dans cette annexe.
Rappelons la forme de l’équation de Chapman-Kolmogorov en espace :
P ( x, t + τ ) = ∫ P ( x ', t ) Ψ ( x, t + τ / x ', t ) dx '
(D.1)
Ω
P ( x, t ) est la probabilité qu’une particule soit en x au temps t. Ψ ( x, t + τ / y, t ) est la probabilité
conditionnelle que la particule effectue une transition de y vers x sur une durée τ sachant qu’elle était
en y à t.
1- Développement de la fonction Kronecker
Partons de l’expression de la probabilité Ψ ( x, t + τ / x ', t ) :
Ψ ( x, t + τ / x ', t ) = ∫ Ψ ( y, t + τ / x ', t ) δ ( y − x ) dy
(D.2)
Ω
La fonction Kronecker
δ( y − x)
( δ ( y − x ) = 0 sauf si x = y ), est réécrite en utilisant un
développement en série de Taylor à partir de la référence δ ( x '− x ) :
n
⎞
∂
1
n⎛
δ ( y − x ) = δ ( x '− x + y − x ') = δ ( x '− x ) + ∑ ( y − x ') ⎜
δ x '− x )
⎟
⎜ ∂ ( x '− x ) ⎟ (
n =1 n!
⎝
⎠
∞
(D.3)
L’équation (D.2) devient :
⎞
∂
1⎛
Ψ ( x, t + τ / x ', t ) = δ ( x '− x ) + ∑ ⎜
⎟⎟
⎜
n =1 n! ⎝ ∂ ( x '− x ) ⎠
∞
n
∫ Ψ ( y, t + τ / x ', t )( y − x ') δ ( x '− x ) dy
n
(D.4)
Ω
En posant M n ( x ', t, τ ) = ∫ Ψ ( y, t + τ / x ', t )( y − x ') dy , moment d’ordre n de la taille des sauts partant
n
Ω
de x’ à t et de durée τ, on réécrit l’équation (D.4) :
n
⎞
∂
1⎛
n
Ψ ( x, t + τ / x ', t ) = δ ( x '− x ) + ∑ ⎜
⎟⎟ ( M ( x ', t, τ ) δ ( x '− x ) )
⎜
∂
−
n!
x
'
x
)⎠
n =1
⎝ (
∞
(D.5)
113
L’expression du terme Ψ ( x, t + τ / x ', t ) en (D.5) est intégrée dans l’équation de ChapmanKolmogorov (D.1) :
n
⎛
⎞
∂
1
n
P ( x, t + τ ) = ∫ P ( x ', t ) δ ( x '− x ) dx '+ ∑ ∫ P ( x ', t ) ⎜
⎟⎟ ( M ( x ', t, τ ) δ ( x '− x ) ) dx '
⎜
∂
−
n!
x
'
x
(
)
n =1
Ω
Ω
⎝
⎠
∞
(D.6)
La dérivée ∂ ∂ ( x '− x ) est simplifiée pour x’ fixé en posant trivialement :
∂
∂
∂x
∂
=
=−
∂ ( x '− x ) ∂x ∂ ( x '− x )
∂x
L’équation (D.6) devient :
∞
P ( x, t + τ ) = P ( x, t ) + ∑
( −1)
n
n
⎛ ∂ ⎞
n
⎜ ⎟ ( M ( x, t, τ ) P ( x, t ) )
n! ⎝ ∂x ⎠
n =1
Si τ est petit, le terme
( P ( x, t + τ ) − P ( x, t ) )
(D.7)
τ est une approximation de la dérivée ∂ ∂t .
L’expression variationnelle de la probabilité de présence des particules en x au temps t devient :
∂P ( x, t )
∂t
∞
=∑
n =1
( −1)
n
n
1 n
⎛ ∂ ⎞
n
n
M ( x, t, τ )
⎜ ⎟ ( D ( x, t ) P ( x, t ) ) avec D = Lim
τ→ 0 τ
n! ⎝ ∂x ⎠
(D.8)
2- Développement direct de la probabilité de transition
Ecrivons le produit P ( x ', t ) Ψ ( x, t + τ / x ', t ) de l’intégrale dans l’équation de Chapman-Kolomogorov
(D.1) en posant Δ = x − x ' la taille des sauts :
P ( x ', t ) Ψ ( x, t + τ / x ', t ) = P ( x − Δ, t ) Ψ ( x − Δ + Δ, t + τ / x − Δ , t )
(D.9)
Par développement de Taylor à partir de la référence P ( x, t ) Ψ ( x + Δ, t + τ / x, t ) , l’expression (D.9)
devient :
P ( x ', t ) Ψ ( x, t + τ / x ', t ) = P ( x, t ) Ψ ( x + Δ, t + τ / x, t )
n
1
∂
n
( −Δ ) ⎛⎜ ⎞⎟ ( P ( x, t ) Ψ ( x + Δ, t + τ / x, t ) )
n!
∂
⎝ x⎠
n =1
∞
+∑
(D.10)
P ( x ', t ) Ψ ( x, t + τ / x ', t ) est remplacée par son expression (D.10) dans l’équation (D.1) :
114
P ( x, t + τ ) = ∫ P ( x, t ) Ψ ( x + Δ, t + τ / x, t ) dx '
Ω
∞
+∑
n =1
( −1)
n
⎛ ∂ ⎞
⎜ ⎟
n! ⎝ ∂x ⎠
n
∫ Δ P ( x, t ) Ψ ( x + Δ, t + τ / x, t ) dx '
(D.11)
n
Ω
Δ = x − x ' , pour un x donné, intégrer sur x’ revient à intégrer sur Δ et l’équation (D.11) s’écrit :
P ( x, t + τ ) = P ( x, t ) ∫ Ψ ( x + Δ, t + τ / x, t ) dΔ
Ω
∞
+∑
n =1
( −1)
n
n
⎞
⎛ ∂ ⎞ ⎛
n
⎜ ⎟ ⎜ P ( x, t ) ∫ Δ Ψ ( x + Δ, t + τ / x, t ) dΔ ⎟
n! ⎝ ∂x ⎠ ⎝
⎠
Ω
(D.12)
On simplifie (D.12) en posant M n ( x, t, τ ) = ∫ Δ n Ψ ( x + Δ, t + τ / x, t ) dΔ , moment d’ordre n de la taille
Ω
des sauts partant de x à t et de durée τ. On retrouve l’équation (D.7) du développement précédent :
∞
P ( x, t + τ ) = P ( x, t ) + ∑
n =1
( −1)
n
n
⎛ ∂ ⎞
n
⎜ ⎟ ( M ( x, t, τ ) P ( x, t ) )
n! ⎝ ∂x ⎠
(D.13)
115
ANNEXE E : DEVELOPPEMENT
GENERAL DE
KRAMERS-MOYAL
DANS LE DOMAINE DES
TEMPS
Section d'équation (suivante)
Par analogie avec l’équation de Chapman-Kolmogorov en espace, on écrit que la probabilité pour une
particule d’arriver en x + χ au temps t est égale à la probabilité d’arriver en x au temps t’ et
d’effectuer une transition x → x + χ de durée t − t ' ( t ' < t ) .
L’équation de Chapman-Kolmogorov en temps devient :
t
P ( t, x + χ ) = ∫ P ( t ', x )Ψ ( t, x + χ / t ', x ) dt '
(E.1)
0
La probabilité de transition Ψ est reformulée selon :
t
Ψ ( t, x + χ / t ', x ) = ∫ Ψ ( t '', x + χ / t ', x ) δ ( t − t '') dt ''
(E.2)
t'
La fonction Delta Dirac en temps δ ( t − t '') est exprimée par développement de Taylor à partir de la
référence δ ( t − t ') :
n
1
∂
n
( t '− t '') ⎛⎜ ⎞⎟ δ ( t − t ')
n!
∂
⎝ t⎠
n =1
∞
δ ( t − t '') = δ ( t − t '+ t '− t '') = δ ( t − t ') + ∑
(E.3)
En substituant δ ( t − t '') par son expression (E.3) dans l’équation (E.2), on obtient :
t
Ψ ( t, x + χ / t ', x ) = ∫ Ψ ( t '', x + χ / t ', x ) δ ( t − t ') dt ''
t'
1⎛∂⎞
+∑ ⎜ ⎟
n =1 n! ⎝ ∂t ⎠
∞
(E.4)
n t
∫ Ψ ( t '', x + χ / t ', x )( t '− t '') δ ( t − t ') dt ''
n
t'
Pour préserver le sens physique de Ψ ( t '', x + χ / t ', x ) , il importe que t '' ≥ t ' . Dans les intégrales de
(E.4), le terme ( t '− t '') est donc négatif et ( t '− t '') sera positif pour n pair, négatif pour n impair. On
n
réécrit l’équation (E.4) :
∞
Ψ ( t, x + χ / t ', x ) = δ ( t − t ') + ∑
n =1
( −1)
n
n
⎛∂⎞
n
⎜ ⎟ ( M t ( t ', x, χ ) δ ( t − t ') )
n! ⎝ ∂t ⎠
t
(E.5)
avec M nt ( t ', x, χ ) = ∫ Ψ ( t '', x + χ / t ', x )( t ''− t ') dt ''
n
t'
M nt ( t ', x,χ ) correspond au moment d’ordre n de la durée des sauts ( t ''− t ') entre x et x + χ sachant
que les particules sont parties de x au temps t’.
117
Ψ ( t, x + χ / t ', x ) est remplacée par son expression (E.5) dans l’équation de Chapman-Kolmogorov
(E.1) :
t
∞
0
n =1
P ( t, x + χ ) = ∫ P ( t ', x ) δ ( t − t ') dt '+ ∑
En simplifiant ( δ (
)
( −1)
n t
n
⎛∂⎞
n
⎜ ⎟ ( M t ( t ', x, χ ) P ( t ', x ) δ ( t − t ') ) dt '
∫
n! 0 ⎝ ∂t ⎠
(E.6)
est une fonction neutre pour l’intégration), on obtient :
∞
P ( t, x + χ ) = P ( t, x ) + ∑
( −1)
n
n
⎛∂⎞
n
⎜ ⎟ ( M t ( t, x, χ ) P ( t, x ) )
n! ⎝ ∂t ⎠
n =1
Si χ est petit, le terme
( P ( x + χ, t ) − P ( x, t ) )
(E.7)
χ est une approximation de la dérivée ∂ ∂x .
L’expression variationnelle de la probabilité de présence des particules en x au temps t devient :
∂P ( t, x )
∂x
∞
=∑
n =1
( −1)
n
n
⎛∂⎞
n
⎜ ⎟ ( D t ( t, x ) P ( t, x ) )
n! ⎝ ∂t ⎠
(E.8)
1
avec D nt = Lim M nt ( t, x, χ )
χ→ 0 χ
118
ANNEXE F : EQUATION DU TELEGRAPHE
Section d'équation (suivante)
Afin d’évaluer complètement les effets de dispersion engendrés par une cinétique linéaire
d’adsorption, cette dernière est couplée à un déplacement advectif des particules dans la phase fluide
puis l’étalement des particules autour de leur position moyenne est analysé. Rappelons que la
cinétique de sorption phase fluide (f) - phase solide (i) s’écrit :
∂N f
∂N
= − i = −λN f + μN i
∂t
∂t
(F.1)
où Nα exprime un nombre de particules dans la phase α, et λ et μ [T-1] sont les vitesses apparentes de
réaction. Rappelons également (voir Chapitre II) que la cinétique (F.1) induit un temps moyen passé
dans la phase libre t f = 1 λ et un temps moyen passé en phase immobile t i = 1 μ . Si on admet que
dans un problème de transport, le temps de transfert des particules est t f , la cinétique engendre un
retard moyen, conséquence du temps effectif de séjour des particules t f + t i . Pour un transport
advectif à la vitesse u, la cinétique impose une vitesse effective moyenne u ∗ :
u∗ =
t + ti
u
λ+μ
; R= f
=
R
tf
μ
(F.2)
Analysons maintenant la dispersion induite par (F.1). Fondamentalement, la méthode d’analyse est
comparable à celle développée par [Taylor, 1953], à savoir écrire une équation d’Euler-Lagrange du
déplacement éliminant le déplacement moyen pour n’obtenir que les fluctuations. Il suffit d’écrire une
équation Eulérienne pour un référentiel spatial qui se déplace à la vitesse moyenne des particules, soit
u R dans ce cas. De fait, si la référence x r au temps t est du type x r = ut R , par comparaison au
référentiel fixe x, la position relative des particules est indexée par x = x − ut R . Pour un ensemble Nf
de particules dans la phase fluide et se propageant à la vitesse u, la vitesse relative par rapport au
référentiel x r est u f = u − u R . On peut écrire une équation de transport advectif + cinétique pour Nf
de la forme :
∂N f
∂N f
+ uf
= −λN f + μN i
∂t
∂x
(F.3)
Pour l’ensemble des particules Ni dans la phase immobile et par conséquent à vitesse nulle, la vitesse
relative par rapport à x r est négative et notée − u i = − u R . L’équation de transport s’écrira :
∂N i
∂N i
− ui
= −μN i + λN f
∂t
∂x
(F.4)
Notons m la "masse" totale N f + N i et w la différence N f − N i . On effectue alors le changement de
variables suivant :
Nf =
m+w
m−w
, Ni =
2
2
(F.5)
119
En additionnant (F.3) et (F.4) et en appliquant le changement de variables en (F.5), on obtient :
(F.3) + (F.4) ⇒
∂m u f ∂ ( m + w ) u i ∂ ( m − w )
∂m u f − u i ∂m u f + u i ∂w
+
−
=0 ⇔
+
+
=0
2
2
2 ∂x
2 ∂x
∂t
∂t
∂x
∂x
(F.6)
De même en soustrayant (F.4) à (F.3), on écrit :
∂w u f ∂ ( m + w ) u i ∂ ( m − w )
⎛ ⎛m−w⎞
⎛ m + w ⎞⎞
+
+
= 2⎜ μ ⎜
⎟ − λ⎜
⎟⎟
∂t
2
2
∂x
∂x
⎝ 2 ⎠⎠
⎝ ⎝ 2 ⎠
∂w u f + u i ∂m u f − u i ∂w
⇔
+
+
= − (λ − μ) m − (λ + μ) w
∂t
2 ∂x
2 ∂x
(F.3) − (F.4) ⇒
(F.7)
Notons que les manipulations précédentes sont une astuce algébrique permettant de maintenir deux
équations maîtresses (pour deux inconnues), l’une spécifiquement pour m (F.6) et l’autre pour w (F.7).
Ces équations sont simplifiées en posant :
uf + ui u − u
=
2
uf − ui u − u
=
2
R+u R u
=
2
2
R−u R u u u
uμ
u ⎛ λ −μ ⎞
= − = −
= ⎜
⎟
2
2 R 2 λ+μ 2⎝λ+μ⎠
(F.8)
On obtient alors deux équations différentielles pour m et w :
∂m ⎛ λ − μ ⎞ u ∂m u ∂w
+⎜
+
=0
⎟
∂t ⎝ λ + μ ⎠ 2 ∂ x 2 ∂ x
(F.9)
∂w u ∂m ⎛ λ − μ ⎞ u ∂w
+
+⎜
= − (λ − μ) m − (λ + μ) w
⎟
∂t 2 ∂ x ⎝ λ + μ ⎠ 2 ∂ x
(F.10)
Contrairement à w, la variable m a un sens physique puisqu’elle représente le nombre total de
particules présentes dans le système. Le terme ∂w ∂ x de l’équation (F.9) qui représente un terme de
type "puits-source" pour l’équation d’advection en m peut être éliminé. Pour cela, on extrait ∂w ∂ x
en exprimant la valeur de w du membre de droite de (F.10) et en dérivant l’expression obtenue par
rapport à x .
∂w
λ − μ ∂m
1 ∂2w
1 u ∂2m
λ − μ u ∂2w
=−
−
−
−
λ + μ ∂ x λ + μ ∂t∂ x λ + μ 2 ∂ x 2 ( λ + μ )2 2 ∂ x 2
∂x
(F.11)
∂w ∂ x est introduit dans (F.9), ce qui donne après simplifications :
∂m
λ − μ u2 ∂2w
1 u2 ∂2m
1 u ∂2w
−
−
−
=0
∂t λ + μ 4 ∂ x 2 ( λ + μ )2 4 ∂ x 2 λ + μ 2 ∂t∂ x
(F.12)
120
Remplaçons maintenant le terme ∂ 2 w ∂t∂ x de (F.12) en extrayant ∂w ∂ x de (F.9) et en dérivant par
rapport à t :
u ∂2 w
∂2m λ − μ u ∂2m
=− 2 −
∂t
λ + μ 2 ∂t∂ x
2 ∂t∂ x
(F.13)
L’équation (F.12) devient :
∂m
λ − μ u2 ∂2w
λ − μ u ∂2m
1 u2 ∂2m
1 ∂2m
−
−
+
+
=0
∂t λ + μ 4 ∂ x 2 ( λ + μ )2 4 ∂ x 2 λ + μ ∂t 2 ( λ + μ )2 2 ∂t∂ x
(F.14)
2
Le terme ∂ 2 w ∂ x de (F.14) est calculé en extrayant le terme ∂w ∂ x de (F.9) et en dérivant par
rapport à x :
∂2m λ − μ u ∂2m
u ∂2 w
=
−
−
2
2 ∂x2
∂t∂ x λ + μ 2 ∂ x
(F.15)
Finalement l’équation (F.14) uniquement exprimée en fonction de m devient :
2
∂m
λμ
λ −μ
∂2m
1 ∂2m
2 ∂ m
=
−
−
u
u
2
∂t ( λ + μ )3
λ + μ ∂t 2 ( λ + μ )2 ∂t∂ x
∂x
(F.16)
Cette équation traduit le déplacement de la masse totale des particules autour de leur cheminement
moyen à la vitesse u R . Elle a une forme typique d’équation dite du "Télégraphe" avec :
2
∂2
2 ∂
−
c
= A (c, célérité de l’onde),
2
∂t 2
∂x
-
une propagation d’onde :
-
l’amortissement de cette propagation d’onde :
terme croisé en
∂
= A , avec, dans le cas présent, l’ajout d’un
∂t
∂⎛ ∂ ⎞
⎜ ⎟.
∂t ⎝ ∂ x ⎠
Il s’agit bien évidemment d’une équation macroscopique qui n’a de sens que pour des temps de séjour
des particules relativement longs. On peut d’ailleurs montrer qu’en établissant cette équation autour
d’une référence x r = ut R , il faut que le retard R soit effectif et par conséquent que les temps moyens
tf
et t i
soient établis (correctement échantillonnés par les ensembles de particules Nf et Ni).
L’équation (F.16) est donc une expression pré-asymptotique du régime de dispersion engendré par la
cinétique. En supposant qu’aux temps longs, les termes ∂ 2 ∂t 2 et ∂ 2 ∂t∂ x deviennent négligeables
2
devant ∂ ∂t et ∂ 2 ∂ x , l’équation (F.16) devient :
2
∂m
λμ
2 ∂ m
≈
u
2
∂t ( λ + μ )3
∂x
(F.17)
121
Cette expression est une équation de diffusion autour de x r = ut R . Elle révèle une dispersion
asymptotique engendrée par la cinétique de la forme :
DK =
λμ
(λ + μ)
3
u2
⎡⎣ L2 T −1 ⎤⎦
(F.18)
Dans le cas où les cinétiques sont lentes avec par conséquent une validité "douteuse" de (F.16), on
peut se demander quelle forme aurait la dispersion transitoire D K ( t ) . Pour cela, il faut envisager une
autre méthode de calcul basée sur l’intégration de la covariance des vitesses Lagrangiennes des
particules.
Si une particule déplacée dans un champ échantillonne une vitesse u i ( t ) au temps t selon la direction
i ( i = x, y, z ) , on suppose que cette vitesse se décompose en u ( t ) = u + ui ( t ) : moyenne
i
stationnaire et perturbation, respectivement. En notant
perturbations de vitesse
u ij ( τ )
i
i
la covariance stationnaire des
u ij ( τ ) = uii ( τ ) uij ( 0 ) = uii ( t + τ ) uij ( t ) , on peut établir deux types de
dispersion dites "sécante" et "tangente" :
t t
1
D = ∫ ∫ u i ( τ ) u j ( τ ') dτdτ '
2t 0 0
s
ij
(F.19)
t t
1 ∂
D =
u i ( τ ) u j ( τ ') dτdτ '
2 ∂t ∫0 ∫0
t
ij
En utilisant l’algorithme de Cauchy et l’intégration de Liebniz, on obtient :
t
Dsij =
1
( t − τ ) u ij ( τ ) dτ
t ∫0
(F.20)
t
Dijt = ∫ u ij ( τ ) dτ
0
Dans un problème 1D, la matrice de covariance des vitesses des particules dans un régime advectif +
cinétique se réduit au terme u xx ( t ) = u x ( t ) u x ( 0 ) . La prise de moyenne s’effectue sur l’ensemble
des particules sachant qu’elles n’ont que deux états de vitesse u x ( t ) = u − u * pour une particule dans f
à t, u x ( t ) = − u * pour une particule dans i à t. Entre 0 et le temps t, chaque particule ne peut subir que
quatre types de transitions pour lesquelles les probabilités (équations (II.63)) et les perturbations de
vitesse d’un état à l’autre sont connues. Le calcul de u xx ( t ) donne :
(
)
( t ) ( ( −u )( u − u ) ) + N
(
u xx ( t ) = N f Pf →f ( t ) ( u − u * )( u − u * ) + N f Pf →i ( t ) ( u − u * )( − u * )
+ N i Pi →f
*
*
i
(
Pi →i ( t ) ( − u * )( − u * )
)
)
(F.21)
122
u xx ( t )
Chaque terme de
dans (F.21) a la même signification : sur un ensemble de particules
N f + N i , ils correspondent à la probabilité Pλ , γ ( t ) d’être dans la phase λ à 0 et dans phase γ à t
multipliée par le produit de la perturbation de vitesse dans la phase λ en 0 et la perturbation de vitesse
dans la phase γ en t. Notons que la probabilité Pλ , γ ( t ) est calculée à partir de la probabilité
conditionnelle Pλ→γ ( t ) selon la forme classique P ( A, B ) = P ( A / B ) P ( B ) , avec par exemple
Pf ,f ( t ) = Pf →f ( t ) N f .
En remplaçant les probabilités de transition par leurs expressions (équations (II.63)) et en exprimant
N f , N i , u * (voir équations (II.64)et (F.2)), on obtient :
u xx ( t ) =
λμu 2
(λ + μ)
2
exp ( − ( λ + μ ) t )
(F.22)
On en déduit l’expression tangente de la dispersion :
Dt ( t ) =
t
λμu 2
(λ + μ)
2
∫ exp ( − ( λ + μ ) τ ) dτ =
0
λμu 2
(λ + μ)
3
(1 − exp ( − ( λ + μ ) τ ) )
(F.23)
Pour des temps longs t 1 ( λ + μ ) , l’expression (F.23) tend vers la forme asymptotique
λμu 2
(λ + μ)
3
trouvée grâce à l’équation du Télégraphe (F.18).
L’expression sécante de la dispersion s’écrit :
Ds ( t ) =
t
⎛ t
⎞
t
exp
−
λ
+
μ
τ
d
τ
−
τ exp ( − ( λ + μ ) τ ) dτ ⎟
(
)
(
)
2 ⎜ ∫
∫
(λ + μ) t ⎝ 0
0
⎠
λμu 2
(F.24)
Le premier terme est conforme à la définition tangente de la dispersion (F.23). Le second terme se
développe en fonction Г après changement de variable τ ' = ( λ + μ ) τ pour obtenir finalement :
Ds ( t ) =
λμu 2
(λ + μ)
3
(1 − exp ( − ( λ + μ ) t ) ) −
λμu 2
(λ + μ)
4
t
Γ ( 2, ( λ + μ ) t )
(F.25)
u
avec Γ ( a, u ) = ∫ χ a −1 exp ( −χ ) dχ
0
Pour des temps longs, Γ ( 2, ∞ ) → 1 , λμu 2
(λ + μ)
4
t et exp ( − ( λ + μ ) t ) deviennent négligeables et
les deux définitions de la dispersion tendent vers la même valeur asymptotique λμu 2
(λ + μ)
3
.
123
ANNEXE G : DEVELOPPEMENT DES EQUATIONS DE LANGEVIN
Section d'équation (suivante)
Les équations de Langevin établissent la conservation de la quantité de mouvement d’une particule
placée dans le champ de vitesses u du fluide qui la transporte, soumise à un champ de forces externes
F et à une accélération brownienne A. Pour des raisons de simplicité dans les notations, aucune
référence spatiale n’est utilisée. Les équations s’écrivent :
dv ( t )
dt
dx ( t )
dt
avec :
= −β ( v ( t ) − u ( t ) ) +
F( t )
m
+ A(t)
(G.1)
= v(t)
v ( t ) : vitesse de la particule [LT-1]
u ( t ) : vitesse du fluide [LT-1]
F ( t ) : forces externes [MLT-2]
A ( t ) : accélération brownienne [LT-2]
x ( t ) : position de la particule [L]
t : variable de temps
m : masse de la particule [M]
β : coefficient de friction [T-1].
Le coefficient de friction est défini par la relation : β = 6πμrp m avec μ la viscosité dynamique du
fluide [ML-1T-1] et rp le rayon de la particule [L].
Typiquement le terme dv ( t ) dt de l’équation (G.1) est la manifestation d’effets inertiels. En d’autres
termes, la vitesse de la particule n’est pas instantanément modifiée par les "contraintes" externes et
passe par des accélérations / freinages successifs. Les forces de frottement exercées par le fluide sur la
particule sont supposées suivre la loi de Stokes, à savoir, être proportionnelles à la vitesse relative
entre le fluide et la particule. En contexte Lagrangien, les équations locales (G.1) sont difficiles à
résoudre hormis à accepter l’hypothèse que u et F soient constants sur un petit pas de temps 0 → t . Un
algorithme Lagrangien peut alors être développé en intégrant sur 0 → t vitesse et trajectoire de la
particule.
Une solution de l’équation (G.1) s’écrit sous la forme :
v ( t ) = K ( t ) exp ( −β t )
(G.2)
En remplaçant v(t) par son expression dans l’équation (G.1), on obtient :
dK ( t )
dt
exp ( −β t ) = β u ( t ) +
F( t )
m
+ A(t)
(G.3)
125
Soit, en intégrant sur 0 → t :
t
F ( τ)
⎛
⎞
K ( t ) − K ( 0 ) = ∫ ⎜ βu ( τ ) +
+ A ( τ ) ⎟ exp ( βτ ) dτ
m
⎠
0⎝
(G.4)
A partir de (G.2) pour t = 0 , on extrait K ( 0 ) = v 0 .
Si K(t) est remplacé par son expression dans (G.2), alors :
t
F ( τ)
⎛
⎞
v ( t ) = v0 exp ( −βt ) + exp ( −β t ) ∫ ⎜ β u ( τ ) +
+ A ( τ ) ⎟ exp (βτ ) dτ
m
⎠
0⎝
(G.5)
Si l’intervalle 0 → t est suffisamment petit pour que u et F soient constants, on peut réécrire :
t
t
⎡⎛
⎤
F ⎞
v ( t ) = v 0 exp ( −βt ) + exp ( −β t ) ⎢⎜ u 0 + 0 ⎟ exp ( βτ ) ⎥ + exp ( −β t ) ∫ A ( τ ) exp (βτ ) dτ
βm ⎠
⎣⎝
⎦0
0
(G.6)
L’expression de la vitesse de la particule devient :
⎛
F ⎞
v ( t ) = v 0 exp ( −βt ) + ⎜ u 0 + 0 ⎟ (1 − exp ( −β t ) ) + R1 ( t )
βm ⎠
⎝
(G.7)
t
avec R1 ( t ) = ∫ A ( τ ) exp ( −β ( t − τ ) ) dτ
(G.8)
0
t
En intégrant la vitesse, on établit l’expression de la trajectoire de la particule : x ( t ) = x 0 + ∫ v ( τ ) dτ
0
avec x0 la position initiale de la particule :
x ( t ) = x0 +
v0
F ⎞⎛ 1
⎛
⎞
1 − exp ( −β t ) ) + ⎜ u 0 + 0 ⎟⎜ t + ( exp ( −β t ) − 1) ⎟ + R 2 ( t )
(
β
β m ⎠⎝ β
⎝
⎠
t
(G.9)
R 2 ( t ) = ∫ R1 ( τ ) dτ
0
Le terme aléatoire R2(t) peut s’écrire sous la forme :
t τ
t
R 2 ( t ) = ∫ ∫ A ( τ ') exp ( −β ( τ − τ ') ) dτ 'dτ = ∫ exp ( −βτ ) G ( τ ) dτ
0 0
0
τ
(G.10)
avec G ( τ ) = ∫ exp ( βτ ') A ( τ ') dτ '
0
On développe en intégrant par parties :
126
t
t
⎡ 1
⎤
1
R 2 ( t ) = ⎢ − exp ( −βτ ) G ( τ ) ⎥ − ∫ − exp ( −βτ ) G ' ( τ ) dτ
⎣ β
⎦0 0 β
t
1
1
1
= − exp ( −β t ) G ( t ) + G ( 0 ) + ∫ exp ( −βτ ) A ( τ ) exp ( βτ ) dτ
β
β
β0
(G.11)
L’expression (G.11) est simplifiée en substituant G(t) par son expression en (G.10) et en posant
G ( 0) = 0 :
t
t
1
1
R 2 ( t ) = − exp ( −β t ) ∫ A ( τ ) exp ( βτ ) dτ + ∫ A ( τ ) dτ
β
β0
0
(G.12)
Finalement, le terme aléatoire de la trajectoire s’écrit :
R2 (t) =
t
1
A ( τ ) 1 − exp ( −β ( t − τ ) ) dτ
β ∫0
(
)
(G.13)
D’après les travaux de [Einstein, 1905], l’accélération brownienne A(t) est un vecteur de composantes
indépendantes A i ( t ) ( i = x, y, z ) qui obéissent à des distributions gaussiennes ayant les propriétés
suivantes :
Ai ( t ) = 0
(G.14)
A i ( t ) A j ( τ ) = 2qδ ( i − j) δ ( t − τ )
avec
δ ( t ) la fonction Delta Dirac ( δ ( 0 ) = 1, δ ( t ≠ 0 ) = 0 )
δ ( i − j) le Kronecker ( δ ( i − j) = 0 si i ≠ j δ ( i − j) = 1 si i = j )
βkT
m
k la constante de Boltzmann [ML2T-2K-1]
T la température absolue [K].
q=
A partir des propriétés de l’accélération brownienne A(t), [Chandrasekhar, 1943] a montré que les
vecteurs R1(t) et R2(t) étaient corrélés et obéissaient à des distributions multigaussiennes :
Pdf ( R ) =
1
(
( 2π ) det C
n
)
1
2
⎛ 1
exp ⎜ − ( R − R
⎝ 2
C : matrice de covariance C =
(R −
)
T
⎞
.C −1 .( R − R ) ⎟
⎠
R ).( R − R
)
T
(G.15)
de dimension n x n (ici n=3 (x,y,z)).
La densité de probabilité jointe de R1 et R2 s’écrit :
127
Pdf ( R1 , R 2 ) =
1
( ( 2π )
2n
det C
'
)
1
2
−1
⎛ 1
⎞
exp ⎜ − W T .C' .W ⎟
⎝ 2
⎠
(G.16)
W : vecteur W = ( R 11 ,… , R 1n , R 12 ,… , R 2n ) et C’: matrice de covariance C' =
T
(W −
W ) .( W − W
)
T
de dimension 2n x 2n.
⎛ RR
La matrice de covariance C’ est de la forme : C' = ⎜ 1 1
⎝ R 2 R1
R 1R 2 ⎞ ⎛ F H ⎞
⎟=⎜
⎟
R 2R 2 ⎠ ⎝ H G ⎠
Moyenne et covariance des termes aléatoires :
A partir des propriétés de l’accélération brownienne A(t) définies en (G.14), la moyenne des termes
aléatoires s’écrit :
R1 ( t ) = 0
(G.17)
R2 (t) = 0
On développe chacun des termes de covariance :
R1i ( t ) R1 j ( t ) =
t
t
∫ A ( τ ) exp ( −β ( t − τ ) ) dτ∫ A ( τ ') exp ( −β ( t − τ ') ) dτ '
i
j
0
0
t t
(G.18)
= ∫ ∫ exp ( −β ( t − τ ) ) exp ( −β ( t − τ ') ) Ai ( τ ) A j ( τ ') dτdτ '
0 0
En développant :
t t
∫ ∫ exp ( −β ( t − τ ) ) exp ( −β ( t − τ ') )
A i ( τ ) A j ( τ ') dτdτ '
0 0
t t
= 2qδ ( i − j) ∫ ∫ exp ( −β ( t − τ ) ) exp ( −β ( t − τ ') ) δ ( τ − τ ') dτdτ '
0 0
Avec δ ( τ − τ ') = 0 si τ − τ ' = 0 , l’intégrale double se simplifie pour obtenir finalement :
t
R1i ( t ) R1 j ( t ) = 2qδ ( i − j) ∫ exp ( −2β ( t − τ ) ) dτ
0
kT
=
δ ( i − j) (1 − exp ( −2βt ) )
m
(G.19)
128
t
=
t
1
1
A i ( τ ) ⎡⎣1 − exp ( −β ( t − τ ) ) ⎤⎦ dτ ∫ A j ( τ ') ⎡⎣1 − exp ( −β ( t − τ ') ) ⎤⎦ dτ '
∫
β0
β0
R 2i ( t ) R 2 j ( t ) =
1
β2
t t
∫∫
0 0
A i ( τ ) A j ( τ ') ⎡⎣1 − exp ( −β ( t − τ ') ) − exp ( −β ( t − τ ) )
+ exp ( −β ( t − τ ) ) exp ( −β ( t − τ ') ) ⎤⎦ dτdτ '
(G.20)
t
2q
= 2 δ ( i − j) ∫ 1 − 2exp ( −β ( t − τ ) ) + exp ( −2β ( t − τ ) ) dτ
β
0
=
kT
δ ( i − j) ⎡⎣ 2β t − 3 + 4exp ( −β t ) − exp ( −2β t )⎤⎦
β2 m
R1i ( t ) R 2 j ( t ) =
t
∫ Ai ( τ ) exp ( −β ( t − τ ) ) dτ
0
t
1
A j ( τ ') ⎡⎣1 − exp ( −β ( t − τ ') ) ⎤⎦ dτ '
β ∫0
t t
=
1
A i ( τ ) A j ( τ ') ⎡⎣exp ( −β ( t − τ ) ) − exp ( −β ( t − τ ) ) exp ( −β ( t − τ ') ) ⎤⎦ dτdτ '
β ∫0 ∫0
t
(G.21)
2q
=
δ ( i − j) ∫ exp ( −β ( t − τ ) ) − exp ( −2β ( t − τ ) ) dτ
β
0
=
2
kT
δ ( i − j) ⎡⎣1 − exp ( −β t ) ⎤⎦
βm
Les résultats en (G.18) et (G.20) montrent que les matrices C pour R1 et R2 sont diagonales. Par
exemple pour R1, la diagonale de C est remplie du terme f = kT (1 − exp ( −2β t ) ) m sur chaque ligne.
Le déterminant vaut f 3 et la matrice inverse est elle même diagonale avec 1/f sur chaque ligne.
Comme R 1 = 0 , on trouve aisément la densité de probabilité à partir de (G.15) :
⎛
R 12i
∑
1
Pdf ( R1 ) =
exp ⎜⎜ − i
32
( 2π f )
⎜ 2 f
⎝
⎞
kT
⎟
⎟ ; f = m (1 − exp ( −2β t ) )
⎟
⎠
1
(G.22)
En reprenant le même raisonnement, la densité de probabilité de R2 s’obtient en substituant f par g :
⎛
R 22i
1∑
⎜
Pdf ( R 2 ) =
exp ⎜ − i
32
( 2π g )
⎜ 2 g
⎝
1
⎞
⎟ ; g = kT 2βt − 3 + 4exp −βt − exp −2β t
( )
(
))
(
⎟
β2 m
⎟
⎠
(G.23)
⎛ F H⎞
La densité de probabilité jointe de W = R 1 , R 2 est régie par une covariance C' = ⎜
⎟.
⎝H G⎠
Selon (G.18) à (G.21) chaque sous matrice F, G et H est diagonale de taille 3 x 3 portant les termes
respectifs f, g (cf. équations (G.22) et (G.23)) et h = kT (1 − exp ( −βt ) ) β m . On établit facilement que
2
le déterminant de C’ vaut ( fg − h 2 ) et que la matrice inverse C’-1 s’écrit :
3
129
C'−1 =
1 ⎛ G −H ⎞
⎜
⎟
det C' ⎝ − H F ⎠
Tous calculs faits, on obtient finalement la densité de probabilité jointe de W = ( R 1 , R 2 ) :
Pdf ( R1 , R 2 ) =
1
8π3 ( fg − h 2 )
3
2
⎛
⎛
2
2
⎜
⎜ g ∑ R 1i − 2h ∑ R 1i R 2i + f ∑ R 2i
1
⎝
i
i
i
exp ⎜ −
⎜ 2
fg − h 2
⎜
⎝
⎞⎞
⎟⎟
⎠⎟
⎟
⎟
⎠
(G.24)
130
ANNEXE H : CALCUL
DE LANGEVIN
DE LA DISPERSION LIEE AUX DIFFERENTS TERMES DES EQUATIONS
Section d'équation (suivante)
1- Dispersion liée aux termes inertiels et browniens
La vitesse des particules browniennes peut s’écrire comme la somme d’une vitesse moyenne et d’une
fluctuation de vitesse : v ( t ) = v ( t ) + v ( t ) . La position des particules est alors : x ( t ) = x ( t ) + x ( t ) .
t
La moyenne des déplacements est donnée par x ( t ) = ∫ v ( τ ) dτ .
0
La covariance centrée des déplacements est :
σ 2x ij ( t ) =
(x (t) −
i
)(
xi ( t ) . x j ( t ) − x j ( t )
)
t t
= x i ( t ) x j ( t ) = ∫ ∫ vi ( τ ) v j ( τ ') dτdτ '
(H.1)
0 0
Pour obtenir la covariance des déplacements, il faut disposer de la covariance des fluctuations de
F ⎞
⎛
vitesse entre t1 et t2 calculée à partir de v ( t ) = v0 exp ( −βt ) + ⎜ u 0 + 0 ⎟ (1 − exp ( −β t ) ) + R1 ( t ) . On
βm ⎠
⎝
écrit :
⎛
F ⎞
vi ( t1 ) v j ( t 2 ) = v 02 exp ( −β ( t1 + t 2 ) ) + ⎜ u 0 + 0 ⎟ (1 − exp ( −β t1 ) ) (1 − exp ( −β t 2 ) )
βm ⎠
⎝
(H.2)
+ R1i ( t1 ) R 1 j ( t 2 )
Soit une covariance des fluctuations de vitesse s’écrivant par identification :
t1 t 2
vi ( t1 ) v j ( t 2 ) = R 1i ( t1 ) R1 j ( t 2 ) = ∫ ∫ exp ( −β ( t1 − τ ) ) exp ( −β ( t 2 − τ ') ) A i ( τ ) A j ( τ ') dτdτ '
(H.3)
0 0
Pour τ ≠ τ ' , les termes intégraux de (H.3) sont nuls car
A i ( τ ) A j ( τ ') = 2qδ ( i − j) δ ( τ − τ ') . On
obtient :
v i ( t1 ) v j ( t 2 ) =
min ( t1 ,t 2 )
∫
2qδ ( i − j) exp ( −β ( t1 + t 2 − 2τ ) ) dτ
0
( (
kT
=
δ ( i − j) exp −β ( t1 + t 2 − 2 min ( t1 , t 2 ) ) − exp ( −β ( t1 + t 2 ) )
m
)
)
(H.4)
L’équation (H.4) se simplifie en posant : t1 + t 2 − 2 min ( t1 , t 2 ) = t1 − t 2 :
v i ( t1 ) v j ( t 2 ) =
kT
δ ( i − j) ⎡⎣exp ( −β t1 − t 2 ) − exp ( −β ( t1 + t 2 ) ) ⎤⎦
m
(H.5)
131
En substituant (H.5) dans (H.1) :
σ2x ij ( t ) =
t t
⎛t t
⎞
kT
δ ( i − j) ⎜ ∫ ∫ exp ( −β τ − τ ' ) dτdτ '− ∫ ∫ exp ( −β ( τ + τ ') ) dτdτ ' ⎟
m
0 0
⎝0 0
⎠
(H.6)
Développons séparément les deux doubles intégrales de (H.6):
t
⎛⎡ 1
⎤ ⎞
⎜
exp
'
d
d
'
exp
d
exp
'
d
'
exp
−β
τ
+
τ
τ
τ
=
−βτ
τ
−βτ
τ
=
−
−βτ
(
)
(
)
(
)
(
)
)
⎥ ⎟⎟
∫0 ∫0 (
∫0
∫0
⎜ ⎢⎣ β
⎦0 ⎠
⎝
2
1
= 2 (1 − exp ( −βt ) )
β
t t
t
t
2
t τ
t
⎛
⎞
−β
τ
−
τ
τ
τ
=
−β
τ
−
τ
τ
+
exp
'
d
d
'
exp
'
d
'
)
∫0 ∫0 (
∫0 ⎜⎝ ∫0 ( ( ) ) ∫τ exp ( −β ( τ '− τ ) ) dτ ' ⎟⎠dτ
τ
t
t ⎛
⎡1
⎤ ⎡ 1
⎤ ⎞
= ∫ ⎜ ⎢ exp ( −β ( τ − τ ') ) ⎥ + ⎢ − exp ( −β ( τ '− τ ) ) ⎥ ⎟ dτ
⎜ β
⎦0 ⎣ β
⎦ τ ⎟⎠
0⎝⎣
(H.7)
t t
t
=
1
2 − exp ( −βτ ) − exp ( −β ( t − τ ) ) dτ
β ∫0
=
2t 2
− (1 − exp ( −βt ) )
β β2
(
(H.8)
)
La covariance des déplacements est alors ré-écrite :
⎛ ⎛ 1 − exp ( −β t ) ⎞ 2 2t 2
⎞
kT
⎟
σ (t) =
δ ( i − j) ⎜ − ⎜
+
−
−
−β
1
exp
t
(
)
(
)
⎟
⎜ ⎝
⎟
β
β β2
m
⎠
⎝
⎠
2
x ij
2
⎛ kT
⎞
⎛ 1 − exp ( −β t ) ⎞ 2kT
2kT
⎜
=
δ ( i − j) t −
δ ( i − j) ⎜
⎟ + 2 δ ( i − j) (1 − exp ( −β t ) ) ⎟
⎜m
⎟
βm
β
⎝
⎠ βm
⎝
⎠
(H.9)
On peut vérifier que cette expression est conforme à celle en (G.20) obtenue par calcul direct de la
2
1 σ xij ( t )
covariance des trajectoires des particules. Pour une définition sécante D x ij ( t ) =
on obtient :
2 t
D x ij ( t ) =
2
⎛ kT
⎞
kT
1
kT
δ ( i − j) − δ ( i − j) ⎜
1 − exp ( −β t ) ) +
1 − exp ( −β t ) ) ⎟
(
(
βm
βt
βm
⎝ 2β m
⎠
(H.10)
En admettant que la vitesse du fluide u(t) et les forces externes F(t) échantillonnées par les particules
restent constantes sur un temps suffisamment long (voir annexe G), lorsque t est tel que β t 1 ,
l’expression de la dispersion tend vers le coefficient de diffusion de Stokes-Einstein :
D x ij ≈
kT
kT
δ ( i − j) ≈
δ ( i − j)
βm
6πμrp
(H.11)
132
2- Dispersion liée au terme de forces externes
Supposons maintenant que le champ de forces F soit spatialement hétérogène mais décrit localement
par une force moyenne et une fluctuation. Dans la mesure où la résolution des équations de Langevin
est appréhendée en contexte Lagrangien au moyen de particules, chaque particule ignore toute
référence quelconque à une variable d’espace. Par conséquent l’échantillonnage d’un champ de forces
spatialement hétérogène est traduit par une description des forces : F ( t ) = F ( t ) + f ( t ) . Le temps t
correspond au temps "Lagrangien" au cours duquel la particule traverse le champ de forces. Il n’y a
pas ici de variation du champ de forces dans le temps. On admettra également que la perturbation f
est spatialement corrélée, la covariance f i ( x ) f j ( y ) pouvant se projeter dans le domaine des "temps
Lagrangiens" avec une incidence sur la variabilité des trajectoires des particules. L’équation de
Langevin décrivant la vitesse des particules s’écrit alors :
t
⎛
F ⎞
1
v ( t ) = v0 exp ( −βt ) + ⎜ u 0 +
1
−
exp
−β
t
+
(
)
) m ∫ f ( τ ) exp ( −β ( t − τ ) ) dτ + R1 ( t )
⎟(
βm ⎠
⎝
0
(H.12)
La covariance des vitesses s’écrit :
⎛
F ⎞
vi ( t1 ) v j ( t 2 ) = v 02 exp ( −β ( t1 + t 2 ) ) + ⎜ u 0 +
⎟ (1 − exp ( −β t1 ) ) (1 − exp ( −β t 2 ) )
βm ⎠
⎝
1
+ 2
m
t1 t 2
∫ ∫ f ( τ ) f ( τ ')
i
j
(H.13)
exp ( −β ( t1 − τ ) ) exp ( −β ( t 2 − τ ') ) dτ dτ '+ R 1i ( t1 ) R 1 j ( t 2 )
0 0
Afin de déterminer la dispersion uniquement engendrée par les forces externes, on occulte le terme
brownien et ne regarde que les fluctuations de vitesse dépendantes de la covariance des forces. La
covariance des fluctuations de vitesse conséquence du champ de forces s’écrit alors :
v i ( t1 ) v j ( t 2 ) =
1
m2
t1 t 2
∫ ∫ C ( τ − τ ') exp ( −β ( t
F ij
1
− τ ) ) exp ( −β ( t 2 − τ ') ) dτ dτ '
(H.14)
0 0
On choisit une covariance temporelle exponentielle de la forme :
CFij ( t1 − t 2 ) = σ F2 δ ( i − j) exp ( −a t1 − t 2 ) .
Cette covariance est stationnaire (au sens géostatistique du terme) car elle ne dépend que de la durée
t1 − t 2 .
L’expression (H.14) est développée :
v i ( t1 ) v j ( t 2 ) =
σ 2F δ ( i − j) t1 t 2
m2
∫ ∫ exp ( −a τ − τ ' ) exp ( −β ( t
1
− τ ) ) exp ( −β ( t 2 − τ ') ) dτ dτ '
0 0
133
σ 2F δ ( i − j) t1 τ
v i ( t1 ) v j ( t 2 ) =
m2
+
+
1
− τ ) ) exp ( −β ( t 2 − τ ') ) dτ dτ '
τ
t
1
⎡ 1
⎤
exp ( −β ( t1 + t 2 ) ) ∫ exp ( ( β − a ) τ ) ⎢
exp ( ( β + a ) τ ') ⎥ dτ
a
β
+
⎣
⎦0
0
σ 2F δ ( i − j)
t2
t1
⎡ 1
⎤
exp ( −β ( t1 + t 2 ) ) ∫ exp ( ( β + a ) τ ) ⎢
exp ( (β − a ) τ ') ⎥ dτ
⎣β − a
⎦τ
0
m2
m2 (β + a )
+
− τ ) ) exp ( −β ( t 2 − τ ') ) dτ dτ '
0 τ
σ 2F δ ( i − j)
v i ( t1 ) v j ( t 2 ) =
v i ( t1 ) v j ( t 2 ) =
∫ ∫ exp ( −a ( τ '− τ ) ) exp ( −β ( t
m2
m2
+
1
0 0
σ2F δ ( i − j) t1 t 2
σ 2F δ ( i − j)
v i ( t1 ) v j ( t 2 ) =
∫ ∫ exp ( −a ( τ − τ ') ) exp ( −β ( t
t1
exp ( −β ( t1 + t 2 ) ) ∫ exp ( 2βτ ) − exp ( (β − a ) τ ) dτ
σ δ ( i − j)
2
F
2
m (β − a )
0
t1
exp ( −β ( t1 + t 2 ) ) ∫ exp ( ( β − a ) t 2 ) exp ( ( β + a ) τ ) − exp ( 2βτ ) dτ
0
⎛ exp ( 2β t1 ) − 1 exp ( ( β − a ) t1 ) − 1 ⎞
−
exp ( −β ( t1 + t 2 ) ) ⎜
⎟
⎜
⎟
β
β
−
m (β + a )
2
a
⎝
⎠
σ 2F δ ( i − j)
2
(
)
⎛ exp ( ( β − a ) t 2 ) exp ( ( β + a ) t1 ) − 1 exp ( 2β t ) − 1 ⎞
1
⎜
⎟
−β
+
−
exp
t
t
(
)
(
)
1
2
2
⎜
⎟
β+a
m (β − a )
2β
⎝
⎠
σ 2F δ ( i − j)
Finalement, on obtient l’expression suivante de la covariance des vitesses :
v i ( t1 ) v j ( t 2 ) =
σ 2F δ ( i − j)
m 2 ( β2 − a 2 )
( (1 + a β ) exp ( −β ( t
1
+ t 2 ) ) − a β exp ( −β ( t 2 − t1 ) )
− exp ( −βt 2 − at1 ) − exp ( −β t1 − at 2 ) + exp ( −a ( t 2 − t1 ) )
)
(H.15)
Cette covariance est séparée en une partie pseudo-stationnaire ℑ ( t 2 − t1 ) (avec l’hypothèse t 2 ≥ t1 ) et
une partie non stationnaire Ψ ( t1 , t 2 ) .
ℑ ( t 2 − t1 ) ≡ exp ( −a ( t 2 − t1 ) ) − a β exp ( −β ( t 2 − t1 ) )
Ψ ( t1 , t 2 ) ≡ (1 + a β ) exp ( −β ( t1 + t 2 ) ) − exp ( −β t 2 − at1 ) − exp ( −β t1 − at 2 )
(H.16)
Ensuite, la covariance centrée des déplacements est calculée par intégration de la covariance des
t t
fluctuations de vitesse σ2x ij ( t ) = x i ( t ) x j ( t ) = ∫ ∫ vi ( τ ) v j ( τ ') dτ dτ ' . Le calcul de σ2x ij ( t ) est
0 0
également séparé en deux parties.
σ 2x ij ( t ) =
t t
⎞
σ 2F δ ( i − j) ⎛ t t
'
d
d
'
,
'
d
d
'
ℑ
τ
−
τ
τ
τ
+
Ψ
τ
τ
τ
τ
(
)
(
)
⎜
⎟
∫
∫
∫
∫
m 2 ( β2 − a 2 ) ⎝ 0 0
0 0
⎠
(H.17)
134
Développement de la partie non stationnaire :
t t
t t
t t
0 0
0 0
∫ ∫ Ψ ( τ, τ ') dτdτ ' = (1 + a β ) ∫ ∫ exp ( −β ( τ + τ ') ) dτdτ '− ∫ ∫ exp ( −βτ '− aτ ) dτdτ '
0 0
(H.18)
t t
− ∫ ∫ exp ( −βτ − aτ ') dτdτ '
0 0
Les trois termes intégraux de (H.18) sont calculés séparément :
t
⎛⎡ 1
⎤ ⎞
⎜
∫0 ∫0 exp ( −β ( τ + τ ') ) dτdτ ' = ∫0 exp ( −βτ ) dτ∫0 exp ( −βτ ') dτ ' = ⎜ ⎢⎣− β exp ( −βτ )⎥⎦ ⎟⎟
0⎠
⎝
2
1
= 2 (1 − exp ( −β t ) )
β
t t
t
t t
t
t
2
t
t
(H.19)
t
⎡ 1
⎤ ⎡ 1
⎤
∫0 ∫0 exp ( −βτ '− aτ ) dτdτ ' = ∫0 exp ( −βτ ') dτ ' ∫0 exp ( −aτ ) dτ = ⎢⎣− β exp ( −βτ ')⎥⎦ ⎢⎣− a exp ( −aτ )⎥⎦ 0
0
1
= ( exp ( −βt ) − 1) ( exp ( −at ) − 1)
aβ
t t
1
∫ ∫ exp ( −βτ − aτ ') dτdτ ' = aβ ( exp ( −βt ) − 1) ( exp ( −at ) − 1)
(H.20)
(H.21)
0 0
La partie non stationnaire s’écrit alors :
t t
∫ ∫ Ψ ( τ, τ ') dτdτ ' =
(1 + a β )
β
0 0
2
(1 − exp ( −βt ) )
2
−
2
( exp ( −βt ) − 1) ( exp ( −at ) − 1)
aβ
(H.22)
Développement de la partie pseudo-stationnaire :
Pour développer la partie pseudo-stationnaire de (H.17), on utilise l’algorithme de Cauchy :
t t
t
0 0
0
∫ ∫ ℑ( τ '− τ ) dτdτ ' = 2∫ ( t − τ ) ℑ ( τ ) dτ .
On écrit alors :
t t
t
0 0
0
∫ ∫ ℑ ( τ '− τ ) dτdτ ' = 2∫ ( t − τ ) exp ( −aτ ) dτ −
t
2a
( t − τ ) exp ( −βτ ) dτ
β ∫0
(H.23)
Chaque terme intégral est développé séparément. Pour le premier terme on effectue un changement de
variable : aτ = τ ' → τ = τ ' a, dτ = dτ ' a .
135
t
at
at
at
dτ ' 2t
2
⎛ τ' ⎞
2∫ ( t − τ ) exp ( −aτ ) dτ = 2 ∫ ⎜ t − ⎟ exp ( −τ ')
= ∫ exp ( −τ ') dτ ' − 2 ∫ τ 'exp ( −τ ') dτ '
a
a
a
a
⎠
0
0⎝
0
0
at
2t
2
= ⎡−
exp ( −τ ') ⎤⎦ 0 − 2 ( Γ ( 2 ) − Γ ( 2,at ) )
⎣
a
a
(H.24)
Avec les fonctions gamma définies par :
∞
∞
Γ ( 2 ) = ∫ τ 'exp ( −τ ') dτ ' = 1
Γ ( 2, χ ) = ∫ τ 'exp ( −τ ') dτ '
(H.25)
χ
0
on obtient :
t
2∫ ( t − τ ) exp ( −aτ ) dτ =
0
2t
2
1 − exp ( −at ) ) − 2 (1 − Γ ( 2,at ) )
(
a
a
(H.26)
Pour le développement du second terme on effectue un changement de variable :
βτ = τ ' → τ = τ ' β, dτ = dτ ' β
t
βt
βt
2a
2a ⎛ τ ' ⎞
dτ ' 2at
2a
exp ( τ ')⎤⎦ 0 − 3 ( Γ ( 2 ) − Γ ( 2, β t ) )
( t − τ ) exp ( −βτ ) dτ = ∫ ⎜ t − ⎟ exp ( −τ ') = 2 ⎡−
⎣
∫
β 0
β 0⎝
β⎠
β
β
β
2at
2a
= 2 (1 − exp ( −βt ) ) − 3 (1 − Γ ( 2, βt ) )
β
β
(H.27)
La partie pseudo-stationnaire s’écrit finalement :
t t
2t
2at
2
2a
∫ ∫ ℑ( τ '− τ) dτdτ ' = a (1 − exp ( −at ) ) − β (1 − exp ( −βt ) ) − a (1 − Γ ( 2,at ) ) + β (1 − Γ ( 2,βt ) )
2
2
3
(H.28)
0 0
En rassemblant les différents termes, la covariance de déplacement σ2x ij ( t ) induite par un champ de
forces F ( t ) = F ( t ) + f ( t ) et à covariance stationnaire exponentielle s’écrit :
σ 2F δ ( i − j) ⎡ 2t
⎤
2at
2
2a
σ (t) = 2 2
1 − exp ( −at ) ) − 2 (1 − exp ( −β t ) ) − 2 (1 − Γ ( 2,at ) ) + 3 (1 − Γ ( 2, β t ) ) ⎥
(
2 ⎢
β
β
a
m (β − a ) ⎣ a
⎦
2
x ij
σ 2 δ ( i − j) ⎡ (1 + a β )
⎤
2
2
+ 2F 2
1 − exp ( −β t ) ) − ( exp ( −β t ) − 1) ( exp ( −at ) − 1) ⎥
(
2
2 ⎢
aβ
m (β − a ) ⎣ β
⎦
(H.29)
La dispersion est obtenue à partir de la covariance des déplacements. Pour une définition sécante
2
1 σ xij ( t )
D Fij ( t ) =
, on obtient l’expression suivante :
2 t
136
D Fij ( t ) =
σ 2F δ ( i − j) ⎡ 1
⎤
a
1
a
1 − exp ( −at ) ) − 2 (1 − exp ( −βt ) ) − 2 (1 − Γ ( 2,at ) ) + 3 (1 − Γ ( 2, β t ) ) ⎥
(
2
2
2 ⎢
β
βt
a t
m (β − a ) ⎣ a
⎦
σ2 δ ( i − j) ⎡ (1 + a β )
⎤
2
1
+ 2F 2
1 − exp ( −β t ) ) −
exp ( −β t ) − 1) ( exp ( −at ) − 1) ⎥
(
(
2
2 ⎢
aβt
m ( β − a ) ⎣ 2β t
⎦
1 et βt
Pour des temps t suffisamment longs afin que at
(H.30)
1 , alors Γ ( 2,at ) → 0 et Γ ( 2, βt ) → 0 . En
simplifiant les expressions incluant Γ(), on obtient :
D Fij ( t ) ≈
Si at
σ2F δ ( i − j) ⎡ 1 a
σ F2 δ ( i − j) ⎡ (1 + a β ) 1 ⎤
1
a ⎤
−
−
+
+
−
⎢
⎥
⎢
2
2
3 ⎥
2
aβ t ⎦
m 2 ( β2 − a 2 ) ⎣ a β a t β t ⎦ m 2 ( β2 − a 2 ) ⎣ 2β t
1 et βt
1 , on peut simplifier (H.31) car
1
a2t
1
a
,
a β3 t
a
,
β2
1
aβ t
(H.31)
1
,
a
(1 + a β )
2β t
2
a
.
β2
L’expression asymptotique indépendante du temps de la dispersion engendrée par l’hétérogénéité du
champ de forces s’écrit :
D Fij ≈
σ2F δ ( i − j) ⎡ 1 a ⎤
⎢ − 2⎥
m 2 ( β2 − a 2 ) ⎣ a β ⎦
(H.32)
137
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
Acuna, J. A., and Y. C. Yortsos, Application of fractal geometry to the study of networks of fractures
and their pressure transient, Water Resources Research, 31(3), 527-540, 1995.
Ahmadi, A., M. Quintard, and S. Whitaker, Transport in chemically and mechanically heterogeneous
porous media. V: Two-equation model for solute transport with adsorption, Advances in Water
Resources, 22(1), 59-86, 1998.
Audouin, O., Intégration-Inversion de données géologiques et mesures hydrodynamiques in-situ pour
le conditionnement d'un modèle 3D d'aquifère calcaire: Site Expérimental Hydrogéologique
(SEH) de Poitiers, Doct. Thesis, Université de Poitiers, 2007.
Audouin, O., and J. Bodin, Cross-borehole slug test analysis in a fractured limestone aquifer, Journal
of Hydrology, 348, 510-523, 2008.
Audouin, O., J. Bodin, G. Porel, and B. Bourbiaux, Flowpath structure in a limestone aquifer: multiborehole logging investigations at the Hydrogeological Experimental Site of Poitiers, France,
Hydrogeology Journal, 2008.
Auriault, J. L., and C. Boutin, Deformable porous media with double porosity. Quasi-statics. I:
Coupling effects., Transport in Porous Media, 7, 63-82, 1992.
Banton, O., F. Delay, and G. Porel, A new Time Domain Random-Walk method for solute transport in
1-D heterogeneous media, Ground Water, 35(6), 1008-1013, 1997.
Barenblatt, G. I., I. P. Zheltov, and I. M. Kochina, Basic concepts on the theory of seepage of
homogeneous liquids in fissured rocks, J Appl Math Mech (Engl Transl), 24, 1286-1303,
1960.
Barker, J. A., A generalized radial flow model for hydraulic tests in fractured rocks, Water Resources
Research, 24(10), 1796-1804, 1988.
Bernard, S., Caractérisation hydrodynamique des réservoirs carbonatés fracturés. Application au Site
Expérimental Hydrogéologique (SEH) de l'Université de Poitiers., Doct. Thesis, Université de
Poitiers, 2005.
Bernard, S., F. Delay, and G. Porel, A new method of data inversion for the identification of fractal
characteristics and homogeneization scale from hydraulic pumping tests in fractured aquifers,
Journal of Hydrology, 328, 647-658, 2006.
Bodin, J., F. Delay, and G. de Marsily, Solute transport in a single fracture with negligible matrix
permeability: 1. Fundamental mechanisms, Hydrogeology Journal, 11, 418-433, 2003b.
Bodin, J., G. Porel, and F. Delay, Simulation of solute transport in discrete fracture networks using the
Time Domain Random Walk method, Earth and Planetary Science Letters, 208, 297-304,
2003a.
Boisson, A., Caractérisation et modélisation des écoulements en milieux fracturés carbonatés;
Influence de la quantité de données en modélisation hydrogéologique, Université de Rennes 1,
Rennes, 2007.
Bonnet, E., O. Bour, N. E. Odling, P. Davy, I. Main, P. Cowie, and B. Berkowitz, Scaling of fracture
systems in geological media, Reviews of Geophysics, 39, 347-384, 2001.
139
Boulton, N. S., and T. D. Streltsova, Unsteady flow to a pumped well in a two-layered water-bearing
formation, Journal of Hydrology, 35(3-4), 245-256, 1977.
Butler, J. J. J., Pumping tests in non uniform aquifers. The radially symmetric case, Journal of
Hydrology, 101(1-4), 15-30, 1988.
Carrera, J., and S. Neuman, Estimation of aquifer parameter under transient and steady state
conditions: 1. Maximum likelihood method incorporating prior information, Water Resources
Research, 22(2), 199-210, 1986.
Chandrasekhar, S., Stochastic problems in physics and astronomy, Reviews of Modern Physics, 15(1),
1-89, 1943.
Chang, J., and Y. C. Yortsos, Pressure-transient analysis of fractal reservoirs, Society of petroleum
Engineers Journal, 18710, 631-643, 1990.
Chen, Q. Y., J. Wan, Y. Yang, and R. T. Mifflin, Enriched multi-point flux approximation for general
grids, Journal of Computational Physics, 227, 1701-1721, 2008.
Coats, K. H., and B. D. Smith, Dead-end pore volume and dispersion in porous media, Society of
Petroleum Engineers Journal, 4, 73-84, 1964.
Compère, F., Transport et rétention de particules argileuses en milieu poreux saturé. Approches
expérimentales et numériques, Doct. Thesis, Université de Poitiers, 1999.
Cooper Jr., H. H., and C. E. Jacob, A generalized graphical method for evaluating formation constants
and summarizing well field history, Am. Geophys. Union Trans., 27, 526-534, 1946.
Cushman, J. H., The Physics of Fluids in Hierarchical Porous Media: Angstroms to Miles. Theory and
Applications of Transport in Porous Media, pp. 490, Kluwer Academic Press, 1997.
Delay, F., P. Ackerer, and C. Danquigny, Simulating solute transport in porous or fractured formations
using random walk particle tracking: A review, Vadose Zone Journal, 4, 360-379, 2005.
Delay, F., and J. Bodin, Time Domain Random Walk method to simulate transport by advectiondispersion and matrix diffusion in fracture networks, Geophysical Research Letters, 28(21),
4051-4054, 2001.
Delay, F., A. Kaczmaryk, and P. Ackerer, Inversion of interference hydraulic pumping tests in both
homogeneous and fractal dual media, Advances in Water Resources, 30(3), 314-334, 2007.
Delay, F., A. Kaczmaryk, and P. Ackerer, Inversion of a Lagrangian Time Domain Random Walk
(TDRW) approach to one-dimensional transport by derivation of the analytical sensitivities to
parameters, Advances in Water Resources, 31, 484-502, 2008.
Delay, F., and G. Porel, Inverse modeling in the time domain for solving diffusion in a heterogeneous
rock matrix, Geophysical Research Letters, 30(3), 1147, doi:10.1029/2002/GL016428, 2003.
Delay, F., G. Porel, and S. Bernard, Analytical 2D model to invert hydraulic pumping tests in
fractured rocks with fractal behavior, Geophysical Research Letters, 31, L16501, doi:
10.1029/2004GL020500, 2004.
Deutsh, C. V., and A. G. Journel, ''GSLIB: Geostatistical Software Library and User's Guide'', Oxford
University Press, New York, 1992.
140
Einstein, A., ''Sur le mouvement de petites particules en suspension dans des liquides au repos requis
par la théorie cinétique moléculaire de la chaleur'', Annalen der Physik, 17, 549-560, 1905.
Fernandez de la Mora, J., and D. E. Rosner, Effects of inertia on the diffusional deposition of small
particles to spheres and cylinders at low Reynolds numbers, Journal of Fluid Mechanics, 125,
379-395, 1982.
Gupta, D., and M. H. Peters, A brownian dynamics simulation of aerosol deposition onto spherical
collectors, Journal of Colloid and Interface Science, 104(2), 375-389, 1985.
Guyonnet, D., S. Mishra, and M. G. McDonald, Evaluating the volume of porous medium investigated
during slug tests, Ground Water, 31, 627-633, 1993.
Kaczmaryk, A., and F. Delay, Interference pumping tests in a fractured limestone (Poitiers-France):
Inversion of data by means of dual-medium approaches, Journal of Hydrology, 337, 133-146,
2007a.
Kaczmaryk, A., and F. Delay, Interpretation of interference pumping tests in a fractured limestone
(Poitiers-France) using fractal and dual-media approaches: Homogenization scale of hydraulic
parameters, Journal of Hydraulic Research, Special issue IAHR-GW 2006, 2007b.
Kaczmaryk, A., and F. Delay, Improving dual-porosity-medium approaches to account for karstic flow
in a fractured limestone: Application to the automatic inversion of hydraulic interference tests
(Hydrogeological Experimental Site, HES - Poitiers - France), Journal of Hydrology, 347,
391-403, 2007c.
Kazemi, H., L. S. Merill, K. L. Portterfield, and P. R. Zeman, Numerical simulation of water-oil flow
in naturally fractured reservoirs, Society of Petroleum Engineers Journal, 317, 1976.
LaBolle, E. M., G. E. Fogg, and A. F. B. Tompson, Random-walk simulation of transport in
heterogeneous porous media: Local mass conservation problem and implementation methods,
Water Resources Research, 32, 583-593, 1996.
Landereau, P., Modèles macroscopiques pour les écoulements monophasiques en milieu poreux
fracturé: application aux tests de puits, Ecole Nationale Supérieure des Arts et Métiers, 2000.
Landereau, P., B. Noetinger, and M. Quintard, Quasi-steady two-equation models for diffusive
transport in fractured porous media: large-scale properties for densely fractured systems,
Advances in Water Resources, 24, 863-876, 2001.
Le Borgne, T., O. Bour, J. R. de Dreuzy, and P. Davy, Equivalent mean flow models for fractured
aquifers: insights for a pumping test scaling interpretation, Water Resources Research, 40(3),
doi:10.1029/2003/WR002436, 2004.
Le Ravalec-Dupin, M., B. Noetinger, and L. Y. Hu, The FFT moving average (FFT-MA) Generator:
an efficient numerical method for generating and conditionning Gaussian simulations,
Mathematical Geology, 32(6), 701-723, 2000.
Maloszewski, P., and A. Zuber, On the theory of tracer experiments in fissured rocks with a porous
matrix, 79(3-4), 333-358, 1985.
Mc Laughlin, D., and L. R. Townley, A reassessment of the groundwater inverse problem, Water
Resources Research, 32(5), 1131-1161, 1996.
Michalak, A., and P. Kitanidis, Macroscopic behavior and random-walk particle tracking of kinetically
sorbing solutes, Water Resources Research, 36(8), 2133-2146, 2000.
141
Morales-Casique, E., S. P. Neuman, and A. Guadagnini, Non-local and localized analyses of nonreactive solute transport in bounded randomly heterogeneous porous media: Theoretical
framework, Advances in Water Resources, 29(8), 1238-1255, 2006.
Neuman, S. P., Trends, prospects and challenges in quantifying flow and transport through fractured
rocks, Hydrogeology Journal, 13, 124-147, 2005.
Neuman, S. P., A. Guadagnini, and M. Riva, Type-curve estimation of statistical heterogeneity, Water
Resources Research, 40(4), doi:10.1029/2003WR002405, 2004.
O'Shaughnessy, B., and I. Procaccia, Diffusion in fractals, Physical Review A, General Physics, 32,
3073, 1985.
Quintard, M., and S. Whitaker, Transport in chemically and mechanically heterogeneous porous
media. I: Theoretical development of region-averaged equations for slightly compressible
single-phase flow, Advances in Water Resources, 19(1), 29-47, 1996.
Ramarao, B. V., and C. Tien, Simulation of particle deposition in fluid flow, in Transport processes in
bubbles, drops, and particles, edited by R. P. Chhabra and D. de Kee, pp. 191-246,
Hemisphere Publishing Corporation, London, 1992.
Stauffer, D., and A. Aharony, Introduction to percolation theory, edited by T. Francis, London, 1994.
Taylor, S. G., Dispersion of soluble matter in solvent flowing slowly through a tube, Proc. Roy. Soc.
Lond., Ser. A, 219, 186-203, 1953.
Ubertosi, F., Chenalisation de l'écoulement et du transport dans les milieux fracturés: approche
discrète par réseaux de liens, Doct. Thesis, Université de Poitiers, 2008.
Ubertosi, F., F. Delay, J. Bodin, and G. Porel, A new method for generating a pipe network to handle
channelled flow in fractured rocks, Comptes Rendus Geoscience, 339, 682-691, 2007.
Uffink, G. J. M., A random walk method for the simulation of macrodispersion in a stratified aquifer,
p 103-114. In F.X. Dunin et al. (ed.) I.U.G.G., 18th Gen.Assembly Proc. Symp., Hamburg,
Germany, IAHS publ. 146. IAHS, Wallingford, UK, 1985.
Warren, J., and P. Root, The behavior of naturally fractured reservoirs, Soc Petrol Eng J, 3, 245-255,
1963.
Zaslavsky, G., Chaos, fractional kinetics and anomalous transport, Physics Reports, 371, 461-580,
2002.
142
Résumé
Le sous-échantillonnage est une plaie quasi systématique dans l’étude des milieux souterrains. En
l’occurrence, la question reste posée d’interpréter des données recueillies in situ pour déterminer les
paramètres macroscopiques régissant l’écoulement et le transport de soluté dans ces milieux. L’objet
de ce travail est de proposer des outils d’inversion de données hydrodynamiques en gardant une
approche physique (par opposition à systémique) du fonctionnement du réservoir. Des mesures de
rabattements hydrauliques ont été acquises en deux campagnes de tests d’interférence sur l’aquifère
carbonaté fracturé du Site Expérimental Hydrogéologique (SEH) de l’Université de Poitiers. Elles sont
interprétées selon des modèles continus double milieu, et intègrent en particulier les effets de
drainance karstique observés sur la seconde campagne de mesures. Un outil d’inversion du transfert de
masse est également proposé sur la base d’un calcul Lagrangien dans le domaine des temps pour des
réseaux de liens. Entre autres sophistications, l’inversion est assortie d’une dérivation analytique des
sensibilités aux paramètres. Enfin, la trace du réseau de liens est éliminée en substituant les équations
classiques du transport par les équations de Langevin. Elles intègrent un champ de forces à l’origine
d’un terme hyperbolique qui pourrait représenter les éventuels effets de chenalisation d’un réseau.
Plusieurs développements analytiques en régime transitoire et asymptotique du déplacement moyen et
de la dispersion attestent de la faisabilité d’une telle substitution. Le travail doit cependant être
poursuivi, notamment la comparaison avec des données de traçage acquises sur le terrain.
Mots clés : Milieux poreux fracturés, Problèmes inverses, Approches double milieu, Transport
Lagrangien, Equations de Langevin
Multi-continuum approaches to the dual framework of homogenization – inversion of
hydrodynamic properties in porous fractured media
The quite-systematic scarcity of sampled data hampers the study of underground media. This is why
the question remains of getting suited interpretations based on in situ data to evaluate macroscopic
parameters ruling flow and mass transport in underground reservoirs. The aim of this work is to invert
dynamic data by means of tools with a physical view on the reservoir functioning (opposed here to a
systemic approach). Hydraulic interference testing has been held in two campaigns over the fractured
limestone aquifer of the Hydrogeological Experimental Site (HES) in Poitiers (France). Drawdown
data are interpreted by enhanced dual-medium approaches, with special care given to karstic draining
observed on data of the second campaign. A tool for mass transport inversion is also developed with
calculations handled by a Lagrangian approach in time over bond networks. Among various
refinements, inversion is coupled with an analytical derivation of the model sensitivity to parameters.
Finally, the trace of the network is eliminated by substituting the classical transport equations by the
Langevin equations. The latter include a force field yielding a hyperbolic term that would mimic the
eventual channelling effects of a network. Several analytical developments of the mean displacement
and dispersion of particles, both in transient and asymptotic context, testify that the substitution is
feasible. This work should be pursued however, for instance by addressing with the tools mentioned
above field tracer test experiments carried out in various contexts.
Keywords : Porous fractured media, Inverse problems, Dual-medium approaches, Lagrangian
transport, Langevin equations